Бернулли теорема

одна из важнейших теорем теории вероятностей; является простейшим случаем т. н. закона больших чисел (см. Больших чисел закон). Б. т. была впервые опубликована в труде Я. Бернулли «Искусство предположений», изданном в 1713. Первые доказательства Б. т. требовали сложных математических средств, лишь в середине 19 в. П. Л. Чебышев нашёл необычайно изящное и краткое её доказательство. Точная формулировка Б. т. такова: если при каждом из n независимых испытаний вероятность некоторого события равна р, то вероятность того, что частота m/n появления события удовлетворяет неравенству |m/n - p| n испытаний. Из доказательства Чебышева вытекает простая количественная оценка этой вероятности:

В. И. Битюцков.

Большая советская энциклопедия. - М.: Советская энциклопедия . 1969-1978 .

Смотреть что такое "Бернулли теорема" в других словарях:

Большой Энциклопедический словарь

Одна из предельных теорем теории вероятностей; простейший случай закона больших чисел, относится к распределению отклонений частоты появления некоторого случайного события от его вероятности при независимых испытаниях. Установлена Я. Бернулли… … Энциклопедический словарь

Исторически первая форма больших чисел закона. Б. т. приведена в четвертой части книги Я. Бернулли (J. Bernoulli) Ars conjeсtandi (Искусство предположений). Эту часть можно считать первым серьезным трудом по теории вероятностей. Книга издана в… … Математическая энциклопедия

Одна из предельных теорем теории вероятностей; простейший случай закона больших чисел, относится к распределению отклонений частоты появления нек рого случайного события от его вероятности при независимых испытаниях. Установлена Я. Бернулли… … Естествознание. Энциклопедический словарь

- (Bernoulli) семья швейцарских учёных, родоначальник которой Якоб Б. (умер 1583) был выходцем из Голландии. Якоб Б. (27.12.1654, Базель, 16.8.1705, там же), профессор математики Базельского университета (1687). Ознакомившись в… …

Независимые испытания с двумя исходами каждое (успехом и неудачей) и такие, что вероятности исходов не изменяются от испытания к испытанию. Б. и. служат одной из основных схем, рассматриваемых в теории вероятностей. Пусть р вероятность успеха и … Математическая энциклопедия

- (названа по имени Я. Бернулли одна из основных математических моделей для описания независимых повторений опытов, используемых в вероятностей теории (См. Вероятностей теория). Б. с. предполагает, что имеется некоторый опыт S и связанное с … Большая советская энциклопедия

теорема Бернулли - — [А.С.Гольдберг. Англо русский энергетический словарь. 2006 г.] Тематики энергетика в целом EN Bernoulli theorem … Справочник технического переводчика

Многочлены вида где Bs Бернулли числа. Так, для n=0, 1, 2, 3 Б. м. можно вычислять по рекуррентной формуле Для натурального Б. м. впервые рассматривались Я. Бернулли (J. Bernoulli, 1713) в связи с вычислением суммы При произвольном хБ. м. впервые … Математическая энциклопедия

Теорема Жуковского теорема о подъёмной силе тела, обтекаемого плоскопараллельным потоком идеальной жидкости или газа. Сформулирована Н. Е. Жуковским в 1904 году. Формулировка теоремы: Подъёмная сила крыла бесконечного размаха… … Википедия

Книги

• , Р. Н. Бончковский. Сборник Математическое Просвещение выпуск 6 составлен по образцу предыдущих выпусков и имеет отделы: элементарная математика, высшая математика, методика, задачии решения задач. В конце…
• Математическое просвещение. Выпуск 6 , Бончковского Р. Н.. Эта книга будет изготовлена в соответствии с Вашим заказом по технологии Print-on-Demand. Сборник «Математическое Просвещение» выпуск 6 составлен по образцу предыдущих выпусков и имеет…

Не будем долго размышлять о высоком — начнем сразу с определения.

Схема Бернулли — это когда производится n однотипных независимых опытов, в каждом из которых может появиться интересующее нас событие A , причем известна вероятность этого события P (A ) = p. Требуется определить вероятность того, что при проведении n испытаний событие A появится ровно k раз.

Задачи, которые решаются по схеме Бернулли, чрезвычайно разнообразны: от простеньких (типа «найдите вероятность, что стрелок попадет 1 раз из 10») до весьма суровых (например, задачи на проценты или игральные карты). В реальности эта схема часто применяется для решения задач, связанных с контролем качества продукции и надежности различных механизмов, все характеристики которых должны быть известны до начала работы.

Вернемся к определению. Поскольку речь идет о независимых испытаниях, и в каждом опыте вероятность события A одинакова, возможны лишь два исхода:

1. A — появление события A с вероятностью p;
2. «не А» — событие А не появилось, что происходит с вероятностью q = 1 − p.

Важнейшее условие, без которого схема Бернулли теряет смысл — это постоянство. Сколько бы опытов мы ни проводили, нас интересует одно и то же событие A , которое возникает с одной и той же вероятностью p.

Между прочим, далеко не все задачи в теории вероятностей сводятся к постоянным условиям. Об этом вам расскажет любой грамотный репетитор по высшей математике. Даже такое нехитрое дело, как вынимание разноцветных шаров из ящика, не является опытом с постоянными условиями. Вынули очередной шар — соотношение цветов в ящике изменилось. Следовательно, изменились и вероятности.

Если же условия постоянны, можно точно определить вероятность того, что событие A произойдет ровно k раз из n возможных. Сформулируем этот факт в виде теоремы:

Теорема Бернулли. Пусть вероятность появления события A в каждом опыте постоянна и равна р. Тогда вероятность того, что в n независимых испытаниях событие A появится ровно k раз, рассчитывается по формуле:

где C n k — число сочетаний, q = 1 − p.

Эта формула так и называется: формула Бернулли. Интересно заметить, что задачи, приведенные ниже, вполне решаются без использования этой формулы. Например, можно применить формулы сложения вероятностей. Однако объем вычислений будет просто нереальным.

Задача. Вероятность выпуска бракованного изделия на станке равна 0,2. Определить вероятность того, что в партии из десяти выпущенных на данном станке деталей ровно k будут без брака. Решить задачу для k = 0, 1, 10.

По условию, нас интересует событие A выпуска изделий без брака, которое случается каждый раз с вероятностью p = 1 − 0,2 = 0,8. Нужно определить вероятность того, что это событие произойдет k раз. Событию A противопоставляется событие «не A », т.е. выпуск бракованного изделия.

Таким образом, имеем: n = 10; p = 0,8; q = 0,2.

Итак, находим вероятность того, что в партии все детали бракованные (k = 0), что только одна деталь без брака (k = 1), и что бракованных деталей нет вообще (k = 10):

Задача. Монету бросают 6 раз. Выпадение герба и решки равновероятно. Найти вероятность того, что:

1. герб выпадет три раза;
2. герб выпадет один раз;
3. герб выпадет не менее двух раз.

Итак, нас интересует событие A , когда выпадает герб. Вероятность этого события равна p = 0,5. Событию A противопоставляется событие «не A », когда выпадает решка, что случается с вероятностью q = 1 − 0,5 = 0,5. Нужно определить вероятность того, что герб выпадет k раз.

Таким образом, имеем: n = 6; p = 0,5; q = 0,5.

Определим вероятность того, что герб выпал три раза, т.е. k = 3:

Теперь определим вероятность того, что герб выпал только один раз, т.е. k = 1:

Осталось определить, с какой вероятностью герб выпадет не менее двух раз. Основная загвоздка — во фразе «не менее». Получается, что нас устроит любое k , кроме 0 и 1, т.е. надо найти значение суммы X = P 6 (2) + P 6 (3) + ... + P 6 (6).

Заметим, что эта сумма также равна (1 − P 6 (0) − P 6 (1)), т.е. достаточно из всех возможных вариантов «вырезать» те, когда герб выпал 1 раз (k = 1) или не выпал вообще (k = 0). Поскольку P 6 (1) нам уже известно, осталось найти P 6 (0):

Задача. Вероятность того, что телевизор имеет скрытые дефекты, равна 0,2. На склад поступило 20 телевизоров. Какое событие вероятнее: что в этой партии имеется два телевизора со скрытыми дефектами или три?

Интересующее событие A — наличие скрытого дефекта. Всего телевизоров n = 20, вероятность скрытого дефекта p = 0,2. Соответственно, вероятность получить телевизор без скрытого дефекта равна q = 1 − 0,2 = 0,8.

Получаем стартовые условия для схемы Бернулли: n = 20; p = 0,2; q = 0,8.

Найдем вероятность получить два «дефектных» телевизора (k = 2) и три (k = 3):

\[\begin{array}{l}{P_{20}}\left(2 \right) = C_{20}^2{p^2}{q^{18}} = \frac{{20!}}{{2!18!}} \cdot {0,2^2} \cdot {0,8^{18}} \approx 0,137\\{P_{20}}\left(3 \right) = C_{20}^3{p^3}{q^{17}} = \frac{{20!}}{{3!17!}} \cdot {0,2^3} \cdot {0,8^{17}} \approx 0,41\end{array}\]

Очевидно, P 20 (3) > P 20 (2), т.е. вероятность получить три телевизора со скрытыми дефектами больше вероятности получить только два таких телевизора. Причем, разница неслабая.

Небольшое замечание по поводу факториалов. Многие испытывают смутное ощущение дискомфорта, когда видят запись «0!» (читается «ноль факториал»). Так вот, 0! = 1 по определению.

P . S . А самая большая вероятность в последней задаче — это получить четыре телевизора со скрытыми дефектами. Подсчитайте сами — и убедитесь.

Предположим, что проводится n независимых испытаний. В каждом из этих испытаний вероятность наступления события А постоянна и равна р . Задача состоит в определении относительной частоты появлений события А . Данная задача решается с помощью теоремы Бернулли.

Теорема Бернулли. Если в каждом из n независимых испытаний событие A имеет постоянную вероятность p , то, как угодно близка к единице вероятность того, что отклонение относительной частоты m/n от вероятности p по абсолютной величине будет сколь угодно малым, если число испытаний достаточно велико, т. е. при соблюдении условий теоремы справедливо равенство:

Доказательство . Предположим, что

является дискретной случайной величиной, которая характеризует число появлений события А в каждом из испытаний. Данная величина может принимать только два значения: 1 (событие А наступило) с вероятностью р и 0 (событие А не наступило) с вероятностью q=1-p .

Случайные дискретные величины Хi являются попарно независимыми и дисперсии их ограниченны, следовательно, к данным величинам применима теорема Чебышева:

Математическое ожидание а каждой из величин Хi равно вероятности р наступления события, следовательно, справедливо следующее равенство:

Таким образом, необходимо доказать, что дробь

равна относительной частоте m/n появлений события А в n испытаниях.

Каждая из величин

при наступлении события А в соответствующем испытании принимает значение, равное единице. Следовательно, сумма

равна числу m появлений события А в n испытаниях:

С учётом данного равенства можно окончательно записать:

что и требовалось доказать.

Однако при использовании теоремы Бернулли необходимо учитывать то, что из неё не следует равенство

Главным утверждением теоремы является то, что при достаточно большом количестве испытаний относительная частота m/n будет сколь угодно мало отличаться от постоянной вероятности р наступления события в каждом испытании. Другими словами, теорема Бернулли утверждает, что при n› относительная частота стремится по вероятности к р . Поэтому теорема Бернулли может быть записана следующим образом:

При проведении статистических исследований, в ходе которых осуществляется сбор данных об исследуемом объекте или процессе, часто сталкиваются с проблемой ошибочности наблюдений. В основе ошибочности наблюдений может лежать как несовершенство методов и инструментов, используемых при проведении статистического исследования, так и заранее непредусмотренные факторы. В связи с этим возникла задача исключения подобных ошибок наблюдения.

Ошибки наблюдения делятся на систематические ошибки и случайные ошибки.

Систематическими ошибками наблюдения называются такие ошибки, которые вызваны несовершенством методов и инструментов, применяемых при проведении исследования. Теоретически все систематические ошибки наблюдения могут быть исключены.

Случайными ошибками наблюдения называются такие ошибки, которые возникают под воздействием целой совокупности случайных факторов. При этом каждый из этих факторов в отдельности вызывает частичную ошибку, а результатом совместного действия всех случайных факторов является суммарная случайная ошибка, которую уже подлежит оценке.

Допустим, что была проведена серия наблюдений некоторой случайной величины Х . В ходе наблюдений данной случайной величины возникли ошибки, сформированные воздействием множества независимых факторов

Тогда ошибка а , возникающая в ходе наблюдения случайной величины Х , может быть представлена с помощью выражения:

а=f(X1,X2,…,Xn),

где f – это закономерность образования ошибки.

В связи с тем, что ошибка наблюдений а – величина случайная, то для наиболее точной характеристики данной величины необходимо знать закон распределения её вероятностей. Данная задача решается с помощью теоремы А.М. Ляпунова, также известной под названием центральной предельной теоремы. В качестве одной из математических предпосылок эконометрического моделирования выступает следствие из теоремы Ляпунова.

Следствие теоремы Ляпунова. Если случайная величина Х является суммой очень большого числа попарно независимых случайных величин, влияние каждой из которых на всю сумму ничтожно мало, то случайная величина Х подчиняется закону распределения, который близок к нормальному закону распределения вероятностей случайной величины.

Если суммарную ошибку наблюдений рассматривать как сумму очень большого числа попарно независимых частных ошибок, следовательно, то можно сделать вывод, что суммарная ошибка подчиняется закону распределения, который близок к нормальному закону распределения вероятностей.

| |

Поэтому ваше ближайшее времяпровождение будет крайне полезным. Кроме того, я расскажу, в чём заблуждается подавляющее большинство участников лотерей и азартных игр. …Нееет, вера или слабая надежда «сорвать куш» тут совершенно не при чём;-) Не успев и глазом моргнуть, погружаемся в тему:

Что такое независимые испытания ? Практически всё понятно уже из самого названия. Пусть производится несколько испытаний. Если вероятность появления некоего события в каждом из них не зависит от исходов остальных испытаний, то… заканчиваем фразу хором =) Молодцы. При этом под словосочетанием «независимые испытания» часто подразумевают повторные независимые испытания – когда они осуществляются друг за другом.

Простейшие примеры:
– монета подбрасывается 10 раз;
– игральная кость подбрасывается 20 раз.

Совершенно ясно, что вероятность выпадения орла либо решки в любом испытании не зависит от результатов других бросков. Аналогичное утверждение, естественно, справедливо и для кубика.

А вот последовательное извлечение карт из колоды не является серией независимых испытаний – как вы помните, это цепочка зависимых событий . Однако если карту каждый раз возвращать обратно, то ситуация станет «такой, какой надо».

Спешу обрадовать – у нас в гостях очередной Терминатор, который абсолютно равнодушен к своим удачам/неудачам, и поэтому его стрельба представляет собой образец стабильности =):

Задача 1

Стрелок совершает 4 выстрела по мишени. Вероятность попадания при каждом выстреле постоянна и равна . Найти вероятность того, что:

а) стрелок попадёт только один раз;
б) стрелок попадёт 2 раза.

Решение : условие сформулировано в общем виде и вероятность попадания в мишень при каждом выстреле считается известной . Она равна (если совсем тяжко, присвойте параметру какое-нибудь конкретное значение, например, ) .

Коль скоро, мы знаем , то легко найти вероятность промаха в каждом выстреле:
, то есть, «ку» – это тоже известная нам величина .

а) Рассмотрим событие «Стрелок попадёт только один раз» и обозначим его вероятность через (индексы понимаются как «одно попадание из четырёх») . Данное событие состоит в 4 несовместных исходах: стрелок попадёт в 1-й или во 2-й или в 3-й или в 4-й попытке.

Найти вероятность того, что при броске 10 монет орёл выпадет на 3 монетах.

Здесь испытания не повторяются, а скорее, производятся одновременно, но, тем не менее, работает та же самая формула: .

Решение будет отличаться смыслом и некоторыми комментариями, в частности:
способами можно выбрать 3 монеты, на которых выпадет орёл.
– вероятность выпадения орла на каждой из 10 монет
и т.д.

Однако на практике подобные задачи встречаются не столь часто, и, видимо, по этой причине формула Бернулли чуть ли не стереотипно ассоциируется только с повторными испытаниями. Хотя, как только что было показано, повторяемость вовсе не обязательна.

Следующая задача для самостоятельного решения:

Задача 3

Игральную кость бросают 6 раз. Найти вероятность того, что 5 очков:

а) не выпадут (выпадут 0 раз) ;
б) выпадут 2 раза;
в) выпадут 5 раз.

Результаты округлить до 4 знаков после запятой.

Краткое решение и ответ в конце урока.

Очевидно, что в рассматриваемых примерах некоторые события более вероятны, а некоторые – менее вероятны. Так, например, при 6 бросках кубика даже безо всяких расчётов интуитивно понятно, что вероятности событий пунктов «а» и «бэ» значительно больше вероятности того, что «пятёрка» выпадет 5 раз. А теперь поставим задачу найти

НАИВЕРОЯТНЕЙШЕЕ число появлений события в независимых испытаниях

Опять же на уровне интуиции в Задаче №3 можно сделать вывод о том, что наивероятнейшее количество появлений «пятёрки» равно единице – ведь всего граней шесть, и при 6 бросках кубика каждая из них должна выпасть в среднем по одному разу. Желающие могут вычислить вероятность и посмотреть, будет ли она больше «конкурирующих» значений и .

Сформулируем строгий критерий : для отыскания наивероятнейшего числа появлений случайного события в независимых испытаниях (с вероятностью в каждом испытании) руководствуются следующим двойным неравенством:

, причём:

1) если значение – дробное, то существует единственное наивероятнейшее число ;
в частности, если – целое, то оно и есть наивероятнейшее число: ;

2) если же – целое, то существуют два наивероятнейших числа: и .

Наивероятнейшее число появлений «пятёрки» при 6 бросках кубика подпадает под частный случай первого пункта:

В целях закрепления материала решим пару задач:

Задача 4

Вероятность того, что при броске мяча баскетболист попадёт в корзину, равна 0,3. Найти наивероятнейшее число попаданий при 8 бросках и соответствующую вероятность.

А это уже если и не Терминатор, то, как минимум, хладнокровный спортсмен =)

Решение : для оценки наивероятнейшего числа попаданий используем двойное неравенство . В данном случае:

– всего бросков;
– вероятность попадания в корзину при каждом броске;
– вероятность промаха при каждом броске.

Таким образом, наивероятнейшее количество попаданий при 8 бросках находится в следующих пределах:

Поскольку левая граница – дробное число (пункт №1) , то существует единственное наивероятнейшее значение, и, очевидно, что оно равно .

Используя формулу Бернулли , вычислим вероятность того, что при 8 бросках будет ровно 2 попадания:

Ответ : – наивероятнейшее количество попаданий при 8 бросках,
– соответствующая вероятность.

Аналогичное задание для самостоятельного решения:

Задача 5

Монета подбрасывается 9 раз. Найти вероятность наивероятнейшего числа появлений орла

Примерный образец решения и ответ в конце урока.

После увлекательного отступления рассмотрим ещё несколько задач, а затем я поделюсь секретом правильной игры в азартные игры и лотереи.

Задача 6

Среди изделий, произведенных на станке-автомате, в среднем бывает 60% изделий первого сорта. Какова вероятность того, что среди 6 наудачу отобранных изделий будет:

а) от 2 до 4 изделий первого сорта;
б) не менее 5 изделий первого сорта;
в) хотя бы одно изделие более низкого сорта.

Вероятность производства первосортного изделия не зависит от качества других выпущенных изделий, поэтому здесь идёт речь о независимых испытаниях. Старайтесь не пренебрегать анализом условия, а то может статься – события-то зависимые или задача вообще о другом.

Решение : вероятность зашифрована под проценты, которые, напоминаю, нужно разделить на сто: – вероятность того, что выбранное изделие будет 1-го сорта.
Тогда: – вероятность того, что оно не будет первосортным.

а) Событие «Среди 6 наудачу отобранных изделий будет от 2 до 4 изделий первого сорта» состоит в трёх несовместных исходах:

среди изделий будет 2 первосортных или 3 первосортных или 4 первосортных.

С исходами удобнее разделаться по отдельности. Трижды используем формулу Бернулли :

– вероятность того, что в течение дня безотказно будут работать, как минимум, 5 компьютеров из шести.

Данное значение нас тоже не устроит, так как оно меньше требуемой надёжности работы вычислительного центра:

Таким образом, шести компьютеров тоже не достаточно. Добавляем ещё один:

3) Пусть в вычислительном центре компьютеров. Тогда безотказно должны работать 5, 6 или 7 компьютеров. Используя формулу Бернулли и теорему сложения вероятностей несовместных событий , найдём вероятность того, что в течение дня безотказно будут работать, как минимум, 5 компьютеров из семи.

Теорема 13.3 (теорема Бернулли). Если в каждом из п независимых опытов вероятность р появления события А постоянна, то при достаточно большом числе испытаний вероят-ность того, что модуль отклонения относительной частоты появлений А в п опытах от р будет сколь угодно малым, как угодно близка к 1:

Доказательство. Введем случайные величины Х 1 , Х 2 , …, Х п , где X i – число появлений А в i -м опыте. При этом X i могут принимать только два значения: 1(с вероятностью р ) и 0 (с вероятностью q = 1 – p ). Кроме того, рассматриваемые случайные величины попарно независимы и их дисперсии равномерно ограничены (так как D (X i ) = pq , p + q = 1, откуда pq ≤ ¼). Следовательно, к ним можно применить теорему Чебышева при M i = p :

.

Но , так как X i принимает значение, равное 1, при появлении А в данном опыте, и значение, равное 0, если А не произошло. Таким образом,

что и требовалось доказать.

Замечание. Из теоремы Бернулли не следует , что Речь идет лишь о вероятно-сти того, что разность относительной частоты и вероятности по модулю может стать сколь угодно малой. Разница заключается в следующем: при обычной сходимости, рассматриваемой в математическом анализе, для всех п , начиная с некоторого значения, неравенство выполняется всегда; в нашем случае могут найтись такие значения п , при которых это неравенство неверно. Этот вид сходимости называют сходимостью по вероятности .

Конец работы -

Эта тема принадлежит разделу:

Закон больших чисел. Неравенство Чебышева. Теоремы Чебышева и Бернулли

На сайте сайт читайте: "закон больших чисел. неравенство чебышева. теоремы чебышева и бернулли"

Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ:

Что будем делать с полученным материалом:

Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:

Твитнуть

Все темы данного раздела:

Закон больших чисел. Неравенство Чебышева. Теоремы Чебышева и Бернулли
Изучение статистических закономерностей позволило установить, что при некоторых условиях суммарное поведение большого количества случайных величин почти утрачи-вает случайный характер и становится

Неравенство Чебышева
Неравенство Чебышева, используемое для доказательства дальнейших теорем, справед-ливо как для непрерывных, так и для дискретных случайных величин. Докажем его для дискретных случайных величин.

Теоремы Чебышева и Бернулли
Теорема 13.2 (теорема Чебышева). Если Х1, Х2,…, Хп – попарно независимые случайные величины, дисперсии которых равномерно

Центральная предельная теорема Ляпунова. Предельная теорема Муавра-Лапласа
Закон больших чисел не исследует вид предельного закона распределения суммы случайных величин. Этот вопрос рассмотрен в группе теорем, называемых центральной предельной теоремой. О

Полигон частот. Выборочная функция распределения и гистограмма
Для наглядного представления о поведении исследуемой случайной величины в выборке можно строить различные графики. Один из них – полигон частот: ломаная, отрезки которой соединяют

Двумерного случайного вектора
При статистическом исследовании двумерных случайных величин основной задачей является обычно выявление связи между составляющими. Двумерная выборка представляет собой набор

Способы построения оценок
1. Метод наибольшего правдоподобия. Пусть Х – дискретная случайная величина, которая в результате п испытаний приняла значения х1, х

Построение доверительных интервалов
1. Доверительный интервал для оценки математического ожидания нормального распределения при известной дисперсии. Пусть исследуемая случайная величина Х распределена