Рассмотрим наиболее общие законы сохранения, которым подчиняется весь материальный мир и которые вводят в физику ряд фундаментальных понятий: энергия, количество движения (импульс), момент импульса, заряд.

Закон сохранения импульса

Как известно, количеством движения, или импульсом, называют произведение скорости на массу движущегося тела: p = mv Эта физическая величина позволяет найти изменение движения тела за какой‑нибудь определенный промежуток времени. Для решения этой задачи следовало бы применять второй закон Ньютона бесчисленное число раз, во все промежуточные моменты времени. Закон сохранения количества движения (импульса) можно получить, используя второй и третий законы Ньютона. Если рассматривать две (или более) материальные точки (тела), взаимодействующие между собой и образующие систему, изолированную от действия внешних сил, то за время движения импульсы каждой точки (тела) могут изменяться, но общий импульс системы должен оставаться неизменным:

m 1 v +m 1 v 2 = const.

Взаимодействующие тела обмениваются импульсами при сохранении общего импульса.

В общем случае получаем:

где P Σ – общий, суммарный импульс системы,m i v i – импульсы отдельных взаимодействующих частей системы. Сформулируем закон сохранения импульса:

Если сумма внешних сил равна нулю, импульс системы тел остается постоянным при любых происходящих в ней процессах.

Пример действия закона сохранения импульса можно рассмотреть на процессе взаимодействия лодки с человеком, которая уткнулась носом в берег, а человек в лодке быстро идет из кормы в нос со скоростью v 1 . В этом случае лодка отойдет от берега со скоростьюv 2 :

Аналогичный пример можно привести со снарядом, который разорвался в воздухе на несколько частей. Векторная сумма импульсов всех осколков равна импульсу снаряда до разрыва.

Закон сохранения момента импульса

Вращение твердых тел удобно характеризовать физической величиной, которая называется моментом импульса.

При вращении твердого тела вокруг неподвижной оси каждая отдельная частица тела движется по окружности радиусом r i с какой‑то линейной скоростьюv i . Скоростьv i и импульсp = m i v i перпендикулярны радиусу r i . Произведение импульсаp = m i v i на радиусr i называется моментом импульса частицы:

L i = m i v i r i = P i r i ·

Момент импульса всего тела:

Если заменить линейную скорость угловой щ (v i = ωr i), то

где J = mr 2 – момент инерции.

Момент импульса замкнутой системы не изменяется во времени, то есть L = const и Jω = const.

При этом моменты импульса отдельных частиц вращающегося тела могут как угодно изменяться, однако общий момент импульса (сумма моментов импульса отдельных частей тела) остается постоянным. Продемонстрировать закон сохранения момента импульса можно, наблюдая вращение фигуриста на коньках с руками, вытянутыми в стороны, и с руками, поднятыми над головой. Так как Jω = const, то во втором случае момент инерции J уменьшается, значит, при этом должна возрасти угловая скорость щ, так как Jω = const.

Закон сохранения энергии

Энергия – это универсальная мера различных форм движения и взаимодействия. Энергия, отданная одним телом другому, всегда равна энергии, полученной другим телом. Для количественной оценки процесса обмена энергией между взаимодействующими телами в механике вводится понятие работы силы, вызывающей движение.

Кинетическая энергия механической системы – это энергия механического движения этой системы. Сила, вызывающая движение тела, совершает работу, а энергия движущегося тела возрастает на величину затраченной работы. Как известно, тело массой m, движущееся со скоростьюv, обладает кинетической энергиейE =mv 2 /2.

Потенциальная энергия – это механическая энергия системы тел, которые взаимодействуют посредством силовых полей, например посредством гравитационных сил. Работа, совершаемая этими силами, при перемещении тела из одного положения в другое не зависит от траектории движения, а зависит только от начального и конечного положения тела в силовом поле.

Такие силовые поля называют потенциальными, а силы, действующие в них, – консервативными. Гравитационные силы являются консервативными силами, а потенциальная энергия тела массойm, поднятого на высотуh над поверхностью Земли, равна

Е пот = mgh,

где g – ускорение свободного падения.

Полная механическая энергия равна сумме кинетической и потенциальной энергии:

E = Е кин + Е пот

Закон сохранения механической энергии (1686 г., Лейбниц) гласит, что в системе тел, между которыми действуют только консервативные силы, полная механическая энергия сохраняется неизменной во времени. При этом могут происходить превращения кинетической энергии в потенциальную и обратно в эквивалентных количествах.

Существуют еще один вид систем, в которых механическая энергия может уменьшаться за счет преобразования в другие формы энергии. Например, при движении системы с трением часть механической энергии уменьшается за счет трения. Такие системы называются диссипативными, то есть системами, рассеивающими механическую энергию. В таких системах закон сохранения полной механической энергии несправедлив. Однако при уменьшении механической энергии всегда возникает эквивалентное этому уменьшению количество энергии другого вида. Таким образом,энергия никогда не исчезает и не появляется вновь, она лишь превращается из одного вида в другой. Здесь проявляется свойство неуничтожимости материи и ее движения.

Рассмотрим действие друг на друга двух изолированных тел не взаимодействующих с другими телами. Будем считать силы во все время взаимодействия постоянными. В соответствии со вторым законом динамики изменение количества движения первого тела:

где - интервал времени взаимодействия.

Изменение количества движения второго тела:

где -сила, действующая со стороны первого тела на второе.

Согласно третьему закону Ньютона

и, кроме того, очевидно,

Следовательно,

Независимо от природы сил взаимодействия и длительности их действия общее количество движения двух изолированных тел остается постоянным.

Полученный результат может быть распространен на любое число взаимодействующих тел и на силы, меняющиеся со временем. Для этого интервал времени в течение которого происходит взаимодействие тел, разобьем на столь малые промежутки в течение каждого из которых силу можно с заданной степенью точности считать постоянной. В течение каждого промежутка времени будет выполняться соотношение (1.8). Следовательно, оно будет справедливо и для всего интервала времени

Для обобщения вывода на взаимодействующих тел введем понятие замкнутой системы.

Замкнутой называется система тел, для которой результирующая внешних сил равна нулю.

Пусть материальных точек массами образуют замкнутую систему. Изменение количества движения каждой из этих точек в результате взаимодействия ее со всеми остальными точками системы соответственно:

Обозначим внутренние силы, действующие на точку массой со стороны других точек, через на точку массой и т. д. (Первый индекс обозначает точку, на которую действует сила; второй индекс указывает точку, ос стороны которой действует сила.)

Запишем в принятых обозначениях второй закон динамики для каждой точки в отдельности:

Число уравнений равно числу тел системы. Чтобы найти общее изменение количества движения системы, нужно подсчитать геометрическую сумму изменений количества движения всех точек системы. Просуммировав равенства (1.9), мы получим в левой части полный вектор изменения количества движения системы за время, а в правой части - элементарный импульс результирующей всех сил, действующих в системе. Но так как система замкнута, то результирующая сил равна нулю. В самом деле, по третьему закону динамики каждой силе в равенствах (1.9) соответствует сила причем

т. е. и т. д.,

и результирующая этих сил равна нулю. Следовательно, во всей замкнутой системе изменение количества движения равно нулю:

полное количество движения замкнутой системы - величина постоянная во все время движения (закон сохранения количества движения).

Закон сохранения количества движения - один из фундаментальных законов физики, справедливый как для систем макроскопических тел, так и для систем, образованных микроскопическими телами: молекулами, атомами и т. п.

Если на точки системы действуют внешние силы, то количество движения, которым обладает система, изменяется.

Напишем уравнения (1.9), включив в них результирующие внешних сил действующих соответственно на первую, вторую и т. д. До -й точки:

Сложив левые и правые части уравнений, мы получим: слева - полный вектор изменения количества движения системы; справа - импульс результирующей внешних сил:

или, обозначая результирующую внешних сил:

изменение полного количества движения системы тел равно импульсу результирующей внешних сил.

Равенство (1.13) может быть записано в другом виде:

производная по времени от общего количества движения системы точек равна результирующей внешних сил, действующих на точки системы.

Проецируя векторы количества движения системы и внешних сил на три взаимно перпендикулярные оси, вместо векторного равенства (6.14) получим три скалярных уравнения вида:

Если вдоль какой-либо оси, скажем, составляющая результирующей внешних сил равна нулю, то количество движения вдоль этой оси не изменяется, т. е., будучи вообще незамкнутой, в направлении система может рассматриваться как замкнутая.

Мы рассмотрели передачу механического движения от одних тел к другим без перехода его в другие формы движения материи.

Величина «mv оказывается здесь мерой просто перенесенного, т. е. продолжающегося, движения… ».

Применение закона изменения количества движения к задаче о движении системы тел позволяет исключить из рассмотрения все внутренние силы, что упрощает теоретическое исследования и решения практических задач.

1. Пусть на покоящейся тележке неподвижно стоит человек (рис. 2. а). Количество движения системы человек - тележка равно нулю. Замкнута ли эта система? На нее действуют внешние силы - сила тяжести и сила трения между колесами тележки и полом. Вообще говоря, система не замкнута. Однако, поставив тележку на рельсы и соответствующим образом обработав поверхность рельсов и колес, т. е. значительно уменьшив трение между ними, можно силой трения пренебречь.

Сила тяжести, направления вертикально вниз, уравновешивается реакцией деформированных рельсов, и результирующая этих сил не может сообщить системе горизонтального ускорения, т. е. не может изменить скорость, а следовательно, и количество движения системы. Таким образом, мы можем с известной степенью приближения считать данную систему замкнутой.

Положим теперь, что человек сходит с тележки влево(рис. 2. б), имея скорость. Чтобы приобрести эту скорость, человек должен, сократив свои мышцы, подействовать ступнями ног на площадку тележки и деформировать ее. Сила, действующая со стороны деформированной площадки на ступни человека, сообщает телу человека ускорение влево, а сила, действующая со стороны деформированных ступней человека (в соответствии с третьим законом динамики), сообщает тележке ускорение вправо. В результате, когда взаимодействие прекратится (человек сойдет с тележки), тележка приобретает некоторую скорость.

Для нахождения скоростей и с помощью основных законов динамики надо было бы знать, как меняются силы взаимодействия человека и тележки со временем и где приложены эти силы. Закон сохранения количества движения позволяет сразу найти отношение скоростей человека и тележки, а также указать их взаимную направленность, если известны значения масс человека и тележки.

Пока человек неподвижно стоит на тележке, общее количество движения системы остается равным нулю:

Скорости, приобретенные человеком и тележкой, обратно пропорциональны их массам. Знак «минус» указывает на их противоположную направленность.

2. Если человек, двигаясь со скоростью, вбегает на неподвижно стоящую тележку и останавливается на ней, то тележка приходит в движение, так что общее количество движения ее и человека оказывается равным количеству движения, которым обладал раньше человек один:

3. Человек, движущийся со скоростью,вбегает на тележку, перемещающуюся ему навстречу со скоростью, и останавливается на ней. Далее система человек - тележка движется с общей скоростью Общее количество движения человека и тележки равно сумме количеств движения, которыми они обладали каждый в отдельности:

4. Использовав то обстоятельство,что тележка может перемещаться только вдоль рельсов, можно продемонстрировать векторный характер изменения количества движения. Если человек входит и останавливается на неподвижной до этого тележке один раз вдоль направления возможного ее движения, второй раз - под углом 45є, а третий - под углом 90є к этому направлению, то во втором случае скорость, приобретенная тележкой, примерно в полтора раза меньше, чем в первом, а в третьем случае тележка неподвижна.

Если сумма всех внешних сил, действующих на систему равна нулю:

Тогда из уравнения (8.14) следует, что:

, т.е.:
,

а это означает, что
, т.е.
.

Таким образом, если сумма всех внешних сил, действующих на систему равна нулю, то вектор количества движения системы будет постоянный по величине и направлению.

В случае, если внешние силы, действующие на систему таковы, что сумма их проекций на какую-нибудь ось (например, ОХ) равна нулю:

.

То тогда проекция количества движения системы на эту ось есть величина постоянная:

.

Эти результаты выражают закон сохранения количества движения системы. Отсюда следует, что внутренние силы системы не могут изменить вектор количества движения системы.

При решении задач с помощью закона сохранения главного вектора количеств движения, следует придерживаться следующей последовательности:

Задача 8.2 (36.3)

Определить главный вектор количеств движения маятника, состоящего из однородного стержня ОА весом Р 1 длиной 4r и однородного диска В весом Р 2 радиуса r , если угловая скорость маятника в данный момент равна ω .

В данной задаче система состоит из двух тел: стержня, длиной 4r и однородного диска радиусом r. Центр масс стержня находится в геометрическом центре (точка С), причем ОС=СА, центр масс диска находится в его геометрическом центре (точка В), так как тела однородные. Тогда для стержня вектор количества движения можно вычислить:

Так как
, тогда модуль вектора количеств движения стержня будет:

.

Вектор направлен перпендикулярно стержнюОА . Для диска вектор количеств движения равен:

.

Скорость в точке В можно определить:

.

Тогда модуль будет равен:

.

Модуль вектора количеств движения системы определится следующим образом:

, тогда

Ответ:
, вектор количеств движения направлен перпендикулярно стержнюОА.

Вопросы для самоконтроля:

Что такое количество движения материальной точки и механической системы?

Теорема об изменении количества движения в дифференциальной форме?

Теорема об изменении количества движения в интегральной форме?

Литература: – .

Лекция 9

1. Теорема об изменении момента количества движения точки

Моментом вектора
относительно данного центра О или осиZ обозначается соответственно
и
называется моментом количества движения или кинетическим моментом точки относительно центра или оси.

Вычисляется момент вектора
так же как и момент силы.

– для момента вектора
относительно центра:

.

– для момента вектора
относительно оси:

,

где – кратчайшее расстояние между точкой приложения вектора
и осью или центром;

Рис.45

Чтобы уяснить механический смысл величины и иметь необхо­димые формулы для решения задач, вычислим кинетический момент тела, вращающегося вокруг неподвижнойоси (рис.45).Приэтом, как обычно, определение вектора сводится к определению его проекций .

Найдем сначала наиболее важ­ную для приложений формулу, оп­ределяющую величину К z , т.е. кине­тический момент вращающегося тела относительно оси вращения.

Для любой точки тела, отстоя­щей от оси вращения на расстоя­нии , скорость . Сле­довательно, для этой точки . Тогда для всего тела, вынося общий множитель за скобку, получим

Величина, стоящая в скобке, представляет собою момент инерции тела относительно оси z . Окончательно находим

Таким образом, кинетический момент вращающегося тела относительно оси вращения равен произведению момента инерции тела относительно этой оси на угловую скорость тела.

Если система состоит из нескольких тел, вращающихся вокруг одной и той же оси, то, очевидно, будет

Легко видеть аналогию между формулами и : количество движения равно произведению массы (величина, характеризующая инертность тела при поступательном движении) на скорость; кинети­ческий момент равен произведению момента инерции (величина, характеризующая инертность тела при вращательном движении) на угловую скорость.

Теорема об изменении главного момента количеств движения системы (теорема моментов).

Теорема моментов для одной материальной точки будет справедлива для каждой из точек системы. Следовательно, если рассмотреть точку системы с массой , имеющую скорость , то для нее будет

где и - равнодействующие всех внешних и внутренних сил, действующих на данную точку.

Составляя такие уравнения для всех точек системы и складывая их почленно, получим:

Но последняя сумма по свойству внутренних сил системы равна нулю. Тогда найдем окончательно:

Полученное уравнение выражает следующую теорему моментов для системы: производнаяпо времени от главногомомента количеств движения системы относительно некоторого неподвижного центра, равна сумме моментов всех внешних сил системы относительно того же центра.

Проектируя обе части равенства на неподвижные оси Охуz , получим:

Уравнения выражают теорему моментов относительно любой неподвижной оси.

В кинематике было показано, что движение твердого тела в общем случае сла­гается из поступательного движения вместе с некоторым полюсом и вращательного движения вокруг этого полюса. Если за полюс выбрать центр масс, то поступательная часть движения тела может быть изу­чена с помощью теоремы о движении центра масс, а вращатель­ная - с помощью теоремы моментов.

Практическая ценность теоремы моментов состоит еще в том, что она, аналогично теореме об изменении количества движения, по­зволяет при изучении вра­щательного движения системы исключать из рас­смотрения все наперед неиз­вестные внутренние силы.

Из теоремы моментов можно получить следующие важные следствия.

1) Пусть сумма моментов относительно центра О всех внешних сил, действующих на систему, равна нулю:

Тогда из уравнения следует, что при этом . Таким образом, если сумма моментов относительно данного центра всех приложенных к системе внешних сил равна нулю, то главный, момент количеств движения системы относительно этого центра будет численно и по направлению постоянен.

2) Пусть внешние силы, действующие на систему, таковы, что сумма их моментов относительно некоторой неподвижной оси Оz равна нулю:

Тогда из уравнения следует, что при этом К z = const. Таким образом, если сумма моментов всех действующих на си­стему внешних сил относительно какой-нибудь оси равна нулю, то главный момент количеств движения системы относительно этой оси будет величиной постоянной.

Эти результаты выражают собою закон сохранения главного момента количеств движения системы. Из них следует, что внутренние силы изменить главный момент количеств движения системы не могут.

Случай вращающейся системы.

Рассмотрим систему, вращающуюся вокруг неподвижной (или проходящей через центр масс) оси Оz. Тогда . Если в этом случае , то

Отсюда приходим к следующим выводам.

а) Если система неизменяема (абсолютно твердое тело), то и, следовательно, , т. е. твердое тело, закреплен­ное на оси, вращается в этом случае с постоянной угловой скоростью.

б) Если система изменяема, то под действием внутренних (или внешних) сил отдельные ее точки могут удаляться от оси, что вызы­вает увеличение , или приближаться к оси, что приведет к умень­шению . Но поскольку , то при увеличении момента инерции угловая скорость системы будет уменьшаться, а при умень­шении момента инерции - увеличиваться. Таким образом, действием внутренних сил можно изменить угловую скорость вращения системы, так как постоянство К z не означает вообще постоянства .

Рассмотрим некоторые примеры:

а) Опыты с платформой Жуковского. Для демонстра­ции закона сохранения момента количеств движения удобно пользо­ваться простым прибором, называемым «платформой Жуковского». Это круглая горизонтальная платформа на шариковых опорных под­шипниках, которая может с малым трением вращаться вокруг верти­кальной оси z. Для человека, стоящего на такой платформе,

и, следовательно, . Если человек, разведя руки в стороны, сообщит себе толчком вращение вокруг вертикальной оси, а затем опустит руки, то величина уменьшится и, следовательно, угловая скорость вра­щения возрастет. Таким способом увеличения угловой скорости враще­ния широко пользуются в балете, при прыжках в воздухе (сальто) и т. п.

Далее, человек, стоящий на платформе неподвижно (К z =0 ), мо­жет повернуться в любую сторону, вращая вытянутую горизонтально руку в противоположном направлении. Угловая скорость вращения человека при этом будет такой, чтобы в сумме величина К z системы осталась равной нулю.

б) Раскачивание качелей . Давлением ног (сила внутрен­няя) человек, стоящий на качелях, раскачать их не может. Сделать это можно следующим образом. Когда качели находятся в левом верх­нем положении A 0 , человек приседает. При прохождении через вер­тикаль он быстро выпрямляется. Тогда массы приближаются к оси вращения z, величина уменьшается, и угловая скорость скачком возрастает. Это увеличение приводит в конечном счете к тому, что качели поднимутся выше начального уровня A 0 . В правом верхнем положении, когда , человек опять приседает (на величине это, очевидно, не скажется); при прохождении через вертикаль он снова выпрямляется и т.д. В результате размахи качелей будут возрастать.

в) Реактивный момент винта. Воздушный винт, устано­вленный на вертолете, не только отбрасывает воздух вниз, но и сообщает отбрасываемой массе вращение. Суммарный момент количеств движения отбрасываемой массы воздуха и верто­лета должен при этом остаться равным нулю, так как система вначале была неподвижна, а силы взаимодействия между винтом и средой внутренние. Поэтому вертолет начинает вращаться в сторону, противоположную направлению вращения винта. Действующий при этом на вертолет вращающий момент называют реактивным моментом.

Чтобы предотвратить реактивное вращение корпуса одновинтового вертолета, на его хвостовой части устанавливают соответствующий рулевой винт. У многовинтового вертолета винты делают вращающи­мися в разные стороны.

Законы сохранения кинетической энергии и количества движения долго конкурировали друг с другом, претендуя на ведущую роль, поскольку ни тот, ни другой закон не имеет строгого обоснования. Однако, ученые давно подозревали о наличии связи между ними, о чем говорил еще Х.Гюйгенс (1629-1695). По мнению Гюйгенса эта связь означает, что сохранение механической энергии в любой равномерно движущейся системе влечет за собой и сохранение количества движения. Поэтому после длительных споров ученые пришли к заключению об эквивалентности этих законов. Так, например, Даламбер по этому поводу сделал следующее заявление : “Нужно каждому предоставить свободу решать данный вопрос по его усмотрению. К тому же затронутый вопрос представляет собой не более как совершенно бесплодный метафизический спор о словах, недостойный внимания философов”.
Связь между законами сохранения кинетической энергии и количества движения была установлена В. Паули (1900-1958). Для доказательства этой связи он использует идею Гюйгенса. Цитируем по : “В системе, состоящей из соударяющихся частиц с массами скорости частиц переходят после ударов в скорости . Сохранение энергии выражается уравнением:

Пусть система приобретает добавочную скорость V . Скорости частиц до удара будут теперь равны , а после удара , и сохранение энергии выражается теперь соотношением:
,

Следовательно:

Скорость V - произвольна, поэтому написанное равенство будет справедливо только в том случае, когда:

Иначе говоря, импульс системы до соударения частиц, равный выражению, стоящему слева, сохраняется после соударения”.
Мы тоже рассмотрим этот вопрос в виду его особой важности на примере соударения шаров, но в несколько другой интерпретации (рис.1).
Пусть движение шаров происходит в произвольной инерциальной системе отсчета x- y в одном и том же направлении (рис.1,а) со скоростями и . После удара скорости шаров примут значения и . В соответствии с законом сохранения энергии будет справедливо следующее выражение:
, (1)

Теперь рассмотрим относительное движение, приняв один из шаров за систему отсчета. Для этого используем принцип обращения движения, то есть сообщим обоим шарам одну и ту же скорость, например, , что приведет к остановке первого шара, так как его суммарная скорость будет равна нулю. Скорость же второго шара будет равна относительной скорости:
(2)
Закон сохранения кинетической энергии в этом случае примет вид:
(3)

(4)
Решая совместно уравнения (1) и (4) , получим выражение:
, (5)

(7)
Таким образом, получается интересный результат: из закона сохранения энергии вытекает закон сохранения количества движения. Еще следует отметить, что полученный результат не зависит от выбора системы отсчета.
Если же рассматривать встречное движение шаров (рис.1,б), то для получения правильного результата скорость следует вычитать из скорости , то есть относительную скорость следует находить в соответствии с выражением (2), хотя, как видно из рисунка, эти скорости должны складываться. Это обстоятельство обусловлено тем, что скорости движения всех тел являются векторами, а это значит, что и при вычитании их величины могут суммироваться.
Таким образом, выражения (2), (5) и (7) следует рассматривать как векторные.
Решая совместно выражения (1) и (5), а также (3) и (7), найдем скорости шаров после удара, считая их векторами:
; (8)
; (9)
; (10)
(11)
Используя эти выражения, найдем относительные скорости шаров после удара:
; (12)
(13)
Таким образом, при упругом ударе относительные скорости шаров изменят только свое направление.
Выражение (1), характеризующее закон сохранения энергии, можно представить в другом виде:
(14)

; (15)
, (16)

; (17)
, (18)

• откуда следует, что энергия, приобретенная первым шаром, равна энергии, отданной вторым шаром.

Подставив значения скоростей и в выражения (7) и (8), получим:
; (19)
(20)
Посмотрим теперь, как будет выполняться связь между законами сохранения энергии и количества движения для более сложного случая удара – косого удара, когда скорости движущихся шаров направлены под углом друг к другу (рис.2). На рисунке шары разъединены для лучшего показа их картин скоростей. Принимаем, что скорость совпадает с направлением оси x .
Для решения задачи используем метод обращения движения, сообщив обоим шарам скорость , то есть в качестве системы отсчета в относительном движении выбираем первый шар, суммарная скорость которого будет равна нулю. Примем также для упрощения задачи, что результирующая скорость будет направлена по линии, соединяющей центры шаров. Тогда по известным значениям скоростей и для второго шара строится параллелограмм, с помощью которого устанавливается связь между этими скоростями и скоростью в относительном движении, а также может быть найден угол , так как угол задан.
Используя параллелограмм, с помощью теоремы косинусов получим выражение:
(21)

• которое преобразуем к виду:

(22)
Из данного уравнения находим скорость в относительном движении до начала удара – :
(23)
Угол , характеризующий направление вектора , находим из выражения, полученного с помощью теоремы косинусов:
, (24)

• откуда получим:

(25)
Таким образом, в результате проделанных операций получаем обычное соударение подвижного и неподвижного шаров по направлению линии их центров с начальной относительной скоростью .
Прежде чем определять скорости шаров после их соударения, установим связь между кинетическими энергиями шаров в абсолютном и в относительном движениях::
; (26)
(27)
Так как
(28)

• соответственно будут определяться и другие скорости в относительном движении:

; (29)
(30)
Подставив эти значения относительных скоростей в выражение (27), получим:
(31)
Сократив на два и возведя в квадрат разности скоростей, преобразуем выражение (31) к виду:
, (32)

Добавив в первое слагаемое правой части выражения и можно исключить члены, соответствующие выражению (26), в результате чего выражение (32) примет вид:
(33)
Сократив это выражение на и сделав группировку членов, получим:
(34)
Определив скорости , и в соответствии с выражениями (28) – (32):
(35)

• и подставив их в выражение (34), преобразуем его к виду:

(36)
Таким образом, мы установили связь между законами сохранения энергии и количества движения в абсолютном и в относительном движениях шаров при косом ударе.
Решая совместно уравнения (27) и (36), найдем скорости шаров в их относительном движении:
; (37)
, (38)

При решении уравнений для получения решения в векторной форме квадраты скоростей следует представлять как скалярное произведение двух одинаковых векторов .
Скорости шаров и в абсолютном движении могут быть найдены с помощью теоремы косинусов из параллелограммов, представленных на рис.2.
Для первого шара модуль скорости определится выражением:
, (39)

• откуда получим:

(40)
Для второго шара модуль скорости будет равен:
, (41)

• откуда найдем:

(42)
Углы и , характеризующие направления векторов и по отношению к векторам и , также находим с помощью теоремы косинусов:
; (43)
(44)
Подставляя в эти выражения значения скоростей и из формул (39) и (41), получим:
; (45)
(46)
Для проверки полученных решений можно найти значения кинетической энергии шаров после удара, так как до удара их энергия была равна:
, (47)

• а после удара будет:

(48)
Подставив в выражение (48) значения квадратов скоростей и из выражений (39) и (41), получим:
(49)
Теперь используем значения модулей скоростей и из выражений (37) и (38):
(50)
Подставляя в данное выражение значение модуля скорости в соответствии с формулой (23) и произведя преобразования, получим в итоге, что , то есть закон сохранения энергии будет выполняться.
Рассмотрим теперь неупругий удар двух шаров. В этом случае часть энергии будет затрачена на структурные изменения (неупругие деформации в шарах) и на их нагрев, то есть изменение внутренней энергии. Поэтому выражения законов сохранения энергии в двух системах отсчета примут вид:
; (51)
(52)

Решая совместно данную систему уравнений, получим закон сохранения количества движения в обычном его виде:
, (53)

• то есть потери энергии при взаимодействии тел не оказывают влияния на вид этого закона.

Используя уравнения (51) и (53), найдем скорости шаров после их неупругого столкновения:
; (54)
(55)
Очевидно, выражения (54) и (55) будут иметь физический смысл только при положительном значении подкоренного выражения. Из этого условия можно найти значение , при котором еще будет выполняться закон сохранения количества движения, приравняв подкоренное выражение нулю:
(56)

, (57)

(58)
Выражения (54) и (56) с учетом формулы (57) можно представить в виде:
; (59)
, (60)

(61)
В относительном движении выражения для скоростей примут вид:
; (62)
(63)
Из приведенных выражений следует, что при скорости шаров будут равны и они будут двигаться вместе как одно целое.
Если же коэффициент будет больше единицы, то подкоренное выражение будет отрицательным и выражения для скоростей потеряют физический смысл. Так как при шары будут двигаться как одно целое, для определения скорости их движения достаточно одного уравнения. При еще можно использовать закон сохранения количества движения, при следует использовать только закон сохранения энергии, хотя в математическом отношении закон сохранения количества движения будет выполняться и в этом случае. Таким образом, закон сохранения количества движения имеет пределы его использования. Это еще раз подтверждает приоритетную роль закона сохранения энергии по отношению к закону сохранения количества движения. Однако в принципе, возможно, что значения коэффициента не могут быть больше единицы, тогда оба закона будут справедливы всегда, но это утверждение требует экспериментальной проверки.
Так как шары при будут двигаться как единое целое с одной и той же скоростью закон сохранения энергии примет вид:
, (64)

• где, в соответствии с выражением (61),

(65)
Решая уравнение (64), получим:
(66)

• или в относительном движении:

(67)
Если вся энергия удара будет затрачена на потери, то есть когда будет выполняться соотношение:
, (68)

(69)
Правда, остаются сомнения, возможен ли такой случай в действительности.
В §5 первой главы было показано, что количество движения характеризует инертность тела и определяется отношением , то есть отношением изменения кинетической энергии тела и изменению его скорости. В связи с таким определением инертности тела можно дать другой вывод закона сохранения количества движения. Для этого используем выражения (15), (17) и (18), поделив их на изменение скорости первого тела: :
(70)
Полученное выражение преобразуем к виду:
(71)
Используя соотношение скоростей (12) в виде:
, (72)

• преобразуем выражение (71) к виду:

(73)

• откуда вытекает закон сохранения количества движения:

Законы сохранения энергии и количества движения широко применяется при решении различных задач механики. Однако, в виду того, что эти законы являются интегральными, так как учитывают состояния тел только до и после их взаимодействия, но не в момент самого взаимодействия, существует опасность утраты физического смысла самого взаимодействия, уход от объяснения этого физического смысла в связи с отсутствием его понимания, хотя конечный результат будет и правильным.
Докажем это утверждение на примере движения лодки, когда находящийся в ней человек бросит камень в воду (рис.3). Несомненно, что лодка будет двигаться в сторону, противоположную броску. Для решения задачи используется закон сохранения количества движения, который с учетом направления скоростей будет иметь вид:
, (74)

, (75)

• то есть, чем больше будет масса камня и его скорость, тем больше будет скорость лодки.

Если спросить преподавателей механики, какая причина заставляет двигаться лодку, то большинство из них ответит, что лодка будет двигаться потому, что должен выполняться закон сохранения количества движения. Такой ответ они дают потому, что не могут объяснить действительную причину движения, хотя прекрасно знают, что движение может происходить только под действием силы. Так какая же сила будет заставлять двигаться лодку?
Очевидно, здесь надо разобраться с взаимодействием рук человека и камня в момент бросания. Единственной причиной появления силы, действующей на человека, а через него и на лодку, является воздействие со стороны камня. Эта сила появится в том случае, если камень в момент броска будет двигаться ускоренно. Тогда он будет деформироваться и в нем возникнут упругие силы, которые и будут действовать на руки человека. Эти силы, как мы уже знаем, являются силами инерции и величина их будет равна произведению массы камня на его ускорение. Можно также сказать, что человек отталкивается от камня. Однако решить эту задачу с помощью второго закона Ньютона практически невозможно, так как мы не сможем найти ускорение движения камня в момент броска. Скорость его движения в первые моменты движения найти гораздо проще. Так что использование интегральных законов движения существенно упрощает решение многих задач механики. Правда, при этом не следует забывать и о физической сущности рассматриваемых явлений. В этом случае еще ярче раскроется математическая мощность интегральных законов сохранения.
Теперь рассмотрим более сложную задачу о дви­жении тележки, на которой расположены два груза, вращающиеся в разные стороны с одной и той же угловой скоростью (рис.4). Эта задача также решается с помощью закона сохранения количества движения:
, (76)

Из выражения (76) следует:
, (77)

• то есть тележка будет совершать гармонические колебания. Но какова же причина этих колебаний? Нельзя же утверждать, что тележка подчиняется закону сохранения количества движения. Колебаться тележку должна заставить сила, но какая? Единственным претендентом на эту роль может быть только центробежная сила инерции, действующая на вращающиеся грузы:

(78)
Под действием двух сил инерции тележка будет двигаться вдоль оси y . Характер движения тележки можно найти с помощью второго закона Ньютона:
(79)
Скорость движения тележки определится интегрированием данного выражения:
, (80)

• где С – постоянная интегрирования.

Для определения скорости движения тележки необходимо использовать начальные условия. Однако здесь возникает проблема: чему же будет равна скорость тележки при ? Предположим, что в начальный момент времени незакрепленная тележка и грузы были неподвижны, а затем грузы были приведены во вращение сразу же с постоянной угловой скоростью, то есть переходный режим движения будет отсутствовать. Таким образом, величина сил инерции сразу же примет конечное значение, определяемое выражением (78). Под действием сил инерции тележка должна была бы двигаться сразу в положительном направлении. Однако, надо иметь в виду, что при мгновенном появлении скорости движения грузов, появится теоретически бесконечное, а практически очень большое ускорение в направлении оси y , если грузы были расположены вдоль оси x , и соответствующая ему сила инерции в противоположном направлении, которая и заставит тележку двигаться в сторону ее действия в отрицательном направлении оси y , то есть фактически будет иметь место удар по тележке.
Примем, что начальная скорость тележки будет равна , тогда из уравнения (80) получим:
,

• откуда найдем постоянную интегрирования С :

(81)
В соответствии с этим скорость тележки будет:
(82)
Проинтегрировав это выражение, найдем перемещение тележки вдоль оси y :
(83)
При заданных условиях движение тележки будет гармоническим, поэтому выражение в круглых скобках должно равняться нулю. Тогда закон движения тележки примет вид:
, (84)

(85)
Тогда скорость движения тележки в функции угла поворота определится из выражения (80):
,

• что соответствует выражению (77).

Однако возможно и второе решение этой задачи, если считать, что сначала тележка закреплена, а грузы вращаются с постоянной скоростью . Затем, когда грузы займут положение вдоль оси x , тележка освобождается. При таких условиях силы инерции в направлении оси y будут отсутствовать, так как величина скорости вращения грузов изменяться не будет, поэтому не будет и удара по тележке в отрицательном направлении оси y и ее начальная скорость будет равна нулю. Тогда из уравнения (80) следует, что постоянная интегрирования С будет равна:
, (86)

• в связи с чем скорость тележки в функции времени будет иметь вид:

(87)
Интегрируя это выражение по времени, найдем перемещение тележки вдоль оси y:
(88)

, (89)

; (90)
(91)
Таким образом, периодически изменяющаяся проекция сил инерции грузов на ось y заставляет совершать тележку гармонические колебания и даже двигаться вдоль оси y в зависимости от начальных условий движения. Незакрепленная тележка будет совершать только гармонические колебания, а закрепленная и затем освобожденная тележка при будет совершать прямолинейное движение, на которое будет накладываться гармонические колебания.
Проведенный нами анализ был бы невозможен без учета действующих на тележку сил, каковыми являются в данном случае силы инерции. Если же движение тележки объяснять необходимостью выполнения закона сохранения количества движения, то это значит ничего не сказать по существу дела. Поэтому использование законов сохранения целесообразно совмещать с подробным силовым анализом рассматриваемой задачи.