Решение уравнений 3 степени методом кардано. Степенные или показательные уравнения

Текст работы размещён без изображений и формул.
Полная версия работы доступна во вкладке "Файлы работы" в формате PDF

ВВЕДЕНИЕ

П.Л. Чебышев, величайшийрусский математик и механик, основоположник петербургской математической школы, уроженец Калужской губернии, писал в статье «О втором томе «Истории» Полевого» о людях, способных угадать и схватить суть явлений:

«Ум человеческий, по простонародному выражению, не пророк, а угадчик, он видит общий ход вещей и может выводить из оного глубокие предположения, часто оправданные временем…».

В 1838 году, участвуя в студенческом конкурсе, П.Л. Чебышев получил серебряную медаль за работу по нахождению корнейуравнения n-ной степени. Оригинальная работа была закончена уже в 1838 году и сделана на основеалгоритма Ньютона.

Гипотеза: решение неполного уравнения третьей степени, корни которого не являются целыми, решается с помощью формулы П.Л. Чебышева рациональным способом.

Цель исследования: решить неполное уравнение третьей степени с помощью нескольких способов и определить наиболее рациональный из них.

Задачи исследования:

Ознакомиться с определением производной первого и второго порядка;

Научиться строить графики функций-многочленов третьей степени;

Применить к решению неполногоуравнения третьей степени формулу П.Л. Чебышева;

Применить к решению неполногоуравнения третьей степени известные способы;

Применить алгоритм уточнения корней многочлена, если известны грубо приближенно два значения его корня;

Из полученных способов решения выбрать наиболее рациональный.

ОБЗОР ЛИТЕРАТУРЫ

Производная функции

Предел функции в заданной точке, предельной для области определения функции - такая величина, к которой стремится значение рассматриваемой функции при стремлении ее аргумента к данной точке.

Производная функции — понятие дифференциального исчисления, характеризующее скорость изменения функции в данной точке. Определяется как предел отношения приращения функции к приращению её аргумента при стремлении приращения аргумента к нулю, если такой предел существует. Функцию, имеющую конечную производную (в некоторой точке), называют дифференцируемой (в данной точке).

Определение производной функции через предел.

Пусть в некоторой окрестности точки {displaystyle x_{0}in mathbb {R} } определена функция {displaystyle fcolon U(x_{0})subset mathbb {R} to mathbb {R} .} .Производной функции {displaystyle f} f в точке {displaystyle x_{0}} называется предел, если он существует,

Производная от первой производной называется производной второго порядка или второй производной.

Формула П.Л. Чебышева

Способы решения алгебраических уравнений высших степеней

Уравнения третьей (и выше) степеней могут быть решены способами:

Графическим, который становится тем сложнее, чем степень многочлена выше, так как график построить иногда труднее, чем найти соответствующие корни;

Оперативным, часто приближенный, но дающий возможность находить корни с большой точностью. Графический способ при оперативном способе является подсобным.

Теорема 1. Если имеется целый корень многочлена с целыми коэффициентами, когда при старшем члене коэффициент единица, то он является делителем свободного члена.

Теорема 2. Всякий многочлен нечетной степени на множестве действительных чисел имеет по крайней мере один действительный корень.

Номограммы

Номограмма (греч.νομοσ — закон) — графическое представление функции от нескольких переменных, позволяющее с помощью простых геометрических операций (например, прикладывания линейки) исследовать функциональные зависимости без вычислений. Например, решать квадратное уравнение без применения формул. Номография (от греч. nómos — закон и...графия), раздел математики, объединяющий теорию и практические методы построения номограмм - специальных чертежей, являющихся изображениями функциональных зависимостей. Особенность номограмм заключается в том, что каждый чертеж изображает заданную область изменения переменных и каждое из значений переменных в этой области изображено на номограмме определенным геометрическим элементом (точкой или линией); изображения значения переменных, связанных функциональной зависимостью, находятся на номограмме в определенном соответствии, общем для номограмм одного и того же типа.

Номограммы для решения уравнений. Для решения уравнений х α + р 0 х ß + q 0 = 0 используют номограммы из выравненных точек. Получить такую номограмму можно так: Нарисуем две вертикальные параллельные прямые - ось р с началом отсчётаА и ось q с началом отсчёта В (Рис. 1); на этом рисунке отрезок АВ перпендикулярен осям p,q , но это вовсе необязательно).

Возьмём произвольные числа α, ß и положительное число а . На оси р возьмём точку С с координатой -а α-ß на оси р - точку D с координатой -а α . Пусть AD ∩BC =E . Проведём через Е произвольную прямую, не параллельную осям р , q . Обозначим координату пересечения М это прямой с осью р через р 0 , пересечения N с осью q - через q . Тогда а α + р 0 α ß + q 0 = 0 (1), т.е. число а является корнем уравнения х α + р 0 х ß + q 0 = 0 (2). Прямая MN может пересекаться с осями р , q одним из трёх способов: р 0 < 0, q 0 > 0 (рис.1); р 0 > 0, q 0 < 0 (рис. 2); р 0 < 0, q 0 < 0 (рис.3).

Рис. 2 Рис. 3

Докажем равенство (1) для случая, изображённого на рис. 1 (остальные два случая рассматриваются аналогично). Из подобия треугольников AEC и BED имеем

что и даёт (1). Зафиксируем произвольные α, ß и рассмотрим всевозможные уравнения х α + рх ß + q = 0 . Номограмма для отыскания положительных корней таких уравнений рисуется следующим образом: 1) параметру а придаются разные положительные значения и для каждого из них строится точкаЕ так, как рассказано выше; 2) полученные точки, помеченные соответствующими значениями параметра, соединяются плавной кривой Г (рис.4).

Теперь при помощи этой номограммы приближённо можно найти положительные корни конкретного уравнения х α + р 0 х ß + q 0 = 0, для этого надо на оси р взять точку M с координатой р 0 , на оси q - точку N с координатой q 0 и провести прямую MN . Каждая точка пересечения прямой MN с кривой Г даёт, в силу (1), положительный корень уравнения (2). Точки, соответствующие коэффициентам p, q уравнения, и точки, соответствующие искомым положительным корням уравнения х α + рх ß + q =0, лежат на одной прямой.

Алгоритм уточнения корней многочлена, если известны грубо приближенно два значения его корня

Теорема. Зная два приближенных значения и многочлена, можно получать улучшенные приближенные значения по рекуррентной формуле:

РЕШЕНИЕ НЕПОЛНОГО УРАВНЕНИЯ ТРЕТЬЕЙ СТЕПЕНИ

Пример решения уравнения третьей степени

Пусть дано уравнение

Решение 1.

Так как левая часть уравнения-многочлен третьей (нечетной) степени, то на множестве действительных чисел имеет по крайней мере один действительный корень, т.е. эти числа являются делителями свободного члена 1.

Имеем 1 3 -5 1+1=-3 и значит, целых корней нет.

Может быть, рациональный корень? Нет, так как многочлен с коэффициентом при старшем члене 1 не имеет и целых корней.

Значит, предположение неверное - корень иррациональный, найдем его приближенно, установив интервал, в котором он находится.

Составим таблицу 1, давая значения переменной х и вычисляя значения функции у :

Таблица 1

Уже найден интервал, имеем корень отрицательный, заключенный в границах:

Второй интервал, имеем корень положительный, заключенный в границах

Третий интервал, имеем положительный корень, заключенный в границах

Больше находить корни не следует, так как уравнение третьей степени не может иметь более трех корней.

Функция непрерывна на R и дифференцируема на R .

График функции пересекает ось Оу в точке.

Производная функции равна

Критические точки 1 рода:

Исследуем функцию на монотонность:

Применили формулу Бернулли для вычисления приближенного значения

Дадим графическое изображение функции, (Рис. 6) которое несколько уточняет значение иррациональных корней, давая рациональные приближения:

Решение 2.

Преобразуем исходное уравнение к виду:

Решим это уравнение графическим способом.

Введем две функции:

Построим графики данных указанных функций (Рис. 7):

Решение 3.

Применим формулу П.Л. Чебышева

Используем график функции (Рис. 6)

Видно, что один из корней уравнения расположен близко к

Найдём производные первого и второго порядка данной функции:

Произведем вычисления:

Применим формулу:

Остальные корни проще найти, используя свойства многочленов:

1). Если корень многочлена, то делится на.

2). При делении многочлена на получается остаток, равный значению этого многочлена при.

3). Схемой Горнера, где (Таблица 2):

Таблица 2

Получили остаток деления 0,008 .

Делитель приравниваем к нулю:

Ответ: -2,33; 0,2; 2,13.

Решение 4.

Решим данное уравнение при помощи этой номограммы (Рис. 8), выполнив соответствующие расчёты:

Построим отрезок. Он пересечет полученный график в точках с координатами.

Для получения третьего корня изменим знак х на -х , получаем

Найдем отрицательный корень уравнения, построив отрезок, он пересекает график функции в точке.

Ответ: -2,3; 0,25; 2,2.

Проверим полученные корни с помощью Интернет ресурсов: сайта

Решение уравнений бесплатно - Калькулятор Онлайн Обычные уравнения

Ответы продемонстрированы на Рис. 9 и Рис. 10:

Ответ: 0,2; 2,13; -2,33.

Уточним один из корней многочлена, полученные в Решении 4 с помощью алгоритма уточнения корней многочлена, если известны грубо приближенно два значения его корня.

Возьмём, .

Можно продолжить уточнение приближенного значения корня. Примем за приближенного значения корня число.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Проанализируем использованные способы решения уравнения (Таблица 3):

Способ решения	Недостатки	Преимущества
Построение графика функции и определение приближенного значения нулей функции с помощью таблицы зависимости х оту .	Времяемкий, встречается проблема оценивания значения иррационального числа. Погрешность в нахождении одного из трех корней.	Наглядный.Интересно оценивание корней с помощью свойства непрерывных функций (знакопостоянство и нули функции). Может быть применен к большинству алгебраических уравнений.
Графический способ решения уравнения	Неточный. Погрешность в нахождении одного из трех корней.	Наглядный, дает право выбора введения вспомогательных функций.
Применение формулы П.Л. Чебышева	Громоздкие вычисления, чтобы их избежать прибегли к теории многочленов для нахождения двух корней.
Применение номограммы	Времяемкий, требует точности в построении графика функции, в масштабе, аккуратности.	Корни найдены достаточно точно.

Таблица 3

Итак, наиболее рациональным оказался способ с применением формулы Чебышева.

Из анкетирования, проведенного в 11 классе, было выяснено, что формула Чебышева и номограммама - это понятия, незнакомые выпускникам, учащимся физико-математического профиля. Оценивание корней уравнения с помощью таблицы с применением свойстванепрерывности функции оказалось новым для 80% учащихся.

Таким образом, умение решать неполное алгебраическое уравнение, имеющего нерациональные корни, является актуальным и, как показала практика, проблематичным.

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ И ЛИТЕРАТУРЫ

Предел функции —Режим доступа: Википедия ru.wikipedia.org(дата обращения 20.07.2018)

Производная функции — Режим доступа:Википедияru.wikipedia.org(дата обращения 20.07.2018)

Урок-игра "Победитель простых чисел - П.Л. Чебышёв...- Режим доступа: открытыйурок.рф(дата обращения 21.07.2018)
Акири И., Гарит В. И др. Математика. Учебник для 11 класса - Кишинев.:PrutInternatijnal, 2004, 120-121 с.

И.Клумова «Номограммы из выравненных точек». Научно-популярный журнал «Квант», №9 1978г.

Решение уравнений бесплатно - Калькулятор Онлайн Обычные уравненияУпрощение выражений - Режим доступа: kontrolnaya-rabota.ru(дата обращения 19.07.2018)

Введение

1. Теоретическая часть

1.1 Основные понятия и определения

1.3 Формула Кардано

2. Решение задач

Заключение

Введение

Уравнения. Можно утверждать наверняка, что не найдется ни одного человека, который бы не был знаком с ними. Дети сызмала начинают решать «задачи с иксом». Дальше - больше. Правда, для многих знакомство с уравнениями и заканчивается школьными делами. Известный немецкий математик Курант писал: «На протяжении двух с лишним тысячелетий обладание некоторыми, не слишком поверхностными, знаниями в области математики входило необходимой составной частью в интеллектуальный инвентарь каждого образованного человека». И среди этих знаний было умение решать уравнения.

Уже в древности люди осознали, как важно научиться решать алгебраические уравнения вида

a0xn + a1xn - 1 + … + an = 0

ведь к ним сводятся очень многие и очень разнообразные вопросы практики и естествознания (конечно, здесь можно сразу предполагать, что а0 ¹ 0, так как иначе степень уравнения на самом деле не n, а меньше). Многим, разумеется, приходила в голову заманчивая мысль найти для любой степени n формулы, которые выражали бы корни уравнения через его коэффициенты, т.е., решали бы уравнение в радикалах. Однако «мрачное средневековье» оказалось как нельзя более мрачным и в отношении обсуждаемой задачи - в течение целых семи столетий требуемых формул никто не нашел! Только в XVI веке итальянским математикам удалось продвинуться дальше - найти формулы для n = 3 и 4. История их открытий и даже авторство найденных формул достаточно темны по сей день, и мы не будем здесь выяснять сложные отношения между Ферро, Кардано, Тартальей и Феррари, а изложим лучше математическую суть дела.

Цель работы - исследовать различные методы решения уравнений третьей степени.

Для достижения поставленной цели необходимо выполнить ряд задач:

-Анализ научной литературы;

-Анализ школьных учебников;

-Подбор примеров для решения;

-Решение уравнений различными методами.

Работа состоит из двух частей. В первой рассматриваются различные методы решения уравнений. Вторая часть посвящена решению уравнений различными способами.

1. Теоретическая часть

1 Основные понятия и определения

Кубическое уравнение - это уравнение третьей степени вида:

Число x, обращающее уравнение в тождество, называется корнем или решением уравнения. Оно является также корнем многочлена третьей степени, стоящего в левой части канонической записи.

Над полем комплексных чисел, согласно основной теореме алгебры, кубическое уравнение всегда имеет 3 корня (с учётом кратности).

Так как каждый вещественный многочлен нечётной степени имеет хотя бы один вещественный корень, все возможные случаи состава корней кубического уравнения исчерпывается тремя, описанными ниже. Эти случаи легко различаются с помощью дискриминанта

Итак, возможны только три случая:

Если? > 0, тогда уравнение имеет три различных вещественных корня.

Если? < 0, то уравнение имеет один вещественный и пару комплексно сопряжённых корней.

Если? = 0, тогда хотя бы два корня совпадают. Это может быть, когда уравнение имеет двойной вещественный корень и ещё один отличный от них вещественный корень; либо, все три корня совпадают, образуя корень кратности 3. Разделить эти два случая помогает результант кубического уравнения и его второй производной: у многочлена есть корень кратности 3 тогда и только тогда, когда указанный результант так же равен нулю.

Корни кубического уравнения связаны с коэффициентами следующим образом:

1.2 Методы решения кубических уравнений

Наиболее распространенный метод решения кубических уравнений - метод перебора.

Сначала путём перебора найдём один из корней уравнения. Дело в том, что кубические уравнения всегда имеют по крайней мере один действительный корень, причем целый корень кубического уравнения с целыми коэффициентами является делителем свободного члена d. Коэффициенты этих уравнений обычно подобраны так, что искомый корень лежит среди небольших целых чисел, таких как: 0, ± 1, ± 2, ± 3. Поэтому мы будем искать корень среди этих чисел и проверять его путём подстановки в уравнение. Вероятность успеха при таком подходе очень высока. Предположим, что этот корень.

Вторая стадия решения - это деление многочлена на двучлен x - x1. Согласно теореме Безу это деление без остатка возможно, и мы получим в результате многочлен второй степени, который надо приравнять к нулю. Решая полученное квадратное уравнение, мы найдём (или нет) оставшиеся два корня.

Решение двучленного кубического уравнения

Двучленное кубическое уравнение имеет вид (2)

Это уравнение приводится к виду делением на коэффициент A, отличный от нуля. Далее применяется формула сокращенного умножения сумма кубов:

Из первой скобки находим, а квадратный трехчлен имеет лишь комплексные корни.

Возвратные кубические уравнения

Возвратное кубическое уравнение имеет вид и B -коэффициенты.

Проведем группировку:

Очевидно, что x=-1 является корнем такого уравнения, а корни полученного квадратного трехчлена легко находятся через дискриминант.

1.3 Формула Кардано

В общем случае, корни кубического уравнения находятся по формуле Кардано.

Для кубического уравнения (1) находятся значения с помощью подстановки: x= (2), и уравнение приводится к виду:

неполное кубическое уравнение, в котором будет отсутствовать слагаемое содержащее вторую степень.

Считаем, что уравнение имеет коэффициентами комплексные числа. Данное уравнение, всегда будет иметь комплексные корни.

Обозначим один из таких корней: . Введем вспомогательную неизвестную u и рассмотрим многочлен f(u)=.

Обозначим корни этого многочлена через? и?, по теореме Виетта (см. стр. 8):

Подставим в уравнение (3), выражение (4), получаем:

C другой стороны из (5): (7)

Отсюда следует, т.е из формул (6), (7), что числа являются корнями уравнения:

Из последнего уравнения:

Два других корня, находятся по формуле:

1.4 Тригонометрическая формула Виета

Эта формула находит решения приведенного кубического уравнения, то есть уравнения вида

Очевидно, что любое кубическое уравнение можно привести к уравнению вида (4), просто поделив его на коэффициент a. Итак, алгоритм применения этой формулы:

Вычисляем

2. Вычисляем

3. а) Если, то вычисляем

И наше уравнение имеет 3 корня (вещественных):

б) Если, то заменим тригонометрические функции гиперболическими.

Вычисляем

Тогда единственный корень(вещественный):

Мнимые корни:

В) Если, то уравнение имеет меньше трех различных решений:

2. Решение задач

Пример 1. Найти действительные корни кубического уравнения

Применяем формулу сокращенного умножения разность кубов:

Из первой скобки находим, квадратный трехчлен во второй скобке не имеет действительных корней, так как дискриминант отрицателен.

Пример 2. Решить уравнение

Это уравнение возвратное. Проведем группировку:

является корнем уравнения. Находим корни квадратного трехчлена

Пример 3. Найти корни кубического уравнения

Преобразуем уравнение к приведенному: домножим на обе части и проведем замену переменной.

Свободный член равен 36. Запишем все его делители:

Подставляем их по очереди в равенство до получения тождества:

Таким образом, является корнем. Ему соответствует

Разделим на, используя схему Горнера.

Коэффициенты многочлена2-11129-0.52-11+2*(-0.5)=-1212-12*(-0.5)=189+18*(-0.5)=0

Получаем

Найдем корни квадратного трехчлена:

Очевидно, что, то есть его кратным корнем является.

Пример 4.Найти действительные корни уравнения

является корнем уравнения. Найдем корни квадратного трехчлена.

Так как дискриминант меньше нуля, то действительных корней трехчлен не имеет.

Пример 5. Найти корни кубического уравнения 2.

Следовательно,

Подставляем в формулу Кардано:

принимает три значения. Запишем их.

При имеем

Разобьем эти значения по парам, которые в произведении дают

Первая пара значений и

Вторая пара значений и

Третья пара значений и

Возвращаемся к формуле Кардано

Таким образом,

Заключение

кубический уравнение трехчлен

В результате выполнения курсовой работы были исследованы различные методы решения уравнений третьей степени, такие, как метод перебора, формула Карано, формула Виета, методы решения возвратных, двучленных уравнений.

Список использованных источников

1)Бронштейн И.Н., Семендяев К.А. «Справочник по математике для инженеров и учащихся ВТУЗов», М., 1986.

2)Колмогоров А.Н. Алгебра и начала анализа. Учебное пособие для 9-го класса средней школы, 1977.

)Омельченко В.П. Математика: учебное пособие / В.П. Омельченко, Э.В.Курбатова. - Ростов н/Д.: Феникс, 2005.- 380с.

Репетиторство

Нужна помощь по изучению какой-либы темы?

Наши специалисты проконсультируют или окажут репетиторские услуги по интересующей вас тематике.
Отправь заявку с указанием темы прямо сейчас, чтобы узнать о возможности получения консультации.

Получим ответ: \

Уравнение третьей степени онлайн

Рассмотрим два примера кубических уравнений, которые калькулятор уравнений умеет без проблем решать с подробным решением:

Пример простого кубического уравнения

Первый пример будет простым:

49*x^3 — x = 0

После того, как вы нажмёте "Решить уравнение!", то вы получите ответ с подробным объяснением:

Дано уравнение:

преобразуем

Вынесем общий множитель x за скобки

получаем ур-ние

Это уравнение вида

с помощью дискриминанта.

Корни квадратного уравнения:

(0)^2 — 4 * (49) * (-1) = 196

Т.к. D >

Получаем окончательный ответ для -x + 49*x^3 = 0:

Второй простой пример кубического уравнения будет таким:

8 = (1/2 + 3*x)^3

Получим подробное решение:

Дано уравнение:

преобразуем:

Вынесем общий множитель за скобки

/ 2\ -9*(-1 + 2*x)*\7 + 12*x + 12*x / ——————————— = 0 8

Кубическое уравнение

правая часть ур-ния равна нулю, то решение у ур-ния будет, если хотя бы один из множителей в левой части ур-ния равен нулю.

Получим ур-ния

решаем получившиеся ур-ния:

Переносим свободные слагаемые (без x)

из левой части в правую, получим:

Разделим обе части ур-ния на -9/4

Получим ответ: x1 = 1/2

Это уравнение вида

Квадратное уравнение можно решить

с помощью дискриминанта.

Корни квадратного уравнения:

___ \/ D — b x2 = ——— 2*a ___ -b — \/ D x3 = ———- 2*a

где D = b^2 — 4*a*c — это дискриминант.

(12)^2 — 4 * (12) * (7) = -192

Т.к. D < 0, то уравнение

не имеет вещественных корней,

но комплексные корни имеются.

x2 = (-b + sqrt(D)) / (2*a) x3 = (-b — sqrt(D)) / (2*a)

Тогда, окончательный ответ:

1 I*\/ 3 x2 = — — + ——- 2 3 ___ 1 I*\/ 3 x3 = — — — ——- 2 3

Пример сложного кубического уравнения

Третьим примером будет более сложный — возвратное кубическое уравнение онлайн.

5*x^3 -8*x^2 — 8*x + 5 = 0

Чтобы решить такое возвратное кубическое уравнение, то введите данное уравнение в калькулятор:

Дано уравнение:

2 3 5 — 8*x — 8*x + 5*x = 0

преобразуем

3 2 5*x + 5 — 8*x + 8 — 8*x — 8 = 0

3 3 2 2 5*x — 5*(-1) — 8*x — -8*(-1) — 8*x — 8 = 0 / 3 3\ / 2 2\ 5*\x — (-1) / — 8*\x — (-1) / — 8*(x + 1) = 0 / 2 2\ 5*(x + 1)*\x — x + (-1) / + -8*(x + 1)*(x — 1) — 8*(x + 1) = 0

Вынесем общий множитель 1 + x за скобки

/ / 2 2\ \ (x + 1)*\5*\x — x + (-1) / — 8*(x — 1) — 8/ = 0

/ 2\ (1 + x)*\5 — 13*x + 5*x / = 0

получаем ур-ние

Это уравнение вида

Квадратное уравнение можно решить

с помощью дискриминанта.

Корни квадратного уравнения:

___ \/ D — b x2 = ——— 2*a ___ -b — \/ D x3 = ———- 2*a

где D = b^2 — 4*a*c — это дискриминант.

(-13)^2 — 4 * (5) * (5) = 69

Т.к. D > 0, то уравнение имеет два корня.

x2 = (-b + sqrt(D)) / (2*a) x3 = (-b — sqrt(D)) / (2*a)

Получаем окончательный ответ для 5 — 8*x — 8*x^2 + 5*x^3 = 0:

13 \/ 69 x2 = — + —— 10 10 ____ 13 \/ 69 x3 = — — —— 10 10

Тэги: уравнение

Применение уравнений широко распространено в нашей жизни. Они используются во многих расчетах, строительстве сооружений и даже спорте. Уравнения человек использовал еще в древности и с тех пор их применение только возрастает. Кубическое уравнение представляет собой уравнение третьего порядка и имеет следующий вид:

\ где \ Число \ именуется корнем кубического уравнения, если при его подстановке уравнение обращается в верное равенство.

Так же читайте нашу статью "Решить уравнение онлайн 9 класс решателем"

Данного рода уравнения всегда имеет 3 корня. Корни могут получиться как вещественными, так и комплексными. Если исходные данные позволяют подобрать один из корней кубического уравнения \ то можно кубический многочлен разделить на \ и решать получившееся квадратное уравнение.

Допустим, дано уравнение вида:

Для решения выполним группировку:

Проанализировав уравнение, видно, что \ — корень уравнения

Найдем корни полученного квадратного трехчлена \

Получим ответ: \

Где можно решить уравнение 3 степени онлайн решателем?

Как решать уравнение третьей степени

Так же вы можете посмотреть видео инструкцию и узнать, как решить уравнение на нашем сайте. А если у вас остались вопросы, то вы можете задать их в нашей групе Вконтакте: pocketteacher. Вступайте в нашу группу, мы всегда рады помочь вам.

Как решать уравнения 3 степени

Применение уравнений широко распространено в нашей жизни.

Как решать уравнения 3 степени

Они используются во многих расчетах, строительстве сооружений и даже спорте. Уравнения человек использовал еще в древности и с тех пор их применение только возрастает. Кубическое уравнение представляет собой уравнение третьего порядка и имеет следующий вид:

Так же читайте нашу статью "Решить уравнение онлайн 9 класс решателем"

Допустим, дано уравнение вида:

Для решения выполним группировку:

Проанализировав уравнение, видно, что \ — корень уравнения

Найдем корни полученного квадратного трехчлена \

Получим ответ: \

Где можно решить уравнение 3 степени онлайн решателем?

Решить уравнение вы можете на нашем сайте pocketteacher.ru. Бесплатный онлайн решатель позволит решить уравнение онлайн любой сложности за считанные секунды. Все, что вам необходимо сделать — это просто ввести свои данные в решателе. Так же вы можете посмотреть видео инструкцию и узнать, как решить уравнение на нашем сайте. А если у вас остались вопросы, то вы можете задать их в нашей групе Вконтакте: pocketteacher. Вступайте в нашу группу, мы всегда рады помочь вам.

Формулы сокращенного умножения

Формулы сокращенного умножения.

— Изучение формул сокращенного умножения: квадрата суммы и квадрата разности двух выражений; разности квадратов двух выражений; куба суммы и куба разности двух выражений; суммы и разности кубов двух выражений.

— Применение формул сокращенного умножения при решении примеров.

Для упрощения выражений, разложения многочленов на множители, приведения многочленов к стандартному виду используются формулы сокращенного умножения. Формулы сокращенного умножения нужно знать наизусть .

Пусть а, b R. Тогда:

1. Квадрат суммы двух выражений равен квадрату первого выражения плюс удвоенное произведение первого выражения на второе плюс квадрат второго выражения.

(a + b)2 = a2 + 2ab + b2

2. Квадрат разности двух выражений равен квадрату первого выражения минус удвоенное произведение первого выражения на второе плюс квадрат второго выражения.

(a — b)2 = a2 — 2ab + b2

5. Уравнения третьей и четвёртой степени

Разность квадратов двух выражений равна произведению разности этих выражений и их суммы.

a2 — b2 = (a -b) (a+b)

4. Куб суммы двух выражений равен кубу первого выражения плюс утроенное произведение квадрата первого выражения на второе плюс утроенное произведение первого выражения на квадрат второго плюс куб второго выражения.

(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3

5. Куб разности двух выражений равен кубу первого выражения минус утроенное произведение квадрата первого выражения на второе плюс утроенное произведение первого выражения на квадрат второго минус куб второго выражения.

(a — b)3 = a3 — 3a2b + 3ab2 — b3

6. Сумма кубов двух выражений равна произведению суммы первого и второго выражения на неполный квадрат разности этих выражений.

a3 + b3 = (a + b) (a2 — ab + b2)

7. Разность кубов двух выражений равна произведению разности первого и второго выражения на неполный квадрат суммы этих выражений.

Применение формул сокращенного умножения при решении примеров.

Пример 1.

Вычислить

а) Используя формулу квадрата суммы двух выражений, имеем

(40+1)2 = 402 + 2 · 40 · 1 + 12 = 1600 + 80 + 1 = 1681

б) Используя формулу квадрата разности двух выражений, получим

982 = (100 – 2)2 = 1002 — 2 · 100 · 2 + 22 = 10000 – 400 + 4 = 9604

Пример 2.

Вычислить

Используя формулу разности квадратов двух выражений, получим

Пример 3.

Упростить выражение

(х — у)2 + (х + у)2

Воспользуемся формулами квадрата суммы и квадрата разности двух выражений

(х — у)2 + (х + у)2 = х2 — 2ху + у2 + х2 + 2ху + у2 = 2х2 + 2у2

Формулы сокращенного умножения в одной таблице:

(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
(a — b)2 = a2 — 2ab + b2
a2 — b2 = (a — b) (a+b)
(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3
(a — b)3 = a3 — 3a2b + 3ab2 — b3
a3 + b3 = (a + b) (a2 — ab + b2)
a3 — b3 = (a — b) (a2 + ab + b2)

Алгебраическое уравнение четвёртой степени.

1. Приведение уравнения к каноническому виду.

Сделаем замену переменного по формуле:

Получим уравнение:

Раскроем скобки:

Получим уравнение:

Уравнение приведено к каноническому виду:

2. «Решение уравнений высших степеней». 9-й класс

Решение уравнения

Способ №1.
Решение при помощи разложения на два квадратных уравнения

Рассмотрим случай, когда q не равно нулю.

Верно тождество:

Получили уравнение:

Выберем параметр z так, чтобы правая часть этого уравнения была полным квадратом относительно y . Для этого необходимо и достаточно, чтобы дискриминант из коэффициентов трехчлена относительно y , стоящего справа, обращался в нуль:z к плюс бесконечности значение многочлена в левой части уравнения также стремится к плюс бесконечности, то есть становится положительным при некотором положительном z=M , и так как непрерывная на отрезке функция принимает на интервале (0; M) любое промежуточное, в том числе и нулевое, значение, то существует положительный корень этого кубического уравнения. Таким положительным корнем является либо первый корень в программе решения кубического уравнения, где под знаком косинуса стоит аргумент F/3 , так как Cos(F/3)0 при 0F3/2*Pi , если кубическое уравнение имеет три различных действительных корня, либо единственный действительный корень этого кубического уравнения.

Если какой-то из действительных корней кубического уравнения принимает нулевое значение, то решается биквадратное уравнение

Способ №2.
Решение Декарта-Эйлера.

После приведения алгебраического уравнения четвёртой степени к каноническому виду программа находит три корня кубического уравнения

Если это кубическое уравнение имеет три действительных положительных корня, то уравнение четвёртой степени имеет четыре действительных корня.

Если это кубическое уравнение имеет три действительных корня, один положительный и два отрицательных, то уравнение четвёртой степени имеет две пары комплексно-сопряжённых корней.

Если это кубическое уравнение имеет один положительный действительный корень и два комплексно сопряжённые корня, то уравнение четвёртой степени имеет два действительных и два комплексно-сопряжённых корня. Программа на javascript «Решение уравнения четвёртой степени Ax4+Bx3+Cx2+Dx+E=0»Программа «Решение уравнения четвёртой степени Ax4+Bx3+Cx2+Dx+E=0».Код программы «Решение уравнения четвёртой степени Ax4+Bx3+Cx2+Dx+E=0»Вывод корней кубического уравнения.На главную страницу.

Данного рода уравнения всегда имеет 3 корня. Корни могут получиться как вещественными, так и комплексными. Если исходные данные позволяют подобрать один из корней кубического уравнения \ то можно кубический многочлен разделить на \[(x - x1)\] и решать получившееся квадратное уравнение.

Допустим, дано уравнение вида:

Для решения выполним группировку:

Проанализировав уравнение, видно, что \ - корень уравнения

Найдем корни полученного квадратного трехчлена \

Получим ответ: \

Где можно решить уравнение 3 степени онлайн решателем?

Решить уравнение вы можете на нашем сайте https://сайт. Бесплатный онлайн решатель позволит решить уравнение онлайн любой сложности за считанные секунды. Все, что вам необходимо сделать - это просто ввести свои данные в решателе. Так же вы можете посмотреть видео инструкцию и узнать, как решить уравнение на нашем сайте. А если у вас остались вопросы, то вы можете задать их в нашей групе Вконтакте http://vk.com/pocketteacher. Вступайте в нашу группу, мы всегда рады помочь вам.

В кубическом уравнении наивысшим показателем степени является 3, у такого уравнения 3 корня (решения) и оно имеет вид . Некоторые кубические уравнения не так просто решить, но если применить правильный метод (при хорошей теоретической подготовке), можно найти корни даже самого сложного кубического уравнения - для этого воспользуйтесь формулой для решения квадратного уравнения, найдите целые корни или вычислите дискриминант.

Шаги

Как решить кубическое уравнение без свободного члена

Выясните, есть ли в кубическом уравнении свободный член d {\displaystyle d} . Кубическое уравнение имеет вид a x 3 + b x 2 + c x + d = 0 {\displaystyle ax^{3}+bx^{2}+cx+d=0} . Чтобы уравнение считалось кубическим, достаточно, чтобы в нем присутствовал только член x 3 {\displaystyle x^{3}} (то есть других членов может вообще не быть).

Вынесите за скобки x {\displaystyle x} . Так как в уравнении нет свободного члена, каждый член уравнения включает переменную x {\displaystyle x} . Это означает, что один x {\displaystyle x} можно вынести за скобки, чтобы упростить уравнение. Таким образом, уравнение запишется так: x (a x 2 + b x + c) {\displaystyle x(ax^{2}+bx+c)} .

Разложите на множители (на произведение двух биномов) квадратное уравнение (если возможно). Многие квадратные уравнения вида a x 2 + b x + c = 0 {\displaystyle ax^{2}+bx+c=0} можно разложить на множители . Такое уравнение получится, если вынести x {\displaystyle x} за скобки. В нашем примере:

Решите квадратное уравнение с помощью специальной формулы. Сделайте это, если квадратное уравнение нельзя разложить на множители. Чтобы найти два корня уравнения, значения коэффициентов a {\displaystyle a} , b {\displaystyle b} , c {\displaystyle c} подставьте в формулу .

В нашем примере подставьте значения коэффициентов a {\displaystyle a} , b {\displaystyle b} , c {\displaystyle c} ( 3 {\displaystyle 3} , − 2 {\displaystyle -2} , 14 {\displaystyle 14} ) в формулу: − b ± b 2 − 4 a c 2 a {\displaystyle {\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}} − (− 2) ± ((− 2) 2 − 4 (3) (14) 2 (3) {\displaystyle {\frac {-(-2)\pm {\sqrt {((-2)^{2}-4(3)(14)}}}{2(3)}}} 2 ± 4 − (12) (14) 6 {\displaystyle {\frac {2\pm {\sqrt {4-(12)(14)}}}{6}}} 2 ± (4 − 168 6 {\displaystyle {\frac {2\pm {\sqrt {(4-168}}}{6}}} 2 ± − 164 6 {\displaystyle {\frac {2\pm {\sqrt {-164}}}{6}}}
Первый корень: 2 + − 164 6 {\displaystyle {\frac {2+{\sqrt {-164}}}{6}}} 2 + 12 , 8 i 6 {\displaystyle {\frac {2+12,8i}{6}}}
Второй корень: 2 − 12 , 8 i 6 {\displaystyle {\frac {2-12,8i}{6}}}

Используйте ноль и корни квадратного уравнения в качестве решений кубического уравнения. У квадратных уравнений два корня, а у кубических - три. Два решения вы уже нашли - это корни квадратного уравнения. Если же вы вынесли «х» за скобки, третьим решением будет .

Как найти целые корни с помощью множителей
1. Удостоверьтесь, что в кубическом уравнении есть свободный член d {\displaystyle d} . Если в уравнении вида a x 3 + b x 2 + c x + d = 0 {\displaystyle ax^{3}+bx^{2}+cx+d=0} есть свободный член d {\displaystyle d} (который не равен нулю), вынести «х» за скобки не получится. В данном случае воспользуйтесь методом, изложенным в этом разделе.
  
  Выпишите множители коэффициента a {\displaystyle a} и свободного члена d {\displaystyle d} . То есть найдите множители числа при x 3 {\displaystyle x^{3}} и числа перед знаком равенства. Напомним, что множителями числа являются числа, при перемножении которых получается это число.
  
  Разделите каждый множитель a {\displaystyle a} на каждый множитель d {\displaystyle d} . В итоге получится множество дробей и несколько целых чисел; корнями кубического уравнения будет одно из целых чисел или отрицательное значение одного из целых чисел.
  - В нашем примере разделите множители a {\displaystyle a} (1 и 2 ) на множители d {\displaystyle d} (1 , 2 , 3 и 6 ). Вы получите: 1 {\displaystyle 1} , , , , 2 {\displaystyle 2} и . Теперь в этот список добавьте отрицательные значения полученных дробей и чисел: 1 {\displaystyle 1} , − 1 {\displaystyle -1} , 1 2 {\displaystyle {\frac {1}{2}}} , − 1 2 {\displaystyle -{\frac {1}{2}}} , 1 3 {\displaystyle {\frac {1}{3}}} , − 1 3 {\displaystyle -{\frac {1}{3}}} , 1 6 {\displaystyle {\frac {1}{6}}} , − 1 6 {\displaystyle -{\frac {1}{6}}} , 2 {\displaystyle 2} , − 2 {\displaystyle -2} , 2 3 {\displaystyle {\frac {2}{3}}} и − 2 3 {\displaystyle -{\frac {2}{3}}} . Целыми корнями кубического уравнения являются какие-то числа из этого списка.
2. Подставьте целые числа в кубическое уравнение. Если при этом равенство соблюдается, подставленное число является корнем уравнения. Например, подставьте в уравнение 1 {\displaystyle 1} :
  
  Воспользуйтесь методом деления многочленов по схеме Горнера , чтобы быстрее найти корни уравнения. Сделайте это, если не хотите вручную подставлять числа в уравнение. В схеме Горнера целые числа делятся на значения коэффициентов уравнения a {\displaystyle a} , b {\displaystyle b} , c {\displaystyle c} и d {\displaystyle d} . Если числа делятся нацело (то есть остаток равен ), целое число является корнем уравнения.