>>Математика:Рациональные неравенства
Рациональное неравенство с одной переменной х - это неравенство вида - рациональные выражения, т.е. алгебраические выражения, составленные из чисел и переменной х с помощью операций сложения, вычитания, умножения, деления и возведения в натуральную степень . Разумеется, переменная может быть обозначена любой другой буквой, но в математике чаще всего предпочтение отдается букве х.
При решении рациональных неравенств используются те три правила, которые были сформулированы выше в § 1. С помощью этих правил обычно преобразуют заданное рациональное неравенство к виду / (ж) > 0, где / (х) - алгебраическая дробь (или многочлен). Далее разлагают числитель и знаменатель дроби f (х) на множители вида х - а (если, конечно, это возможно) и применяют метод интервалов, который мы уже упоминали выше (см. в предыдущем параграфе пример 3).
Пример 1. Решить неравенство (х - 1) (х + 1) (х - 2) > 0.
Решение. Рассмотрим выражение f(х) = (х-1)(х + 1)(х-2).
Оно обращается в 0 в точках 1,-1,2; отметим эти точки на числовой прямой. Числовая прямая разбивается указанными точками на четыре промежутка (рис. 6), на каждом из которых выражение f (x) сохраняет постоянный знак. Чтобы в этом убедиться, проведем четыре рассуждения (для каждого из указанных промежутков в отдельности).
Возьмем любую точку х из промежутка (2, Эта точка расположена на числовой прямой правее точки -1, правее точки 1 и правее точки 2. Это значит, что х > -1, х >1, х > 2 (рис. 7). Но тогда x-1>0, х+1>0, х - 2 > 0, а значит, и f (х) > 0 (как произведение рациональное неравенство трех положительных чисел). Итак, на всем промежутке выполняется неравенство f (x) > 0.
Возьмем любую точку х из интервала (1,2). Эта точка расположена на числовой прямой правее точки-1, правее точки 1, но левее точки 2. Значит, х > -1, х > 1, но х < 2 (рис. 8), а потому x + 1>0,x-1>0,x-2<0. Но тогда f(x) <0 (как произведение двух положительных и одного отрицательного числа). Итак, на промежутке (1,2) выполняется неравенство f (x) < 0.
Возьмем любую точку х из интервала (-1,1). Эта точка расположена на числовой прямой правее точки -1, левее точки 1 и левее точки 2. Значит, х >-1, но х< 1, х <2 (рис. 9), а потому х + 1 > 0, х -1 <0, х - 2 < 0. Но тогда f (x) > 0 (как произведение двух отрицательных и одного положительного числа). Итак, на промежутке (-1,1) выполняется неравенство f (x)> 0.
Возьмем, наконец, любую точку х из открытого луча (-оо, -1). Эта точка расположена на числовой прямой левее точки -1, левее точки 1 и левее точки 2. Это значит, что x<-1, х< 1, х<2 (рис. 10). Но тогда x - 1 < 0, x + 1 < 0, х - 2 < 0, а значит, и f (x) < 0 (как произведение трех отрицательных чисел). Итак, на всем промежутке (-оо, -1) выполняется неравенство f (x) < 0.
Подведем итоги. Знаки выражения f (x) в выделенных промежутках таковы, как показано на рис. 11. Нас интересуют те из них, на которых выполняется неравенство f (x) > 0. С помощью геометрической модели , представленной на рис. 11, устанавливаем, что неравенство f (x) > 0 выполняется на интервале (-1, 1) или на открытом луче
О т в е т:
-1 < х < 1; х > 2.
Пример 2.
Решить неравенство
Решение.
Как и в предыдущем примере, почерпнем необходимую информацию из рис. 11, но с двумя изменениями по сравнению с примером 1. Во-первых, поскольку нас интересует, при каких значениях х выполняется неравенство f (x) < 0, нам придется выбрать промежутки Во-вторых, нас устраивают и те точки, в которых выполняется равенство f (x) = 0. Это точки -1, 1, 2, отметим их на рисунке темными кружочками и включим в ответ. На рис. 12 представлена геометрическая модель ответа, от которой нетрудно перейти к аналитической записи.
Ответ:
П р и м е р 3.
Решить неравенство
Решение
. Разложим на множители числитель и знаменатель алгебраической дроби fх, содержащейся в левой части неравенства. В числителе имеем х 2 - х = х(х - 1).
Чтобы разложить на множители квадратный трехчлен х 2 - bх ~ 6, содержащийся в знаменателе дроби, найдем его корни. Из уравнения х 2 - 5х - 6 = 0 находим х 1 = -1, х 2 = 6. Значит, (мы воспользовались формулой разложения на множители квадратного трехчлена: ах 2 + bх + с = а(х - х 1 - х 2)).
Тем самым мы преобразовали заданное неравенство к виду
Рассмотрим выражение:
Числитель этой дроби обращается в 0 в точках 0 и 1, а обращается в 0 в точках -1 и 6. Отметим эти точки на числовой прямой (рис. 13). Числовая прямая разбивается указанными точками на пять промежутков, причем на каждом промежутке выражение fх) сохраняет постоянный знак. Рассуждая так же, как в примере 1, приходим к выводу, что знаки выражения fх) в выделенных промежутках таковы, как показано на рис. 13. Нас интересует, где выполняется неравенство f (x) < 0. С помощью геометрической модели, представленной на рис. 13, устанавливаем, что f (х) < 0 на интервале (-1, 0) или на интервале (1, 6).
0твет: -1
Пример 4.
Решить неравенство
Решение.
При решении рациональных неравенств, как правило, предпочитают оставлять в правой части неравенства только число 0. Поэтому преобразуем неравенство к виду
Далее:
Как показывает опыт, если в правой части не(ра-венства содержится лишь число 0, удобнее проводить рассуждения, когда в левой его части и числитель и знаменатель имеют положительный старший коэффициент . А что у нас? У нас в знаменателе дроби в этом смысле все в порядке (старший коэффициент, т.е. коэффициент при х 2 , равен 6 - положительное число), но в числителе не все в порядке - старший коэффициент (коэффициент при х) равен -4 (отрицательное число). Умножив обе части неравенства на -1 и изменив при этом знак неравенства на противоположный, получим равносильное ему неравенство
Разложим числитель и знаменатель алгебраической дроби на множители. В числителе все просто:
Чтобы разложить на множители содержащийся в знаменателе дроби квадратный трехчлен
(мы снова воспользовались формулой разложения на множители квадратного трехчлена).
Тем самым заданное неравенство мы привели к виду
Рассмотрим выражение
Числитель этой дроби обращается в 0 в точке а знаменатель - в точках Отметим эти точки на числовой прямой (рис. 14), которая разбивается указанными точками на четыре промежутка, причем на каждом промежутке выражение f (х) сохраняет постоянный знак (эти знаки указаны на рис. 14). Нас интересуют те промежутки, на которых выполняется неравенство fх < 0; эти промежутки выделены штриховкой на рис. 15. По условию, нас интересуют и те точки х, в которых выполняется равенство f (х) = 0. Такая точка только одна - это точка поскольку лишь при этом значении числитель дроби f (х) обращается в нуль. Точка отмечена на рис. 15 темным кружочком. Таким образом, на рис. 15 представлена геометрическая модель решения заданного неравенства, от которой нетрудно перейти к аналитической записи.
Во всех рассмотренных примерах мы преобразовывали заданное неравенство в равносильное ему неравенство вида f {х) > 0 или f (x) <0,где
При этом количество множителей в числителе и знаменателе дроби может быть любым. Затем отмечали на числовой прямой точки а,Ь,с,д. и определяли знаки выражения f (х) на выделенных промежутках. Заметили, что на самом правом из выделенных промежутков выполняется неравенство f (х) > 0, а далее по промежуткам знаки выражения f (х) чередуются (см. рис. 16а). Это чередование удобно иллюстрировать с помощью волнообразной кривой, которая чертится справа налево и сверху вниз (рис. 166). На тех промежутках, где эта кривая (ее иногда называют кривой знаков) расположена выше оси х, выполняется неравенство f (х) > 0; где эта кривая расположена ниже оси х, выполняется неравенство f (х) < 0.
Пример 5.
Решить неравенство
Решение.
Имеем
(обе части предыдущего неравенства умножили на 6).
Чтобы воспользоваться методом интервалов, отметим на числовой прямой точки (в этих точках числитель дроби, содержащейся в левой части неравенства, обращается в нуль) и точки (в этих точках знаменатель указанной дроби обращается в нуль). Обычно точки отмечают схематически, учитывая порядок их следования (какое - правее, какое - левее) и не особенно обращая внимания на соблюдение масштаба. Ясно, что Сложнее обстоит дело с числами Первая прикидка показывает, что и то и другое число чуть больше, чем 2,6, откуда нельзя сделать вывод о том, какое из указанных чисел больше, а какое - меньше. Предположим (наугад), что Тогда
Получилось верное неравенство, значит, наша догадка подтвердилась: на самом деле
Итак,
Отметим указанные 5 точек в указанном порядке на числовой прямой (рис. 17а). Расставим знаки выражения
на полученных промежутках: на самом правом - знак +, а далее знаки чередуются (рис. 176). Начертим кривую знаков и выделим (штриховкой) те промежутки, на которых выполняется интересующее нас неравенство f (x) > 0 (рис. 17в). Учтем, наконец, что речь идет о нестрогом неравенстве f (x) > 0, значит, нас интересуют и те точки, в которых выражение f (x) обращается в нуль. Это - корни числителя дроби f (x), т.е. точки отметим их на рис. 17в темными кружочками (и, естественно, включим в ответ). Вот теперь рис. 17в дает полную геометрическую модель решений заданного неравенства.
С помощью данного урока вы узнаете о рациональных неравенствах и их системах. Решается система рациональных неравенств с помощью эквивалентных преобразований. Рассматривается определение эквивалентности, способ замены дробно-рационального неравенства - квадратным, а также разбирается в чем отличие неравенства от уравнения и как осуществляются равносильные преобразования.
Введение
Алгебра 9 класс
Итоговое повторение курса алгебры 9-го класса
Рациональные неравенства и их системы. Системы рациональных неравенств.
1.1 Конспект.
Эквивалентные преобразования рациональных неравенств
1. Эквивалентные преобразования рациональных неравенств.
Решить рациональное неравенство означает – найти все его решения. В отличии от уравнения, при решении неравенства, как правило, возникает бесчисленное множество решений. Бесчисленное множество решений нельзя проверить методом подстановки. Поэтому, нужно так преобразовывать исходное неравенство, чтобы в каждой следующей строчке получалось неравенство с тем же множеством решений.
Рациональные неравенства решаются только с помощью эквивалентных или равносильных преобразований. Такие преобразования не искажают множество решений.
Определение . Рациональные неравенства называют эквивалентными , если множества их решений совпадают.
Для обозначения эквивалентности используют знак
Решение системы неравенств. Эквивалентные преобразования системы
2. Решение системы неравенств
Первое и второе неравенство – это дробно-рациональные неравенства. Методы их решения являются естественным продолжением методов решения линейных и квадратных неравенств.
Перенесем числа, стоящие в правой части, в левую с противоположным знаком.
В итоге в правой части останется 0. Это преобразование является эквивалентным. На это указывает знак
Выполним действия, которые предписывает алгебра. Вычтем «1» в первом неравенстве и «2» во втором.
Решение первого неравенства методом интервалов
3. Решение неравенства методом интервалов
1) Введем функцию. Нам нужно узнать, когда эта функция меньше 0.
2) Найдем область определения функции: в знаменателе не должен стоять 0. «2» - точка разрыва. При х=2 функция неопределенна.
3) Найдем корни функции. Функция равна 0,если в числителе стоит 0.
Поставленные точки разбивают числовую ось на три интервала – это интервалы знакопостоянства. На каждом интервале функция сохраняет знак. Определим знак на первом интервале. Подставим какое-нибудь значение. Например, 100. Ясно, что и числитель, и знаменатель больше 0. Значит и вся дробь положительна.
Определим знаки на остальных промежутках. При переходе через точку х=2 только знаменатель меняет знак. Значит, и вся дробь поменяет знак, и будет отрицательной. Проведем аналогичное рассуждение. При переходе через точку х=-3 только числитель меняет знак. Значит, дробь поменяет знак и будет положительной.
Выберем интервал соответствующий условию неравенства. Заштрихуем его и запишем в виде неравенства
Прием сведения дробно-рационального неравенства к квадратному.
Решение первого неравенства путем сведения к квадратному
4. Решение неравенства с помощью квадратичного неравенства
Важный факт.
При сравнении с 0 (в случае строгого неравенства) дробь можно заменить на произведение числителя на знаменатель или поменять числитель или знаменатель местами.
Это так, потому, что все три неравенства выполняются при условии, что u и v разного знака. Эти три неравенства эквивалентны.
Используем это факт и заменим дробно-рациональное неравенство квадратным.
Решим квадратное неравенство.
Введем квадратичную функцию. Найдем ее корни и построим эскиз ее графика.
Значит, ветви параболы вверх. Внутри интервала корней функция сохраняет знак. Она отрицательна.
Вне интервала корней функция положительна.
Решение первого неравенства:
Решение второго неравенства
5. Решение неравенства
Введем функцию:
Найдем ее интервалы знакопостоянства:
Для этого найдем корни и точки разрыва области определения функции. Точки разрыва выкалываем всегда. (х=3/2) Корни выкалываем в зависимости от знака неравенства. Наше неравенство строгое. Поэтому корень выкалываем.
Расставим знаки:
Запишем решение:
Пересечение множеств решений первого и второго неравенств. Форма записи решения
Закончим решение системы. Найдем пересечение множества решений первого неравенства и множества решений второго неравенства.
Решить систему неравенств означает найти пересечение множества решений первого неравенства и множества решений второго неравенства. Поэтому, решив первое и второе неравенство по отдельности нужно записать полученные результаты в одну систему.
Изобразим решение первого неравенства над осью Ох.
Решение же второго неравенства изобразим под осью.
Решением системы будут те значения переменной, которые удовлетворяют как первому, так и второму неравенству. Итак, решение системы:
Заключение
- Алгебра, 9 класс. Часть 1 из 2. Учебник (А. Г. Мордкович, П. В. Семенов) 2010Алгебра, 9 класс. Часть 2 из 2. Задачник (А. Г. Мордкович, Л. А. Александрова, Т. Н. Мишустина и др.) 2010Алгебра, 9 класс (Л. В. Кузнецова, С. Б. Суворова, Е. А. Бунимович и др.) 2010Алгебра, 9 класс. Задачник (Л. И. Звавич, А. Р. Рязановский, П. В. Семенов) 2008Алгебра, 9 класс (Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова) 2009Алгебра, 9 класс (Л. В. Кузнецова, С. Б. Суворова, Е. А. Бунимович и др.) 2010
1.3. Дополнительные веб-ресурсы
http://slovo. ws/urok/algebra -Учебные материалы (учебники, статьи) по алгебре для 9 класса. Все учебники, указанные в списке можно посмотреть в режиме онлайн, без скачивания.
http://math-portal. ru/matematika-shkolnaya/
1.4. Сделай дома
Алгебра, 9 класс. Часть 2 из 2. Задачник (А. Г. Мордкович, Л. А. Александрова, Т. Н. Мишустина и др.) 2010
Домашнее задание: 4.24; 4.28
Другие задания: 4.25; 4.26
Нужно скачать поурочный план по теме » Рациональные неравенства и их системы. Системы рациональных неравенств ?
С помощью данного урока вы узнаете о рациональных неравенствах и их системах. Решается система рациональных неравенств с помощью эквивалентных преобразований. Рассматривается определение эквивалентности, способ замены дробно-рационального неравенства - квадратным,а также разбирается в чем отличие неравенства от уравнения и как осуществляются равносильные преобразования.
Алгебра 9 класс
Итоговое повторение курса алгебры 9-го класса
Рациональные неравенства и их системы. Системы рациональных неравенств.
1.1 Конспект.
1. Эквивалентные преобразования рациональных неравенств.
Решить рациональное неравенство означает – найти все его решения. В отличии от уравнения, при решении неравенства, как правило, возникает бесчисленное множество решений. Бесчисленное множество решений нельзя проверить методом подстановки. Поэтому, нужно так преобразовывать исходное неравенство, чтобы в каждой следующей строчке получалось неравенство с тем же множеством решений.
Рациональные неравенства решаются только с помощью эквивалентных или равносильных преобразований. Такие преобразования не искажают множество решений.
Определение . Рациональные неравенства называют эквивалентными , если множества их решений совпадают.
Для обозначения эквивалентности используют знак
2. Решение системы неравенств
Первое и второе неравенство – это дробно-рациональные неравенства. Методы их решения являются естественным продолжением методов решения линейных и квадратных неравенств.
Перенесем числа, стоящие в правой части, в левую с противоположным знаком.
В итоге в правой части останется 0. Это преобразование является эквивалентным. На это указывает знак
Выполним действия, которые предписывает алгебра. Вычтем «1» в первом неравенстве и «2» во втором.
3. Решение неравенства методом интервалов
1) Введем функцию. Нам нужно узнать, когда эта функция меньше 0.
2) Найдем область определения функции: в знаменателе не должен стоять 0. «2» - точка разрыва. При х=2 функция неопределенна.
3) Найдем корни функции. Функция равна 0,если в числителе стоит 0.
Поставленные точки разбивают числовую ось на три интервала – это интервалы знакопостоянства. На каждом интервале функция сохраняет знак. Определим знак на первом интервале. Подставим какое-нибудь значение. Например, 100. Ясно, что и числитель, и знаменатель больше 0. Значит и вся дробь положительна.
Определим знаки на остальных промежутках. При переходе через точку х=2 только знаменатель меняет знак. Значит, и вся дробь поменяет знак, и будет отрицательной. Проведем аналогичное рассуждение. При переходе через точку х=-3 только числитель меняет знак. Значит, дробь поменяет знак и будет положительной.
Выберем интервал соответствующий условию неравенства. Заштрихуем его и запишем в виде неравенства
4. Решение неравенства с помощью квадратичного неравенства
Важный факт.
При сравнении с 0 (в случае строгого неравенства) дробь можно заменить на произведение числителя на знаменатель или поменять числитель или знаменатель местами.
Это так, потому, что все три неравенства выполняются при условии, что u и v разного знака. Эти три неравенства эквивалентны.
Используем это факт и заменим дробно-рациональное неравенство квадратным.
Решим квадратное неравенство.
Введем квадратичную функцию. Найдем ее корни и построим эскиз ее графика.
Значит, ветви параболы вверх. Внутри интервала корней функция сохраняет знак. Она отрицательна.
Вне интервала корней функция положительна.
Решение первого неравенства:
5. Решение неравенства
Введем функцию:
Найдем ее интервалы знакопостоянства:
Для этого найдем корни и точки разрыва области определения функции. Точки разрыва выкалываем всегда. (х=3/2) Корни выкалываем в зависимости от знака неравенства. Наше неравенство строгое. Поэтому корень выкалываем.
Расставим знаки:
Запишем решение:
Закончим решение системы. Найдем пересечение множества решений первого неравенства и множества решений второго неравенства.
Решить систему неравенств означает найти пересечение множества решений первого неравенства и множества решений второго неравенства. Поэтому, решив первое и второе неравенство по отдельности нужно записать полученные результаты в одну систему.
Изобразим решение первого неравенства над осью Ох.
Рациональные неравенства и их системы. Системы рациональных неравенств
Итоговое повторение курса алгебры 9-го класса
С помощью данного урока вы узнаете о рациональных неравенствах и их системах. Решается система рациональных неравенств с помощью эквивалентных преобразований. Рассматривается определение эквивалентности, способ замены дробно-рационального неравенства - квадратным,а также разбирается в чем отличие неравенства от уравнения и как осуществляются равносильные преобразования.
Алгебра 9 класс
Итоговое повторение курса алгебры 9-го класса
Рациональные неравенства и их системы. Системы рациональных неравенств.
1.1 Конспект.
1. Эквивалентные преобразования рациональных неравенств.
Решить рациональное неравенство означает – найти все его решения. В отличии от уравнения, при решении неравенства, как правило, возникает бесчисленное множество решений. Бесчисленное множество решений нельзя проверить методом подстановки. Поэтому, нужно так преобразовывать исходное неравенство, чтобы в каждой следующей строчке получалось неравенство с тем же множеством решений.
Рациональные неравенства решаются только с помощью эквивалентных или равносильных преобразований. Такие преобразования не искажают множество решений.
Определение . Рациональные неравенства называют эквивалентными , если множества их решений совпадают.
Для обозначения эквивалентности используют знак
2. Решение системы неравенств
Первое и второе неравенство – это дробно-рациональные неравенства. Методы их решения являются естественным продолжением методов решения линейных и квадратных неравенств.
Перенесем числа, стоящие в правой части, в левую с противоположным знаком.
В итоге в правой части останется 0. Это преобразование является эквивалентным. На это указывает знак
Выполним действия, которые предписывает алгебра. Вычтем «1» в первом неравенстве и «2» во втором.
3. Решение неравенства методом интервалов
1) Введем функцию. Нам нужно узнать, когда эта функция меньше 0.
2) Найдем область определения функции: в знаменателе не должен стоять 0. «2» - точка разрыва. При х=2 функция неопределенна.
3) Найдем корни функции. Функция равна 0,если в числителе стоит 0.
Поставленные точки разбивают числовую ось на три интервала – это интервалы знакопостоянства. На каждом интервале функция сохраняет знак. Определим знак на первом интервале. Подставим какое-нибудь значение. Например, 100. Ясно, что и числитель, и знаменатель больше 0. Значит и вся дробь положительна.
Определим знаки на остальных промежутках. При переходе через точку х=2 только знаменатель меняет знак. Значит, и вся дробь поменяет знак, и будет отрицательной. Проведем аналогичное рассуждение. При переходе через точку х=-3 только числитель меняет знак. Значит, дробь поменяет знак и будет положительной.
Выберем интервал соответствующий условию неравенства. Заштрихуем его и запишем в виде неравенства
4. Решение неравенства с помощью квадратичного неравенства
Важный факт.
При сравнении с 0 (в случае строгого неравенства) дробь можно заменить на произведение числителя на знаменатель или поменять числитель или знаменатель местами.
Это так, потому, что все три неравенства выполняются при условии, что u и v разного знака. Эти три неравенства эквивалентны.
Используем это факт и заменим дробно-рациональное неравенство квадратным.
Решим квадратное неравенство.
Введем квадратичную функцию. Найдем ее корни и построим эскиз ее графика.
Значит, ветви параболы вверх. Внутри интервала корней функция сохраняет знак. Она отрицательна.
Вне интервала корней функция положительна.
Решение первого неравенства:
5. Решение неравенства
Введем функцию:
Найдем ее интервалы знакопостоянства:
Для этого найдем корни и точки разрыва области определения функции. Точки разрыва выкалываем всегда. (х=3/2) Корни выкалываем в зависимости от знака неравенства. Наше неравенство строгое. Поэтому корень выкалываем.
Расставим знаки:
Запишем решение:
Закончим решение системы. Найдем пересечение множества решений первого неравенства и множества решений второго неравенства.
Решить систему неравенств означает найти пересечение множества решений первого неравенства и множества решений второго неравенства. Поэтому, решив первое и второе неравенство по отдельности нужно записать полученные результаты в одну систему.
Изобразим решение первого неравенства над осью Ох.
Решение же второго неравенства изобразим под осью.
Пусть надо найти числовые значения х, при которых превращаются в верные числовые неравенства одновременно несколько рациональных неравенств. В таких случаях говорят, что надо решить систему рациональных неравенств с одним неизвестным х.
Чтобы решить систему рациональных неравенств, надо найти все решения каждого неравенства системы. Тогда общая часть всех найденных решений и будет решением системы.
Пример: Решить систему неравенств
(х -1)(х - 5)(х - 7) < 0,
Сначала решаем неравенство
(х - 1)(х - 5)(х - 7) < 0.
Применяя метод интервала (рис. 1), находим, что множество всех решении неравенства (2) состоит из двух интервалов: (-, 1) и (5, 7).
Рисунок 1
Теперь решим неравенство
Применяя метод интервалов (рис. 2), находим, что множество всех решении неравенства (3) также состоит их двух интервалов: (2, 3) и (4, +).
Теперь надо найти общую часть решении неравенств (2) и (3). Нарисуем координатную ось х и отметим на ней найденные решения. Теперь ясно, что общей частью решении неравенств (2) и (3) является интервал(5, 7) (рис. 3).
Следовательно, множество всех решении системы неравенств (1) составляет интервал (5, 7).
Пример: Решить систему неравенств
х2 - 6х + 10 < 0,
Решим сначала неравенство
х 2 - 6х + 10 < 0.
Применяя метод выделения полного квадрата, можно написать, что
х 2 - 6х + 10 = х 2 - 2х3 + 3 2 - 3 2 + 10 = (х - 3) 2 +1.
Поэтому неравенство (2) можно записать в виде
(х - 3) 2 + 1 < 0,
откуда видно, что оно не имеет решении.
Теперь можно не решать неравенство
так как ответ уже ясен: система (1) не имеет решении.
Пример: Решить систему неравенств
Рассмотрим сначала первое неравенство; имеем
1 < 0, < 0.
С помощью кривой знаков находим решения этого неравенства: х < -2; 0 < x < 2.
Решим теперь второе неравенство заданной системы. Имеем x 2 - 64 < 0, или (х - 8)(х + 8) < 0. С помощью кривой знаков находим решения неравенства: -8 < x < 8.
Отметив найденные решения первого и второго неравенства на общей числовой прямой (рис. 6), найдем такие промежутки, где эти решения совпадают (пресечение решении): -8 < x < -2; 0 < x < 2. Это и есть решение системы.
Пример: Решить систему неравенств
Преобразуем первое неравенство системы:
х 3 (х - 10)(х + 10) 0, или х(х - 10)(х + 10) 0
(т.к. множители в нечетных степенях можно заменять соответствующими множителями первой степени); с помощью метода интервалов найдем решения последнего неравенства: -10 х 0, х 10.
Рассмотрим второе неравенство системы; имеем
Находим (рис. 8) х -9; 3 < x < 15.
Объединив найденные решения, получим (рис. 9) х 0; х > 3.
Пример: Найти целочисленные решения системы неравенств:
х + y < 2,5,
Решение: Приведем систему к виду
Складывая первое и второе неравенства, имеем y < 2, 75, а учитывая третье неравенство, найдем 1 < y < 2,75. В этом интервале содержится только одно целое число 2. При y = 2 из данной системы неравенств получим
откуда -1 < x < 0,5. В этом интервале содержится только одно целое число 0.