Свойства
где нижний индекс обозначает сторону, к которой проведён перпендикуляр, - площадь треугольника, а также предполагается, что стороны связаны неравенствами и Иными словами у треугольника наименьший серединный перпендикуляр относится к среднему отрезку.Напишите отзыв о статье "Серединный перпендикуляр"
Примечания
Отрывок, характеризующий Серединный перпендикуляр
Кутузов, остановившись жевать, удивленно, как будто не понимая того, что ему говорили, уставился на Вольцогена. Вольцоген, заметив волнение des alten Herrn, [старого господина (нем.) ] с улыбкой сказал:– Я не считал себя вправе скрыть от вашей светлости того, что я видел… Войска в полном расстройстве…
– Вы видели? Вы видели?.. – нахмурившись, закричал Кутузов, быстро вставая и наступая на Вольцогена. – Как вы… как вы смеете!.. – делая угрожающие жесты трясущимися руками и захлебываясь, закричал он. – Как смоете вы, милостивый государь, говорить это мне. Вы ничего не знаете. Передайте от меня генералу Барклаю, что его сведения неверны и что настоящий ход сражения известен мне, главнокомандующему, лучше, чем ему.
Вольцоген хотел возразить что то, но Кутузов перебил его.
– Неприятель отбит на левом и поражен на правом фланге. Ежели вы плохо видели, милостивый государь, то не позволяйте себе говорить того, чего вы не знаете. Извольте ехать к генералу Барклаю и передать ему назавтра мое непременное намерение атаковать неприятеля, – строго сказал Кутузов. Все молчали, и слышно было одно тяжелое дыхание запыхавшегося старого генерала. – Отбиты везде, за что я благодарю бога и наше храброе войско. Неприятель побежден, и завтра погоним его из священной земли русской, – сказал Кутузов, крестясь; и вдруг всхлипнул от наступивших слез. Вольцоген, пожав плечами и скривив губы, молча отошел к стороне, удивляясь uber diese Eingenommenheit des alten Herrn. [на это самодурство старого господина. (нем.) ]
– Да, вот он, мой герой, – сказал Кутузов к полному красивому черноволосому генералу, который в это время входил на курган. Это был Раевский, проведший весь день на главном пункте Бородинского поля.
Раевский доносил, что войска твердо стоят на своих местах и что французы не смеют атаковать более. Выслушав его, Кутузов по французски сказал:
– Vous ne pensez donc pas comme lesautres que nous sommes obliges de nous retirer? [Вы, стало быть, не думаете, как другие, что мы должны отступить?]
На предыдущем уроке мы рассмотрели свойства биссектрисы угла как заключенного в треугольник, так и свободного. Треугольник включает в себя три угла и для каждого из них рассмотренные свойства биссектрисы сохраняются.
Теорема:
Биссектрисы АА 1 , ВВ 1 , СС 1 треугольника пересекаются в одной точке О (рис. 1).
Рис. 1. Иллюстрация к теореме
Доказательство:
Рассмотрим сначала две биссектрисы ВВ 1 и СС 1 . Они пересекаются, точка пересечения О существует. Чтобы доказать это, предположим противное: пусть данные биссектрисы не пересекаются, в таком случае они параллельны. Тогда прямая ВС является секущей и сумма углов , это противоречит тому, что во всем треугольнике сумма углов .
Итак, точка О пересечения двух биссектрис существует. Рассмотрим ее свойства:
Точка О лежит на биссектрисе угла , значит, она равноудалена от его сторон ВА и ВС. Если ОК - перпендикуляр к ВС, OL - перпендикуляр к ВА, то длины этих перпендикуляров равны - . Также точка О лежит на биссектрисе угла и равноудалена от его сторон CВ и СА, перпендикуляры ОМ и ОК равны.
Получили следующие равенства:
, то есть все три перпендикуляра, опущенные из точки О на стороны треугольника, равны между собой.
Нас интересует равенство перпендикуляров OL и ОМ. Это равенство говорит о том, что точка О равноудалена от сторон угла , отсюда следует, что она лежит на его биссектрисе АА 1 .
Таким образом, мы доказали, что все три биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке.
Кроме того, треугольник состоит из трех отрезков, значит, нам следует рассмотреть свойства отдельного отрезка.
Задан отрезок АВ. У любого отрезка есть середина, и через нее можно провести перпендикуляр - обозначим его за р. Таким образом, р - серединный перпендикуляр.
Рис. 2. Иллюстрация к теореме
Любая точка, лежащая на серединном перпендикуляре, равноудалена от концов отрезка.
Доказать, что (рис. 2).
Доказательство:
Рассмотрим треугольники и . Они прямоугольные и равные, т. к. имеют общий катет ОМ, а катеты АО и ОВ равны по условию, таким образом, имеем два прямоугольных треугольника, равных по двум катетам. Отсюда следует, что гипотенузы треугольников тоже равны, то есть, , что и требовалось доказать.
Справедлива обратная теорема.
Каждая точка, равноудаленная от концов отрезка, лежит на серединном перпендикуляре к этому отрезку.
Задан отрезок АВ, серединный перпендикуляр к нему р, точка М, равноудаленная от концов отрезка. Доказать, что точка М лежит на серединном перпендикуляре к отрезку (рис. 3).
Рис. 3. Иллюстрация к теореме
Доказательство:
Рассмотрим треугольник . Он равнобедренный, так как по условию. Рассмотрим медиану треугольника: точка О - середина основания АВ, ОМ - медиана. Согласно свойству равнобедренного треугольника, медиана, проведенная к его основанию, является одновременно высотой и биссектрисой. Отсюда следует, что . Но прямая р также перпендикулярна АВ. Мы знаем, что в точку О можно провести единственный перпендикуляр к отрезку АВ, значит прямые ОМ и р совпадают, отсюда следует, что точка М принадлежит прямой р, что и требовалось доказать.
Прямую и обратную теоремы можно обобщить.
Точка лежит на серединном перпендикуляре к отрезку тогда и только тогда, когда она равноудалена от концов этого отрезка.
Итак, повторим, что в треугольнике три отрезка и к каждому из них применимо свойство серединного перпендикуляра.
Теорема:
Серединные перпендикуляры треугольника пересекаются в одной точке.
Задан треугольник . Перпендикуляры к его сторонам: Р 1 к стороне ВС, Р 2 к стороне АС, Р 3 к стороне АВ.
Доказать, что перпендикуляры Р 1 , Р 2 и Р 3 пересекаются в точке О (рис. 4).
Рис. 4. Иллюстрация к теореме
Доказательство:
Рассмотрим два серединных перпендикуляра Р 2 и Р 3 , они пересекаются, точка пересечения О существует. Докажем этот факт от противного - пусть перпендикуляры Р 2 и Р 3 параллельны. Тогда угол развернутый, что противоречит тому факту, что сумма трех углов треугольника составляет . Итак, существует точка О пересечения двух из трех серединных перпендикуляров. Свойства точки О: она лежит на серединном перпендикуляре к стороне АВ, значит, она равноудалена от концов отрезка АВ: . Также она лежит на серединном перпендикуляре к стороне АС, значит, . Получили следующие равенства.
Инструкция
Через точки пересечения окружностей проведите прямую. Вы получили серединный перпендикуляр к заданному отрезку.
Пусть теперь нам задана точка и прямая. Необходимо провести перпендикуляр из этой точки к .Поставьте иглу в точку. Проведите окружность радиуса (радиус должен быть от точки до прямой, чтобы окружность могла пересечь прямую в двух точках). Теперь вы имеете две точки на прямой. Эти точки создают отрезок. Постройте серединный перпендикуляр к отрезку, концами являются полученные точки, по алгоритму, рассмотренному выше. Перпендикуляр должен пройти через начальную точку.
Построение прямых - основа технического черчения. Сейчас это все чаще делается с помощью графических редакторов, которые предоставляют проектировщику большие возможности. Однако некоторые принципы построения остаются теми же, что и в классическом черчении - с помощью карандаша и линейки.
Вам понадобится
- - лист бумаги;
- - карандаш;
- - линейка;
- - компьютер с программой AutoCAD.
Инструкция
Начните с классического построения. Определите плоскость, в которой вы будете строить прямую. Пусть это будет плоскость листа бумаги. В зависимости от условий задачи расположите . Они могут быть произвольными, но не исключено, что задана -то система координат. Произвольные точки поставьте там, где вам больше понравится. Обозначьте их как А и В. С помощью линейки соедините их. Согласно аксиоме, через две точки всегда можно провести прямую, притом только одну.
Начертите систему координат. Пусть вам даны точки А (х1; у1). Чтобы их , необходимо отложить по оси х нужное число и провести через отмеченную точку прямую, параллельную оси у. Затем отложите величину, равную у1, по соответствующей оси. Из отмеченной точки проведите перпендикуляр до его пересечения с . Место их пересечения и будет точкой А. Таким же образом найдите точку В, координаты которой можно обозначить как (х2; у2). Соедините обе точки .
В программе AutoCAD прямую можно построить несколькими . Функция «по » обычно установлена по умолчании. Найдите в верхнем меню вкладку «Главная». Вы увидите перед собой панель «Рисование». Найдите кнопку с изображением прямой линии и нажмите на нее.
AutoCAD позволяет также задать координаты обеих . Наберите в находящейся внизу командной строке (_xline). Нажмите Enter. Введите координаты первой точки и тоже нажмите на ввод. Точно также определите и вторую точку. Ее можно указать и щелчком мыши, поставив курсор в нужную точку экрана.
В AutoCAD можно построить прямую не только по двум точкам, но и по углу наклона. В контекстном меню «Рисование» выберите прямую, а затем опцию «Угол». Исходную точку можно поставить щелчком мыши или по , как и в предыдущем способе. Затем задайте размер угла и нажмите на ввод. По умолчании прямая расположится под нужным углом к горизонтали.
Видео по теме
На комплексном чертеже (эпюре) перпендикулярность прямой и плоскости определяется основными положениями: если одна сторона прямого угла параллельна плоскости проекций, то на эту плоскость прямой угол проектируется без искажения; если прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым плоскости , она перпендикулярна этой плоскости .
Вам понадобится
- Карандаш, линейка, транспортир, треугольник.
Инструкция
Пример: через точку M провести перпендикуляр к плоскости Чтобы провести перпендикуляр к плоскости , следует две пересекающиеся прямые, лежащие в этой плоскости , и построить перпендикулярную к ним прямую. В качестве этих двух пересекающихся прямых выбираются фронталь и горизонталь плоскости .
Фронталь f(f₁f₂) – это прямая, лежащая в плоскости и параллельная фронтальной плоскости проекций П₂. Значит f₂ ее натуральной величине, а f₁ всегда параллельна x₁₂. Из точки А₂ проведите h₂ параллельно x₁₂ и получите на В₂С₂ точку 1₂.
С помощью проекционной линии связи точку 1₁ на В₁С₁. Соедините с А₁ – это h₁ – натуральная величина горизонтали. Из точки В₁ проведите f₁‖x₁₂, на А₁С₁ получите точку 2₁. Найдите с помощью линии проекционной связи точку 2₂ на А₂С₂. Соедините с точкой В₂ – это будет f₂ – натуральная величина фронтали.
Построенные натуральные горизонтали h₁ и фронтали f₂ проекций перпендикуляра к плоскости . Из точки М₂ проведите его фронтальную проекцию a₂ под углом 90
Словарь терминов планиметрии - Здесь собраны определения терминов из планиметрии. Курсивом выделены ссылки на термины в этом словаре (на этой странице). # А Б В Г Д Е Ё Ж З И К Л М Н О П Р С … Википедия
Коллинеарные точки
Конкурентные прямые - Здесь собраны определения терминов из планиметрии. Курсивом выделены ссылки на термины в этом словаре (на этой странице). # А Б В Г Д Е Ё Ж З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф … Википедия
Окружность Аполония - Здесь собраны определения терминов из планиметрии. Курсивом выделены ссылки на термины в этом словаре (на этой странице). # А Б В Г Д Е Ё Ж З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф … Википедия
Преобразование плоскости - Здесь собраны определения терминов из планиметрии. Курсивом выделены ссылки на термины в этом словаре (на этой странице). # А Б В Г Д Е Ё Ж З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф … Википедия
Чевиана - Здесь собраны определения терминов из планиметрии. Курсивом выделены ссылки на термины в этом словаре (на этой странице). # А Б В Г Д Е Ё Ж З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф … Википедия
Глоссарий планиметрии - Эта страница глоссарий. См. также основную статью: Планиметрия Здесь собраны определения терминов из планиметрии. Курсивом выделены ссылки на термины в этом словаре (на этой странице) … Википедия
Задача Аполлония - Задача Аполлония построить с помощью циркуля и линейки окружность, касающуюся трех данных окружностей. По легенде, задача сформулирована Аполлонием Пергским примерно в 220 г. до н. э. в книге «Касания», которая была потеряна … Википедия
Задача Аполония - Задача Аполлония построить с помощью циркуля и линейки окружность, касающуюся трех данных окружностей. По легенде, задача сформулирована Аполлонием Пергским примерно в 220 г. до н. э. в книге «Касания», которая была потеряна, но была… … Википедия
Диаграмма Вороного - случайного множества точек на плоскости Диаграмма Вороного конечного множества точек S на плоскости представляет такое разбиение плоскости, при котором ка … Википедия