ных процесса друг с другом никак не связаны (статистически независимы), то
Rxy (τ) = 0
6.3 Спектральная плотность случайного процесса
Понятие о спектральной плотности связано с разложением стационарного случайного процесса на гармонические составляющие, подобные обычному разложению в ряд Фурье. Это позволяет при расчете автоматических систем, использовать частотные методы анализа.
Спектральная плотность S x (ω) случайного процессаx(t) характеризует спектральный (частотный) состав случайной величины и представляет собой частотную функцию для средних значений квадратов амплитуд гармоник, на которые может быть разложен случайный процесс.
Для стационарного случайного процесса спектральная плотность S x (ω) может быть получена как изображение Фурье корреляционной функцииR x (τ)
Sx (ω )= ∫ Rx (τ )å− j ωτ dτ
С помощью обратного преобразования Фурье можно определить корреляционную функцию через спектральную плотность
Rx (τ )= | ∞ Sx (ω )åj ωτ dω |
||
На рисунке 6.3 показаны графики корреляционной функции R x (τ) (смотри рисунок 6.2) и соответствующие им графики спектральной плотности S(ω). Это соотношение аналогично соотношению между переходной и частотной характеристикой системы: чем продолжительнее переходный процесс, тем уже его частотная характеристика. При рассмотрении случайных процессов: чем шире график корреляционной функции (кривые 3, 4) , тем уже график спектральной плотности и наоборот.
Рисунок 6. 3 – Корреляционные функции и соответствующие спектральные плотности центрированных стационарных процессов
В предельном случае, когда случайная величина x(t) является постоянной величиной и корреляционная функция тоже постоянная и равнаD x = a 2
(прямая 1), то спектральная плотность существует только при нулевой частоте и равна
Sx (ω )= 2π a2 δ (ω )
В другом предельном случае, когда случайная величина x(t) является абсолютно случайным процессом (белый шум), то корреляционная функция существует только приτ = 0 (прямая 2). Спектральная плотность такого случайного процесса равномерно распределена по всем частотам и равна
Sx (ω )= C2
Для непериодического случайного процесса (кривые 3, 4) корреляционная функция аппроксимируется R (τ )= D x å − α τ , тогда спектральная плотность определяется
Sx (ω )= 2D x α
α 2+ ω 2
Если случайная величина x(t) имеет периодическую составляющую при ω = ω0 , то спектральная плотность при частотах ω = + ω0 и ω = - ω0 будет иметь соответствующие пики (кривая 5). Корреляционная функция такого слу-
чайного процесса аппроксимируется | R(τ ) = Dx å− α | cos βτ . Спектральная |
|||||||||
плотность определяется | Dx α | Dx α | |||||||||
S÷ (ω )= | |||||||||||
α2 + (ω+ β) 2 | α2 + (ω− β) 2 |
||||||||||
Одним из основных параметров работы системы при случайных воздействиях является среднеквадратичное отклонение, которое характеризует отклонение случайной величины от его среднего значения. Если известна спектральная плотность сигнала S(ω) , то приτ = 0 можно определить дисперсию
Rx (0)= | ∫ Sx (ω )åj ω 0 dω = | ∫ Sx (ω ) dω |
|||
Тогда среднеквадратичное отклонение (СКО)
σ x = Dx = Rx (0)
По полученным основным характеристикам случайного процесса исследование автоматической системы на статистическую точность работы проводят
в следующей последовательности:
- по заданному случайному процессу определяют его корреляционную
функцию R x (τ) ;
- по корреляционной функции R x (τ) определяют спектральную плотность сигнала на входе системыS x (ω) ;
- по известной частотной передаточной функции системы W(jω) определяют спектральную плотность на выходе системыS y (ω) ;
- по полученной спектральной плотности на выходе системы S y (ω) определяют корреляционную функцию выходного сигналаR y (τ) ;
По корреляционной функции выходного сигнала R y (τ) определяют дисперсиюD y = R y (0) и среднеквадратичное отклонение регулируемой величины.
6.4 Анализ точности работы линейной системы при случайном воздействии
Если входное воздействие, приложенное к линейной системе, является случайным стационарным процессом x(t), то выходная величина y(t) то же будет случайным стационарным процессом. При этом предполагается, что рассматриваемая система устойчива. Ясно, что в этих условиях судить о точности работы системы нужно не по мгновенным значениям выходной величины, а по некоторым средним значениям, которые вычисляются по спектральной плотности выходного сигналаS y (ω) .
Пусть спектральная плотность входного сигнала S x (ω) , тогда спектральная плотность выходного сигналаS y (ω) определяется (без вывода)
S y (ω )= W (j ω )2 S x (ω )
Спектральная плотность выходного сигнала автоматической системы равна спектральной плотности входного сигнала умноженного на квадрат модуля частотной характеристики исследуемой системы.
Закон распределения случайной величины при прохождении ее через автоматическую систему в общем случае может меняться. Но если на входе линейной системы закон распределения нормальный, то и на выходе системы можно принять нормальное распределение.
Пусть математическое ожидание m x стационарного процессаx(t), на
входе линейной системы не равно нулю, тогда на основании принципа суперпозиции для линейных систем этот случайный процесс на входе системы можно представить
x1 (t)= mx + xo c (t),
где x o (t ) - центрированный случайный процесс на входе системы.
В этом случае математическое ожидание на выходе системы m y определяется, еслиm x умножить на частотную передаточную функцию приω =0
my = W(0) mx
Когда на систему одновременно действует случайный сигнал управления x a (t) и случайный сигнал возмущенияx n (t), то спектральная плотность ошибки регулированияS oш (ω) определяется
Sîø (ω )= Wa (jω )2 Sa (ω )+ Wn (jω )2 Sn (ω ),
где S a (ω) - спектральная плотность сигнала управления;S n (ω) - спектральная плотность сигнала возмущения;
W a (jω) - передаточная функция по ошибке регулирования;W n (jω) - передаточная функция по возмущению.
Дисперсия ошибки регулирования D y и общее среднеквадратичное ее значениеσ у определяется по формулам
Dy = 1 / 2π ∞ ∫ [ Wa (jω )2 Sa (ω )+ Wn (jω )2 Sn (ω )] dω ,
При подаче на вход системы случайных сигналов управления и возмущения общая среднеквадратичная ошибка определяется по теореме Пифагора по СКО управления и СКО возмущения
Отметим преимущества и недостатки оценки точности работы системы по среднеквадратичной ошибке регулирования (СКО). С помощью СКО можно оценить вероятность появления ошибки сверху. Так оценивает усредненное, статистическое значение ошибки, а не величина мгновенного значения ошибки. Поэтому для систем, где недопустимы большие ошибки (хотя и кратковременные) применяется другой метод расчета. Кроме этого, полученное СКО справедливо для больших промежутков времени (при T → ∞ ), а ошибки, связанные с кратковременным переходным процессом, практически не учитываются.
Если спектральные плотности и частотные передаточные функции заданы в виде дробно-рациональных функций от ω, то можно сразу определить дисперсию выходного сигналаD y , образно говоря, минуя определенияS y (ω) выходного сигнала иR y (τ) выходного сигнала. Значение дисперсии выходного сигнала определяется по табличному интегралуJ n в зависимости от порядка характеристического уравнения системы. Для этого подинтегральное выражение приводится к табличному виду
1 ∞ | 1 ∞ G(ω )dω | |||||||||||
J n= | W(jω ) | S(ω )dω = | −∫ ∞ | |||||||||
H(jω ) | ||||||||||||
где G(ω )= b0 ω 2n − 2 + b1 ω 2n − 4 + ...+ bn − 1 ; H(jω )= a0 (jω )n + a1 (jω )n − 1 + ...+ an.
Покажем формулы вычисления табличного интеграла по коэффициентам передаточной функции
J 1= | − b 0 a 2 + b 1 a 0 ; |
|||||||
2a0 a1 | 2a0 a1 a2 |
|||||||
J 3= | − b 0a 2a 3+ b 1a 0a 3− b 2a 0a 1 | |||||||
2a0 a3 (a1 a2 − a0 a3 ) | ||||||||
Для более высокой степени характеристического уравнения вычисления этих табличных интегралов становится громоздким. Поэтому используются другие методы статистического анализа.
Параметры системы, выбранные по критерию минимизации СКО необходимо оценить по возможности их технической реализации и, кроме этого, оценить изменившиеся динамические характеристики системы.
Пример 6.1 –По критерию минимизации СКО Определить оптимальное значение коэффициента усиленияK y для заданной линейной следящей системы (рисунок 6.4). На вход системы поступает случайный сигнал, управляющая
спектральная плотность которого S α = (2 D γ α ) . Одновременно на вход посту-
α 2+ ω 2
пают случайные помехи в виде белого шума со спектральной плотностью S n (ω) =С 2
Определяем частотную | передаточную |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
функцию по ошибке управления | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
W (jω )= | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1 + Ky | / jω jω + Ky | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Рисунок 6.4 – Структурная | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
схема системы к примеру 6.1 | 2 Частотная передаточная функция замк- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
нутой системы | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
W (jω )= | K y / | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1 + Ky | / jω jω + Ky | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3 Дисперсия ошибки регулирования по управлению | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1 ∞ | 2 2D γ α | 2Dγ α ∞ | ω2 d ω | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2 π−∞ ∫ | 2 π−∞ ∫ | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
jω + Ky | α 2+ ω 2 | (jω + Ky )(α + jω ) | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2Dγ α ∞ | ω2 d ω | α J | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2 π−∞ ∫ | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
(j ω )2 | + (K y +α ) j ω +K y α | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
4 Полученное подинтегральное выражение соответствует табличному интегралу J 2
G(ω) = ω2 , | +α ) j ω +K | b0 = 1, b1 = 0, | |||||||||||||||||||||
H(ω )= (jω ) 2 + | 1 , a | + α , a | |||||||||||||||||||||
− b a | K y α | ||||||||||||||||||||||
J 2= | |||||||||||||||||||||||
2(Ky + α ) Ky α | 2(Ky | +α ) | |||||||||||||||||||||
2a0 a1 a2 | |||||||||||||||||||||||
5 Это значение J 2 подставим в формулуD ош | |||||||||||||||||||||||
D îø= | 2Dγ α | Dγ α | |||||||||||||||||||||
2(Ky + α ) = | |||||||||||||||||||||||
K y + α | |||||||||||||||||||||||
6 Дисперсия ошибки регулирования от случайных помех в виде белого шума
2 ∞ | |||||||||||||||||
D пом= | −∞∫ | С2 dω = | −∞∫ | С2 Ky 2 J1 |
|||||||||||||
jω + Ky | jω + Ky | ||||||||||||||||
7 Полученное подинтегральное выражение соответствует табличному интегралу J 1
H(ω )= jω + Ky , a0 = 1, a1 = Ky |
|||||
J 1= | |||||
2a0 a1 | 2K y |
||||
Это значение J 1 подставим в формулуD ïîì | ||||||||||||||||
С2 Ky | С2 Ky | |||||||||||||||
2K y | ||||||||||||||||
Дисперсия суммарной ошибки D общ | ||||||||||||||||
D α | С2 Ky | |||||||||||||||
D +D |
||||||||||||||||
K y + α | ||||||||||||||||
10 Для определения оптимального значения K y , при котором суммарная ошибка минимальная, построим графикиD ош , D пом , D общ в зависимости отK y (рисунок 6.5).
D ошD помD общ
D общ
D пом
D ош
К оптК у
Рисунок 6.5 – Графическое определение оптимального значения K y к примеру 6.1
По графикам видно, что с увеличением K y дисперсия ошибки по управлениюD ош уменьшается, а дисперсия ошибки от помехD пом увеличивается. При большем коэффициенте усиления помехи свободнее проходят через систему. В зависимости от степени неопределенности сигнала управления (коэффициент α) и от интенсивности помех (коэффициент С2 ) можно получить разное оптимальное значениеK y .
6.5 Особенности расчета случайного процесса в нелинейной системе
Если случайный сигнал проходит нелинейное звено, то расчет такой системы существенно усложняется по сравнению с расчетом прохождения случайного сигнала через линейное звено. На рисунке 6.6 показано прохождение случайного сигнала через нелинейный элемент с насыщением F(x).
а - прохождение случай- |
|||
ного сигнала через нели- |
|||
нейный элемент; |
|||
б - случайный входной |
|||
в - нелинейный элемент с |
|||
насыщением; |
|||
г - выходной сигнал по- |
|||
сле нелинейного элемен- |
|||
б а
Рисунок 6.6 – Прохождение случайного сигнала через нелинейный элемент
В данном примере за счет участка насыщения случайный сигнал не полностью проходит через нелинейный элемент и в результате дисперсия выходного сигнала или «коридор», в пределах которого размещаются выходной сигнал, будет меньше. На рисунке 6.6 показано, что часть случайного входного сигнала попала на зону насыщения и не прошла через нелинейное звено. Это привело к изменению дисперсии выходного сигнала (она уменьшается) и к уменьшению его среднего значения. Уточняем, уменьшение этих параметров выходного случайного сигнала произошло не за счет коэффициента усиления, а из-за нелинейности характеристики элемента в виде зоны насыщения.
Рассмотрим вначале структурную схему линейной системы управления (рисунок 6.7), на вход который подается случайный сигнал
x(t) = mx (t)+ xo (t)
где m x - математическое ожидание входного сигнала;
x ° (t) - помехи и шумы входного сигнала, которые характеризуются дисперсией(D x ).
В этой линейной системе, используя принцип суперпозиции, можно отдельно и независимо друг от друга определить математическое ожидание вы-
ходного сигнала m
my (t)
yт (t)
x° (t)
y° (t)
y q (t) - действительный выходной
y т (t) -теоретически рассчитанный выходной сигнал
Рисунок 6.7 – Прохождение случайного сигнала через линейную систему управления
yq (t) |
|||
mx (t) | my (t) |
||
K0 (mx , σx )W(0) | |||
ym (t)
K1 (mx , σx )W(p)
Рисунок 6.8 – Прохождение случайного сигнала через нелинейное звено
сунок 6.7). Этот расчет показан в подразделе 6.4 и в примере 6.1.
Если такой же случайный сигнал будет подан на нелинейную систему управления (рисунок 6.8), то математическое ожидание на выходе системы зависит от изменения дисперсии, а изменение дисперсии зависит от изменения математического ожидания. Эти две характеристики случайного процесса становится взаимно связанны. Обозначим через K 0 (m x , σ x ) эту взаимозависимость математического ожидания от дисперсии входного сигналаD x. . При расчете удобнее вместо дисперсииD x использовать среднеквадратичное отклонениеσ x .
Соответственно обозначим через K 1 (m x , σ x ) взаимосвязь среднеквадратичного отклонения от математического ожидания. Тогда
ym (t)= my + yo (t)= K0 mx + K1 xo (t)
Для нахождения этих коэффициентов K 0 иK 1 при расчете прохождения сигнала через нелинейное звено используетсяметод стати-
стической линеаризации нелинейного элемента
Метод статистической линеаризации основан на замене нелинейного элемента статистически эквивалентным линеаризованным элементом.
Этот метод статистической линеаризации по общей идее (аналогичен методу гармонической линеаризации.
При исследовании автоматических систем управления удобно пользоваться еще одной характеристикой стационарного случайного процесса, называемой спектральной плотностью. Во многих случаях, особенно при изучении преобразования стационарных случайных процессов линейными системами управления, спектральная плотность оказывается более удобной характеристикой, чем корреляционная функция. Спектральная плотность случайного процесса определяется как преобразование Фурье корреляционной функцией , т. е.
Если воспользоваться формулой Эйлера то (9.52) можно представить как
Так как нечетная функция то в последнем выражении второй интеграл равен нулю. Учитывая, что четная функция получаем
Так как то из (9.53) следует, что
Таким образом, спектральная плотность является действительной и четной функцией частоты о). Поэтому на графике спектральная плотность всегда симметрична относительно оси ординат.
Если спектральная плотность известна, то по формуле обратного преобразования Фурье можно найти соответствующую ей корреляционную функцию:
Используя (9.55) и (9.38), можно установить важную зависимость между дисперсией и спектральной плотностью случайного процесса:
Термин «спектральная плотность» обязан своим происхождением теории электрических колебаний. Физический смысл спектральной плотности можно пояснить следующим образом.
Пусть - напряжение, приложенное к омическому сопротивлению 1 Ом, тогда средняя мощность рассеиваемая на этом сопротивлении за время равна
Если увеличивать интервал наблюдения до бесконечных пределов и воспользоваться (9.30), (9.38) и (9.55) при то можно формулу для средней мощности записать так:
Равенство (9.57) показывает, что средняя мощность сигнала может быть представлена в виде бесконечной суммы бесконечно малых слагаемых , которая распространяется на все частоты от 0 до
Каждое элементарное слагаемое этой суммы играет роль мощности, соответствующей бесконечно малому участку спектра, заключенному в пределах от до Каждая элементарная мощность - пропорциональна значению функции для данной частоты Следовательно, физический смысл спектральной плотности состоит в том, что она характеризует распределение мощности сигнала по частотному спектру.
Спектральная плотность может быть найдена экспериментально через среднюю величину квадрата амплитуды гармоник реализации случайного процесса. Приборы, применяемые для этой цели и состоящие анализатора спектра и вычислителя среднего значения квадрата амплитуды гармоник, называются спектрометрами. Экспериментально находить спектральную плотность сложнее, чем корреляционную функцию, поэтому на практике чаще всего спектральную плотность вычисляют но известной корреляционной функции с помощью формулы (9.52) или (9.53).
Взаимная спектральная плотность двух стационарных случайных процессов определяется как преобразование Фурье от взаимной корреляционной функции т. е.
По взаимной спектральной плотности можно, применяя к (9.58) обратное преобразование Фурье, найти выражение для взаимной корреляционной функции:
Взаимная спектральная плотность является мерой статистической связи между двумя стационарными случайными процессами: Если процессы некоррелированы и имеют равные нулю средние значения, то взаимная спектральная плотность равна нулю, т. е.
В отличие от спектральной плотности взаимная спектральная плотность не является четной функцией о и представляет собой не вещественную, а комплексную функцию.
рассмотрим некоторые свойства спектральных плотностей
1 Спектральная плотность чистого случайного процесса, или белого шума, постоянна во всем диапазоне частот (см. рис. 9.5, г):
Действительно, подставляя в (9.52) выражение (9.47) для корреляционной функции белого шума, получим
Постоянство спектральной плотности белого шума во всем бесконечном диапазоне частот, полученное в последнем выражении, означает, что энергия белого шума распределена по всему спектру равномерно, а суммарная энергия процесса равна бесконечности. Это указывает на физическую нереализуемость случайного процесса типа белого шума. Белый шум является математической идеализацией реального процесса. В действительности частотный спектр западает на очень высоких частотах (как показано пунктиром на рис. 9.5, г). Если, однако, эти частоты настолько велики, что при рассмотрении какого-либо конкретного устройства они не играют роли (ибо лежат вне полосы частот, пропускаемых этим устройством), то идеализация сигнала в виде белого шума упрощает рассмотрение и поэтому вполне целесообразна.
Происхождение термина «белый шум» объъясняется аналогией такого процесса с белым светом, имеющим одинаковые интенсивности всех компонент, и тем, что случайные процессы типа белого шума впервые были выделены при исследовании тепловых флуктуациоиных шумов в радиотехнических устройствах.
2. Спектральная плотность постоянного сигнала представляет собой -функцию, расположенную в начале координат (см. рис. 9.5, а), т. е.
Чтобы доказать это, допустим, что спектральная плотность имеет вид (9.62), и иандем по (9.55) соответствующую ей корреляционную функцию. Так как
то при получаем
Это (в соответствии со свойством 5 корреляционных функций) означает, что сигнал, соответствующий спектральной плотности, определяемой (9.62), является постоянным сигналом, равным
Тот факт, что спектральная плотность представляет собой -функцию при означает, что вся мощность постоянного сигнала сосредоточена на нулевой частоте, что и следовало ожидать.
3. Спектральная плотность периодического сигнала представляет собой две -функции, расположенные симметрично относительно начала кординат при (см. рис. 9.5, д), т. е.
Чтобы доказать это, допустим, что спектральная плотность имеет вид (9.63), и найдем по (9.55) соответствующую ей корреляционную функцию:
Это (в соответствии со свойством 6 корреляционных функций) означает, что сигнал, соответствующий спектральной плотности определяемой (9.63), является периодическим сиг налом, равным
Тот факт, что спектральная плотность представляет собой две -функции, расположенные при означает, что вся мощность периодического сигнала сосредоточена на двух частотах: Если рассматривать спектральную плотность только в области положительных частот, то получим,
что вся мощность периодического сигнала будет сосредоточена на одной частоте .
4. Спектральная плотность временной функции, разлагаемой в ряд Фурье имеет на основании изложенного выше вид
Этой спектральной плотности соответствует линейчатый спектр (рис. 9.9) с -функциями, расположенными на положительных и отрицательных частотах гармоник. На рис. 9.9 -функции условно изображены так, что их высоты показаны пропорциональными коэффициентам при единичной -функции, т. е. величинам и
которая полностью совпадает с корреляционной функцией, определяемой по (9.45).
Из рис. 9.5, б, в видно, что чем шире график спектральной плотности тем уже график соответствующей корреляционной функции и наоборот. Это соответствует физической сущности процесса: чем шире график спектральной плотности, т. е. чем более высокие частоты представлены в спектральной плотности, тем выше степень изменчивости случайного процесса и тем же графики корреляционной функции. Другими словами, связь между видом спектральной плотности и видом функции времени получается обратной по сравнению со связью между корреляционной функцией и видом функции времени. Это особенно ярко проявляется при рассмотрении постоянного сигнала и белого шума. В первом случае корреляционная функция имеет вид горизонтальной прямой, а спектральная плотность имеет вид -функции (см. рис. 9.5, а). Во втором случае (см. рис. 9.5, г) имеет место обратная картина.
6. Спектральная плотность случайного процесса, на кото рой наложены периодические составляющие, содержит непрерывную часть и отдельные -функции, соответствующие частотам периодических составляющих.
Отдельные пики на графике спектральной плотности указывают на то, что случайный процесс смешан со скрытыми периодическими составляющими, которые могут и не обнаруживаться при первом взгляде на отдельные записи процесса. Если, например, на случайный процесс наложен один периодический сигнал с частотой то график; сцектральной плотности имеет вид, показанный на рис. 9.10,
Иногда в рассмотрение вводят нормированную
спектральную плотность являющуюся изображением Фурье нормированной корреляционной функции (9.48):
Нормированная спектральная плотность имеет размерность времени.
Математические модели многих сигналов, широко применяемых в радиотехнике, не удовлетворяют условию абсолютной интегрируемости, поэтому метод преобразований Фурье в обычном виде к ним неприменим. Однако, как указывалось, можно говорить о спектральных плотностях таких сигналов, если допустить, что эти плотности описываются обобщенными функциями.
Обобщенная формула Рэлея. Докажем важное вспомогательное положение, касающееся спектральных свойств сигналов.
Пусть два сигнала в общем случае комплекснозначные, определены своими обратными преобразованиями Фурье:
Найдем скалярное произведение этих сигналов, выразив один из них, например через его спектральную плотность:
Здесь внутренний интеграл представляет собой, очевидно, спектральную плотность сигнала . Поэтому
Полученное соотношение представляет собой обобщенную формулу Рэлея. Легко запоминающаяся трактовка этой формулы такова: скалярное произведение двух сигналов с точностью до коэффициента пропорционально скалярному произведению их спектральных плотностей.
Обобщение понятия спектральной плотности.
Будем считать, что сигнал представляет собой абсолютно интегрируемую функцию. Тогда его преобразование Фурье - обычная классическая функция частоты. Пусть наряду с этим сигнал не удовлетворяет условию абсолютной интегрируемости и в обычном классическом смысле преобразование Фурье не существует. Однако можно расширить понятие спектральной плотности, допустив, что является обобщенной функцией в том смысле, который был установлен в § 1.2. Для этого в соответствии с обобщенной формулой Рэлея достаточно положить, что - функционал, который, действуя на известную функцию , дает следующий результат:
Приемы вычисления спектров неинтегрируемых сигналов целесообразно рассмотреть на конкретных примерах.
Спектральная плотность постоянного во времени сигнала. Простейший неинтегрируемый сигнал - это постоянная величина и . Предположим, что - произвольный вещественный абсолютно интегрируемый сигнал с известной спектральной плотностью
Раскрывая формулу (2.43), имеем
Но, как легко заметить,
Отсюда на основании фильтрующего свойства дельтафункции приходим к выводу, что равенство (2.43) возможно лишь при условии, что
Физический смысл полученного результата нагляден - неизменный во времени сигнал имеет спектральную составляющую только на нулевой частоте.
Спектральная плотность комплексного экспоненциального сигнала.
Пусть - комплексный экспоненциальный сигнал с заданной вещественной частотой Этот сигнал не является абсолютно интегрируемым, поскольку при функция s(t) не стремится ни к какому пределу. Преобразование Фурье этого сигнала, рассматриваемое в обобщенном смысле, должно удовлетворять соотношению
Отсюда искомая спектральная плотность S (со), выражается таким образом:
Отметим следующее:
1. Спектральная плотность комплексного экспоненциального сигнала равна нулю всюду, кроме точки где она имеет дельта-особенность.
2. Спектр данного сигнала несимметричен относительно точки и сосредоточивается в области либо положительных, либо отрицательных частот.
Спектральная плотность гармонических колебаний. Пусть По формуле Эйлера
Найденный выше спектр комплексного экспоненциального сигнала, а также свойство линейности преобразования Фурье позволяют сразу записать выражение спектральной плотности косинусоидального сигнала:
Читатель может легко проверитьсамостоятельно, что для синусоидального сигнала справедливо соотношение
Следует заметить, что выражение (2.46) представляет собой четную, а выражение (2.47) - нечетную функцию частоты.
Спектральная плотность произвольного периодического сигнала.
Ранее периодические сигналы исследовались методами теории рядов Фурье. Теперь можно расширить представления об их спектральных свойствах, описав периодические сигналы с помощью преобразования Фурье.
Периодический сигнал, заданный своим рядом Фурье в комплексной форме. На основании формулы (2.45), принимая во внимание свойство линейности преобразования Фурье, сразу получаем выражение спектральной плотности такого сигнала:
Соответствующий график спектральной плотности своей конфигурацией повторяет обычную спектральную диаграмму периодического сигнала. График образован дельта-импульсами в частотной области, которые располагаются в точках с координатами
Спектральная плотность функции включения.
Вычислим спектральную плотность функции включения , которую для простоты определим во всех точках, кроме точки t = 0 [ср. с (1.2)]:
Заметим прежде всего, что функция включения получается путем предельного перехода из экспоненциального видеоимпульса:
Поэтому можно попытаться получить спектральную плотность функции включения, выполнив предельный переход при а- О в формуле спектральной плотности экспоненциального колебания:
Непосредственный переход к пределу, согласно которому справедлив при всех частотах, кроме значения , когда необходимо более тщательное рассмотрение.
Прежде всего выделим в спектральной плотности экспоненциального сигнала вещественную и мнимую части:
Можно убедиться в том, что
Действительно, предельное значение этой дроби при любых обращается в нуль, и в то же ремя
независимо от величины а, откуда и следует сделанное утверждение.
Итак, получено взаимно однозначное соответствие функции включения и ее спектральной плотности:
Дельта-особенность при свидетельствует о том, что функция включения имеет постоянную составляющую, равную 1/2.
Спектральная плотность радиоимпульса.
Как известно, радиоимпульс задается в виде произведения некоторого видеоимпульса играющего роль огибающей, и неинтегрируемого гармонического колебания: .
Чтобы найти спектральную плотность радиоимпульса, будем полагать известной функцию - спектр его огибающей. Спектр косинусоидального сигнала с произвольной начальной фазой получается путем элементарного обобщения формулы (2.46):
Спектр радиоимпульса есть свертка
Приняв во внимание фильтрующее свойство дельтафункции, получаем важный результат:
Рис. 2.8 иллюстрирует трансформацию спектра видеоимпульса при умножении его на высокочастотный гармонический сигнал.
Рис. 2.8. Частотные зависимости модуля спектральной плотности: а - видеоимпульса; б - радиоимпульса
Видно, что переход от видеоимпульса к радиоимпульсу при спектральном подходе означает перенос спектра видеоимпульса в область высоких частот - вместо единственного максимума спектральной плотности при наблюдаются два максимума при абсолютные значения максимумов сокращаются вдвое.
Отметим, что графики на рис. 2.8 отвечают ситуации, когда частота значительно превышает эффективную ширину спектра видеоимпульса (именно такой случай обычно и реализуется на практике). При этом не наблюдается ощутимого «перекрытия» спектров, отвечающих положительным и отрицательным частотам. Однако может оказаться, что ширина спектра видеоимпульса велика настолько (при коротком импульсе), что выбранное значение частоты не устраняет эффект «перекрытия». Как следствие, профили спектров видеоимпульса и радиоимпульса перестают быть подобными.
Пример 2.3. Спектральная плотность прямоугольного радиоимпульса.
Для простоты положим начальную фазу нулевой и запишем математическую модель радиоимпульса в виде
Зная спектр соответствующего видеоимпульса [см. формулу (2.20)], на основании (2.50) находим искомый спектр:
На рис. 2.9 изображены результаты расчета спектральной плотности по формуле (2.51) для двух характерных случаев,
В первом случае (рис. 2.9,а) импульс огибающей содержит 10 периодов высокочастотного заполнения частота здесь достаточно высока для того, чтобы избежать «перекрытия». Во втором случае (рис. 2.9, б) радиоимпульс состоит всего лишь из одного периода заполнения Наложение составляющих, которые соответствуют областям положительных и отрицательных частот, приводит к характерной асимметрии лепестковой структуры графика спектральной плотности радиоимпульса.
Рис. 2.9. Графики спектральных плотностей радиоимпульса с прямоугольной огибающей: а - при ; б - при
Пусть сигнал s (t ) задан в виде непериодической функции, причем он существует только на интервале (t 1 ,t 2) (пример - одиночный импульс). Выберем произвольный отрезок времени T , включающий в себя интервал (t 1 ,t 2) (см. рис.1).
Обозначим периодический сигнал, полученный из s (t ), в виде s T (t ). Тогда для него можно записать ряд Фурье
где 
Подставим выражение для в ряд:
Для того, чтобы перейти к функции s
(t
) следует в выражении s T
(t
) устремить период к бесконечности. При этом число гармонических составляющих с частотами w
=n
2p
/T
будет бесконечно велико, расстояние между ними будет стремиться к нулю (к бесконечно малой величине: 
, амплитуды составляющих также будут бесконечно малы. Поэтому говорить о спектре такого сигнала уже нельзя, т.к. спектр становится сплошным
.
При предельном переходе в случае Т => , имеем:
Таким образом, в пределе получаем
Внутренний интеграл является функцией частоты. Его называют спектральной плотностью сигнала, или частотной характеристикой сигнала и обозначают ,
рямое (*) и обратное (**) преобразования Фурье вместе называют парой преобразований Фурье. Модуль спектральной плотности определяет амплитудно-частотную характеристику (АЧХ) сигнала, а ее аргумент 
называют фазо-частотной характеристикой (ФЧХ) сигнала. АЧХ сигнала является четной функцией, а ФЧХ - нечетной.
Смысл модуля S (w ) определяется как амплитуда сигнала (тока или напряжения), приходящаяся на 1 Гц в бесконечно узкой полосе частот, которая включает в себя рассматриваемую частоту w . Его размерность - [сигнал/частота].
9. Свойства преобразования Фурье. Свойства линейности, изменения масштаба времени, другие. Теореме о спектре производной. Теорема о спектре интеграла.
10. Дискретное преобразование Фурье. Помехи радиоприёму. Классификация помех.
Дискретное преобразование Фурье может быть получено непосредственно из интегрального преобразования дискретизаций аргументов (t k = kDt, f n = nDf):
S(f) = s(t) exp(-j2pft) dt, S(f n) = Dt 
s(t k) exp(-j2pf n kDt), (6.1.1)
s(t) = S(f) exp(j2pft) df, s(t k) = Df S(f n) exp(j2pnDft k). (6.1.2)
Напомним, что дискретизация функции по времени приводит к периодизации ее спектра, а дискретизация спектра по частоте - к периодизации функции. Не следует также забывать, что значения (6.1.1) числового ряда S(f n) являются дискретизаций непрерывной функции S"(f) спектра дискретной функции s(t k), равно как и значения (6.1.2) числового ряда s(t k) являются дискретизацией непрерывной функции s"(t), и при восстановлении этих непрерывных функций S"(f) и s"(t) по их дискретным отсчетам соответствие S"(f) = S(f) и s"(t) = s(t) гарантировано только при выполнении теоремы Котельникова-Шеннона.
Для дискретных преобразований s(kDt) Û S(nDf), и функция, и ее спектр дискретны и периодичны, а числовые массивы их представления соответствуют заданию на главных периодах Т = NDt (от 0 до Т или от -Т/2 до Т/2), и 2f N = NDf (от -f N до f N), где N – количество отсчетов, при этом:
Df = 1/T = 1/(NDt), Dt = 1/2f N = 1/(NDf), DtDf = 1/N, N = 2Tf N . (6.1.3)
Соотношения (6.1.3) являются условиями информационной равноценности динамической и частотной форм представления дискретных сигналов. Другими словами: число отсчетов функции и ее спектра должны быть одинаковыми. Но каждый отсчет комплексного спектра представляется двумя вещественными числами и, соответственно, число отсчетов комплексного спектра в 2 раза больше отсчетов функции? Это так. Однако представление спектра в комплексной форме - не более чем удобное математическое представление спектральной функции, реальные отсчеты которой образуются сложением двух сопряженных комплексных отсчетов, а полная информация о спектре функции в комплексной форме заключена только в одной его половине - отсчетах действительной и мнимой части комплексных чисел в частотном интервале от 0 до f N , т.к. информация второй половины диапазона от 0 до -f N является сопряженной с первой половиной и никакой дополнительной информации не несет.
При дискретном представлении сигналов аргумент t k обычно проставляется номерами отсчетов k (по умолчанию Dt = 1, k = 0,1,…N-1), а преобразования Фурье выполняются по аргументу n (номер шага по частоте) на главных периодах. При значениях N, кратных 2:
S(f n) º S n = s k exp(-j2pkn/N), n = -N/2,…,0,…,N/2. (6.1.4)
s(t k) º s k = (1/N) 
S n exp(j2pkn/N), k = 0,1,…,N-1. (6.1.5)
Главный период спектра в (6.1.4) для циклических частот от -0.5 до 0.5, для угловых частот от -p до p. При нечетном значении N границы главного периода по частоте (значения ±f N) находятся на половину шага по частоте за отсчетами ±(N/2) и, соответственно, верхний предел суммирования в (6.1.5) устанавливается равным N/2.
В вычислительных операциях на ЭВМ для исключения отрицательных частотных аргументов (отрицательных значений номеров n) и использования идентичных алгоритмов прямого и обратного преобразования Фурье главный период спектра обычно принимается в интервале от 0 до 2f N (0 £ n £ N), а суммирование в (6.1.5) производится соответственно от 0 до N-1. При этом следует учитывать, что комплексно сопряженным отсчетам S n * интервала (-N,0) двустороннего спектра в интервале 0-2f N соответствуют отсчеты S N+1- n (т.е. сопряженными отсчетами в интервале 0-2f N являются отсчеты S n и S N+1- n).
Пример: На интервале Т= , N=100, задан дискретный сигнал s(k) = d(k-i) - прямоугольный импульс с единичными значениями на точках k от 3 до 8. Форма сигнала и модуль его спектра в главном частотном диапазоне, вычисленного по формуле S(n) = s(k)×exp(-j2pkn/100) с нумерацией по n от -50 до +50 с шагом по частоте, соответственно, Dw=2p/100, приведены на рис. 6.1.1.
Рис. 6.1.1. Дискретный сигнал и модуль его спектра.
На рис. 6.1.2 приведена огибающая значений другой формы представления главного диапазона спектра. Независимо от формы представления спектр периодичен, в чем нетрудно убедиться, если вычислить значения спектра для большего интервала аргумента n с сохранением того же шага по частоте, как это показано на рис. 6.1.3 для огибающей значений спектра.
Рис. 6.1.2. Модуль спектра. Рис. 6.1.3. Модуль спектра.
На рис. 6.1.4. показано обратное преобразование Фурье для дискретного спектра, выполненное по формуле s"(k) =(1/100) S(n)×exp(j2pkn/100), которое показывает периодизацию исходной функции s(k), но главный период k={0,99} этой функции полностью совпадает с исходным сигналом s(k).
Рис. 6.1.4. Обратное преобразование Фурье.
Преобразования (6.1.4-6.1.5) называют дискретными преобразованиями Фурье (ДПФ). Для ДПФ, в принципе, справедливы все свойства интегральных преобразований Фурье, однако при этом следует учитывать периодичность дискретных функций и спектров. Произведению спектров двух дискретных функций (при выполнении каких-либо операций при обработке сигналов в частотном представлении, как, например, фильтрации сигналов непосредственно в частотной форме) будет соответствовать свертка периодизированных функций во временном представлении (и наоборот). Такая свертка называется циклической (см. раздел 6.4) и ее результаты на концевых участках информационных интервалов могут существенно отличаться от свертки финитных дискретных функций (линейной свертки).
Из выражений ДПФ можно видеть, что для вычисления каждой гармоники нужно N операций комплексного умножения и сложения и соответственно N 2 операций на полное выполнение ДПФ. При больших объемах массивов данных это может приводить к существенным временным затратам. Ускорение вычислений достигается при использовании быстрого преобразования Фурье.
Помехи
Помехами обычно называют посторонние электрические возмущения, накладывающиеся на передаваемый сигнал и затрудняющие его прием. При большой интенсивности помех прием становится практически невозможным.
Классификация помех:
а) помехи от соседних радиопередатчиков (станций);
б) помехи от промышленных установок;
в) атмосферные помехи (грозы, осадки);
г) помехи, обусловленные прохождением электромагнитных волн через слои атмосферы: тропосферу, ионосферу;
д) тепловые и дробовые шумы в элементах радиоцепей, обусловленные тепловым движением электронов.
Математически сигнал на входе приемника можно представить либо в виде суммы передаваемого сигнала и помехи, и тогда помеху называют аддитивной , либо просто шумом , либо в виде произведения передаваемого сигнала и помехи, и тогда такую помеху называют мультипликативной . Эта помеха приводит к значительным изменениям интенсивности сигнала на входе приемника и объясняет такие явления как замирания .
Наличие помех затрудняет прием сигналов при большой интенсивности помех, распознавание сигнала может стать практически невозможным. Способность системы противостоять мешающему воздействию помехи носит название помехоустойчивости .
Внешние естественные активные помехи представляют собой шумы, возникающие в результате радиоизлучения земной поверхности и космических объектов, работы других радиоэлектронных средств. Комплекс мероприятий, направленных на уменьшение влияния взаимных помех РЭС, называется электомагнитной совместимостью. Этот комплекс включает в себя как технические меры совершенствования радиоаппаратуры, выбор формы сигнала и способа его обработки, так и организационные меры: регламентация частоты, разнесение РЭС в пространстве, нормирование уровня внеполосных и побочных излучений и др.
11. Дискретизация непрерывных сигналов. Теорема Котельникова (отсчётов). Понятие частоты Найквиста. Понятие интервала дискретизации.
В статистической радиотехнике и физике при изучении детерминированных сигналов и случайных процессов широко используется их спектральное представление в виде спектральной плотности, которая базируется на преобразовании Фурье .
Если процесс имеет конечную энергию и квадратично интегрируем (а это нестационарный процесс), то для одной реализации процесса можно определить преобразование Фурье как случайную комплексную функцию частоты:
| X (f) = ∫ − ∞ ∞ x (t) e − i 2 π f t d t . {\displaystyle X(f)=\int \limits _{-\infty }^{\infty }x(t)e^{-i2\pi ft}dt.} | (1) |
Однако она оказывается почти бесполезной для описания ансамбля. Выходом из этой ситуации является отбрасывание некоторых параметров спектра, а именно спектра фаз, и построении функции, характеризующей распределение энергии процесса по оси частот. Тогда согласно теореме Парсеваля энергия
| E x = ∫ − ∞ ∞ | x (t) | 2 d t = ∫ − ∞ ∞ | X (f) | 2 d f . {\displaystyle E_{x}=\int \limits _{-\infty }^{\infty }|x(t)|^{2}dt=\int \limits _{-\infty }^{\infty }|X(f)|^{2}df.} | (2) |
Функция S x (f) = | X (f) | 2 {\displaystyle S_{x}(f)=|X(f)|^{2}} характеризует, таким образом, распределение энергии реализации по оси частот и называется спектральной плотностью реализации. Усреднив эту функцию по всем реализациям можно получить спектральную плотность процесса.
Перейдем теперь к стационарному в широком смысле центрированному случайному процессу x (t) {\displaystyle x(t)} , реализации которого с вероятностью 1 имеют бесконечную энергию и, следовательно, не имеют преобразования Фурье. Спектральная плотность мощности такого процесса может быть найдена на основании теоремы Винера-Хинчина как преобразование Фурье от корреляционной функции:
| S x (f) = ∫ − ∞ ∞ k x (τ) e − i 2 π f τ d τ . {\displaystyle S_{x}(f)=\int \limits _{-\infty }^{\infty }k_{x}(\tau)e^{-i2\pi f\tau }d\tau .} | (3) |
Если существует прямое преобразование, то существует и обратное преобразование Фурье , которое по известной определяет k x (τ) {\displaystyle k_{x}(\tau)} :
| k x (τ) = ∫ − ∞ ∞ S x (f) e i 2 π f τ d f . {\displaystyle k_{x}(\tau)=\int \limits _{-\infty }^{\infty }S_{x}(f)e^{i2\pi f\tau }df.} | (4) |
Если полагать в формулах (3) и (4) соответственно f = 0 {\displaystyle f=0} и τ = 0 {\displaystyle \tau =0} , имеем
| S x (0) = ∫ − ∞ ∞ k x (τ) d τ , {\displaystyle S_{x}(0)=\int \limits _{-\infty }^{\infty }k_{x}(\tau)d\tau ,} | (5) |
| σ x 2 = k x (0) = ∫ − ∞ ∞ S x (f) d f . {\displaystyle \sigma _{x}^{2}=k_{x}(0)=\int \limits _{-\infty }^{\infty }S_{x}(f)df.} | (6) |
Формула (6) с учетом (2) показывает, что дисперсия определяет полную энергию стационарного случайного процесса, которая равна площади под кривой спектральной плотности. Размерную величину S x (f) d f {\displaystyle S_{x}(f)df} можно трактовать как долю энергии, сосредоточенную в малом интервале частот от f − d f / 2 {\displaystyle f-df/2} до f + d f / 2 {\displaystyle f+df/2} . Если понимать под x (t) {\displaystyle x(t)} случайный (флуктуационный) ток или напряжение, то величина S x (f) {\displaystyle S_{x}(f)} будет иметь размерность энергии [В 2 /Гц] = [В 2 с]. Поэтому S x (f) {\displaystyle S_{x}(f)} иногда называют энергетическим спектром . В литературе часто можно встретить другую интерпретацию: σ x 2 {\displaystyle \sigma _{x}^{2}} – рассматривается как средняя мощность, выделяемая током или напряжением на сопротивлении 1 Ом. При этом величину S x (f) {\displaystyle S_{x}(f)} называют спектром мощности случайного процесса.
Энциклопедичный YouTube
1 / 3
Спектр и спектральная плотность
Спектральная плотность прямоугольного импульса
Спектральная плотность треугольного импульса
