Содержание статьи

СТАТИКА, раздел механики, предметом которого являются материальные тела, находящиеся в состоянии покоя при действии на них внешних сил. В широком смысле слова статика – это теория равновесия любых тел – твердых, жидких или газообразных. В более узком понимании данный термин относится к изучению равновесия твердых тел, а также нерастягивающихся гибких тел – тросов, ремней и цепей. Равновесие деформирующихся твердых тел рассматривается в теории упругости, а равновесие жидкостей и газов – в гидроаэромеханике.
См . ГИДРОАЭРОМЕХАНИКА .

Историческая справка.

Статика – самый старый раздел механики; некоторые из ее принципов были известны уже древним египтянам и вавилонянам, о чем свидетельствуют построенные ими пирамиды и храмы. Среди первых создателей теоретической статики был Архимед (ок. 287–212 до н.э.), который разработал теорию рычага и сформулировал основной закон гидростатики. Родоначальником современной статики стал голландец С.Стевин (1548–1620), который в 1586 сформулировал закон сложения сил, или правило параллелограмма, и применил его в решении ряда задач.

Основные законы.

Законы статики вытекают из общих законов динамики как частный случай, когда скорости твердых тел стремятся к нулю, но по историческим причинам и педагогическим соображениям статику часто излагают независимо от динамики, строя ее на следующих постулируемых законах и принципах: а) законе сложения сил, б) принципе равновесия и в) принципе действия и противодействия. В случае твердых тел (точнее, идеально твердых тел, которые не деформируются под действием сил) вводится еще один принцип, основанный на определении твердого тела. Это принцип переносимости силы: состояние твердого тела не изменяется при перемещении точки приложения силы вдоль линии ее действия.

Сила как вектор.

В статике силу можно рассматривать как тянущее или толкающее усилие, имеющее определенные направление, величину и точку приложения. С математической точки зрения, это вектор, а потому ее можно представить направленным отрезком прямой, длина которого пропорциональна величине силы. (Векторные величины, в отличие от других величин, не имеющих направления, обозначаются полужирными буквами.)

Параллелограмм сил.

Рассмотрим тело (рис. 1,а ), на которое действуют силы F 1 и F 2 , приложенные в точке O и представленные на рисунке направленными отрезками OA и OB . Как показывает опыт, действие сил F 1 и F 2 эквивалентно одной силе R , представленной отрезком OC . Величина силы R равна длине диагонали параллелограмма, построенного на векторах OA и OB как его сторонах; ее направление показано на рис. 1,а . Сила R называется равнодействующей сил F 1 и F 2 . Математически это записывается в виде R = F 1 + F 2 , где сложение понимается в геометрическом смысле слова, указанном выше. Таков первый закон статики, называемый правилом параллелограмма сил.

Равнодействующая сила.

Вместо того чтобы строить параллелограмм OACB, для определения направления и величины равнодействующей R можно построить треугольник OAC, перенеся вектор F 2 параллельно самому себе до совмещения его начальной точки (бывшей точки O) c концом (точкой A) вектора OA . Замыкающая сторона треугольника OAC будет, очевидно, иметь ту же величину и то же направление, что и вектор R (рис. 1,б ). Такой способ отыскания равнодействующей можно обобщить на систему многих сил F 1 , F 2 ,..., F n , приложенных в одной и той же точке O рассматриваемого тела. Так, если система состоит из четырех сил (рис. 1,в ), то можно найти равнодействующую сил F 1 и F 2 , сложить ее с силой F 3 , затем сложить новую равнодействующую с силой F 4 и в результате получить полную равнодействующую R . Равнодействующая R , найденная таким графическим построением, представляется замыкающей стороной многоугольника сил OABCD (рис. 1,г ).

Данное выше определение равнодействующей можно обобщить на систему сил F 1 , F 2 ,..., F n , приложенных в точках O 1 , O 2 ,..., O n твердого тела. Выбирается точка O, называемая точкой приведения, и в ней строится система параллельно перенесенных сил, равных по величине и направлению силам F 1 , F 2 ,..., F n . Равнодействующая R этих параллельно перенесенных векторов, т.е. вектор, представленный замыкающей стороной многоугольника сил, называется равнодействующей сил, действующих на тело (рис. 2). Ясно, что вектор R не зависит от выбранной точки приведения. Если величина вектора R (отрезок ON) не равна нулю, то тело не может находиться в покое: в соответствии с законом Ньютона всякое тело, на которое действует сила, должно двигаться с ускорением. Таким образом, тело может находиться в состоянии равновесия только при условии, что равнодействующая всех сил, приложенных к нему, равна нулю. Однако это необходимое условие нельзя считать достаточным – тело может двигаться, когда равнодействующая всех приложенных к нему сил равна нулю.

В качестве простого, но важного примера, поясняющего сказанное, рассмотрим тонкий жесткий стержень длиной l , вес которого пренебрежимо мал по сравнению с величиной приложенных к нему сил. Пусть на стержень действуют две силы F и -F , приложенные к его концам, равные по величине, но противоположно направленные, как показано на рис. 3,а . В этом случае равнодействующая R равна F – F = 0, но стержень не будет находиться в состоянии равновесия; очевидно, он будет вращаться вокруг своей средней точки O. Система двух равных, но противоположно направленных сил, действующих не по одной прямой, представляет собой «пару сил», которую можно характеризовать произведением величины силы F на «плечо» l . Значимость такого произведения можно показать путем следующих рассуждений, которые иллюстрируют правило рычага, выведенное Архимедом, и приводят к заключению об условии вращательного равновесия. Рассмотрим легкий однородный жесткий стержень, способный поворачиваться вокруг оси в точке O, на который действует сила F 1 , приложенная на расстоянии l 1 от оси, как показано на рис. 3,б . Под действием силы F 1 стержень будет поворачиваться вокруг точки O. Как нетрудно убедиться на опыте, вращение такого стержня можно предотвратить, приложив некоторую силу F 2 на таком расстоянии l 2 , чтобы выполнялось равенство F 2 l 2 = F 1 l 1 .

Таким образом, вращение можно предотвратить бесчисленными способами. Важно лишь выбрать силу и точку ее приложения так, чтобы произведение силы на плечо было равно F 1 l 1 . Это и есть правило рычага.

Нетрудно вывести условия равновесия системы. Действие сил F 1 и F 2 на ось вызывает противодействие в виде силы реакции R , приложенной в точке O и направленной противоположно силам F 1 и F 2 . Согласно закону механики о действии и противодействии, величина реакции R равна сумме сил F 1 + F 2 . Следовательно, равнодействующая всех сил, действующих на систему, равна F 1 + F 2 + R = 0, так что отмеченное выше необходимое условие равновесия выполняется. Сила F 1 создает крутящий момент, действующий по часовой стрелке, т.е. момент силы F 1 l 1 относительно точки O, который уравновешивается действующим против часовой стрелки моментом F 2 l 2 силы F 2 . Очевидно, что условием равновесия тела является равенство нулю алгебраической суммы моментов, исключающее возможность вращения. Если сила F действует на стержень под углом q , как показано на рис. 4,а , то эту силу можно представить в виде суммы двух составляющих, одна из которых (F p), величиной F cosq , действует параллельно стержню и уравновешивается реакцией опоры -F p , а другая (F n), величиной F sinq , направлена под прямым углом к рычагу. В этом случае крутящий момент равен F l sinq ; он может быть уравновешен любой силой, которая создает равный ему момент, действующий против часовой стрелки.

Чтобы проще было учитывать знаки моментов в тех случаях, когда на тело действует много сил, момент силы F относительно любой точки O тела (рис. 4,б ) можно рассматривать как вектор L , равный векторному произведению r ґ F вектора положения r на силу F . Таким образом, L = r ґ F . Нетрудно показать, что если на твердое тело действует система сил, приложенных в точках O 1 , O 2 ,..., O n (рис. 5), то эту систему можно заменить равнодействующей R сил F 1 , F 2 ,..., F n , приложенной в любой точке Oў тела, и парой сил L , момент которых равен сумме [r 1 ґ F 1 ] + [r 2 ґ F 2 ] +... + [r n ґ F n ]. Чтобы убедиться в этом, достаточно мысленно приложить в точке Oў систему пар равных, но противоположно направленных сил F 1 и -F 1 ; F 2 и -F 2 ;...; F n и -F n , что, очевидно, не изменит состояния твердого тела.

Но сила F 1 , приложенная в точке O 1 , и сила –F 1 , приложенная в точке Oў, образуют пару сил, момент которых относительно точки Oў равен r 1 ґ F 1 . Точно так же силы F 2 и -F 2 , приложенные в точках O 2 и Oў соответственно, образуют пару с моментом r 2 ґ F 2 , и т.д. Суммарный момент L всех таких пар относительно точки Oў дается векторным равенством L = [r 1 ґ F 1 ] + [r 2 ґ F 2 ] +... + [r n ґ F n ]. Остальные силы F 1 , F 2 ,..., F n , приложенные в точке Oў, в сумме дают равнодействующую R . Но система не может находиться в равновесии, если величины R и L отличны от нуля. Следовательно, условие равенства нулю одновременно величин R и L является необходимым условием равновесия. Можно показать, что оно же является и достаточным, если тело первоначально покоится. Итак, задача о равновесии сводится к двум аналитическим условиям: R = 0 и L = 0. Эти два уравнения представляют собой математическую запись принципа равновесия.

Теоретические положения статики широко применяются при анализе сил, действующих на конструкции и сооружения. В случае непрерывного распределения сил суммы, которые дают результирующий момент L и равнодействующую R , заменяются интегралами и в соответствии с обычными методами интегрального исчисления.

«Векторы в пространстве» - Умножение вектора на число. a+b=b+a (переместительный закон). Если векторы сонаправлены и их длины равны, то эти векторы называются равными. Коллинеарные векторы - это векторы, лежащие на одной или на параллельных прямых. Начало вектора. Сонаправленные векторы - это векторы, имеющие одно направление.

«Вектор геометрия» - 1. Введение. Название работы отражает содержание и смысл, который раскрыт более тщательно. 4. Операции над векторами. Вся система координат обозначается Охуz. Точка О разделяет каждую из осей координатё на два луча. 5.Векторы в пространстве. 6. Скалярное произведение векторов. Гамильтону принадлежат и термин «скаляр», «скалярное произведение», «векторное произведение».

«Векторы 9 класс» - Правило параллелограмма. Правило многоугольника. Коллинеарные вектора. Векторы. Равны ли векторы? Правило треугольника. Длина (модуль) вектора. Коллинеарные векторы. Сложение векторов.

«Вектор в геометрии» - Равенство векторов. Разность векторов а и b можно найти по формуле Где - вектор, противоположный вектору. Длина нулевого вектора считается равной нулю: =0. Правило параллелограмма. Очевидно, вектор является противоположным вектору. Свойства сложения векторов. Длина вектора (вектора) обозначается так: .

«Угол между векторами» - Найти угол между прямыми СВ1 и D1B. Как находят координаты середины отрезка? Введение системы координат. Координаты векторов. Чему равен скалярный квадрат вектора? Угол между прямыми АВ и CD. Вычислить косинус угла между прямыми. Свойства скалярного произведения? Направляющий вектор прямой. Найти угол между прямыми ВD и CD1.

«Центр тяжести» - 6) Рассмотрим пластинку на отрезке . Определение центра тяжести математическими средствами Секция математики. 4) Делим на n равных частей точками деления х1

Кинематика отвечает на вопросы, как математически описать движение в заданной системе координат точки, механической системы или твердого тела. Она отвечает также на вопросы, как можно упростить изучение движения тел, разлагая эти движения на простейшие, и как можно точку и тело, участвующие в ряде движений, привести к одному движению. Кинематика указывает, как при заданном движении определить траектории, скорость и ускорение отдельных точек, изолированных или входящих в механическую систему. Однако в кинематике ничего не говорится о причинах, вызывающих то или иное движение материальных объектов.

Кинетикой называется раздел механики, посвященный изучению движения или, в частном случае, покоя материальных тел, происходящего в результате их взаимодействия.

Кинематика для кинетики служит вводной частью и необходимой базой.

Понятие силы

Причина и мера, вызывающая деформацию тела, либо изменяющая или вызывающая движение его, называется силой. Понятие силы принадлежит к первоначальным понятиям механики.

Это понятие возникло исторически как мера мускульного напряжения, которое необходимо развить для того, что поднять или удержать какое-либо тело или переместить его в пространстве. Однако производимый эффект мускульного напряжения может быть

заменен воздействием на данное тело другого неодушевленного тела, например, чтобы удержать камень в руке, требуется мускульное напряжение - сила. Но точно так же камень может быть удержан, если положить его на стол. Следовательно, действие стола на камень может быть заменено силой. Таким образом, в результате ряда экспериментальных факторов, наблюдаемых на Земле, понятие силы можно сформулировать следующим образом: сила - это мера механического взаимодействия материальных тел, изменяющая либо вызывающая движение или деформацию тела. Физическая природа сил в ряде случаев неизвестна, и в теоретической механике не ставится задача выяснить физическую сущность взаимодействия тел. В теоретической механике констатируется только реальность силы, как причины и меры взаимодействия на данное тело другого тела.

Вектор силы

Действие силы на тело зависит от величины ее. Например, сильный либо слабый толчок тела вызовет разные движения его. Итак, сила характеризуется своей величиной. Кроме того, характер движения тела зависит от того, как направлена сила. Например, давление на тело, расположенное на столе, перпендикулярное к столу, не вызовет его движения. В то же время такое же давление, действующее на тело, параллельно поверхности стола, может вызвать его движение. Следовательно, сила характеризуется своим направлением. Далее, движение тела, вызванное силами, равными по величине и направлению, будет различным, если эти силы приложены к разным точкам тела. Например, рассмотрим стержень, вращающийся в плоскости вокруг неподвижной точки. Действие силы одинаковой величины и направления (совпадающей с плоскостью вращения стержня), приложенной к неподвижной точке стержня или к движущимся его точкам, окажет различное влияние на движение. Именно, сила, приложенная в неподвижной точке, не окажет влияния на движение стержня, а сила, приложенная в других точках стержня, изменит движение его в зависимости от точки, в которой будет она приложена. Сила, приложенная в разных точках деформируемого тела, окажет на него различное влияние. Следовательно, сила в общем случае определяется и точкой приложения.

Итак, сила полностью определяется величиной, направлением и точкой ее приложения. В общем случае силу математически следует рассматривать как неподвижный или приложенный вектор.

Разделение сил на два класса

Все многообразие сил в природе ньютонианская механика подразделяет на два класса.

1) К первому классу относят силы, возникающие при непосредственном соприкосновении материальных объектов. Например,

на тело действует упругая сила пружины; последняя закреплена в некоторой точке тела. Примером таких сил также служат силы, возникающие при движении одного тела по другому, которые называются силами трения, и силы, возникающие при соприкосновении тела со средой, в которой оно движется. Последние называются силами сопротивления. Все силы этого класса назовем силами соприкосновения.

2) Ко второму классу относятся так называемые дальнодействующие силы. К этим силам относятся электромагнитные и гравитационные силы. Физическая природа этих сил и механизм их передачи не объясняются в ньютонианской механике, принято только, что они распространяются мгновенно, и на основании обобщения опыта установлено, что электромагнитные и гравитационные силы убывают обратно пропорционально квадрату расстояния между телами.

Кроме того, на основе опыта указывается принципиальное различие этих сил, именно: электромагнитное взаимодействие обнаруживается лишь между некоторыми телами, когда они находятся в определенных физических состояниях. Это могут быть силы либо притяжения, либо отталкивания. Гравитационные силы действуют между всеми вещественными телами при любых их физических состояниях и представляют собой силы взаимного притяжения материальных тел. Электромагнитные силы можно ослебить или локализовать при помощи установки специальных экранов. Гравитационные силы по современным взглядам не поддаются никаким внешним воздействиям: все тела для них прозрачны. Такая всеобщность и универсальность гравитационных сил определяет их исключительное положение в физике, в частности в механике.

Сила – вектор

Сила, так же как и скорость, есть векторная величина. Ведь она всегда действует в определенном направлении. Значит, и силы должны складываться по тем правилам, которые мы только что обсуждали.

Мы часто наблюдаем в жизни примеры, иллюстрирующие векторное сложение сил. На рис. 8 показан канат, на котором висит тюк. Веревкой человек оттягивает тюк в сторону. Канат натянут действием двух сил: силы тяжести тюка и силы человека.

Правило векторного сложения сил позволяет определить направление каната и вычислить силу его натяжения. Тюк находится в покое; значит, сумма действующих на него сил должна равняться нулю. А можно сказать и так – натяжение каната должно равняться сумме силы тяжести тюка и силы тяги в сторону, осуществляемой при помощи веревки. Сумма этих сил даст диагональ параллелограмма, которая будет направлена вдоль каната (ведь иначе она не сможет «уничтожиться» силой натяжения каната). Длина этой стрелки должна будет изображать силу натяжения каната. Такой силой можно было бы заменить две силы, действующие на тюк. Векторную сумму сил поэтому иногда называют равнодействующей.

Очень часто возникает задача, обратная сложению сил. Лампа висит на двух тросах. Для того чтобы определить силы натяжения тросов, вес лампы надо разложить по этим двум направлениям.

Из конца равнодействующего вектора (рис. 9) проведем линии, параллельные тросам, до пересечения с ними. Параллелограмм сил построен. Измеряя длины сторон параллелограмма, находим (в том же масштабе, в котором изображен вес) величины натяжений канатов.

Такое построение называется разложением силы. Всякое число можно представить бесконечным множеством способов в виде суммы двух или нескольких чисел; то же можно сделать и с вектором силы: любую силу можно разложить на две силы – стороны параллелограмма, – из которых одну всегда можно выбрать какой угодно. Ясно также, что к каждому вектору можно пристроить любой многоугольник.

Часто бывает удобным разложить силу на две взаимно перпендикулярные – одну вдоль интересующего нас направления и другую перпендикулярно к этому направлению. Их называют продольной и нормальной (перпендикулярной) составляющей силы.

Составляющую силы по какому-то направлению, построенную разложением по сторонам прямоугольника, называют еще проекцией силы на это направление.

Ясно, что на рис. 10

F 2 = F прод 2 + F норм 2 ,

где F прод и F норм – проекция силы на выбранное направление и нормаль к нему.

Знающие тригонометрию без труда установят, что

F прод = F ·cos ?,

где? – угол между вектором силы и направлением, на которое она проецируется.

Очень любопытным примером разложения сил является движение корабля под парусами. Каким образом удается идти под парусами против ветра? Если вам приходилось наблюдать за парусной яхтой в этом случае, то вы могли заметить, что она движется зигзагами. Моряки называют такое движение лавированием.

Прямо против ветра идти на парусах, конечно, невозможно, но почему удается идти против ветра хотя бы под углом?

Возможность лавировать против ветра основывается на двух обстоятельствах. Во-первых, ветер толкает парус всегда под прямым углом к его плоскости. Посмотрите на рис. 11,а : сила ветра разложена на две составляющие – одна из них заставит воздух скользить вдоль паруса, другая – нормальная составляющая – оказывает давление на парус. Во-вторых, лодка движется не туда, куда ее толкает сила ветра, а туда, куда смотрит нос лодки.

Это объясняется тем, что движение лодки поперек килевой линии встречает очень сильное сопротивление воды. Значит, чтобы лодка двигалась носом вперед, надо, чтобы сила давления на парус имела бы составляющую вдоль килевой линии, смотрящую вперед.

Теперь рис. 11,б , на котором изображена идущая против ветра лодка, должен стать понятным вам. Парус устанавливают так, чтобы его плоскость делила пополам угол между направлением хода лодки и направлением ветра.

Для того чтобы найти силу, которая гонит лодку вперед, силу ветра придется разложить дважды. Сначала вдоль и перпендикулярно к парусу – имеет значение лишь нормальная составляющая, затем эту нормальную составляющую надо разложить вдоль и поперек килевой линии. Продольная составляющая и гонит лодку под углом к ветру.