|
Метод Лагранжа ─ это метод решения задачи условной оптимизации, при котором ограничения, записываемые как неявные функции, объединяются с целевой функцией в форме нового уравнения, называемого лагранжианом .
Рассмотрим частный случай общей задачи нелинейного программирования:
Дана система нелинейных уравнений (1):
(1) gi(x1,x2,…,xn)=bi (i=1..m),
Найти наименьшее (или наибольшее) значение функции (2)
(2) f (х1,х2,…,хn),
если отсутствуют условия неотрицательности переменных и f(х1,х2,…,хn) и gi(x1,x2,…,xn) ─ функции, непрерывные вместе со своими частными производными.
Чтобы найти решение этой задачи, можно применить следующий метод: 1. Вводят набор переменных λ1, λ2,…, λm, называемых множителями Лагранжа, составляют функцию Лагранжа (3)
(3) F(х1,х2,…,хn , λ1,λ2,…,λm) = f(х1,х2,…,хn)+ λi .
2. Находят частные производные от функции Лагранжа по переменным xi и λi и приравнивают их нулю.
3. Решая систему уравнений, находят точки, в которых целевая функция задачи может иметь экстремум.
4.Среди точек, подозрительных не экстремум, находят такие, в которыхдостигается экстремум, и вычисляют значения функции в этих точках.
4. Сравнить полученные значения функции f и выбрать наилучшее.
По плану производства продукции предприятию необходимо изготовить 180 изделий. Эти изделия могут быть изготовлены двумя технологическими способами. При производстве х1 изделия I способом затраты равны 4*х1+х1^2 руб., а при изготовлении х2 изделий II способом они составляют 8*х2+х2^2 руб. Определить, сколько изделий каждым из способов следует изготовить, так чтобы общие затраты на производство продукции были минимальными.
Решение: Математическая постановка задачи состоит в определении наименьшего значения функции двух переменных:
f = 4*x1+x1^2 +8*x2 +x2^2, при условии x1 +x2 = 180.
Составим функцию Лагранжа:
F(x1,x2,λ) = 4*x1+x1^2+8*x2+x2^2+λ*(180-x1-x2).
Вычислим ее частные производные по х1,х2, λ и приравняем их к 0:
Перенесем в правые части первых двух уравнений λ и приравняем их левые части, получим 4 + 2*x1 = 8 + 2*x2, или x1 − x2 = 2.
Решая последнее уравнение совместно с уравнением x1 + x2 = 180, находим x1 = 91, x2 = 89, то есть получили решение, удовлетворяющее условиям:
Найдем значение целевой функции f при этих значениях переменных:
F(x1, x2) = 17278
Эта точка является подозрительной на экстремум. Используя вторые частные производные, можно показать, что в точке (91,89) функция f имеет минимум.
С уть метода Лагранжа заключается в сведении задачи на условный экстремум к решению задачи безусловного экстремума. Рассмотрим модель нелинейного программирования:
(5.2)
где
– известные функции,
а
– заданные коэффициенты.
Отметим, что в
данной постановке задачи ограничения
заданы равенствами, отсутствует условие
неотрицательности переменных. Кроме
того, полагаем, что функции
непрерывны со своими первыми частными
производными.
Преобразуем условия (5.2) таким образом, чтобы в левых или правых частях равенств стоял ноль :
(5.3)
Составим функцию
Лагранжа. В нее входит целевая функция
(5.1) и правые части ограничений (5.3), взятые
соответственно с коэффициентами
.
Коэффициентов Лагранжа будет столько,
сколько ограничений в задаче.
Точки экстремума функции (5.4) являются точками экстремума исходной задачи и наоборот: оптимальный план задачи (5.1)-(5.2) является точкой глобального экстремума функции Лагранжа.
Действительно,
пусть найдено решение
задачи (5.1)-(5.2), тогда выполняются условия
(5.3). Подставим план
в функцию (5.4) и убедимся в справедливости
равенства (5.5).
Таким образом, чтобы найти оптимальный план исходной задачи, необходимо исследовать на экстремум функцию Лагранжа. Функция имеет экстремальные значения в точках, где ее частные производные равны нулю . Такие точки называютсястационарными.
Определим частные производные функции (5.4)
,
.
После приравнивания нулю производных получим системуm+n уравнений сm+n неизвестными
,
(5.6)
В общем случае система (5.6)-(5.7) будем иметь несколько решений, куда войдут все максимумы и минимумы функции Лагранжа. Для того чтобы выделить глобальный максимум или минимум, во всех найденных точках вычисляют значения целевой функции. Наибольшее из этих значений будет глобальным максимумом, а наименьшее – глобальным минимумом. В некоторых случаях оказывается возможным использование достаточных условий строгого экстремума непрерывных функций (см. ниже задачу 5.2):
пусть
функция
непрерывна и дважды дифференцируема
в некоторой окрестности своей стационарной
точки
(т.е.
)). Тогда:
а
)
если
,
(5.8)
то
– точка строгого максимума функции
;
б)
если
,
(5.9)
то
– точка строгого минимума функции
;
г
)
если
,
то вопрос о наличии экстремума остается открытым.
Кроме того, некоторые решения системы (5.6)-(5.7) могут быть отрицательными. Что не согласуется с экономическим смыслом переменных. В этом случае следует проанализировать возможность замены отрицательных значений нулевыми.
Экономический
смысл множителей Лагранжа.
Оптимальное
значение множителя
показывает на сколько изменится значение
критерияZ
при
увеличении или уменьшении ресурсаj
на одну единицу, так как
Метод
Лагранжа можно применять и в том случае,
когда ограничения представляют собой
неравенства. Так, нахождение экстремума
функции
при условиях
,
выполняют в несколько этапов:
1. Определяют стационарные точки целевой функции, для чего решают систему уравнений
.
2. Из стационарных точек отбирают те, координаты которых удовлетворяют условиям
3. Методом Лагранжа решают задачу с ограничениями-равенствами (5.1)-(5.2).
4. Исследуют на глобальный максимум точки, найденные на втором и третьем этапах: сравнивают значения целевой функции в этих точках – наибольшее значение соответствует оптимальному плану.
Задача 5.1 Решим методом Лагранжа задачу 1.3, рассмотренную в первом разделе. Оптимальное распределение водных ресурсов описывается математической моделью
.
Составим функцию Лагранжа
Найдем безусловный максимум этой функции. Для этого вычислим частные производные и приравняем их к нулю
,
Таким образом, получили систему линейных уравнений вида
Решение системы уравнений представляет собой оптимальный план распределения водных ресурсов по орошаемым участкам
,
.
Величины
измеряются в сотнях тысяч кубических
метров.
- величина
чистого дохода на одну сотню тысяч
кубических метров поливной воды.
Следовательно, предельная цена
1 м 3
оросительной воды равна
ден. ед.
Максимальный дополнительный чистый доход от орошения составит
160·12,26 2 +7600·12,26-130·8,55 2 +5900·8,55-10·16,19 2 +4000·16,19=
172391,02 (ден. ед.)
Задача 5.2 Решить задачу нелинейного программирования
Ограничение представим в виде:
.
Составим функцию Лагранжа и определим ее частные производные
.
Чтобы определить стационарные точки функции Лагранжа, следует приравнять нулю ее частные производные. В результате получим систему уравнений
.
Из первого уравнения следует
. (5.10)
Выражение
подставим во второе уравнение
,
откуда
следует два решения для
:
и
. (5.11)
Подставив эти решения в третье уравнение, получим
, 
.
Значения
множителя Лагранжа и неизвестной
вычислим по выражениям (5.10)-(5.11):
, 
,
,
.
Таким образом, получили две точки экстремума:
; 
.
Для
того чтобы узнать являются ли данные
точки точками максимума или минимум,
воспользуемся достаточными условиями
строгого экстремума (5.8)-(5.9). Предварительно
выражение для
,
полученное из ограничения математической
модели, подставим в целевую функцию
,
. (5.12)
Для
проверки условий строгого экстремума
следует определить знак второй производной
функции (5.11) в найденных нами экстремальных
точках
и
.
, 
;
.
Таким
образом, (·)
является точкой минимума исходной
задачи (
),
а (·)
– точкой максимума.
Оптимальный план :
, 
,
,
.
Метод множителей Лагранжа.
Метод множителей Лагранжа является одним из методов, которые позволяют решать задачи нелинейного программирования.
Нелинейное программирование-это раздел математического программирования, изучающий методы решения экстремальных задач с нелинейной целевой функцией и областью допустимых решений, определенной нелинейными ограничениями. В экономике это соответствует тому, что результаты (эффективность) возрастают или убывают непропорционально изменению масштабов использования ресурсов (или, что то же самое, масштабов производства): напр., из-за деления издержек производства на предприятиях на переменные и условно-постоянные; из-за насыщения спроса на товары, когда каждую следующую единицу продать труднее, чем предыдущую и т. д.
Задача нелинейного программирования ставится как задача нахождения оптимума определенной целевой функции
F(x 1 ,…x n), F (x ) → max
при выполнении условий
g j (x 1 ,…x n)≥0, g (x ) ≤ b , x ≥ 0
где x -вектор искомых переменных;
F (x ) -целевая функция;
g (x ) - функция ограничений (непрерывно дифференцируемая);
b - вектор констант ограничений.
Решение задачи нелинейного программирования (глобальный максимум или минимум) может принадлежать либо границе, либо внутренней части допустимого множества.
В отличие от задачи линейного программирования, в задаче программирования нелинейного оптимум не обязательно лежит на границе области, определенной ограничениями. Иначе говоря, задача состоит в выборе таких неотрицательных значений переменных, подчиненных системе ограничений в форме неравенств, при которых достигается максимум (или минимум) данной функции. При этом не оговариваются формы ни целевой функции, ни неравенств. Могут быть разные случаи: целевая функция нелинейная, а ограничения линейны; целевая функция линейна, а ограничения (хотя бы одно из них) нелинейные; и целевая функция, и ограничения нелинейные.
Задача нелинейного программирования встречается в естественных науках, технике, экономике, математике, в сфере деловых отношений и в науке управления государством.
Нелинейное программирование, например, связано с основной экономической задачей. Так в задаче о распределении ограниченных ресурсов максимизируют либо эффективность, либо, если изучается потребитель, потребление при наличии ограничений, которые выражают условия недостатка ресурсов. В такой общей постановке математическая формулировка задачи может оказаться невозможной, но в конкретных применениях количественный вид всех функций может быть определен непосредственно. Например, промышленное предприятие производит изделия из пластмассы. Эффективность производства здесь оценивается прибылью, а ограничения интерпретируются как наличная рабочая сила, производственные площади, производительность оборудования и т.д.
Метод "затраты - эффективность" также укладывается в схему нелинейного программирования. Данный метод был разработан для использования при принятии решений в управлении государством. Общей функцией эффективности является благосостояние. Здесь возникают две задачи нелинейного программирования: первая - максимизация эффекта при ограниченных затратах, вторая - минимизация затрат при условии, чтобы эффект был выше некоторого минимального уровня. Обычно эта задача хорошо моделируется с помощью нелинейного программирования.
Результаты решения задачи нелинейного программирования являются подспорьем при принятии государственных решений. Полученное решение является, естественно, рекомендуемым, поэтому необходимо исследовать предположения и точность постановки задачи нелинейного программирования, прежде чем принять окончательное решение.
Нелинейные задачи сложны, часто их упрощают тем, что приводят к линейным. Для этого условно принимают, что на том или ином участке целевая функция возрастает или убывает пропорционально изменению независимых переменных. Такой подход называется методом кусочно-линейных приближений, он применим, однако, лишь к некоторым видам нелинейных задач.
Нелинейные задачи в определенных условиях решаются с помощью функции Лагранжа: найдя ее седловую точку, тем самым находят и решение задачи. Среди вычислительных алгоритмов Н. п. большое место занимают градиентные методы. Универсального же метода для нелинейных задач нет и, по-видимому, может не быть, поскольку они чрезвычайно разнообразны. Особенно трудно решаются многоэкстремальные задачи.
Одним из методов, которые позволяют свести задачу нелинейного программирования к решению системы уравнений, является метод неопределенных множителей Лагранжа.
С помощью метода множителей Лагранжа по существу устанавливаются необходимые условия, позволяющие идентифицировать точки оптимума в задачах оптимизации с ограничениями в виде равенств. При этом задача с ограничениями преобразуется в эквивалентную задачу безусловной оптимизации, в которой фигурируют некоторые неизвестные параметры, называемые множителями Лагранжа.
Метод множителей Лагранжа заключается в сведении задач на условный экстремум к задачам на безусловный экстремум вспомогательной функции - т. н. функции Лагранжа.
Для задачи об экстремуме функции f (х 1 , x 2 ,..., x n ) при условиях (уравнениях связи) φ i (x 1 , x 2 , ..., x n ) = 0, i = 1, 2,..., m , функция Лагранжа имеет вид
L(x 1, x 2… x n ,λ 1, λ 2 ,…λm)=f(x 1, x 2… x n)+∑ i -1 m λ i φ i (x 1, x 2… x n)
Множители λ 1 , λ 2 , ..., λm наз. множителями Лагранжа.
Если величины x 1 , x 2 , ..., x n , λ 1 , λ 2 , ..., λm суть решения уравнений, определяющих стационарные точки функции Лагранжа, а именно, для дифференцируемых функций являются решениями системы уравнений
то при достаточно общих предположениях x 1 , x 2 , ..., x n доставляют экстремум функции f.
Рассмотрим задачу минимизации функции n переменных с учетом одного ограничения в виде равенства:
Минимизировать f(x 1, x 2… x n) (1)
при ограничениях h 1 (x 1, x 2… x n)=0 (2)
В соответствии с методом множителей Лагранжа эта задача преобразуется в следующую задачу безусловной оптимизации:
минимизировать L(x,λ)=f(x)-λ*h(x) (3)
где Функция L(х;λ) называется функцией Лагранжа,
λ - неизвестная постоянная, которая носит название множителя Лагранжа. На знак λ никаких требований не накладывается.
Пусть при заданном значении λ=λ 0 безусловный минимум функции L(x,λ) по х достигается в точке x=x 0 и x 0 удовлетворяет уравнению h 1 (x 0)=0. Тогда, как нетрудно видеть, x 0 минимизирует (1) с учетом (2), поскольку для всех значений х, удовлетворяющих (2), h 1 (x)=0 и L(x,λ)=min f(x).
Разумеется, необходимо подобрать значение λ=λ 0 таким образом, чтобы координата точки безусловного минимума х 0 удовлетворяла равенству (2). Это можно сделать, если, рассматривая λ как переменную, найти безусловный минимум функции (3) в виде функции λ, а затем выбрать значение λ, при котором выполняется равенство (2). Проиллюстрируем это на конкретном примере.
Минимизировать f(x)=x 1 2 +x 2 2 =0
при ограничении h 1 (x)=2x 1 +x 2 -2=0=0
Соответствующая задача безусловной оптимизации записывается в следующем виде:
минимизировать L(x,λ)=x 1 2 +x 2 2 -λ(2x 1 +x 2 -2)
Решение. Приравняв две компоненты градиента L к нулю, получим
→ x 1 0 =λ
→ x 2 0 =λ/2
Для того чтобы проверить, соответствует ли стационарная точка х° минимуму, вычислим элементы матрицы Гессе функции L(х;u), рассматриваемой как функция х,
которая оказывается положительно определенной.
Это означает, что L(х,u) - выпуклая функция х. Следовательно, координаты x 1 0 =λ, x 2 0 =λ/2 определяют точку глобального минимума. Оптимальное значение λ находится путем подстановки значений x 1 0 и x 2 0 в уравнение2x 1 +x 2 =2, откуда 2λ+λ/2=2 или λ 0 =4/5. Таким образом, условный минимум достигается при x 1 0 =4/5 и x 2 0 =2/5 и равен min f(x)=4/5.
При решении задачи из примера мы рассматривали L(х;λ) как функцию двух переменных x 1 и x 2 и, кроме того, предполагали, что значение параметра λ выбрано так, чтобы выполнялось ограничение. Если же решение системы
J=1,2,3,…,n
в виде явных функций λ получить нельзя, то значения х и λ находятся путем решения следующей системы, состоящей из n+1 уравнений с n+1 неизвестными:
J=1,2,3,…,n., h 1 (x)=0
Для нахождения всех возможных решений данной системы можно использовать численные методы поиска (например, метод Ньютона). Для каждого из решений () следует вычислить элементы матрицы Гессе функции L, рассматриваемой как функция х, и выяснить, является ли эта матрица положительно определенной (локальный минимум) или отрицательно определенной (локальный максимум).
Метод множителей Лагранжа можно распространить на случай, когда задача имеет несколько ограничений в виде равенств. Рассмотрим общую задачу, в которой требуется
Минимизировать f(x)
при ограничениях h k =0, k=1, 2, ..., К.
Функция Лагранжа принимает следующий вид:
Здесь λ 1 , λ 2 , ..., λk -множители Лагранжа, т.е. неизвестные параметры, значения которых необходимо определить. Приравнивая частные производные L по х к нулю, получаем следующую систему n уравнении с n неизвестными:
Если найти решение приведенной выше системы в виде функций вектора λ оказывается затруднительным, то можно расширить систему путем включения в нее ограничений в виде равенств
Решение расширенной системы, состоящей из n+К уравнений с n+К неизвестными, определяет стационарную точку функции L. Затем реализуется процедура проверки на минимум или максимум, которая проводится на основе вычисления элементов матрицы Гессе функции L, рассматриваемой как функция х, подобно тому, как это было проделано в случае задачи с одним ограничением. Для некоторых задач расширенная система n+К уравнений с n+K неизвестными может не иметь решений, и метод множителей Лагранжа оказывается неприменимым. Следует, однако, отметить, что такие задачи на практике встречаются достаточно редко.
Рассмотрим частный случай общей задачи нелинейного программирования, предполагая, что система ограничений содержит только уравнения, отсутствуют условия неотрицательности переменных и и - функции непрерывные вместе со своими частными производными. Следовательно решив систему уравнений (7), получают все точки, в которых функция (6) может иметь экстремальные значения.
Алгоритм метода множителей Лагранжа
1.Составляем функцию Лагранжа.
2.Находим частные производные от функции Лагранжа по переменным x J ,λ i и приравниваем их нулю.
3.Решаем систему уравнений (7), находим точки, в которых целевая функция задачи может иметь экстремум.
4.Среди точек, подозрительных на экстремум, находим такие, в которых достигается экстремум, и вычисляем значения функции (6) в этих точках.
Пример.
Исходные данные: По плану производства продукции предприятию необходимо изготовить 180 изделий. Эти изделия могут быть изготовлены двумя технологическими способами. При производстве x 1 изделий 1 способом затраты равны 4x 1 +x 1 2 руб., а при изготовлении x 2 изделий 2 способом они составляют 8x 2 +x 2 2 руб. Определить сколько изделий каждым из способов следует изготовить, чтобы затраты на производство продукции были минимальными.
Целевая функция для поставленной задачи имеет вид
®min
при условиях x 1 +x 2 =180, x 2 ≥0.
1.Составляем функцию Лагранжа
.
2.
Вычисляем частные производные по x 1 , x 2, λ и приравниваем их нулю:
3.
Решая полученную систему уравнений, находим x 1 =91,x 2 =89
4.Сделав замену в целевой функции x 2 =180-x 1 , получим функцию от одной переменной, а именно f 1 =4x 1 +x 1 2 +8(180-x 1)+(180-x 1) 2
Вычисляем или 4x 1 -364=0 ,
откуда имеем x 1 * =91, x 2 * =89.
Ответ: Количество изделий изготовленных первым способом равно х 1 =91, вторым способом х 2 =89 при этом значение целевой функции равно 17278 руб.
| Наименование параметра | Значение |
| Тема статьи: | Метод Лагранжа. |
| Рубрика (тематическая категория) | Математика |
Найти полином означает определить значения его коэффициента 
. Для этого используя условие интерполяции можно сформировать систему линейных алгебраических уравнений (СЛАУ).
Определитель этой СЛАУ принято называть определителем Вандермонда. Определитель Вандермонда не равен нулю при для , то есть в том случае, когда в интерполяционной таблице нет совпадающих узлов. Τᴀᴋᴎᴍ ᴏϬᴩᴀᴈᴏᴍ, можно утверждать, что СЛАУ имеет решение и это решение единственно. Решив СЛАУ и определив неизвестные коэффициенты можно построить интерполяционный полином .
Полином, удовлетворяющий условиям интерполяции, при интерполяции методом Лагранжа строится в виде линейной комбинации многочленов n-ой степени:
Многочлены принято называть базисными многочленами. Для того, чтобы многочлен Лагранжа удовлетворял условиям интерполяции крайне важно, чтобы для его базисных многочленов выполнялись следующие условия:
для 
.
В случае если эти условия выполняются, то для любого имеем:
Τᴀᴋᴎᴍ ᴏϬᴩᴀᴈᴏᴍ, выполнение заданных условий для базисных многочленов означает, что выполняются и условия интерполяции.
Определим вид базисных многочленов исходя из наложенных на них ограничений.
1-е условие: при .
2-е условие: .
Окончательно для базисного многочлена можно записать:
Тогда, подставляя полученное выражение для базисных многочленов в исходный полином, получаем окончательный вид многочлена Лагранжа:
Частная форма многочлена Лагранжа при принято называть формулой линейной интерполяции:
.
Многочлен Лагранжа взятый при принято называть формулой квадратичной интерполяции:
Метод Лагранжа. - понятие и виды. Классификация и особенности категории "Метод Лагранжа." 2017, 2018.
Линейные ДУ. Определение. ДУ вида т.е. линейное относ-но неизвестной ф-ции и ее производной наз-ся линейным. Для реш-я такого типа ур-й рассмотрим два метода: метод Лагранжа и метод Бернулли.Рассмотрим однородное ДУ Это ур-е с разделяющимися переем-ми Решение ур-я Общее... .
Определение. ДУ наз-ся однород-м, если ф-я может быть представлена, как ф-я отнош-я своих аргументов Пример. Ф-я наз-ся однородной ф-й измерения если Примеры: 1) - 1-й порядок однородности. 2) - 2-й порядок однородности. 3) - нулевой порядок однородности (просто однородная... .
Задачи на экстремум имеют большое значение в экономических расчетах. Это вычисление, например, максимумов дохода, прибыли, минимума издержек в зависимости от нескольких переменных: ресурсов, производственных фондов и т.д. Теория нахождения экстремумов функций... .
3. 2. 1. ДУ с разделяющимися переменными С.Р. 3. В естествознании, технике и экономике часто приходится иметь дело с эмпирическими формулами, т.е. формулами, составленными на основе обработки статистических данных или...
Сегодня на уроке мы научимся находить условные или, как их ещё называют, относительные экстремумы функций нескольких переменных, и, прежде всего, речь пойдёт, конечно же, об условных экстремумах функций двух итрёх переменных , которые встречаются в подавляющем большинстве тематических задач.
Что нужно знать и уметь на данный момент? Несмотря на то, что эта статья находится «на окраине» темы, для успешного усвоения материала потребуется не так уж и много. На данный момент вы должны ориентироваться в основных поверхностях пространства , уметь находить частные производные (хотя бы на среднем уровне) и, как подсказывает беспощадная логика, разбираться в безусловных экстремумах . Но даже если у вас низкий уровень подготовки, не спешите уходить – все недостающие знания/навыки реально «подобрать по пути», причём безо всяких многочасовых мучений.
Сначала проанализируем само понятие и заодно осуществим экспресс-повторение наиболее распространённых поверхностей . Итак, что же такое условный экстремум? …Логика здесь не менее беспощадна =) Условный экстремум функции – это экстремум в обычном понимании этого слова, который достигается при выполнении определённого условия (или условий).
Представьте произвольную «косую» плоскость в декартовой системе . Никакого экстремума здесь нет и в помине. Но это до поры до времени. Рассмотрим эллиптический цилиндр , для простоты – бесконечную круглую «трубу», параллельную оси . Очевидно, что эта «труба» «высечет» из нашей плоскости эллипс , в результате чего в верхней его точке будет максимум, а в нижней – минимум. Иными словами, функция, задающая плоскость, достигает экстремумов при условии , что её пересёк данный круговой цилиндр. Именно «при условии»! Другой эллиптический цилиндр, пересекающий эту плоскость, почти наверняка породит иные значения минимума и максимума.
Если не очень понятно, то ситуацию можно смоделировать реально (правда, в обратном порядке) : возьмите топор, выйдите на улицу и срубите… нет, Гринпис потом не простит – лучше порежем «болгаркой» водосточную трубу =). Условный минимум и условный максимум будут зависеть от того, на какой высоте и под каким (негоризонтальным) углом осуществлён разрез.
Настало время облачить выкладки в математическое одеяние. Рассмотрим эллиптический параболоид , который имеет безусловный минимум в точке . Теперь найдём экстремум при условии . Данная плоскость параллельна оси , а значит, «высекает» из параболоида параболу . Вершина этой параболы и будет условным минимумом. Причём плоскость не проходит через начало координат, следовательно, точка останется не при делах. Не представили картинку? Срочно идём по ссылкам! Потребуется ещё много-много раз.
Вопрос: как найти этот условный экстремум? Простейший способ решения состоит в том, чтобы из уравнения (которое так и называют – условием
или уравнением связи
) выразить, например: – и подставить его в функцию:
В результате получена функция одной переменной, задающая параболу, вершина которой «вычисляется» с закрытыми глазами. Найдём критические точки
:
– критическая точка.
Далее проще всего использовать второе достаточное условие экстремума
:
В частности: , значит, функция достигает минимума в точке . Его можно вычислить напрямую: , но мы пойдём более академичным путём. Найдём «игрековую» координату:
,
запишем точку условного минимума , удостоверимся, что она действительно лежит в плоскости (удовлетворяет уравнению связи)
:
и вычислим условный минимум функции :
при условии
(«добавка» обязательна!!!)
.
Рассмотренный способ без тени сомнения можно использовать на практике, однако, он обладает рядом недостатков. Во-первых, далеко не всегда понятна геометрия задачи, а во-вторых, зачастую бывает невыгодно выражать «икс» либо «игрек» из уравнения связи (если вообще есть возможность что-то выразить) . И сейчас мы рассмотрим универсальный метод нахождения условных экстремумов, получивший название метод множителей Лагранжа :
Пример 1
Найти условные экстремумы функции при указанном уравнении связи на аргументы .
Узнаёте поверхности? ;-) …Я рад видеть ваши счастливые лица =)
Кстати из формулировки данной задачи становится ясно, почему условие называют уравнением связи – аргументы функции связаны дополнительным условием, то есть найденные точки экстремума должны обязательно принадлежать круговому цилиндру.
Решение
: на первом шаге нужно представить уравнение связи в виде и составить функцию Лагранжа
:
, где – так называемый множитель Лагранжа.
В нашем случае и:
Алгоритм нахождения условных экстремумов весьма похож на схему отыскания «обычных» экстремумов
. Найдём частные производные
функции Лагранжа, при этом с «лямбдой» следует обращаться, как с константой:
Составим и решим следующую систему:
Клубок распутывается стандартно:
из первого уравнения выразим 
;
из второго уравнения выразим 
.
Подставим в уравнение связи и проведём упрощения:
В результате получаем две стационарные точки. Если , то:
если , то:
Легко видеть, что координаты обеих точек удовлетворяют уравнению 
. Щепетильные люди могут выполнить и полную проверку: для этого нужно подставить 
в первое и второе уравнения системы, и затем сделать то же самое с набором 
. Всё должно «сойтись».
Проверим выполнение достаточного условия экстремума для найденных стационарных точек. Я разберу три подхода к решению данного вопроса:
1) Первый способ – это геометрическое обоснование.
Вычислим значения функции в стационарных точках:
Далее записываем фразу примерно такого содержания: сечение плоскости круговым цилиндром представляет собой эллипс, в верхней вершине которого достигается максимум, а в нижней – минимум. Таким образом, бОльшее значение – есть условный максимум, а меньшее – условный минимум.
По возможности лучше применять именно этот метод – он прост, и такое решение засчитывают преподаватели (большим плюсом идёт то, что вы показали понимание геометрического смысла задачи) . Однако, как уже отмечалось, далеко не всегда понятно, что с чем и где пересекается, и тогда на помощь приходит аналитическая проверка:
2) Второй способ основан на использовании знаков дифференциала второго порядка . Если окажется, что в стационарной точке , то функция достигает там максимума, если же – то минимума.
Найдём частные производные второго порядка
:
и составим этот дифференциал:
При , значит, функция достигает максимума в точке ;
при , значит, функция достигает минимума в точке 
.
Рассмотренный метод очень хорош, но обладает тем недостатком, что в ряде случаев практически невозможно определить знак 2-го дифференциала (обычно так бывает, если и/или – разных знаков) . И тогда на помощь приходит «тяжёлая артиллерия»:
3) Продифференцируем по «икс» и по «игрек» уравнение связи:
и составим следующую симметричную
матрицу
:
Если в стационарной точке , то функция достигает там (внимание! ) минимума, если – то максимума.
Запишем матрицу для значения и соответствующей точки :
Вычислим её определитель
:
, таким образом, функция имеет максимум в точке .
Аналогично для значения и точки :
Таким образом, функция имеет минимум в точке .
Ответ
: при условии :
После обстоятельного разбора материала просто не могу не предложить вам пару типовых задач для самопроверки:
Пример 2
Найти условный экстремум функции , если её аргументы связаны уравнением
Пример 3
Найти экстремумы функции при условии
И вновь настоятельно рекомендую разобраться в геометрической сути заданий, особенно, это касается последнего примера, где аналитическая проверка достаточного условия – не подарок. Вспомните, какую линию 2-го порядка задаёт уравнение , и какую поверхность эта линия порождает в пространстве. Проанализируйте, по какой кривой цилиндр пересечёт плоскость и где на этой кривой будет минимум, а где – максимум.
Решения и ответы в конце урока.
Рассматриваемая задача находит широкое применение в различных областях, в частности – далеко ходить не будем, в геометрии. Решим всем понравившуюся задачу о поллитровке (см. Пример 7 статьи Экстремальные задачи ) вторым способом:
Пример 4
Каковы должны быть размеры консервной банки цилиндрической формы, чтобы на изготовления банки пошло наименьшее количество материала, если объем банки равен
Решение
: рассмотрим переменный радиус основания , переменную высоту и составим функцию площади полной поверхности банки:
(площадь двух крышек + площадь боковой поверхности)
