Системой m линейных уравнений с n неизвестными называется система вида

где a ij и b i (i =1,…,m ; b =1,…,n ) – некоторые известные числа, а x 1 ,…,x n – неизвестные. В обозначении коэффициентов a ij первый индекс i обозначает номер уравнения, а второй j – номер неизвестного, при котором стоит этот коэффициент.

Коэффициенты при неизвестных будем записывать в виде матрицы , которую назовём матрицей системы .

Числа, стоящие в правых частях уравнений, b 1 ,…,b m называются свободными членами.

Совокупность n чисел c 1 ,…,c n называется решением данной системы, если каждое уравнение системы обращается в равенство после подстановки в него чисел c 1 ,…,c n вместо соответствующих неизвестных x 1 ,…,x n .

Наша задача будет заключаться в нахождении решений системы. При этом могут возникнуть три ситуации:

Система линейных уравнений, имеющая хотя бы одно решение, называется совместной . В противном случае, т.е. если система не имеет решений, то она называется несовместной .

Рассмотрим способы нахождения решений системы.

МАТРИЧНЫЙ МЕТОД РЕШЕНИЯ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

Матрицы дают возможность кратко записать систему линейных уравнений. Пусть дана система из 3-х уравнений с тремя неизвестными:

Рассмотрим матрицу системы и матрицы столбцы неизвестных и свободных членов

Найдем произведение

т.е. в результате произведения мы получаем левые части уравнений данной системы. Тогда пользуясь определением равенства матриц данную систему можно записать в виде

или короче A ∙X=B .

Здесь матрицы A и B известны, а матрица X неизвестна. Её и нужно найти, т.к. её элементы являются решением данной системы. Это уравнение называют матричным уравнением .

Пусть определитель матрицы отличен от нуля |A | ≠ 0. Тогда матричное уравнение решается следующим образом. Умножим обе части уравнения слева на матрицу A -1 , обратную матрице A : . Поскольку A -1 A = E и E ∙X = X , то получаем решение матричного уравнения в виде X = A -1 B .

Заметим, что поскольку обратную матрицу можно найти только для квадратных матриц, то матричным методом можно решать только те системы, в которых число уравнений совпадает с числом неизвестных . Однако, матричная запись системы возможна и в случае, когда число уравнений не равно числу неизвестных, тогда матрица A не будет квадратной и поэтому нельзя найти решение системы в виде X = A -1 B .

Примеры. Решить системы уравнений.

ПРАВИЛО КРАМЕРА

Рассмотрим систему 3-х линейных уравнений с тремя неизвестными:

Определитель третьего порядка, соответствующий матрице системы, т.е. составленный из коэффициентов при неизвестных,

называется определителем системы .

Составим ещё три определителя следующим образом: заменим в определителе D последовательно 1, 2 и 3 столбцы столбцом свободных членов

Тогда можно доказать следующий результат.

Теорема (правило Крамера). Если определитель системы Δ ≠ 0, то рассматриваемая система имеет одно и только одно решение, причём

Доказательство . Итак, рассмотрим систему 3-х уравнений с тремя неизвестными. Умножим 1-ое уравнение системы на алгебраическое дополнение A 11 элемента a 11 , 2-ое уравнение – на A 21 и 3-е – на A 31 :

Сложим эти уравнения:

Рассмотрим каждую из скобок и правую часть этого уравнения. По теореме о разложении определителя по элементам 1-го столбца

Аналогично можно показать, что и .

Наконец несложно заметить, что

Таким образом, получаем равенство: .

Следовательно, .

Аналогично выводятся равенства и , откуда и следует утверждение теоремы.

Таким образом, заметим, что если определитель системы Δ ≠ 0, то система имеет единственное решение и обратно. Если же определитель системы равен нулю, то система либо имеет бесконечное множество решений, либо не имеет решений, т.е. несовместна.

Примеры. Решить систему уравнений

МЕТОД ГАУССА

Ранее рассмотренные методы можно применять при решении только тех систем, в которых число уравнений совпадает с числом неизвестных, причём определитель системы должен быть отличен от нуля. Метод Гаусса является более универсальным и пригоден для систем с любым числом уравнений. Он заключается в последовательном исключении неизвестных из уравнений системы.

Вновь рассмотрим систему из трёх уравнений с тремя неизвестными:

Первое уравнение оставим без изменения, а из 2-го и 3-го исключим слагаемые, содержащие x 1 . Для этого второе уравнение разделим на а 21 и умножим на –а 11 , а затем сложим с 1-ым уравнением. Аналогично третье уравнение разделим на а 31 и умножим на –а 11 , а затем сложим с первым. В результате исходная система примет вид:

Теперь из последнего уравнения исключим слагаемое, содержащее x 2 . Для этого третье уравнение разделим на , умножим на и сложим со вторым. Тогда будем иметь систему уравнений:

Отсюда из последнего уравнения легко найти x 3 , затем из 2-го уравнения x 2 и, наконец, из 1-го – x 1 .

При использовании метода Гаусса уравнения при необходимости можно менять местами.

Часто вместо того, чтобы писать новую систему уравнений, ограничиваются тем, что выписывают расширенную матрицу системы:

и затем приводят её к треугольному или диагональному виду с помощью элементарных преобразований.

К элементарным преобразованиям матрицы относятся следующие преобразования:

перестановка строк или столбцов;
умножение строки на число, отличное от нуля;
прибавление к одной строке другие строки.

Примеры: Решить системы уравнений методом Гаусса.

Таким образом, система имеет бесконечное множество решений.

Системы уравнений получили широкое применение в экономической отрасли при математическом моделировании различных процессов. Например, при решении задач управления и планирования производства, логистических маршрутов (транспортная задача) или размещения оборудования.

Системы уравнения используются не только в области математики, но и физики, химии и биологии, при решении задач по нахождению численности популяции.

Системой линейных уравнений называют два и более уравнения с несколькими переменными, для которых необходимо найти общее решение. Такую последовательность чисел, при которых все уравнения станут верными равенствами или доказать, что последовательности не существует.

Линейное уравнение

Уравнения вида ax+by=c называют линейными. Обозначения x, y - это неизвестные, значение которых надо найти, b, a - коэффициенты при переменных, c - свободный член уравнения.
Решение уравнение путем построение его графика будет иметь вид прямой, все точки которой являются решением многочлена.

Виды систем линейных уравнений

Наиболее простыми считаются примеры систем линейных уравнений с двумя переменными X и Y.

F1(x, y) = 0 и F2(x, y) = 0, где F1,2 - функции, а (x, y) - переменные функций.

Решить систему уравнений - это значит найти такие значения (x, y), при которых система превращается в верное равенство или установить, что подходящих значений x и y не существует.

Пара значений (x, y), записанная в виде координат точки, называется решением системы линейных уравнений.

Если системы имеют одно общее решение или решения не существует их называют равносильными.

Однородными системами линейных уравнений являются системы правая часть которых равна нулю. Если правая после знака "равенство" часть имеет значение или выражена функцией, такая система неоднородна.

Количество переменных может быть гораздо больше двух, тогда следует говорить о примере системы линейных уравнений с тремя переменными или более.

Сталкиваясь с системами школьники предполагают, что количество уравнений обязательно должно совпадать с количеством неизвестных, но это не так. Количество уравнений в системе не зависит от переменных, их может быть сколь угодно много.

Простые и сложные методы решения систем уравнений

Не существует общего аналитического способа решения подобных систем, все методы основаны на численных решениях. В школьном курсе математики подробно описаны такие методы как перестановка, алгебраическое сложение, подстановка, а так же графический и матричный способ, решение методом Гаусса.

Основная задача при обучении способам решения - это научить правильно анализировать систему и находить оптимальный алгоритм решения для каждого примера. Главное не вызубрить систему правил и действий для каждого способа, а понять принципы применения того или иного метода

Решение примеров систем линейных уравнений 7 класса программы общеобразовательной школы довольно простое и объяснено очень подробно. В любом учебнике математике этому разделу отводится достаточно внимания. Решение примеров систем линейных уравнений методом Гаусса и Крамера более подробно изучают на первых курсах высших учебных заведений.

Решение систем методом подстановки

Действия метода подстановки направлены на выражение значения одной переменной через вторую. Выражение подставляется в оставшееся уравнение, затем его приводят к виду с одной переменной. Действие повторяется в зависимости от количества неизвестных в системе

Приведем решение примера системы линейных уравнений 7 класса методом подстановки:

Как видно из примера, переменная x была выражена через F(X) = 7 + Y. Полученное выражение, подставленное во 2-е уравнение системы на место X, помогло получить одну переменную Y во 2-е уравнении. Решение данного примера не вызывает трудностей и позволяет получить значение Y. Последний шаг это проверка полученных значений.

Решить пример системы линейных уравнений подстановкой не всегда возможно. Уравнения могут быть сложными и выражение переменной через вторую неизвестную окажется слишком громоздким для дальнейших вычислений. Когда неизвестных в системе больше 3-х решение подстановкой также нецелесообразно.

Решение примера системы линейных неоднородных уравнений:

Решение с помощью алгебраического сложения

При поиске решении систем методом сложения производят почленное сложение и умножение уравнений на различные числа. Конечной целью математических действий является уравнение с одной переменной.

Для применений данного метода необходима практика и наблюдательность. Решить систему линейных уравнений методом сложения при количестве переменных 3 и более непросто. Алгебраическое сложение удобно применять когда в уравнениях присутствуют дроби и десятичные числа.

Алгоритм действий решения:

Умножить обе части уравнения на некое число. В результате арифметического действия один из коэффициентов при переменной должен стать равным 1.
Почленно сложить полученное выражение и найти одно из неизвестных.
Подставить полученное значение во 2-е уравнение системы для поиска оставшейся переменной.

Способ решения введением новой переменной

Новую переменную можно вводить, если в системе требуется найти решение не более чем для двух уравнений, количество неизвестных тоже должно быть не больше двух.

Способ используется, чтобы упростить одно из уравнений, вводом новой переменной. Новое уравнение решается относительно введенной неизвестной, а полученное значение используется для определения первоначальной переменной.

Из примера видно, что введя новую переменную t удалось свести 1-е уравнение системы к стандартному квадратному трехчлену. Решить многочлен можно отыскав дискриминант.

Необходимо найти значение дискриминанта по известной формуле: D = b2 - 4*a*c, где D - искомый дискриминант, b, a, c - множители многочлена. В заданном примере a=1, b=16, c=39, следовательно, D=100. Если дискриминант больше нуля, то решений два: t = -b±√D / 2*a, если дискриминант меньше нуля, то решение одно: x= -b / 2*a.

Решение для полученных в итоге системы находят методом сложения.

Наглядный метод решения систем

Подходит для систем с 3-мя уравнениями. Метод заключается в построении на координатной оси графиков каждого уравнения, входящего в систему. Координаты точек пересечения кривых и будут общим решением системы.

Графический способ имеет ряд нюансов. Рассмотрим несколько примеров решения систем линейных уравнений наглядным способом.

Как видно из примера, для каждой прямой было построено две точки, значения переменной x были выбраны произвольно: 0 и 3. Исходя из значений x, найдены значения для y: 3 и 0. Точки с координатами (0, 3) и (3, 0) были отмечены на графике и соединены линией.

Действия необходимо повторить для второго уравнения. Точка пересечения прямых является решением системы.

В следующем примере требуется найти графическое решение системы линейных уравнений: 0,5x-y+2=0 и 0,5x-y-1=0.

Как видно из примера, система не имеет решения, потому что графики параллельны и не пересекаются на всем своем протяжении.

Системы из примеров 2 и 3 похожи, но при построении становится очевидно, что их решения разные. Следует помнить, что не всегда можно сказать имеет ли система решение или нет, всегда необходимо построить график.

Матрица и ее разновидности

Матрицы используются для краткой записи системы линейных уравнений. Матрицей называют таблицу специального вида, заполненную числами. n*m имеет n - строк и m - столбцов.

Матрица является квадратной, когда количество столбцов и строк равно между собой. Матрицей - вектором называется матрица из одного столбца с бесконечно возможным количеством строк. Матрица с единицами по одной из диагоналей и прочими нулевыми элементами называется единичной.

Обратная матрица - это такая матрица при умножении на которую исходная превращается в единичную, такая матрица существует только для исходной квадратной.

Правила преобразования системы уравнений в матрицу

Применительно к системам уравнений в качестве чисел матрицы записывают коэффициенты и свободные члены уравнений, одно уравнение - одна строка матрицы.

Строка матрицы называется ненулевой, если хотя бы один элемент строки не равен нулю. Поэтому если в каком-либо из уравнений количество переменных разнится, то необходимо на месте отсутствующей неизвестной вписать нуль.

Столбцы матрицы должны строго соответствовать переменным. Это означает что коэффициенты переменной x могут быть записаны только в один столбец, например первый, коэффициент неизвестной y - только во второй.

При умножении матрицы все элементы матрицы последовательно умножаются на число.

Варианты нахождения обратной матрицы

Формула нахождения обратной матрицы довольно проста: K -1 = 1 / |K|, где K -1 - обратная матрица, а |K| - определитель матрицы. |K| не должен быть равен нулю, тогда система имеет решение.

Определитель легко вычисляется для матрицы "два на два", необходимо лишь помножить друг на друга элементы по диагонали. Для варианта "три на три" существует формула |K|=a 1 b 2 c 3 + a 1 b 3 c 2 + a 3 b 1 c 2 + a 2 b 3 c 1 + a 2 b 1 c 3 + a 3 b 2 c 1 . Можно воспользоваться формулой, а можно запомнить что необходимо взять по одному элементу из каждой строки и каждого столбца так, чтобы в произведении не повторялись номера столбцов и строк элементов.

Решение примеров систем линейных уравнений матричным методом

Матричный способ поиска решения позволяет сократить громоздкие записи при решении систем с большим количеством переменных и уравнений.

В примере a nm - коэффициенты уравнений, матрица - вектор x n - переменные, а b n - свободные члены.

Решение систем методом Гаусса

В высшей математике способ Гаусса изучают совместно с методом Крамера, а процесс поиска решения систем так и называется метод решения Гаусса - Крамера. Данные способы используют при нахождении переменных систем с большим количеством линейных уравнений.

Метод Гаусса очень похож на решения с помощью подстановок и алгебраического сложения, но более систематичен. В школьном курсе решение способом Гаусса применяется для систем из 3 и 4 уравнений. Цель метода состоит в приведении системы к виду перевернутой трапеции. Путем алгебраических преобразований и подстановок находится значение одной переменной в одном из уравнении системы. Второе уравнение представляет собой выражение с 2-мя неизвестными, ну а 3 и 4 - соответственно с 3-мя и 4-мя переменными.

После приведения системы к описанному виду, дальнейшее решение сводится к последовательной подстановке известных переменных в уравнения системы.

В школьных учебниках для 7 класса пример решения методом Гаусса описан следующим образом:

Как видно из примера, на шаге (3) было получено два уравнения 3x 3 -2x 4 =11 и 3x 3 +2x 4 =7. Решение любого из уравнений позволит узнать одну из переменных x n .

Теорема 5, о которой упоминается в тексте, гласит что если одно из уравнений системы заменить равносильным, то полученная система будет также равносильна исходной.

Метод Гаусса труден для восприятия учеников средней школы, но является одним из наиболее интересных способов для развития смекалки детей, обучающихся по программе углубленного изучения в математических и физических классах.

Для простоты записи вычислений принято делать следующим образом:

Коэффициенты уравнений и свободные члены записываются в виде матрицы, где каждая строка матрицы соотносится с одним из уравнений системы. отделяет левую часть уравнения от правой. Римскими цифрами обозначаются номера уравнений в системе.

Сначала записывают матрицу, с которой предстоит работать, затем все действия проводимые с одной из строк. Полученную матрицу записывают после знака "стрелка" и продолжают выполнять необходимые алгебраические действия до достижения результата.

В итоге должна получиться матрица в которой по одной из диагоналей стоят 1, а все другие коэффициенты равны нулю, то есть матрицу приводят к единичному виду. Нельзя забывать производить вычисления с цифрами обеих частей уравнения.

Данный способ записи менее громоздкий и позволяет не отвлекаться на перечисление многочисленных неизвестных.

Свободное применение любого способа решения потребует внимательности и определенного опыта. Не все методы имеют прикладной характер. Какие-то способы поиска решений более предпочтительны в той иной области деятельности людей, а другие существуют в целях обучения.

Для системы составляем главный определитель

и вычисляем его.

Затем составляем дополнительные определители

и вычисляем их.

По правилу Крамера решение системы находят по формулам

;
;
,если

Вычислим:

По формулам Крамера находим:

Ответ: (1; 2; 3)

Вычислим:

Так как главный определитель
, а хотя бы один дополнительный не равен нулю (в нашем случае
), то решения у системы нет.

Вычислим:

Так как все определители равны нулю, то система имеет бесконечное множество решений, которое можно найти так

Решите самостоятельно системы:

а)
б)

Ответ: а) (1; 2; 5) б) ;;

Практическое занятие № 3 на тему:

Скалярное произведение двух векторов и его приложение

1. Если дан
и
, то скалярное произведение находим по формуле:

∙

2.Если, то скалярное произведение этих двух векторов находим по формуле

1. Даны два вектора
и

Их скалярное произведение находим так:

2. Даны два вектора:

={2;3;–4}
={1; –5; 6}

скалярное произведение находят так:

3.
,

3.1 Нахождение работы постоянной силы на прямолинейном участке пути

1) Под действием силы в 15Н тело переместилось по прямой на 2 метра. Угол между силой и направлением перемещения =60 0 . Вычислить работу силы по перемещению тела.

Дано:

Решение:

2) Дано:

Решение:

3) Из точки М(1; 2; 3) в точку N(5; 4; 6) переместилось тело под действием силы 60Н. Угол между направлением силы и вектором перемещения =45 0 . Вычислить работу, совершаемую этой силой.

Решение: находим вектор перемещения

Находим модуль вектора перемещения:

По формуле
находим работу:

3.2 Определение ортогональности двух векторов

Два вектора ортогональны, если
, то есть

так как

–не ортогональны

–ортогональны

3) Определить, при каком  векторы
и
взаимно-ортогональны.

Так как
, то
, значит

Решите самостоятельно:

а)

. Найти их скалярное произведение.

б) Вычислить, какую работу производит сила
, если точка ее приложения, двигаясь прямолинейно, переместилась из точки M (5; -6; 1) в точку N (1; -2; 3)

в) Определить, ортогональны ли вектора
и

Ответы: а) 1 б) 16 в) да

3.3.Нахождение угла между векторами

. Найти .

Находим

подставляем в формулу:

1). Даны вершины треугольника А(3; 2; –3), В(5; 1; –1), С(1; –2; 1). Найти угол при вершине А.

Подставим в формулу:

Решите самостоятельно:

Даны вершины треугольника А(3; 5; -2), В(5; 7; -1), С(4; 3; 0). Определить внутренний угол при вершине А.

Ответ: 90 о

Практическое занятие № 4 на тему:

ВЕКТОРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ДВУХ ВЕКТОРОВ И ЕГО ПРИЛОЖЕНИЕ.

Формула для нахождения векторного произведения двух векторов:

имеет вид

1) Найти модуль векторного произведения:

Составим определитель и вычислим его (по правилу Саррюса или по теореме о разложении определителя по элементам первой строки).

1-ый способ: по правилу Саррюса

2-й способ: разложим определитель по элементам первой строки.

2) Найти модуль векторного произведения:

4.1. ВЫЧИСЛЕНИЕ ПЛОЩАДИ ПАРАЛЛЕЛОГРАММА, ПОСТРОЕННОГО НА ДВУХ ВЕКТОРАХ.

1) Вычислить площадь параллелограмма, построенного на векторах

2). Найти векторное произведение и его модуль

4.2. ВЫЧИСЛЕНИЕ ПЛОЩАДИ ТРЕУГОЛЬНИКА

Пример: даны вершины треугольника А(1; 0; -1), В(1; 2; 0), С(3; -1; 1). Вычислить площадь треугольника.

Сначала найдем координаты двух векторов, выходящих из одной вершины.

Найдем их векторное произведение

4.3. ОПРЕДЕЛЕНИЕ КОЛЛИНЕАРНОСТИ ДВУХ ВЕКТОРОВ

Если вектора
и
коллинеарны, то

, т. е. координаты векторов должны быть пропорциональны.

а) Даны вектора::
,
.

Они коллинеарны потому, что
и

после сокращения каждой дроби получается соотношение

б) Даны вектора:

.

Они не коллинеарны, потому, что
или

Решите самостоятельно:

а) При каких значениях m и n вектора
коллинеарны?

Ответ:
;

б) Найти векторное произведение и его модуль
,
.

Ответ:
,
.

Практическое занятие № 5 на тему:

ПРЯМАЯ ЛИНИЯ НА ПЛОСКОСТИ

Задача № 1. Найти уравнение прямой, проходящей через точку А(-2; 3) параллельно прямой

1. Найдем угловой коэффициент прямой
.

- это уравнение прямой с угловым коэффициентом и начальной ординатой (
). Поэтому
.

2. Так как прямые MN и АС параллельны, то их угловые коэффициенты равны, т.е.
.

3. Для нахождения уравнения прямой АС воспользуемся уравнением прямой, проходящей через точку с данным угловым коэффициентом:

. В эту формулу вместо и подставим координаты точки А(-2; 3), вместо подставим – 3. В результате подстановки получим:

Ответ:

Задача №2. Найти уравнение прямой, проходящей через точку К(1; –2) параллельно прямой .

1. Найдем угловой коэффициент прямой .

Это общее уравнение прямой, которое в общем виде задается формулой . Сравнивая уравнения и находим, что А = 2, В = –3. Угловой коэффициент прямой, заданной уравнением , находится по формуле
. Подставив в эту формулу А = 2 и В = –3, получим угловой коэффициент прямой MN. Итак,
.

2. Так как прямые MN и КС параллельны, то их угловые коэффициенты равны:
.

3. Для нахождения уравнения прямой КС воспользуемся формулой уравнения прямой, проходящей через точку с данным угловым коэффициентом
. В эту формулу вместо и подставим координаты точки К(–2; 3), вместо

Задача № 3. Найти уравнение прямой, проходящей через точку К(–1; –3) перпендикулярно прямой .

1. – это общее уравнение прямой, которое в общем виде задается формулой .

и находим, что А = 3, В = 4.

Угловой коэффициент прямой, заданной уравнением , находится по формуле:
. Подставив в эту формулу А = 3 и В = 4, получим угловой коэффициент прямой MN:
.

2. Так как прямые MN и КD перпендикулярны, то их угловые коэффициенты обратно пропорциональны и противоположны по знаку:

3. Для нахождения уравнения прямой КD воспользуемся формулой уравнения прямой, проходящей через точку с данным угловым коэффициентом

. В эту формулу вместо и подставим координаты точки К(–1; –3), вместо подставим . В результате подстановки получим:

Решите самостоятельно:

1. Найти уравнение прямой, проходящей через точку К(–4; 1) параллельно прямой
.

Ответ:
.

2. Найти уравнение прямой, проходящей через точку К(5; –2) параллельно прямой
.

3. Найти уравнение прямой, проходящей через точку К(–2; –6) перпендикулярно прямой
.

4. Найти уравнение прямой, проходящей через точку К(7; –2) перпендикулярно прямой
.

Ответ:
.

5. Найти уравнение перпендикуляра, опущенного из точки К(–6; 7) на прямую
.

2.3.1. Определение .

Пусть даны линейные уравнения:

a 1 x + b 1 y + c 1 z = d 1 , (2.3.1)

a 2 x + b 2 y + c 2 z = d 2 , (2.3.2)

a 3 x + b 3 y + c 3 z = d 3 . (2.3.3)

Если требуется найти общее решение уравнений (2.3.1) ¾ (2.3.3), то говорят, что они образуют систему . Система, состоящая из уравнений (2.3.1) ¾ (2.3.3), обозначается следующим образом:

Общее решение уравнений, составляющих систему, называется решением системы . Решить систему (2.3.4) ¾ это значит либо найти множество всех его решений, либо доказать, что их нет.

Как и в предыдущих случаях, ниже мы найдем условия, при которых система (2.3.4) имеет единственное решение, имеет более одного решения и не имеет ни одного решения.

2.3.2. Определение . Пусть дана система (2.3.4) линейных уравнений. Матрицы

называются соответственно (основной ) матрицей и расширенной матрицей системы.

2.3.3. Определения равносильных систем вида (2.3.4), а также элементарных преобразований 1-го и 2-го типов вводятся аналогично, как и для систем из двух уравнений с двумя и тремя неизвестными.

Элементарным преобразованием 3-го типа системы (2.3.4) называется перемена местами некоторых двух уравнений этой системы. Аналогично предыдущим случаям систем из 2-х уравнений при элементарных преобразованиях системы получается система , равносильная данной .

2.3.4. Упражнение . Решить системы уравнений:

Решение. а)

(1) Поменяли местами первое и второе уравнения системы (преобразование 3-го типа).

(2) Первое уравнение, умноженное на 4, вычли из второго, и первое уравнение, умноженное на 6, вычли из третьего (преобразование 2-го типа); таким образом, из второго и третьего уравнений исключили неизвестную x .

(3) Второе уравнение, умноженное на 14, вычли из третьего; из третьего исключили неизвестную y .

(4) Из последнего уравнения находим z = 1, подставляя которое во второе, находим y = 0. Наконец, подставляя y = 0 и z = 1 в первое уравнение, находим x = -2.ñ

(1) Поменяли местами первое и второе уравнения системы.

(2) Первое уравнение, умноженное на 4, вычли из второго, и первое уравнение, умноженное на 6, вычли из третьего.

(3) Второе и третье уравнения совпали. Одно из них исключаем из системы (или, по-другому, если вычесть из третьего уравнения второе, то третье уравнение обратится в тождество 0 = 0;оно исключается из системы. Полагаем z = a .

(4) Подставляем z = a во второе и первое уравнения.

(5) Подставляя y = 12 - 12a в первое уравнение, находим x .

в) Если первое уравнение разделить на 4, а третье ¾ на 6, то придём к равносильной системе

которая равносильна уравнению x - 2y - z = -3. Решения этого уравнения известны (см. Пример 2.2.3 б))

Последнее равенство в полученной системе является противоречивым. Следовательно, система решений не имеет.

Преобразования (1) и (2) ¾ точно такие же, как и соответствующие преобразования системы б))

(3) Из последнего уравнения вычли второе.

Ответ: а) (-2; 0; 1);

б) (21 - 23a ; 12 - 12a ; a ), a ÎR ;

в) {(-3 + 2a + b ; a ; b )|a , b ÎR };

г) Система решений не имеет.

2.3.5. Из предыдущих примеров вытекает, что система с тремя неизвестными , как и система с двумя неизвестными, может иметь единственное решение , бесконечное множество решений и не иметь ни одного решения . Ниже мы разберём все возможные случаи. Но предварительно введём некоторые обозначения.

Через D обозначим определитель матрицы системы:

Через D 1 обозначим определитель, полученный из D заменой первого столбца на столбец свободных членов:

Аналогично, положим

D 2 = и D 3 = .

2.3.6. Теорема . Если D¹0, то система (2.3.4) имеет единственное решение

, , . (2.3.5)

Формулы (2.3.5) называются формулами = = 0 для всех i ¹j и хотя бы один из определителей , , не равен нулю , то система решений не имеет .

4) Если = = = = = = 0 для всех i ¹j , то система имеет бесконечное множество решений , зависящих от двух параметров .

Задача 1

Решить систему линейных уравнений двумя способами: по формулам Крамера и методом Гаусса

1) решим неоднородную систему линейных алгебраических уравнений Ах = В методом Крамера

Определитель системы D не равен нулю. Найдем вспомогательные определители D 1 , D 2 , D 3 , если они не равны нулю, то решений нет, если равны, то решений бесконечное множество

Система 3 линейных уравнений с 3 неизвестными, определитель которой отличен от нуля, всегда совместна и имеет единственное решение, вычисляемое по формулам:

Ответ: получили решение:

2) решим неоднородную систему линейных алгебраических уравнений Ах = В методом Гаусса

Составим расширенную матрицу системы

Примем первую строку за направляющую, а элемент а 11 = 1 – за направляющий. С помощью направляющей строки получим нули в первом столбце.

соответствует множество решений системы линейных уравнений

Ответ: получили решение:

Задача 2

Даны координаты вершин треугольника АВС

Найти:

1) длину стороны АВ;

4) уравнение медианы АЕ;

Построить заданный треугольник и все линии в системе координат.

А(1; -1), В(4; 3). С(5; 1).

1) Расстояние между точками А(х 1 ; у 1 ) и В(х 2 ; у 2 ) определяется по формуле

воспользовавшись которой находим длину стороны АВ;

2) уравнения сторон АВ и ВС и их угловые коэффициенты;

Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки плоскости А(х 1 ; у 1 ) и В(х 2 ; у 2 ) имеет вид

Подставляя в (2) координаты точек А и В, получаем уравнение стороны АВ:

Угловой коэффициент k АВ прямой АВ найдем, преобразовав полученное уравнение к виду уравнения прямой с угловым коэффициентом у = kx - b .

, то есть откуда

Аналогично получим уравнение прямой ВС и найдем ее угловой коэффициент.

Подставляя в (2) координаты точек В и С, получаем уравнение стороны ВС:

Угловой коэффициент k ВС прямой ВС найдем, преобразовав полученное уравнение к виду уравнения прямой с угловым коэффициентом у = kx - b .

, то есть

3) внутренний угол при вершине В в радианах с точностью до 0,01

Для нахождения внутреннего угла нашего треугольника воспользуемся формулой:

Отметим, что порядок вычисления разности угловых коэффициентов, стоящих в числителе этой дроби, зависит от взаимного расположения прямых АВ и ВС.

Подставив ранее вычисленные значения k ВС и k АВ в (3), находим:

Теперь, воспользовавшись таблицами инженерным микрокалькулятором, получаем В » 1,11 рад.

4) уравнение медианы АЕ;

Для составления уравнения медианы АЕ найдем сначала координаты точки Е, которая лежит на середине отрезка ВС

Подставив в уравнение (2) координаты точек А и Е, получаем уравнение медианы:

5) уравнение и длину высоты CD;

Для составления уравнения высоты CD воспользуемся уравнением прямой, проходящей через заданную точку М(х 0 ; у 0 )с заданным угловым коэффициентом k , которое имеет вид

и условием перпендикулярности прямых АВ и CD, которое выражается соотношением k AB k CD = -1, откуда k CD = -1/k AB = - 3/4

Подставив в (4) вместо k значение k С D = -3/4, а вместо x 0 , y 0 ответствующие координаты точки С, получим уравнение высоты CD

Для вычисления длины высоты СD воспользуемся формулой отыскания расстояния d от заданной точки М(х 0 ; у 0 ) до заданной прямой с уравнением Ax+ By + С = 0 , которая имеет вид:

Подставив в (5) вместо х 0 ; у 0 координаты точки С, а вместо А, В, С коэффициенты уравнения прямой АВ, получаем

6) уравнение прямой, проходящей через точку Е параллельно стороне АВ и точку М ее пересечения с высотой CD;

Так как искомая прямая EF параллельна прямой АВ, то k EF = k AB = 4/3. Подставив в уравнение (4) вместо х 0 ; у 0 координаты точки Е, а вместо k значение k EF получаем уравнение прямой EF".

Для отыскания координат точки М решаем совместно уравнения прямых EF и CD.

Таким образом, М(5,48; 0,64).

7) уравнение окружности с центром в точке Е, проходящей через вершину В

Поскольку окружность имеет центр в точке Е(4,5; 2) и проходит через вершину В(4; 3), то ее радиус

Каноническое уравнение окружности радиуса R с центром в точке М 0 (х 0 ; у 0 ) имеет вид

Треугольник АВС, высота СD, медиана AE, прямая EF , точка M и окружность построенная в системе координат x0у на рис.1.

Задача 3

Составить уравнение линии, для каждой точки которой ее расстояние до точки А (2; 5) равно расстоянию до прямой у = 1. Полученную кривую построить в системе координат