Перечислим наиболее известные в сопротивлении материалов теории прочности.

• Первая теория прочности - Теория наибольших нормальных напряжений .
• Вторая теория прочности - Теория наибольших деформаций .
• Третья теория прочности - Теория наибольших касательных напряжений .
• Четвертая теория прочности (энергетическая) - Теория наибольшей удельной потенциальной энергии формоизменения .
• Теория прочности - (иногда говорят - V теория прочности).

Из всех вышеперечисленных теорий прочности наиболее полной, точной и всеобъемлющей является теория Мора. Все её положения были проверены экспериментально. Она подходит как для проверки прочности хрупких материалов (чугун, бетон, кирпич), так и для проверки на прочность пластичных материалов (низкоуглеродистая сталь). Теория наибольших нормальных напряжений и теория наибольших деформаций подходит только для прочностного анализа хрупких материалов, причём только для каких-то определённых условий нагружения, если требовать повышенную точность расчёта. Вот поэтому первые две теории прочности сегодня применять не рекомендуется. Результаты теории наибольших касательных напряжений и теории наибольшей удельной потенциальной энергии формоизменения можно получить в некоторых частных случаях нагружения при применении теории Мора.

Общие положения теории прочности

В зависимости от условий нагружения материал может находиться в различных
механических состояниях: упругом, пластическом и в состоянии разрушения. Под предельным подразумевают такое напряженное состояние, при котором происходит качественное изменение свойств материала - переход от одного механического состояния к другому. Для пластических материалов предельным считается напряженное состояние, соответствующее заметным остаточным деформациям, а.для хрупких - такое, при котором начинается разрушение материала .

При линейном напряженном состоянии предельное значение единственного в
этом случае главного напряжения может быть непосредственно определено из опыта (σ т - для пластических материалов и σ в - для хрупких). Поэтому оценка прочности в этом частном случае проста. В случае сложного напряженного состояния (объемного или плоского) при оценке прочности необходимо учитывать наличие двух или трех отличных от нуля главных напряжений. При этом опасное состояние материала
зависит не только от величии главных напряжений, но и от соотношений между ними.

Из-за невозможности экспериментального определения критериев опасного состояния материала при сложном напряженном состоянии пользуются гипотезами, формулирующими условия перехода материала в опасное состояние. Па основании таких гипотез построены теории прочности. Эти теории исходят из предпосылок о том, что сложное и линейное напряженные состояния считаются эквивалентными (по прочности), если они при пропорциональном увеличении главных напряжений в одно и то же число раз одновременно становятся опасными. Поэтому оценка прочности материала при любом напряженном состоянии основывается на результатах опытов
при простом растяжении (сжатии), и исследуемое напряженное состояние сравнивается с линейным. Для материалов с выраженной пластичностью за опасное (предельное) состояние принимается такое, при котором начинают развиваться остаточные деформации. Для материалов, находящихся в хрупком состоянии, опасным считается такое состояние, которое предшествует началу появления трещин.

Общая запись условия прочности при сложном напряженном состоянии имеет
вид:

σ пр ≤ [R], или σ пр ≤ [σ]

где σ пр - расчетное или приведенное напряжение при сложном напряженном состоянии.

Формулы приведенных напряжений устанавливаются теориями прочности в
зависимости от принимаемых гипотез.

Первая теория прочности - теория наибольших нормальных напряжений.

Теория наибольших нормальных напряжений - основана на гипотезе о том, что опасное состояние материала наступает тогда, когда наибольшее по абсолютной величине нормальное напряжение достигает значения,
соответствующего опасному состоянию при простом растяжении или сжатии. Приведенные напряжения при объемном напряженном состоянии:

σ пр I ≤ σ 1 или σ пр I ≤ | σ 3 |

$$ \sigma_{пр}^{I}= \frac{\sigma_x + \sigma_y}2+\frac{1}{2}\sqrt{(\sigma_x – \sigma_y)^2+4\tau^2_{xy}} $$

Первая теория прочности подтверждается опытами только при растяжении хрупких материалов и лишь в тех случаях, когда все три главные напряжения не однозначны и различны по величине.

Вторая теория прочности

Вторая теория прочности - теория наибольших относительных удлинений исходит из гипотезы о том, что разрушение связано с величиной наибольших относительных удлинений. Следовательно, опасное состояние материала наступает тогда, когда наибольшая по модулю относительная линейная деформация достигает значения, соответствующего опасному состоянию при простом растяжении или сжатии.

В этом случае приведенные напряжения при объемном напряженном состоянии:

$$\sigma_{пр}^{II} = \sigma_1 – \mu\cdot (\sigma_{2} + \sigma_{3})$$

при плоском напряженном состоянии:

$$\sigma_{пр}^{II} = \frac{1 – \mu}{2} (\sigma_{x}+\sigma_{y})+\frac{1+\mu}{2}\sqrt{(\sigma_x – \sigma_y)^2+4\tau^2_{xy}}$$

Вторая теория, как и первая, недостаточно подтверждается опытами, что объясняется не учетом особенностей строения реальных тел. Первая и вторая теории прочности отображают хрупкое разрушение путем отрыва (в первой это связывается с σ макс , втотой - с ε макс ). Поэтому эти теории рассматриваются только как грубое приближение к действительной картине разрушения.

Третья теория прочности

Третья теория прочности - теория наибольших касательных напряжении . В основу теории положена гипотеза о том, что два напряженных состояния - сложное и линейное - эквиваленты в смысле прочности, если наибольшие касательные напряжения одинаковы. Приведенные напряжения при объемном напряженном состоянии:

$$\sigma_{пр}^{III} = \sigma_1 – \sigma_{3})$$

При плоском напряженном состоянии

$$\sigma_{пр}^{III} = \sqrt{(\sigma_x – \sigma_y)^2+4\tau^2_{xy}}$$

Третья теория прочности отображает наступление текучести в материале, а также разрушение путем сдвигов. Она хорошо подтверждается опытами с пластическими материалами, одинаково сопротивляющимися растяжению и сжатию при условии, что главные напряжения имеют разные знаки.

Четвертая теория прочности - энергетическая.

Энергетическая теория прочности (теория наибольшей удельной потенциальной энергии формоизменения) исходит из предпосылки о том, что количество потенциальной энергии формоизменения, накопленной к моменту наступления опасного состояния (текучести материала), одинаково как при сложном напряженном состоянии, так и при простом растяжении. Приведенные напряжения при объемном напряженном состоянии:

$$\sigma_{пр}^{IV} = \frac{1}{\sqrt{2}}\sqrt{(\sigma_1 – \sigma_2)^2+(\sigma_2 – \sigma_3)^2 +(\sigma_3 – \sigma_1)^2}$$

или в частном случае при σ y = 0, полагая σ x = σ , τ xy = τ
$$\sigma_{пр}^{IV} = \sqrt{\sigma^2+3\tau^2}$$

Для частного случая чистого сдвига (σ= 0):
$$\sigma_{пр}^{IV} = \tau\sqrt{3}$$

Четвертая теория прочности отображает наступление текучести. Она хорошо подтверждается опытами с пластическими материалами, имеющими одинаковый предел текучести при растяжении и сжатии.

Четвертую теорию прочности часто называют теорией октаэдрических касательных напряжений (октаэдрические касательные напряжения в общем случае определяются по формуле \tau_{окт} =\frac{1}{\sqrt{3}}\cdot\sqrt{(\sigma_1 – \sigma_2)^2+(\sigma_2 – \sigma_3)^2 +(\sigma_3 – \sigma_1)^2} и к началу развития пластических деформаций при простом растяжении они равны \tau_{окт} = \frac{\sqrt{2}}{3}\sigma_{т}).

Согласно этой теории нарушение прочности происходит тогда, когда на некоторой площадке осуществляется наиболее неблагоприятная комбинация нормального и касательного напряжений.

В первоначальной формулировке теории Мора вопрос о характере разрушения остается открытым; в зависимости от того, какой будет эта неблагоприятная комбинация, речь может идти о наступлении текучести или о разрушении в прямом смысле слова. Запишем условие прочности по Мору следующим образом:

В плоскости это уравнение изображается некоторой кривой (рис. 265). Для суждения о прочности необходимо рассмотреть всевозможные площадки, проходящие через данную точку, и проверить, будет ли выполнено равенство (182.1) хотя бы на одной из них.

Каждой площадке соответствует точка с координатами на плоскости чертежа, совокупность этих точек заполняет некоторую фигуру. Покажем, что кривая, ограничивающая снаружи эту фигуру, является кругом Мора, построенным на напряжениях . Действительно, точки этого круга изображают напряженные состояния на площадках, параллельных оси следовательно, принадлежат искомой фигуре. Теперь нам достаточно показать, что точка М, находящаяся вне круга Мора, построенного на напряжениях не может изображать напряженного состояния на какой-либо площадке.

Для доказательства предположим противное. Тогда отрезок МС больше радиуса круга Мора и мы имеем следующее неравенство:

Здесь - координаты точки М.

После элементарных преобразований это неравенство примет следующий вид:

По предположению являются нормальным и касательным напряжениями на некоторой площадке. Пусть направляющие косинусы ее нормали по отношению к главным осям будут Тогда по формулам § 39

Внеся эти выражения для s и в неравенство (181.2), получим:

Но направляющие косинусы связаны условием

Поэтому первая скобка равна . Сокращая эту величину, придем окончательно к следующему неравенству:

Но это неравенство невозможно. Действительно, левая часть представляет собою квадратный трехчлен относительно корни этого трехчлена . Так как при трехчлен равен то при и трехчлен положителен, следовательно, при , он должен быть отрицателен, а по определению является средним по величине напряжением.

Следовательно, способ проверки прочности оказывается таким же, как в предыдущем параграфе: на напряжениях , строится круг Мора, прочность обеспечена в том случае, когда этот круг не пересекает предельную кривую.

Вид предельной кривой находится из опыта. Для различных напряженных состояний, соответствующих условию разрушения, строятся круги Мора. Предельная кривая будет их огибающей. Как уже неоднократно указывалось, опытные данные по разрушению относятся главным образом к плоскому напряженному состоянию. Если известны разрушающие напряжения при растяжении, сжатии и чистом сдвиге, мы можем с достаточной степенью надежности построить участок предельной кривой, позволяющей судить о прочности во всех случаях плоского напряженного состояния. Действительно, при плоском напряженном состоянии, если то в противном случае было бы и напряженное состояние не было бы плоским; случай же, когда , невозможен, тогда . Поэтому для плоского напряженного состояния круг Мора, построенный на напряжениях либо заключает в себе начало координат, либо проходит через него.

Построим круги Мора, соответствующие предельному состоянию при растяжении, при сжатии и при чистом сдвиге, как показано на рис. 266. Огибающая этих кругов АВ представляет собою часть предельной кривой, которая определяется, таким образом, достаточно надежно. Предельные круги Мора для всех возможных плоских напряженных состояний будут, в соответствии с вышесказанным, касаться предельной кривой на участке АВ. Для того чтобы продолжить предельную кривую влево, необходимо иметь опытные данные испытаний при наложенном всестороннем сжатии. Такие опыты производились многократно, и соответствующие результаты имеются. Продолжение кривой вправо от точки В носит гипотетический характер, следует ожидать, что она пересекает ось в точке .

Абсцисса этой точки представляет собою сопротивление отрыву при всестороннем растяжении, то есть при полном отсутствии пластической деформации. Форма кривой вблизи точки D совершенно неизвестна.

У хрупких материалов обычно сопротивление сжатию больше, чем сопротивление растяжению, соответствующие величины проще всего находятся из опыта. Для расчета на прочность в условиях плоского напряженного состояния в первом приближении можно заменить кривую прямой, касающейся предельных кругов Мора для растяжения и для сжатия. Действительная кривая, как показано на рис. 266, направлена выпуклостью вверх, поэтому сделанное допущение идет в запас прочности.

Рассматривая всевозможные круги Мора, касающиеся прямой АВ (рис. 267), мы найдем, что величины , для этих кругов связаны линейным соотношением. Действительно, из подобия треугольников ОАВ и КСВ следует:

Так как - радиус круга Мора, отрезки АО, ОВ и АВ фиксированы заданием предельной прямой, то вышеприведенная пропорция принимает следующий вид:

Но это есть линейное соотношение между а, и которое можно записать следующим образом:

(182.3)

При растяжении и в предельном состоянии временное сопротивление при растяжении); поэтому . При сжатии и в предельном состоянии - временное сопротивление при сжатии); поэтому . Условие достижения предельного состояния (182.3) запишется следующим образом:

Вводя запас прочности, получим следующее условие прочности:

(182.4)

Условие (182.4) справедливо как для хрупких, так и для пластических материалов, так как при оно превращается в условие Треска.

Нужно помнить, что применение формулы (182.4) обосновано только для плоского напряженного состояния, так как всякая экстраполяция линейной формулы для уравнения предельной кривой сомнительна.

Недостатком теории Мора является то, что в ней не учитывается роль среднего напряжения . Для пластических материалов условие Мора переходит в условие Треска, а мы видели, что достижение пластического состояния лучше предсказывается условием Мизеса, содержащим все три главных напряжения. Действительно, если построить круги Мора для различных предельных состояний, не ограничиваясь растяжением, сжатием и чистым сдвигом, как это показано на рис. 266, то окажется, что, строго говоря, огибающей провести нельзя.

Развивая ту же идею, которая заставила перейти от условия пластичности. Треска к условию Мизеса, можно предположить, что предельное состояние достигается тогда, когда возникает неблагоприятная комбинация октаэдрического касательного и октаэдрического нормального напряжений. Условие (182.1) при этом заменяется следующим:

Здесь (см. § 41)

Соответствующие теории развивались Шлейхером (1926 г.), Ю. И. Ягном (1931 г.), П. П. Баландиным (1937 г.). Для получения расчетных формул целесообразно задаться некоторым аналитическим выражением для функции что и было сделано упомянутыми авторами. По-видимому, теории такого типа лучше отвечают опытным данным, чем теория Мора.

В отличии от рассмотренных выше классических теорий, используется не один, а два критерия: нормальное и касательное напряжения. Окончательно теория сформулирована Отто Мором20 в 1900 году. В ее основании лежит логическое описание явления перехода материала в предельное состояние с помощью кругов напряжений. Из трех кругов напряжений (рис. 6.5) учитывается только наибольший, построенный на отрезке [σ 1 , σ 3 ] как на диаметре в координатных осях σ и τ .

Предположим, что задано некоторое напряженное состояние, для которого можно вычертить наибольший круг напряжений. Если увеличивать пропорционально одному параметру все компоненты, то рано или поздно напряженное состояние станет предельным, для которого и строится круг предельных напряжений. Теперь допустим, что проведено большое число испытаний при различных напряженных состояниях и для каждого из них установлено предельное состояние. В результате можно построить семейство кругов предельных состояний, к которым вычерчивается огибающая линия предельных кругов Мора, которая считается единственной для данного материала. Практически, вместо огибающей, используется её схематизированное приближение, построяемое на основе экспериментов с образцами материала при одноосном растяжении и сжатии. огибающая линия при этом заменяется касательной к предельным кругам Мора при растяжении (круг В ) и при сжатии (круг С ), отвечающим результатам названных испытаний (рис. 6.5).

Рис. 6.5. Касательная кругов Мора, играющая роль огибающей линии.

Далее необходимо найти величину эквивалентного напряжения, соответствующего теории Мора. С этой целью будем считать, что для исследуемого материала схематизированная огибающая кругов Мора задана в виде касательной к кругам B и С . Найдем зависимость между главными напряжениями σ 1 и σ 3 заданного предельного напряженного состояния (состояния А , показанного пунктиром на рис. 6.5) и равно опасного ему одноосного состояние растяжения.

Восстановим перпендикуляры, в точках касания трех кругов с касательной к ним, которые совпадут с радиусами этих кругов (см. рисунок). Из точки A проведем прямую АС 1, параллельную касательной. Из подобия треугольников АСС 1 и АВВ 1 следует:

Из того же рисунка непосредственно следует, что:

где σ р и σ сж –– предельные напряжения материала при растяжении и сжатии.

Подставив выражения (b) в равенство (a), после упрощений получим:

Обозначим: как - левую часть равенства (c), и отношение . Тогда условие прочности, записанное согласно теории прочности Мора, примет вид:

где [σ ] - допускаемое напряжение материала при одноосном растяжении. Если материал пластичен и одинаково сопротивляется растяжению и сжатию, то, приравнивая σ сж величине σ р, получим и выражение (6.10) в этом случае совпадет точно с выражением (6.5), полученном нами ранее, при рассмотрении 3-й теории прочности.

Теория Мора в настоящее время считается общепризнанной. Она оправдывает себя как для пластичных , так и для хрупких материалов, но, преимущественно, для напряженных состояний смешанного типа, то есть когда отношение . Отличительной чертой теории Мора от рассмотренных ранее классических теорий является тот факт, что она полностью опирается на экспериментальные данные и по мере их накопления может уточняться. Основные недостатками теории Мора:

Первое, это отсутствие влияния промежуточного главного напряжения σ 2 (как и в третьей теории).

Второй недостаток - это трудности в связи с построением огибающей линии предельных кругов Мора.

15 Галилей Галилео (1564 - 1642) - итальянский физик, механик, астроном, математик. В его сочинениях (1638) содержатся вопросы, касающиеся: прочности растянутых и изгибаемых брусьев, геометрически подобных тел, балок равного сопротивления и др.

16 мариотт Эдм (1620 –– 1684) –– французский ученый, изучавший прочность материалов и их упругие свойства. Исходил из теории прочности, критерием разрушения в которой является достижение материалом предельного удлинения. Получил формулу для определения прочности труб на разрыв под действием внутреннего давления.

17 Кулон Шарль Огюстен (1736 –– 1806) –– французский ученый. Занимался испытанием материалов на растяжение, срез и изгиб. Он имел ясное представление о распределении внутренних сил по поперечному сечению.

18 Бельтрами Эудженно (1835 - 1900) - итальянский математик.

Прочность горных пород. Критерии прочности

Разрушение пород - определяющий процесс горной технологии, Действительно, нельзя добыть полезное ископаемое, предварительно его не разрушив. Однако проблема прочности очень сложна и далеко не одно­значна. Например, хрупкие породы при определенной нагрузке «взрывоподобно» распадаются на части, а влажные глины сохраняют свою сплош­ность при любом механическом воздействии. В то же время, очевидно, что прочность глин существенно ниже прочности скальных пород, Поэтому для различных твердых тел применяют различные критерии прочности.

1. Критерий наибольших нормальных напряжений является исто­рически первым частным критерием, сформулированным еще Галилеем. В соответствии с этим критерием разрушение тела определяется максималь­ным (предельным) нормальным напряжением

Критерий справедлив при одноосном растяжении хрупких пород, Как всякое напряжение, прочность измеряется в Па или.

2. Критерий наибольших удлинений (критерий Мариотта) определяет разрушение предельной для данного тела величиной относительной деформации

Данный критерий справедлив только при упругих деформациях, тогда и Окончательно критерий запишется в виде

3. Критерий наибольших касательных напряжений (критерий Кулона) справедлив при пластическом деформировании тел

При этом касательное напряжение достигает максимального значения в площадке под углом в 45° к линии действия нормального сжимающего напряжения и составляет Тогда

4. Энергетический критерий принимает в качестве условия разру­шения предельную для данного тела величину накопленной потенциаль­ной энергии. Рассматривая удельную энергию как, для трехмер­ного случая можно получить

5. Критерий Мора определяется зависимостью предельных каса­тельных и нормальных напряжений

Данный критерий широко применяется в инженерных расчетах, по­этому рассмотрим его более детально.

Разрушение горных пород в реальных процессах всегда происходит в условиях сложного напряженного состояния, т.е. при различном сочетании нормальных и касательных напряжений. Рассмотрим плоскую задачу (рис,3.8). Пусть элементарный объем горной породы разрушается под дей­ствием напряжений и. Тогда в любой произвольной площадке под углом действуют разрушающие напряжения и. Для определе­ния их величины производится построение круга напряжений Мора. На разнице векторов и, как на диаметре, производится построение окружности и проводится луч под углом, соответствующим углу наклона выделенной площадки. Точка пересечения луча с кругом напряжений Мо­ра даст величину действующих в данной площадке напряжений.

Для определения разрушающих напряжений в любом сложном на­пряженном состоянии требуется построить бесконечное множество кругов напряжений Мора (рис. 3.9). На данном рисунке приведены наиболее характерные предельные круги напряжений Мора. Всю их совокупность можно описать некоторой огибающей, которая и будет характеризовать прочность горной породы в любом сложном напряженном состоянии.

Рис. 3.8. Диаграмма напряжений Мора

Рис. 3.9. Огибающая кругов напряжений Мора: 1- объемное растяжение; 2- одноосное растяжение, 3- растяжение со сжатием; 4- одноосное сжатие; 5- всестороннее неравномерное сжатие

Это означает, что точки на огибающей соответствуют сочетанию нормальных а и касательных т напряжений, при которых происходит разрушение гор­ной породы. Все точки внутри огибающей соответствуют напряжениям, которые данная горная порода способна выдержать без разрушения.

Таким образом (как видно из чертежа), разрушение горной породы наступает тогда, когда либо касательные напряжения превысят величину, определяемую огибающей кругов напряжений Мора, либо нормальные растягивающие напряжения превысят определенный предел. Отсюда сле­дует важный вывод: разрушить горную породу чистым сжатием невоз­можно. Действительно, при сжатии происходит сближение атомов, реак­ция отпора может возрастать до бесконечности без разрушения связи меж­ду частицами, образующими кристаллическую решетку.

Теория прочности предельных напряженных состояний, предложенная Мором (начало ХХв.), основывается на предположении, что прочность материалов в общем случае напряженного состояния зависит главным образом от величины и знака наибольшего s 1 и наименьшего s 3 из главных напряжений. Среднее по величине главное напряжение лишь незначительно влияет на прочность.

Если при данных значениях s 1 и s 3 нарушается прочность материала, то круг, построенный на этих напряжениях, называется предельным. Меняя предельное напряженное состояние, получим для данного материала семейство предельных окружностей (рис.39):

Опыты показывают, что по мере перехода из области растяжения в область сжатия прочность увеличивается. Это соответствует увеличению диаметров предельных окружностей по мере движения влево. Огибающая АВСД семейства предельных кругов ограничивает область прочности.

При наличии предельной огибающей расчет прочности производится весьма просто. По найденным значениям главных напряжений s 1 и s 3 строим круг. Прочность будет обеспечена, если он целиком лежит внутри огибающей. Огибающую определяют путем построения по опытным данным нескольких кругов при различных комбинациях главных напряжений.

О применимости той или иной теории прочности для практических расчетов можно сказать следующее. Разрушение материалов происходит путем отрыва за счет растягивающих напряжений и путем среза за счет наибольших касательных напряжений. При этом разрушение путем отрыва может происходить при весьма малых остаточных деформациях или вовсе без них (хрупкое разрушение). Разрушение путем среза имеет место лишь после некоторой остаточной деформации (вязкое разрушение). Отсюда ясно, что первую и вторую теории прочности, отражающие разрушение путем отрыва, следует применять для материалов, находящихся в хрупком состоянии. Третью и четвертую теории прочности, отражающие наступление текучести и разрушение путем среза, следует применять для материалов, находящихся в пластическом состоянии. Теория прочности Мора является универсальной и пригодной для всех материалов.

Так как первая и вторая теории прочности имеют существенные недостатки, то в настоящее время все более утверждается мнение о нежелательности их применения.

Таким образом, для практических расчетов следует рекомендовать:

а) третью теорию (или четвертую) – для материалов, одинаково сопротивляющихся растяжению и сжатию;

б) теорию Мора – для материалов, различно сопротивляющихся растяжению и сжатию.

Следует подчеркнуть, что хрупкое или пластическое состояние материала определяется не только его характером, но и видом напряженного состояния, температурой и скоростью нагружения. Как показывают опыты, пластичные материалы при определенных условиях нагружения и температуре ведут себя как хрупкие, в то же время хрупкие материалы при определенных напряженных состояниях ведут себя как пластичные.

Так, например, при напряженных состояниях, когда все три главных напряжения - растягивающие и близки по величине, пластичные материалы ведут себя как хрупкие.

При напряженных состояниях, близких к всестороннему сжатию, хрупкие материалы могут вести себя как пластичные. При всестороннем сжатии материалы могут выдерживать, не разрушаясь, очень большие давления.