В случае плоской задачи скалярное произведение векторов a = {a x ; a y } и b = {b x ; b y } можно найти воспользовавшись следующей формулой:
a · b = a x · b x + a y · b y
Формула скалярного произведения векторов для пространственных задач
В случае пространственной задачи скалярное произведение векторов a = {a x ; a y ; a z } и b = {b x ; b y ; b z } можно найти воспользовавшись следующей формулой:
a · b = a x · b x + a y · b y + a z · b z
Формула скалярного произведения n -мерных векторов
В случае n-мерного пространства скалярное произведение векторов a = {a 1 ; a 2 ; ... ; a n } и b = {b 1 ; b 2 ; ... ; b n } можно найти воспользовавшись следующей формулой:
a · b = a 1 · b 1 + a 2 · b 2 + ... + a n · b n
Свойства скалярного произведения векторов
1. Скалярное произведение вектора самого на себя всегда больше или равно нуля:
2. Скалярное произведение вектора самого на себя равно нулю тогда и только тогда, когда вектор равен нулевому вектору:
a · a = 0 <=> a = 0
3. Скалярное произведение вектора самого на себя равно квадрату его модуля:
4. Операция скалярного умножения коммуникативна:
5. Если скалярное произведение двух не нулевых векторов равно нулю, то эти вектора ортогональны:
a ≠ 0, b ≠ 0, a · b = 0 <=> a ┴ b
6. (αa) · b = α(a · b)
7. Операция скалярного умножения дистрибутивна:
(a + b) · c = a · c + b · c
Примеры задач на вычисление скалярного произведения векторов
Примеры вычисления скалярного произведения векторов для плоских задач
Найти скалярное произведение векторов a = {1; 2} и b = {4; 8}.
Решение: a · b = 1 · 4 + 2 · 8 = 4 + 16 = 20.
Найти скалярное произведение векторов a и b, если их длины |a| = 3, |b| = 6, а угол между векторами равен 60˚.
Решение: a · b = |a| · |b| cos α = 3 · 6 · cos 60˚ = 9.
Найти скалярное произведение векторов p = a + 3b и q = 5a - 3 b, если их длины |a| = 3, |b| = 2, а угол между векторами a и b равен 60˚.
Решение:
p · q = (a + 3b) · (5a - 3b) = 5 a · a - 3 a · b + 15 b · a - 9 b · b =
5 |a| 2 + 12 a · b - 9 |b| 2 = 5 · 3 2 + 12 · 3 · 2 · cos 60˚ - 9 · 2 2 = 45 +36 -36 = 45.
Пример вычисления скалярного произведения векторов для пространственных задач
Найти скалярное произведение векторов a = {1; 2; -5} и b = {4; 8; 1}.
Решение: a · b = 1 · 4 + 2 · 8 + (-5) · 1 = 4 + 16 - 5 = 15.
Пример вычисления скалярного произведения для n -мерных векторов
Найти скалярное произведение векторов a = {1; 2; -5; 2} и b = {4; 8; 1; -2}.
Решение: a · b = 1 · 4 + 2 · 8 + (-5) · 1 + 2 · (-2) = 4 + 16 - 5 -4 = 11.
13. Векторным произведением векторов и вектора называется третий вектор , определяемый следующим образом:
2) перпендикулярно, перпендикулярно. (1"")
3) векторы ориентированы также, как и базис всего пространства (положительно или отрицательно).
Обозначают: .
Физический смысл векторного произведения
― момент силы относительно точки О; ― радиус ― вектор точки приложения силы, тогда
причем, если перенести в точку О, то тройка, должна быть ориентирована как вектора базиса.
Определение 1
Скалярное произведение векторов называют число, равное произведению дин этих векторов на косинус угла между ними.
Обозначение произведения векторов a → и b → имеет вид a → , b → . Преобразуем в формулу:
a → , b → = a → · b → · cos a → , b → ^ . a → и b → обозначают длины векторов, a → , b → ^ - обозначение угла между заданными векторами. Если хоть один вектор нулевой, то есть имеет значение 0, то и результат будет равен нулю, a → , b → = 0
При умножении вектора самого на себя, получим квадрат его дины:
a → , b → = a → · b → · cos a → , a → ^ = a → 2 · cos 0 = a → 2
Определение 2
Скалярное умножение вектора самого на себя называют скалярным квадратом.
Вычисляется по формуле:
a → , b → = a → · b → · cos a → , b → ^ .
Запись a → , b → = a → · b → · cos a → , b → ^ = a → · n p a → b → = b → · n p b → a → показывает, что n p b → a → - это числовая проекция a → на b → , n p a → a → - проекция b → на a → соостветсвенно.
Сформулируем определение произведения для двух векторов:
Скалярное произведение двух векторов a → на b → называют произведение длины вектора a → на проекцию b → на направление a → или произведение длины b → на проекцию a → соответственно.
Скалярное произведение в координатах
Вычисление скалярного произведения можно производить через координаты векторов в заданной плоскости или в пространстве.
Скаларное произведение двух векторов на плоскости, в трехмерном простарнстве называют сумму координат заданных векторов a → и b → .
При вычислении на плоскости скаларного произведения заданных векторов a → = (a x , a y) , b → = (b x , b y) в декартовой системе используют:
a → , b → = a x · b x + a y · b y ,
для трехмерного пространства применимо выражение:
a → , b → = a x · b x + a y · b y + a z · b z .
Фактически это является третьим определением скалярного произведения.
Докажем это.
Доказательство 1
Для доказательства используем a → , b → = a → · b → · cos a → , b → ^ = a x · b x + a y · b y для векторов a → = (a x , a y) , b → = (b x , b y) на декартовой системе.
Следует отложить векторы
O A → = a → = a x , a y и O B → = b → = b x , b y .
Тогда длина вектора A B → будет равна A B → = O B → - O A → = b → - a → = (b x - a x , b y - a y) .
Рассмотрим треугольник O A B .
A B 2 = O A 2 + O B 2 - 2 · O A · O B · cos (∠ A O B) верно, исходя из теоремы косинусов.
По условию видно, что O A = a → , O B = b → , A B = b → - a → , ∠ A O B = a → , b → ^ , значит, формулу нахождения угла между векторами запишем иначе
b → - a → 2 = a → 2 + b → 2 - 2 · a → · b → · cos (a → , b → ^) .
Тогда из первого определения следует, что b → - a → 2 = a → 2 + b → 2 - 2 · (a → , b →) , значит (a → , b →) = 1 2 · (a → 2 + b → 2 - b → - a → 2) .
Применив формулу вычисления длины векторов, получим:
a → , b → = 1 2 · ((a 2 x + a y 2) 2 + (b 2 x + b y 2) 2 - ((b x - a x) 2 + (b y - a y) 2) 2) = = 1 2 · (a 2 x + a 2 y + b 2 x + b 2 y - (b x - a x) 2 - (b y - a y) 2) = = a x · b x + a y · b y
Докажем равенства:
(a → , b →) = a → · b → · cos (a → , b → ^) = = a x · b x + a y · b y + a z · b z
– соответственно для векторов трехмерного пространства.
Скалярное произведение векторов с координатами говорит о том, что скалярный квадрат вектора равен сумме квадратов его координат в пространстве и на плоскости соответственно. a → = (a x , a y , a z) , b → = (b x , b y , b z) и (a → , a →) = a x 2 + a y 2 .
Скалярное произведение и его свойства
Существуют свойства скалярного произведения, которые применимы для a → , b → и c → :
- коммутативность (a → , b →) = (b → , a →) ;
- дистрибутивность (a → + b → , c →) = (a → , c →) + (b → , c →) , (a → + b → , c →) = (a → , b →) + (a → , c →) ;
- сочетательное свойство (λ · a → , b →) = λ · (a → , b →) , (a → , λ · b →) = λ · (a → , b →) , λ - любое число;
- скалярный квадрат всегда больше нуля (a → , a →) ≥ 0 , где (a → , a →) = 0 в том случае, когда a → нулевой.
Свойства объяснимы благодаря определению скалярного произведения на плоскости и свойствам при сложении и умножении действительных чисел.
Доказать свойство коммутативности (a → , b →) = (b → , a →) . Из определения имеем, что (a → , b →) = a y · b y + a y · b y и (b → , a →) = b x · a x + b y · a y .
По свойству коммутативности равенства a x · b x = b x · a x и a y · b y = b y · a y верны, значит a x · b x + a y · b y = b x · a x + b y · a y .
Отсюда следует, что (a → , b →) = (b → , a →) . Что и требовалось доказать.
Дистрибутивность справедлива для любых чисел:
(a (1) → + a (2) → + . . . + a (n) → , b →) = (a (1) → , b →) + (a (2) → , b →) + . . . + (a (n) → , b →)
и (a → , b (1) → + b (2) → + . . . + b (n) →) = (a → , b (1) →) + (a → , b (2) →) + . . . + (a → , b → (n)) ,
отсюда имеем
(a (1) → + a (2) → + . . . + a (n) → , b (1) → + b (2) → + . . . + b (m) →) = = (a (1) → , b (1) →) + (a (1) → , b (2) →) + . . . + (a (1) → , b (m) →) + + (a (2) → , b (1) →) + (a (2) → , b (2) →) + . . . + (a (2) → , b (m) →) + . . . + + (a (n) → , b (1) →) + (a (n) → , b (2) →) + . . . + (a (n) → , b (m) →)
Скалярное произведение с примерами и решениями
Любая задача такого плана решается с применением свойств и формул, касающихся скалярного произведения:
- (a → , b →) = a → · b → · cos (a → , b → ^) ;
- (a → , b →) = a → · n p a → b → = b → · n p b → a → ;
- (a → , b →) = a x · b x + a y · b y или (a → , b →) = a x · b x + a y · b y + a z · b z ;
- (a → , a →) = a → 2 .
Рассмотрим некоторые примеры решения.
Пример 2
Длина a → равна 3, длина b → равна 7. Найти скалярное произведение, если угол имеет 60 градусов.
Решение
По условию имеем все данные, поэтому вычисляем по формуле:
(a → , b →) = a → · b → · cos (a → , b → ^) = 3 · 7 · cos 60 ° = 3 · 7 · 1 2 = 21 2
Ответ: (a → , b →) = 21 2 .
Пример 3
Заданны векторы a → = (1 , - 1 , 2 - 3) , b → = (0 , 2 , 2 + 3) . Чему равно скалярной произведение.
Решение
В данном примере рассматривается формула вычисления по координатам, так как они заданы в условии задачи:
(a → , b →) = a x · b x + a y · b y + a z · b z = = 1 · 0 + (- 1) · 2 + (2 + 3) · (2 + 3) = = 0 - 2 + (2 - 9) = - 9
Ответ: (a → , b →) = - 9
Пример 4
Найти скалярное произведение A B → и A C → . На координатной плоскости заданы точки A (1 , - 3) , B (5 , 4) , C (1 , 1) .
Решение
Для начала вычисляются координаты векторов, так как по условию даны координаты точек:
A B → = (5 - 1 , 4 - (- 3)) = (4 , 7) A C → = (1 - 1 , 1 - (- 3)) = (0 , 4)
Подставив в формулу с использованием координат, получим:
(A B → , A C →) = 4 · 0 + 7 · 4 = 0 + 28 = 28 .
Ответ: (A B → , A C →) = 28 .
Пример 5
Заданы векторы a → = 7 · m → + 3 · n → и b → = 5 · m → + 8 · n → , найти их произведение. m → равен 3 и n → равен 2 единицам, они перпендикулярные.
Решение
(a → , b →) = (7 · m → + 3 · n → , 5 · m → + 8 · n →) . Применив свойство дистрибутивности, получим:
(7 · m → + 3 · n → , 5 · m → + 8 · n →) = = (7 · m → , 5 · m →) + (7 · m → , 8 · n →) + (3 · n → , 5 · m →) + (3 · n → , 8 · n →)
Выносим коэффициент за знак произведения и получим:
(7 · m → , 5 · m →) + (7 · m → , 8 · n →) + (3 · n → , 5 · m →) + (3 · n → , 8 · n →) = = 7 · 5 · (m → , m →) + 7 · 8 · (m → , n →) + 3 · 5 · (n → , m →) + 3 · 8 · (n → , n →) = = 35 · (m → , m →) + 56 · (m → , n →) + 15 · (n → , m →) + 24 · (n → , n →)
По свойству коммутативности преобразуем:
35 · (m → , m →) + 56 · (m → , n →) + 15 · (n → , m →) + 24 · (n → , n →) = = 35 · (m → , m →) + 56 · (m → , n →) + 15 · (m → , n →) + 24 · (n → , n →) = = 35 · (m → , m →) + 71 · (m → , n →) + 24 · (n → , n →)
В итоге получим:
(a → , b →) = 35 · (m → , m →) + 71 · (m → , n →) + 24 · (n → , n →) .
Теперь применим формулу для скалярного произведения с заданным по условию углом:
(a → , b →) = 35 · (m → , m →) + 71 · (m → , n →) + 24 · (n → , n →) = = 35 · m → 2 + 71 · m → · n → · cos (m → , n → ^) + 24 · n → 2 = = 35 · 3 2 + 71 · 3 · 2 · cos π 2 + 24 · 2 2 = 411 .
Ответ: (a → , b →) = 411
Если имеется числовая проекция.
Пример 6
Найти скалярное произведение a → и b → . Вектор a → имеет координаты a → = (9 , 3 , - 3) , проекция b → с координатами (- 3 , - 1 , 1) .
Решение
По условию векторы a → и проекция b → противоположно направленные, потому что a → = - 1 3 · n p a → b → → , значит проекция b → соответствует длине n p a → b → → , при чем со знаком «-»:
n p a → b → → = - n p a → b → → = - (- 3) 2 + (- 1) 2 + 1 2 = - 11 ,
Подставив в формулу, получим выражение:
(a → , b →) = a → · n p a → b → → = 9 2 + 3 2 + (- 3) 2 · (- 11) = - 33 .
Ответ: (a → , b →) = - 33 .
Задачи при известном скалярном произведении, где необходимо отыскать длину вектора или числовую проекцию.
Пример 7
Какое значение должна принять λ при заданном скалярном произведении a → = (1 , 0 , λ + 1) и b → = (λ , 1 , λ) будет равным -1.
Решение
Из формулы видно, что необходимо найти сумму произведений координат:
(a → , b →) = 1 · λ + 0 · 1 + (λ + 1) · λ = λ 2 + 2 · λ .
В дано имеем (a → , b →) = - 1 .
Чтобы найти λ , вычисляем уравнение:
λ 2 + 2 · λ = - 1 , отсюда λ = - 1 .
Ответ: λ = - 1 .
Физический смысл скалярного произведения
Механика рассматривает приложение скалярного произведения.
При работе А с постоянной силой F → перемещаемое тело из точки M в N можно найти произведение длин векторов F → и M N → с косинусом угла между ними, значит работа равна произведению векторов силы и перемещения:
A = (F → , M N →) .
Пример 8
Перемещение материальной точки на 3 метра под действием силы равной 5 ньтонов направлено под углом 45 градусов относительно оси. Найти A .
Решение
Так как работа – это произведение вектора силы на перемещение, значит, исходя из условия F → = 5 , S → = 3 , (F → , S → ^) = 45 ° , получим A = (F → , S →) = F → · S → · cos (F → , S → ^) = 5 · 3 · cos (45 °) = 15 2 2 .
Ответ: A = 15 2 2 .
Пример 9
Материальная точка, перемещаясь из M (2 , - 1 , - 3) в N (5 , 3 λ - 2 , 4) под силой F → = (3 , 1 , 2) , совершила работа равную 13 Дж. Вычислить длину перемещения.
Решение
При заданных координатах вектора M N → имеем M N → = (5 - 2 , 3 λ - 2 - (- 1) , 4 - (- 3)) = (3 , 3 λ - 1 , 7) .
По формуле нахождения работы с векторами F → = (3 , 1 , 2) и M N → = (3 , 3 λ - 1 , 7) получим A = (F ⇒ , M N →) = 3 · 3 + 1 · (3 λ - 1) + 2 · 7 = 22 + 3 λ .
По условию дано, что A = 13 Д ж, значит 22 + 3 λ = 13 . Отсюда следует λ = - 3 , значит и M N → = (3 , 3 λ - 1 , 7) = (3 , - 10 , 7) .
Чтобы найти длину перемещения M N → , применим формулу и подставим значения:
M N → = 3 2 + (- 10) 2 + 7 2 = 158 .
Ответ: 158 .
Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter
Скалярное произведение векторов (далее в тексте СП). Дорогие друзья! В состав экзамена по математике входит группа задач на решение векторов. Некоторые задачи мы уже рассмотрели. Можете посмотреть их в категории «Векторы». В целом, теория векторов несложная, главное последовательно её изучить. Вычисления и действия с векторами в школьном курсе математики просты, формулы не сложные. Загляните в . В этой статье мы разберём задачи на СП векторов (входят в ЕГЭ). Теперь «погружение» в теорию:
Ч тобы найти координаты вектора, нужно из координат его конца вычесть соответствующие координаты его начала
И ещё:
*Длина вектора (модуль) определяется следующим образом:
Данные формулы необходимо запомнить!!!
Покажем угол между векторами:
Понятно, что он может изменяться в пределах от 0 до 180 0 (или в радианах от 0 до Пи).
Можем сделать некоторые выводы о знаке скалярного произведения. Длины векторов имеют положительное значение, это очевидно. Значит знак скалярного произведения зависит от значения косинуса угла между векторами.
Возможны случаи:
1. Если угол между векторами острый (от 0 0 до 90 0), то косинус угла будет иметь положительное значение.
2. Если угол между векторами тупой (от 90 0 до 180 0), то косинус угла будет иметь отрицательное значение.
*При нуле градусов, то есть когда векторы имеют одинаковое направление, косинус равен единице и соответственно результат будет положительным.
При 180 о, то есть когда векторы имеют противоположные направления, косинус равен минус единице, и соответственно результат будет отрицательным.
Теперь ВАЖНЫЙ МОМЕНТ!
При 90 о, то есть когда векторы перпендикулярны друг другу, косинус равен нулю, а значит и СП равно нулю. Этот факт (следствие, вывод) используется при решение многих задач, где речь идёт о взаимном расположении векторов, в том числе и в задачах входящих в открытый банк заданий по математике.
Сформулируем утверждение: скалярное произведение равно нулю тогда и только тогда, когда данные векторы лежат на перпендикулярных прямых.
Итак, формулы СП векторов:
Если известны координаты векторов или координаты точек их начал и концов, то всегда сможем найти угол между векторами:
Рассмотрим задачи:
27724 Найдите скалярное произведение векторов a и b .
Скалярное произведение векторов мы можем найти по одной из двух формул:
Угол между векторами неизвестен, но мы без труда можем найти координаты векторов и далее воспользоваться первой формулой. Так как начала обоих векторов совпадают с началом координат, то координаты данных векторов равны координатам их концов, то есть
Как найти координаты вектора изложено в .
Вычисляем:
Ответ: 40
Найдём координаты векторов и воспользуемся формулой:
Чтобы найти координаты вектора необходимо из координат конца вектора вычесть соответствующие координаты его начала, значит
Вычисляем скалярное произведение:
Ответ: 40
Найдите угол между векторами a и b . Ответ дайте в градусах.
Пусть координаты векторов имеют вид:
Для нахождения угла между векторами используем формулу скалярного произведения векторов:
Косинус угла между векторами:
Следовательно:
Координаты данных векторов равны:
Подставим их в формулу:
Угол между векторами равен 45 градусам.
Ответ: 45
Угол между векторами
Рассмотрим два данных вектора $\overrightarrow{a}$ и $\overrightarrow{b}$. Отложим от произвольно выбранной точки $O$ векторы $\overrightarrow{a}=\overrightarrow{OA}$ и $\overrightarrow{b}=\overrightarrow{OB}$, тогда угол $AOB$ называется углом между векторами $\overrightarrow{a}$ и $\overrightarrow{b}$ (рис. 1).
Рисунок 1.
Отметим здесь, что если векторы $\overrightarrow{a}$ и $\overrightarrow{b}$ сонаправлены или один из них является нулевым вектором, тогда угол между векторами равен $0^0$.
Обозначение: $\widehat{\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}}$
Понятие скалярного произведения векторов
Математически это определение можно записать следующим образом:
Скалярное произведение может равняться нулю в двух случаях:
Если один из векторов будет нулевым вектором (Так как тогда его длина равна нулю).
Если векторы будут взаимно перпендикулярны (то есть $cos{90}^0=0$).
Отметим также, что скалярное произведение больше нуля, если угол между этими векторами острый (так как ${cos \left(\widehat{\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}}\right)\ } >0$), и меньше нуля, если угол между этими векторами тупой (так как ${cos \left(\widehat{\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}}\right)\ }
С понятием скалярного произведения связано понятие скалярного квадрата.
Определение 2
Скалярным квадратом вектора $\overrightarrow{a}$ называется скалярное произведение этого вектора самого на себя.
Получаем, что скалярный квадрат равен
\[\overrightarrow{a}\overrightarrow{a}=\left|\overrightarrow{a}\right|\left|\overrightarrow{a}\right|{cos 0^0\ }=\left|\overrightarrow{a}\right|\left|\overrightarrow{a}\right|={\left|\overrightarrow{a}\right|}^2\]
Вычисление скалярного произведения по координатам векторов
Помимо стандартного способа нахождения значения скалярного произведения, который вытекает из определения, существует еще один способ.
Рассмотрим его.
Пусть векторы $\overrightarrow{a}$ и $\overrightarrow{b}$ имеют координаты $\left(a_1,b_1\right)$ и $\left(a_2,b_2\right)$, соответственно.
Теорема 1
Скалярное произведение векторов $\overrightarrow{a}$ и $\overrightarrow{b}$ равно сумме произведений соответствующих координат.
Математически это можно записать следующим образом
\[\overrightarrow{a}\overrightarrow{b}=a_1a_2+b_1b_2\]
Доказательство.
Теорема доказана.
Эта теорема имеет несколько следствий:
Следствие 1: Векторы $\overrightarrow{a}$ и $\overrightarrow{b}$ перпендикулярны тогда и только тогда, когда $a_1a_2+b_1b_2=0$
Следствие 2: Косинус угла между векторами равен $cos\alpha =\frac{a_1a_2+b_1b_2}{\sqrt{a^2_1+b^2_1}\cdot \sqrt{a^2_2+b^2_2}}$
Свойства скалярного произведения векторов
Для любых трех векторов и действительного числа $k$ справедливо:
${\overrightarrow{a}}^2\ge 0$
Данное свойство следует из определения скалярного квадрата (определение 2).
Переместительный закон: $\overrightarrow{a}\overrightarrow{b}=\overrightarrow{b}\overrightarrow{a}$.
Данное свойство следует из определения скалярного произведения (определение 1).
Распределительный закон:
$\left(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\right)\overrightarrow{c}=\overrightarrow{a}\overrightarrow{c}+\overrightarrow{b}\overrightarrow{c}$. \end{enumerate}
По теореме 1, имеем:
\[\left(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\right)\overrightarrow{c}=\left(a_1+a_2\right)a_3+\left(b_1+b_2\right)b_3=a_1a_3+a_2a_3+b_1b_3+b_2b_3==\overrightarrow{a}\overrightarrow{c}+\overrightarrow{b}\overrightarrow{c}\]
Сочетательный закон: $\left(k\overrightarrow{a}\right)\overrightarrow{b}=k(\overrightarrow{a}\overrightarrow{b})$. \end{enumerate}
По теореме 1, имеем:
\[\left(k\overrightarrow{a}\right)\overrightarrow{b}=ka_1a_2+kb_1b_2=k\left(a_1a_2+b_1b_2\right)=k(\overrightarrow{a}\overrightarrow{b})\]
Пример задачи на вычисление скалярного произведения векторов
Пример 1
Найти скалярное произведение векторов $\overrightarrow{a}$ и $\overrightarrow{b}$, если $\left|\overrightarrow{a}\right|=3$ и $\left|\overrightarrow{b}\right|=2$, а угол между ними равен ${{30}^0,\ 45}^0,\ {90}^0,\ {135}^0$.
Решение.
Используя определение 1, получаем
Для ${30}^0:$
\[\overrightarrow{a}\overrightarrow{b}=6{cos \left({30}^0\right)\ }=6\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=3\sqrt{3}\]
Для ${45}^0:$
\[\overrightarrow{a}\overrightarrow{b}=6{cos \left({45}^0\right)\ }=6\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}=3\sqrt{2}\]
Для ${90}^0:$
\[\overrightarrow{a}\overrightarrow{b}=6{cos \left({90}^0\right)\ }=6\cdot 0=0\]
Для ${135}^0:$
\[\overrightarrow{a}\overrightarrow{b}=6{cos \left({135}^0\right)\ }=6\cdot \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)=-3\sqrt{2}\]