463. Каков геометрический смысл неравенств: 1) Re z > 0 ; 2) Im z < 0 ?

2. Ряды с комплексными членами . Рассмотрим последовательность комп­лексных чисел z 1 , z 2 , z 3 , ..., где z п = х п +iу п (п = 1, 2, 3, ...). Постоянное число с = а + bi называется пределом последовательности z 1 , z 2 , z 3 , ..., если для всякого сколь угодно малого числа δ>0 найдется такой номер N, что рее значения z п с номерами п > N удовлетворяют неравенству \z п -с\ < δ . В этом случае пишут .

Необходимое и достаточное условие существования предела последова­тельности комплексных чисел состоит в следующем: число с=а+bi является пределом последовательности комплексных чисел х 1 +iу 1 , х 2 +iу 2 , х 3 +iу 3 , … тогда и только тогда, когда , .

(1)

членами которого являются комплексные числа, называется сходящимся, если n-я частичная сумма ряда S n при п → ∞ стремится к определенному конеч­ному пределу. В противном случае ряд (1) называется расходящимся.

Ряд (1) сходится тогда и только тогда, когда сходятся ряды с действи­тельными членами

(2) Исследовать сходимость рядаЭтот ряд, члены которого образуют бесконечно убывающую геометрическую прогрессию, сходится; следовательно, заданный ряд с комплексными членами сходится абсолютно. ^

474. Найти область сходимости ряда

РЯДЫ

Числовые ряды

Пусть задана последовательность комплексных чисел z n = х п + + it/ n , п= 1,2,... Числовым рядом называется выражение вида

Числа 21,2-2,... называются членами ряда. Отметим, что выражение (19.1), вообще говоря, нельзя рассматривать как сумму, поскольку невозможно выполнить сложение бесконечного числа слагаемых. Но если ограничиться конечным числом членов ряда (например, взять первые п членов), то получится обычная сумма, которую можно реально вычислить (каково бы ни было п). Сумма 5„ первых и членов ряда называется п-й частичной (частной) суммой ряда:

Ряд (19.1) называется сходящимся, если существует конечный предел п-х частичных сумм при п -? оо, т.е. существует

Число 5 называется суммой ряда. Если lirn S n не существует или

равен ос, то ряд (19.1) называется расходящимся.

Тот факт, что ряд (19.1) сходится и его сумма равна 5, записывается в виде

Эта запись не означает, что были сложены все члены ряда (это сделать невозможно). В то же время, сложив достаточно много членов ряда, можно получить частичные суммы, сколь угодно мало отклоняющиеся от S.

Следующая теорема устанавливает связь между сходимостью ряда с комплексными членами z n = х п + iy n и рядов с действительными членами х п и у и.

Теорема 19.1. Для сходимости ряда (19.1) необходимо и до-

статочно , чтобы сходились два ряда ? х п и ? с действительных П=1

ними йенами. При этом для равенства ? z n = (Т + ir необходимо

и достаточно, чтобы ? х п =

Доказательство. Введем обозначения для частичных сумм рядов:

Тогда S n = о п + ir n . Воспользуемся теперь теоремой 4.1 из §4: для того чтобы последовательность S n = + ir n имела предел S = = сг + ir, необходимо и достаточно, чтобы последовательности {и {т п } имели предел, причем liiri = о, lim т п = т. Отсюда и сле-

п-юс л->оо

дует нужное утверждение, поскольку существование пределов последовательностей {S„}, {(7 п } и {т п } равносильно сходимости рядов

ОС" ОС" ОС"

? Z n , ? Х п и? у п соответственно.

Л = 1 Л=1 П=1

С помощью теоремы 19.1 многие важные свойства и утверждения, справедливые для рядов с действительными членами, сразу переносятся на ряды с комплексными членами. Перечислим некоторые из этих свойств.

1°. Необходимый признак сходимости. Если ряд? z n сходится,

то lim z n = 0. (Обратное утверждение неверно: из того что lim z n =

л-юо я->оо

0, не следует, что ряд? z n сходится.)

2°. Пусть ряды? z n и? w n с комплексными членами сходятся

и их суммы равны S и о соответственно. Тогда ряд? (z n + w n) тоже

сходится и его сумма равна S + о.

3°. Пусть ряд ]? z n сходится и его сумма равна S. Тогда для

любого комплексного числа Л ряд? (Az n) тоже сходится и его сумма

4°. Если отбросить или добавить к сходящемуся ряду конечное число членов, то получится также сходящийся ряд.

5°. Критерий сходимости Коши. Для сходимости ряда? z n

необходимо и достаточно, чтобы для любого числа е > 0 существовало такое число N (зависящее от е), что при всех п > N и при всех

р ^ 0 выполнено неравенство ^2 z k

Так же как и для рядов с действительными членами, вводится понятие абсолютной сходимости.

Ряд z n называется абсолютно сходящимся, если сходится ряд

71 - 1

составленный из модулей членов данного ряда %2 z n

Теорема 19.2. Если сходится ряд ^2 |*п|» то ряд ^2 z n также

сходится.

(Другими словами, если ряд сходится абсолютно, то он сходится.)

Доказательство. Поскольку критерий сходимости Коши применим к рядам с произвольными комплексными членами, то он

применим, в частности, и к рядам с действительными членами. Возь-

мем произвольное е > 0. Так как ряд JZ Iz„ | сходится, то в силу кри-

терпя Коши, примененного к этому ряду, найдется такое число N, что при всех п > N и при всех р ^ 0

В § 1 было показано, что z + w ^ |з| + |ш| для любых комплексных чисел z и w; это неравенство легко распространяется на любое конечное число слагаемых. Поэтому

Итак, для любого е > 0 найдется число N, такое что при всех п >

Итак, для любого е > 0 найдется число N, такое что при всех п >

> N и при всех р ^ 0 выполнено неравенство J2 z k

но критерию Коши, ряд Y2 z n сходится, что и требовалось доказать.

Из курса математического анализа известно (см., например, или )), что утверждение, обратное теореме 19.2, неверно даже для рядов с действительными членами. А именно: из сходимости ряда не следует его абсолютная сходимость.

Ряд J2 г п называется условно сходящимся , если этот ряд сходит-

ся, а ряд ^2 z n i составленный из модулей его членов, расходится.

Ряд z n является рядом с действительными неотрицательными

ми членами. Поэтому к этому ряду применимы признаки сходимости, известные из курса математического анализа. Напомним без доказательства некоторые из них.

Признаки сравнения. Пусть числа z u и w n начиная с некоторого номера N удовлетворяют неравенствам z n ^ |w n |, п = = N, N + 1,... Тогда:

1) если ряд ^2 |w n | сходится , то и ряд z n сходится:

2) если ряд ^2 Ы расходится , то и ряд ^2 1 ш «1 расходится.

Признак Даламбера. Пусть существует предел

Тогда:

если I 1, то ряд Y2 z n сходится абсолютно:

если I > 1, то ряд ^2 z n расходится.

При / = 1 “Р адикальн ы й” признак Коши. Пусть существует

предел lim /z n = /. Тогда:

если I 1, то ряд z n сходится абсолютно ;

если I > 1, то ряд 5Z z n расходится.

При I = 1 признак не дает ответа на вопрос о сходимости ряда. Пример 19.3. Исследовать сходимость рядов

Решен и е. а) По определению косинуса (см. (12.2))

Поэтому

00 1 (е п

Применим признак Даламбера к ряду Y1 о (о) :

Значит, ряд ^ - (-) расходится. (Расходимость этого ряда следует

п= 1 2 " 2 "

также из того, что его члены не ст!>емятся к нулю и, следовательно, необходимое условие сходимости не выполнено. Можно воспользоваться и тем, что члены ряда образуют геометрическую прогрессию

со знаменателем q = е/2 > 1.) По признаку сравнения ряд 51 0п

так же расход и тся.

б) Покажем, что величины cos(? -f п) ограничены одним и тем же числом. Действительно,

| cos (г 4- п) = | cos i cos n - sin i sin 7i| ^

^ | cosi || cos 7?| 4-1 sinг|| sin 7?.| ^ | cosi| 4-1 sin i| = А/, где M - положительная постоянная. Отсюда

Ряд 5Z сх °дится. Значит, по признаку сравнения, ряд

cos (i 4" ii)

также сходится. Следовательно, исходный ряд 51 -~^т 1 -~ сходится

ft -1 2 ”

абсолютно.

Ряд 5Z z ki полученный из ряда 51 z k отбрасыванием первых п

к=п+1 к =1

членов, называется остатком (п-м остатком) ряда 51 z k- В случае

сходимости так же называется и сумма

Легко видеть, что 5 = 5„ + г„, где 5 - сумма, a S n - частичная сумма

ряда ^ Zf{- Отсюда сразу следует, что если ряд сходится , то его

п-й остаток стремится к пулю при п -> оо. Действительно, пусть

ряд У2 z k сходится, т.е. lirn 5„ = 5. Тогда lim г п = lim (5 - 5„) =

ft-I П ->00 П->00 «->00

Ряды с комплексными членами.

19.3.1. Числовые ряды с комплексными членами. Все основные определения сходимости, свойства сходящихся рядов, признаки сходимости для комплексных рядов ничем не отличаются от действительного случая.

19.3.1.1. Основные определения . Пусть дана бесконечная последовательность комплексных чисел . Действительную часть числа будем обозначать , мнимую - (т.е. .

Числовой ряд - запись вида .

Частичные суммы ряда :

Определение. Если существует предел S последовательности частичных сумм ряда при , являющийся собственным комплексным числом, то говорят, что ряд сходится; число S называют суммой ряда и пишут или .

Найдём действительные и мнимые части частичных сумм: , где символами и обозначены действительная и мнимая части частичной суммы. Числовая последовательность сходится тогда и только тогда, когда сходятся последовательности, составленные из её действительной и мнимой частей. Таким образом, ряд с комплексными членами сходится тогда и только тогда, когда сходятся ряды, образованные его действительной и мнимой частями.

Пример.

19.3.1.2. Абсолютная сходимость.

Определение. Ряд называется абсолютно сходящимся , если сходится ряд , составленный из абсолютных величин его членов.

Так же, как и для числовых действительных рядов с произвольными членами, можно доказать, что если сходится ряд , то обязательно сходится ряд . Если ряд сходится, а ряд расходится, то ряд называется условно сходящимся.

Ряд - ряд с неотрицательными членами, поэтому для исследования его сходимости можно применять все известные признаки (от теорем сравнения до интегрального признака Коши).

Пример. Исследовать на сходимость ряд .

Составим ряд из модулей (): . Этот ряд сходится (признак Коши ), поэтому исходный ряд сходится абсолютно.

19.1.3.4. Свойства сходящихся рядов. Для сходящихся рядов c комплексными членами справедливы все свойства рядов с действительными членами:

Необходимый признак сходимости ряда. Общий член сходящегося ряда стремится к нулю при .

Если сходится ряд , то сходится любой его остаток, Обратно, если сходится какой-нибудь остаток ряда, то сходится и сам ряд.

Если ряд сходится, то сумма его остатка после n -го члена стремится к нулю при .

Если все члены сходящегося ряда умножить на одно и то же число с , то сходимость ряда сохранится, а сумма умножится на с .

Сходящиеся ряды (А ) и (В ) можно почленно складывать и вычитать; полученный ряд тоже будет сходиться, и его сумма равна .

Если члены сходящегося ряда сгруппировать произвольным образом и составить новый ряд из сумм членов в каждой паре круглых скобок, то этот новый ряд тоже будет сходиться, и его сумма будет равна сумме исходного ряда.

Если ряд сходится абсолютно, то при любой перестановке его членов сходимость сохраняется и сумма не изменяется.

Если ряды (А ) и (В ) сходятся абсолютно к своим сумма и , то их произведение при произвольном порядке членов тоже сходится абсолютно, и его сумма равна .

19.3.2. Степенные комплексные ряды.

Определение. Степенным рядом с комплексными членами называется ряд вида

где - постоянные комплексные числа (коэффициенты ряда), - фиксированное комплексное число (центр круга сходимости). Для любого численного значения z ряд превращается в числовой ряд с комплексными членами, сходящийся или расходящийся. Если ряд сходится в точке z , то эта точка называется точкой сходимости ряда. Степенной ряд имеет по меньшей мере одну точку сходимости - точку . Совокупность точек сходимости называется областью сходимости ряда.

Как и для степенного ряда с действительными членами, все содержательные сведения о степенном ряде содержатся в теореме Абеля.

Теорема Абеля. Если степенной ряд сходится в точке , то

1. он абсолютно сходится в любой точке круга ;

2. Если этот ряд расходится в точке , то он расходится в любой точке z , удовлетворяющей неравенству (т.е. находящейся дальше от точки , чем ).

Доказательство дословно повторяет доказательство раздела 18.2.4.2. Теорема Абеля для ряда с действительными членами.

Из теоремы Абеля следует существование такого неотрицательного действительного числа R , что ряд абсолютно сходится в любой внутренней точке круга радиуса R с центром в точке , и расходится в любой точке вне этого круга. Число R называется радиусом сходимости , круг - кругом сходимости . В точках границы этого круга - окружности радиуса R с центром в точке - ряд может и сходиться, и расходиться. В этих точках ряд из модулей имеет вид . Возможны такие случаи:

1. Ряд сходится. В этом случае в любой точке окружности ряд сходится абсолютно.

2. Ряд расходится, но его общий член . В этом случае в некоторых точках окружности ряд может сходиться условно, в других - расходиться, т.е. каждая точка требует индивидуального исследования.

3. Ряд расходится, и его общий член не стремится к нулю при . В этом случае ряд расходится в любой точке граничной окружности.

Определение: Числовым рядом комплексных чисел z 1, z 2, …, z n , … называется выражение вида

z 1 + z 2 + …, z n + … = , (3.1)

где z n называют общим членом ряда.

Определение: Число S n = z 1 + z 2 + …, z n называется частичной суммой ряда.

Определение: Ряд (1) называется сходящимся, если сходится последовательность {S n } его частичных сумм. Если же последовательность частичных сумм расходится, то и ряд называют расходящимся.

Если ряд сходится, то число S = называется суммой ряда (3.1).

z n = x n + iy n ,

то ряд (1) записывается в виде

= + .

Теорема: Ряд (1) сходится тогда и только тогда, когда сходятся ряды и , составленные из действительных и мнимых частей членов ряда (3.1).

Эта теорема позволяет перенести признаки сходимости рядом с действительными членами на ряды с комплексными членами (необходимый признак, признак сравнения, признак Д’Аламбера, Коши и др.).

Определение. Ряд (1) называется абсолютно сходящимся, если сходится ряд , составленный из модулей его членов.

Теорема. Для абсолютной сходимости ряда (3.1) необходимо и достаточно, чтобы абсолютно сходились ряды и .

Пример 3.1. Выяснить характер сходимости ряда

Решение.

Рассмотрим ряды

Покажем, что эти ряды сходятся абсолютно. Для этого докажем, что ряды

Сходятся.

Так как , то вместо ряда возьмём ряд . Если последний ряд сходится, то по признаку сравнения сходится и ряд .

Сходимость рядов и доказывается с помощью интегрального признака.

Это значит, что ряды и сходится абсолютно и, согласно последней теореме, исходный ряд сходится абсолютно.

4. Степенные ряды с комплексными членами. Теорема Абеля о степенных рядах. Круг и радиус сходимости.

Определение. Степенным рядом называется ряд вида

где …, – комплексные числа, называемые коэффициентами ряда.

Областью сходимости ряда (4.I) является круг .

Для отыскания радиуса сходимости R данного ряда, содержащего все степени , используют одну из формул:

Если ряд (4.1) содержит не все степени , то для отыскания нужно непосредственно использовать признак Д’Аламбера или Коши.

Пример 4.1. Найти круг сходимости рядов:

Решение:

а) Для отыскания радиуса сходимости этого ряда воспользуемся формулой

В нашем случае

Отсюда круг сходимости ряда задается неравенством

б) Для отыскания радиуса сходимости ряда используем признак Д’Аламбера.

Для вычисления предела дважды использовали правило Лопиталя.

По признаку Д’Аламбера ряд будет сходиться, если . Отсюда имеем круг сходимости ряда .

5. Показательная и тригонометрические функции комплексной переменной.

6. Теорема Эйлера. Формулы Эйлера. Показательная форма комплексного числа.

7. Теорема сложения. Периодичность показательной функции.

Показательная функция и тригонометрические функции и определяются как суммы соответствующих степенных степенных рядов, а именно:

Эти функции связаны формулами Эйлера:

называемые, соответственно, гиперболическим косинусом и синусом, связаны с тригонометрическим косинусом и синусом формулами

Функции , , , определяются как и в действительном анализе.

Для любых комплексных чисел и имеет место теорема сложения:

Всякое комплексное число может быть записано в показательной форме:

– его аргумент.

Пример 5.1. Найти

Решение.

Пример 5.2. Представьте число в показательной форме.

Решение.

Найдем модуль и аргумент этого числа:

Тогда получим

8. Предел, непрерывность и равномерная непрерывность функций комплексной переменной.

Пусть Е – некоторое множество точек комплексной плоскости.

Определение. Говорят, что на множестве Е задана функция f комплексной переменной z, если каждой точке z E по правилу f поставлено в соответствие одно или несколько комплексных чисел w (в первом случае функция называется однозначной, во втором – многозначной). Обозначим w = f(z) . E – область определения функции.

Всякую функцию w = f(z) (z = x + iy) можно записать в виде

f(z) = f(x + iy) = U(x, y) + iV(x, y).

U(x, y) = R f(z) называют действительной частью функции, а V(x, y) = Im f(z) – мнимой частью функции f(z).

Определение. Пусть функция w = f(z) определена и однозначна в некоторой окрестности точки z 0 , исключая, может быть, саму точку z 0 . Число А называется пределом функции f(z) в точке z 0 , если для любого ε > 0 можно указать такое число δ > 0, что для всех z = z 0 и удовлетворяющих неравенству |z – z 0 | < δ , будет выполнятся неравенство | f(z) – A| < ε.

Записывают

Из определения следует, что z → z 0 произвольным образом.

Теорема. Для существования предела функции w = f(z) в точке z 0 = x 0 + iy 0 необходимо и достаточно существование пределов функции U(x, y) и V(x, y) в точке (x 0 , y 0).

Определение. Пусть функция w = f(z) определена и однозначна в некоторой окрестности точки z 0 , включая саму эту точку. Функция f(z) называется непрерывной в точке z 0 , если

Теорема. Для непрерывности функции в точке z 0 = x 0 + iy 0 необходимо и достаточно, чтобы были непрерывны функции U(x, y) и V(x, y) в точке (x 0 , y 0).

Из теорем следует, что простейшие свойства, относящиеся к пределу и непрерывности функций действительных переменных, переносятся на функции комплексной переменной.

Пример 7.1. Выделить действительную и мнимую части функции .

Решение.

В формулу, задающую функцию, подставим

К нулю по двум различным направлениям, функция U(x, y) имеет разные пределы. Это значит, что в точке z = 0 функция f(z) предела не имеет. Далее, функция f(z) определена в точках, где .

Пусть z 0 = x 0 +iy 0 , одна из таких точек.

Это значит, что в точках z = x +iy при y 0 функция непрерывна.

9. Последовательности и ряды функций комплексной переменной. Равномерная сходимость. Непрерывность степенного ряда.

Определение сходящейся последовательности и сходящегося ряда функций комплексной переменной равномерной сходимости, соответствующие теории о равной сходимости, непрерывности предела последовательности, суммы ряда формируются и доказываются точно так же, как и для последовательностей и рядов функций действительной переменной.

Приведём необходимые для дальнейшего факты, касающиеся функциональных рядов.

Пусть в области D определена последовательность однозначных функций комплексной переменной {fn (z)}. Тогда символ:

Называется функциональным рядом .

Если z0 принадлежит D фиксировано, то ряд (1) будет числовым.

Определение. Функциональный ряд(1) называется сходящимся в области D , если для любогоz принадлежащего D , соответствующий ему числовой ряд сходится.

Если ряд (1) сходится в областиD , то в этой области можно определить однозначную функцию f(z) , значение которой в каждой точке z принадлежащей D равно сумме соответствующего числового ряда. Эту функцию называют суммой ряда (1) в области D .

Определение. Если

для любогоz принадлежащего D, выполняется неравенство:

то ряд (1) называется равномерно сходящимся в области D .