теория вероятность сходимость теорема
Предельные теоремы теории вероятностей
Сходимость последовательностей случайных величин и вероятностных распределений
1.1.1.1 Сходимость случайных величин
Пусть имеется вероятностное пространство с заданной в нем системой случайных величин и случайной величиной. В теории вероятностей рассматривают следующие виды сходимости последовательностей случайных величин.
Последовательность случайных величин сходится по вероятности к случайной величине, если для любого
Этот вид сходимости обозначают так: , или.
Последовательность случайных величин сходится к случайной величине с вероятностью 1 (или почти наверное), если
то есть если при при всех за исключением, быть может, из некоторого множества нулевой вероятности (). Сходимость с вероятностью 1 будем обозначать так: , или. Сходимость с вероятностью 1 есть сходимость почти всюду относительно вероятностной меры.
Отметим, что сходимость есть событие из -алгебры, которое можно представить в виде
Сформулируем некоторые теоремы, устанавливающие признаки сходимости почти наверное.
Теорема 1.1. тогда и только тогда, когда для любого
или, что то же самое,
Теорема 1.2. Если ряд
сходится для любого, то
Можно показать, что сходимость влечет за собой сходимость (это следует из (1.1)).Обратное утверждение, вообще говоря, неверно, однако справедлива следующая теорема.
Теорема 1.3. Если, то существует подпоследовательность, такая, что при.
Связь сходимости со сходимостью устанавливают следующие теоремы.
Теорема 1.4. (Леви о монотонной сходимости) Пусть есть монотонная последовательность неотрицательных случайных величин:, имеющих конечные математические ожидания, ограниченные одной и той же величиной: . Тогда последовательность сходится с вероятностью 1 к некоторой случайной величине с, причем
Теорема 1.5. (Лебега о мажорируемой сходимости) Пусть и величины, где неотрицательная случайная величина, имеющая конечное математическое ожидание. Тогда случайная величина также имеет конечное математическое ожидание и
Последовательность случайных величин сходится к случайной величине в среднем порядка, если
Такую сходимость будем обозначать. При говорят о сходимости в среднеквадратичном и обозначают. В силу обобщенного неравенства Чебышева из сходимости следует сходимость. Из сходимости по вероятности, а тем более из сходимости почти наверное, сходимость порядка не следует. Таким образом, сходимость по вероятности является самой слабой сходимостью из трех, нами рассмотренных.
Говорят, что последовательность является фундаментальной по вероятности (почти наверное, в среднем порядка), если для любого при
Теорема 1.6. (Критерий сходимости Коши) Для того, чтобы в каком либо смысле (по вероятности, почти наверное, в среднем порядка) необходимо и достаточно, чтобы последовательность была фундаментальной в соответствующем смысле.
1.1.1.2 Слабая сходимость распределений
Говорят, что распределение вероятностей случайных величин слабо сходится к распределению случайной величины, если для любой непрерывной ограниченной функции
Слабую сходимость будем обозначать так: . Отметим, что из сходимости следует сходимость. Обратное неверно, однако для слабая сходимость влечет сходимость по вероятности.
Условие (1.2) можно переписать, используя интеграл Лебега по мере, следующим образом
Для случайных величин, имеющих плотность вероятностей, слабая сходимость означает сходимость при любой ограниченной функции
Если речь идет о функциях распределения и соответствующих и, то слабая сходимость означает, что
В теории вероятностей в отличие от математического анализа рассматриваются несколько различных видов сходимости последовательности функций (случайных величин) и их распределений. Это связано с тем, что в теории вероятностей принято пренебрегать маловероятными событиями и делать это можно по разному. Ранее уже были определены поточечная сходимость случайных величин, сходимость почти наверное и сходимость вероятностных мер по вариации. Дадим еще два важных определения сходимости случайных величин – сходимость по вероятности исходимость в среднеквадратическом , и одно определение сходимости распределений –слабая сходимость .
Сходимость по вероятности
сходится к случайной величине
по вероятности, если
Сходимость по вероятности обозначается так
Сходимость в среднеквадратическом
Последовательность случайных величин
сходится к случайной величине
в среднеквадратическом (в L 2) , если
Сходимость в среднеквадратическом обозначается так
Слабая сходимость распределений
Последовательность случайных величин
сходится к случайной величине
слабо (по распределению), если
во всех точках непрерывности функции
Слабая сходимость обозначается так
Основным отличием слабой сходимости от остальных видов сходимости является то, что от случайных величин не требуется, чтобы они были определены на одном вероятностном пространстве, так как условия сходимости формулируются с использованием только их функций распределения.
Взаимосвязь различных видов сходимости
Взаимосвязь различных видов сходимости представлена на следующей диаграмме.
Заметим, что ни одну из стрелок на данной диаграмме нельзя, вообще говоря, повернуть назад, т.е. любые два вида сходимости неэквивалентны. Практическое значение имеют, в основном, слабая сходимость и сходимость в среднеквадратическом потому что они позволяют производить приближенные вычисления вероятностей и математических ожиданий и заменять одни математические модели другими. Остальные виды сходимости используются в основном при доказательстве слабой сходимости или исследовании качественных свойств модели. Поэтому более подробно исследуем взаимосвязи этих двух видов сходимости в остальными.
Покажем, вначале, что из сходимости по вероятности следует слабая сходимость.
Теорема (P->W).
.
Доказательство .
Пусть x – точка непрерывности функции
.
Таким образом
При малых
и больших n левая и правая часть неравенства
отличаются сколь угодно мало от
,
что доказывает теорему.
Доказательство завершено.
Обратная теорема верна при дополнительном условии.
Теорема (W->P).
Доказательство .
Доказательство завершено.
Покажем, что из сходимости в среднеквадратическом следует сходимость по вероятности.
Теорема (L 2 ->P).
Доказательство .
Используем неравенство Маркова
.
Доказательство завершено.
Следующая теорема дает пример применения предыдущей теоремы для доказательства сходимости относительной частоты события к его вероятности в схеме Бернулли.
Закон больших чисел в форме Бернулли
Пусть
- число успехов вn
испытаниях по
схеме Бернулли с вероятностью успехаp.
Тогда
Доказательство.
Доказательство завершено.
Таким образом, для доказательства слабой сходимости достаточно доказать сходимость по вероятности или в среднеквадратическом.
При доказательстве теорем о слабой сходимости используется также следующая важная теорема.
Теорема ({Хелли-Брея).
Непрерывная ограниченная функция. Тогда
.
Доказательство.
Любую
непрерывную на всей прямой функцию
можно сколь угодно точно приблизить
линейной комбинацией ступенчатых
функций на любом интервале [-A,A) , A>0.
Выберем A так, чтобы точки –A, A и точки разбиения
были бы
точками непрерывности функции
распределения
Тогда интегралы
одинаковым
образом выражаются через значения
функций распределения
и
и могут быть сделаны сколь угодно
близкими выбором достаточно большого
n. Следовательно, близки и интегралы
Так как
функция
ограничена, то выбором достаточно
большого A можно сделать сколь угодно
малыми интегралы
Теорема доказана.
Верна и обратная теорема.
Теорема (Обратная теорема Хелли-Брея)
Пусть для любой
непрерывной ограниченной функции
Доказательство.
Идея
доказательства аналогична идее
доказательства предыдущей теоремы и
основана на возможности приблизить
ступенчатую функцию
непрерывной функцией
.
Действительно, опять выбирая подходящие
точки непрерывности и полагая
видим, что близкие между собой интегралы
можно сделать сколь угодно близкими, соответственно. к интегралам
Теорема доказана.
,
то последние две теоремы дают необходимые и достаточные условия слабой сходимости в терминах сходимости математических ожиданий от непрерывных ограниченных функций.
Теорема (f(W)).
Непрерывная функция. Тогда
.
Доказательство.
Так как подстановка непрерывной функции в ограниченную непрерывную функцию приводит снова к непрерывной ограниченной функции, то доказательство этой теоремы напрямую следует из теорем Хелли-Брея.
Теорема доказана.
Нетрудно показать, что верна также следующая теорема
Теорема (f(P)).
Непрерывная функция. Тогда
.
Доказательство этой и следующих двух теорем проведите самостоятельно в качестве упражнений.
Теорема (W+P->W).
Теорема (W*P->W).
Последовательности случайных величин Х 1 , Х 2 , . . ., Х n
, . . ., заданных на нек-ром вероятностном пространстве к случайной величине X,
определяемая следующим образом: если для любого при
В математич. анализе этот сходимости называют сходимостью по мере. Из С. по в. вытекает сходимость по распределению.
В. И. Битюцков.
Математическая энциклопедия. - М.: Советская энциклопедия . И. М. Виноградов . 1977-1985 .
Смотреть что такое "СХОДИМОСТЬ ПО ВЕРОЯТНОСТИ" в других словарях:
- … Википедия
Сходимость с вероятностью единица, сходимость последовательности случайных величин X1, Х2, . . ., Х п. . . ., заданных на нек ром вероятностном пространстве к случайной величине X, определяемая следующим образом: (или п. н.), если В математич.… … Математическая энциклопедия
В теории вероятностей вид сходимости случайных величин. Содержание 1 Определение 2 Замечания … Википедия
В математике Сходимость означает то, что бесконечная последовательность или сумма бесконечного ряда или несобственный интеграл имеют предел. Понятия имеют смысл для произвольных последовательностей, рядов и интегралов: Предел последовательности… … Википедия
У этого термина существуют и другие значения, см. Сходимость. Последовательность функций сходится почти всюду к предельной функции, если множество точек, для которых сходимость отсутствует, имеет нулевую меру. Содержание 1 Определение 1.1 Термин … Википедия
У этого термина существуют и другие значения, см. Сходимость. Сходимость в в функциональном анализе, теории вероятностей и смежных дисциплинах вид сходимости измеримых функций или случайных величин. Определение Пусть пространство с… … Википедия
- (по вероятности) в функциональном анализе, теории вероятностей и смежных дисциплинах это вид сходимости измеримых функций (случайных величин), заданных на пространстве с мерой (вероятностном пространстве). Определение Пусть пространство с мерой.… … Википедия
Математическое понятие, означающее, что некоторая переменная величина имеет Предел. В этом смысле говорят о С. последовательности, С. ряда, С. бесконечного произведения, С. непрерывной дроби, С. интеграла и т. д. Понятие С. возникает,… … Большая советская энциклопедия
Тоже, что сходимость по вероятности … Математическая энциклопедия
Общий принцип, в силу к рого совместное действие случайных факторов приводит при нек рых весьма общих условиях к результату, почти не зависящему от случая. Сближение частоты наступления случайного события с его вероятностью при возрастании числа… … Математическая энциклопедия
Книги
- Теория вероятностей и математическая статистика в задачах Более 360 задач и упражнений , Борзых Д.. В предлагаемом пособии содержатся задачи различного уровня сложности. Однако основной акцент сделан на задачах средней сложности. Это сделано намеренно с тем, чтобы побудить студентов к…
- Теория вероятностей и математическая статистика в задачах. Более 360 задач и упражнений , Борзых Д.А.. В предлагаемом пособии содержатся задачи различного уровня сложности. Однако основной акцент сделан на задачах средней сложности. Это сделано намеренно с тем, чтобы побудить студентов к…
