Внутри любого материала имеются внутренние межатомные силы, наличие которых определяет способность тела воспринимать действующие на него внешние силы, сопротивляться разрушению, изменению формы и размеров. Приложение к телу внешней нагрузки вызывает изменение (увеличение или уменьшение) внутренних сил, т. е. появление дополнительных внутренних сил.

В сопротивлении материалов изучаются дополнительные внутренние силы. Поэтому под внутренними силами (или внутренними усилиями) в сопротивлении материалов понимают силы взаимодействия между отдельными элементами сооружения или между отдельными частями элемента, возникающие под действием внешних сил. Это понятие равносильно допущению об отсутствии в теле внутренних сил до приложения к нему внешних нагрузок. Поэтому иногда считают, что в сопротивлении материалов принимается гипотеза о ненапряженном начальном состоянии тела.

Рассмотрим элемент конструкции, на который действует система внешних сил, находящихся в равновесии (рис. 4.1, а). Напоминаем, что в число внешних сил входят как заданные активные силы, так и реакции связей. Мысленно рассечем элемент плоскостью . Силы воздействия отсеченной правой части элемента на его левую часть (на правый ее торец) являются по отношению к ней внешними; для всего же элемента в целом они являются внутренними силами. Этим силам (на основании известного закона механики: действие равно противодействию) равны по величине и противоположны по направлению внутренние силы воздействия левой части элемента на правую.

В общем случае пространственной задачи взаимодействие между левой и правой частями элемента можно представить некоторой силой R, приложенной в произвольно выбранной точке О сечения , и моментом М относительно некоторой оси, проходящей через эту точку (рис. 4.1, б, в).

Сила R является главным вектором, а момент М-главным моментом системы внутренних сил, действующих по проведенному сечению.

Определение внутренних сил, возникающих в брусе, обычно производится для сечений, перпендикулярных к его продольной оси, т. е. для поперечных сечений бруса. Точка О принимается расположенной на оси бруса, т. е. совпадающей с центром тяжести его поперечного сечения.

Главный вектор R раскладывается на две составляющие силы: силу N, направленную вдоль оси бруса и называемую продольной силой, и силу Т, действующую в плоскости поперечного сечения и называемую поперечной силой (рис. 5.1, а). Момент М раскладывается на два составляющих момента: момент действующий в плоскости поперечного сечения и называемый крутящим моментом, и момент действующий в плоскости, перпендикулярной к поперечному сечению, и называемый изгибающим моментом (рис. 5.1, б).

Каждому из внутренних усилий соответствует определенный вид Рис. 5.1 деформации бруса. Продольной силе N соответствует растяжение (или сжатие), поперечной силе Т - сдвиг, крутящему моменту - кручение, а изгибающему моменту - изгиб. Различные их сочетания, например сжатие с изгибом, изгиб с кручением и т. п., представляют собой сложные сопротивления.

Внутренние усилия N и характеризуются каждое одним параметром-величиной усилия. Поперечная сила Т характеризуется двумя параметрами, например, величиной этой силы и ее направлением (в плоскости поперечного сечения бруса). Более удобно силу Т определять через составляющие ее поперечные силы параллельные двум взаимно перпендикулярным осям, расположенным в плоскости поперечного сечения бруса (рис. 5.1, а). Изгибающий момент Мн также характеризуется двумя параметрами; его обычно раскладывают на два составляющих изгибающих момента относительно осей z и у.

Таким образом, взаимодействие любых двух частей конструкции характеризуется тремя составляющими главного вектора и тремя составляющими главного момента внутренних сил, возникающих в рассматриваемом поперечном сечении. Эти составляющие называются внутренними силовыми факторами, или внутренними усилиями.

Рассмотрим общий прием определения внутренних усилий, называемый методом сечений.

Рассечем стержень (рис. 6.1, а) плоскостью совпадающей с поперечным сечением стержня. В полученном поперечном сечении в общем случае действует шесть внутренних усилий: (рис. 6.1, б, в).

Правая часть стержня (рис. 6.1, в) находится в равновесии; значит, внешние силы приложенные к ней, уравновешиваются внутренними усилиями, действующими на правую часть. Но те же внешние силы уравновешиваются и нагрузками, приложенными к левой части стержня (силами ), так как весь стержень в целом (рис. 6.1, а) также находится в равновесии. Следовательно, нагрузки, приложенные к левой части стержня (силы ), и внутренние усилия, действующие на правую часть, статически эквивалентны друг другу.

Таким образом, проекция на какую-либо ось внутренних усилий в сеченииу действующих со стороны левой части стержня на правую, равна проекции на эту ось всех внешних сил, приложенных к левой части. Аналогично, момент относительно какой-либо оси внутренних усилий в сечении, действующих со стороны левой части стержня на правую, равен моменту всех внешних сил, приложенных к левой части относительно этой оси.

Из шести внутренних усилий, действующих в поперечном сечении стержня, проекции пяти усилий на каждую из осей равны нулю. Аналогично равны нулю и моменты пяти внутренних усилий относительно каждой из указанных осей. Это позволяет легко определять внутренние усилия в стержне, проектируя на ось х или у, или z все внутренние усилия, действующие на правую часть стержня (рис. 6.1, в), и все внешние силы, приложенные к левой части (рис. 6.1, б), или определяя их моменты относительно одной из указанных осей.

Определим, например, величину продольной силы N в поперечном сечении показанном на рис. 6.1, а. Как следует из рис. 6.1, в, проекция на ось всех внутренних усилий, действующих на правую часть стержня, равна если для проекции положительным считать направление справа налево. Поэтому сила N равна сумме проекций на ось всех внешних сил, действующих на левую часть стержня (т. е. сил - рис. 6.1, б). Аналогично значение, например, крутящего момента в поперечном сечении стержня равно сумме моментов сил (рис. 6.1, б) относительно оси если положительными считать моменты, направленные по часовой стрелке (при взгляде с левого конца оси х на правый), и т. д.

Внутренние силы, действующие в сечении со стороны левой части на правую, можно определить по внешним силам, приложенным не к левой, а к правой части. В этом случае полученные направления проекций внешних сил на выбранные оси и моментов относительно этих осей необходимо изменять на противоположные.

Внутренние усилия в каком-либо сечении обычно определяют по внешним силам, приложенным к той части конструкции (расположенной по одну сторону от рассматриваемого сечения), на которую действует меньше сил.

В теоретической механике, в разделе статики, широко применяется замена системы сил их равнодействующей и перенос силы по линии ее действия. В сопротивлении материалов это не всегда возможно, так как может приводить к неправильным результатам. Например, совершенно очевидно, что при определении внутренних сил в сечении (рис. 6.1, а) замена нескольких сил, приложенных к телу по разные стороны от этого сечения, их равнодействующей недопустима, так как она приведет к изменению величин внутренних сил. По этой же причине недопустим перенос какой-либо силы, приложенной левее сечения по линии ее действия, в точку, расположенную правее этого сечения.

Находящемся в равновесии под действием .

Рассмотрим идеально упругий призматический стержень прямоугольного поперечного сечения (рис. 1.2, а).

Выделим внутри стержня какие-либо две частицы K и L, расположенные на бесконечно малом расстоянии друг от друга. Для большей наглядности предположим, что между этими частицами имеется некоторая пружинка, удерживающая их на определенном расстоянии друг от друга. Пусть натяжение пружинки равно нулю.

Приложим теперь к стержню растягивающую силу (рис. 1.2, б ). Пусть в результате деформации стержня, частица K перейдет в положение , а частица L – в положение . Соединяющая эти частицы пружинка при этом растянется. После снятия внешней нагрузки частицы вернутся в первоначальное положение K и L благодаря усилию, которое возникло в пружинке. Сила, которая возникла между частицами (в пружинке) в результате деформации идеально упругого стержня, называются силой или внутренней силой. Она может быть найдена методом сечений .

Этапы метода сечений

Метод сечений состоит из четырех последовательных этапов: разрезать, отбросить, заменить, уравновесить .

Разрежем стержень, находящийся в равновесии под действием некоторой системы сил (рис. 1.3, а) на две части плоскостью, перпендикулярной к его оси z.

Отбросим одну из частей стержня и рассмотрим оставленную часть.

Поскольку мы как бы разрезали бесчисленное множество пружинок, соединявших бесконечно близкие частицы тела, разделенного теперь на две части, в каждой точке поперечного сечения стержня необходимо приложить силы упругости, которые при деформации тела возникли между этими частицами. Иными словами, заменим действие отброшенной части (рис. 1.3, б).

Внутренние силы в методе сечений

Полученную бесконечную систему сил по правилам теоретической механики можно привести к центру тяжести поперечного сечения. В результате получим главный вектор R и главный момент M (рис. 1.3, в).

Разложим главный вектор и главный момент на составляющие по осям x, y (главные центральные оси) и z.

Получим 6 внутренних силовых факторов , возникающих в поперечном сечении стержня при его деформировании: три силы (рис. 1.3, г) и три момента (рис. 1.3, д).

Сила N - продольная сила

– поперечные силамы,

момент относительно оси z () – крутящий момент

моменты относительно осей x, y () – изгибающие моменты.

Запишем для оставленной части тела уравнения равновесия (уравновесим ):

Из уравнений определяются внутренние усилия, возникающие в рассматриваемом поперечном сечении стержня.

Силы, как известно, бывают внешние и внутренние . Если взять в руки обычную ученическую линейку и изогнуть ее, то делаем мы это, прикладывая внешние силы – руки. Если усилие рук убрать, то линейка вернется в исходное положение самостоятельно, под воздействием своих внутренних сил (это силы взаимодействия между частицами элемента от воздействия внешних сил). Чем больше внешние силы, тем больше и внутренние, но внутренние не могут постоянно увеличиваться, они растут лишь до определенного предела, и когда внешние силы превысят внутренние, произойдет разрушение . Поэтому крайне важно знать о внутренних силах в материале с точки зрения его прочности. Внутренние силы определяются с помощью метода сечений . Рассмотрим его подробно. Допустим, стержень нагружен некоторыми силами (верхний левый рис.). Разрезаем стержень сечением 1–1 на две части, и будем рассматривать любую из них – ту, которая покажется нам проще. К примеру, отбрасываем правую часть и рассмотрим равновесие левой части (верхний правый рис.).

Действие отброшенной правой части на оставшуюся левую заменяем внутренними силами, их бесконечно много, так как это силы взаимодействия между частицами тела. Из теоретической механики известно, что любую систему сил можно заменить эквивалентной ей системой, состоящей из главного вектора и главного момента. Поэтому все внутренние силы приведем к главному вектору R и главному моменту М (рис.1.1,б). Поскольку наше пространство трехмерно, то главный вектор R можно разложить по осям координат и получить три силы — Q x , Q y , N z (рис.1.1,в). По отношению к продольной оси стержня силы Q x , Q y называются поперечными или перерезывающими силами (расположены поперек оси), N z получил название продольной силы (расположена вдоль оси).

Главный момент М при разложении по осям координат также даст три момента(рис.1.1,г) в соответствии с той же продольной осью — два изгибающих момента M x и M y и крутящий момент Т (может обозначаться как М к или М z).

Таким образом, в общем случае нагружения существует шесть компонентов внутренних сил , которые называются внутренними силовыми факторами или внутренними силами. Для их определения в случае пространственной системы сил составляются шесть уравнений равновесия , а в случае плоской – три.

Чтобы запомнить последовательность метода сечений, следует использовать мнемотехнический прием – запомнить слово РОЗУ из первых букв действий: Р азрезаем (сечением), О тбрасываем (одну из частей), З аменяем (действие отброшенной части внутренними силами), У равновешиваем (т.е. с помощью уравнений равновесия определяем значение внутренних сил).

В практике возникают следующие виды деформаций. Если при случае нагружения в элементе под действием сил возникает один внутренний силовой фактор, то такая деформация называется простой или основной. Простые деформации - это растяжение-сжатие (возникает продольная сила), сдвиг (поперечная сила), изгиб (изгибающий момент), кручение (крутящий момент). Если одновременно элемент испытывает несколько деформаций (кручение с изгибом, изгиб с растяжением и др.), то такая деформация называется сложной .

Метод сечений и внутренние силовые факторы (ВСФ)

Прочность твердого тела обусловлена силами сцепления между отдельными его частицами (атомами, молекулами и т. п.). В случае нагружения твердого тела внешней нагрузкой (активными и реактивными силами) внутренние силы сцепления изменяются. При этом появляются дополнительные внутренние силы, сопровождающие деформацию тела. Именно эти дополнительные внутренние силы и являются предметом изучения в курсе сопротивления материалов. По мере возрастания внешней нагрузки увеличиваются и внутренние силы, но лишь до определенного предела, при превышении которого наступает разрушение.

Для решения задач сопротивления материалов очень важно уметь определять внутренние силы и деформации стержня. При определении внутренних сил в каком-либо сечении стержня используют метод сечений.

Рассмотрим на конкретном примере сущность метода сечений. Возьмем стержень, находящийся в состоянии равновесия под действием сил Ft, F 2 , F } и F 4 (рис. 3,а). Для определения внутренних сил, действующих в произвольном сечении А, мысленно рассечем стержень и отбросим одну из двух полученных частей, например, правую. Тогда на оставшуюся левую часть стержня будут действовать внешние силы F и F 2 .

Рис. 3. Метод сечений: а) стержень, рассеченный плоскостью;

б) левая отсеченная часть стержня

Для того чтобы эта часть стержня оставалась в равновесии, следует действие отброшенной правой части стержня на оставшуюся левую часть заменить внутренними силами, приложенными по всему сечению (рис. 3, б).

Являясь внутренними силами для целого стержня, эти силы играют роль внешних сил для его левой части.

NB: в дальнейшем силы, возникающие в сечении, будем называть внутренними и в то же время на рисунках изображать их в виде внешних сил.

Распределенные по сечению внутренние силы образуют пространственную систему сил и приводятся к статически эквивалентным им обобщенным усилиям - главному вектору и главному моменту М гл (рис. 4, а).

В сопротивлении материалов, характеризуя усилия в стержне, обычно рассматривают поперечные сечения, а обобщенные усилия представляют в главной координатной системе (при этом ось z направляют по нормали к сечению, а оси х и у располагают в плоскости сечения).

Проецируя главный вектор /? г, на оси координат, получаем три его составляющие: N y Q y и Q x . Проекциями главного момента на координатные оси являются его составляющие: моменты М х, М у и Г, каждый из которых стремится повернуть отсеченную часть стержня вокруг одной из координатных осей. Эти составляющие главного вектора и главного момента на координатные оси называют внутренними силовыми факторами (рис. 4, б).

Рис. 4. Метод сечений: а) приведение системы внутренних сил в сечении к главному вектору и главному моменту; б) разложение главного вектора и главного момента на координатные оси

Внутренними силовыми факторами называются проекции главного вектора и главного момента всех внутренних сил, возникающих в поперечном сечении стержня, на главные координаты оси, помещаемые обычно в центр тяжести сечения.

В общем случае нагружения стержня в его поперечном сечении могут возникать шесть внутренних силовых факторов , которые имеют следующие названия:

S N - продольная (нормальная) сила;

S QyUQ x - поперечные силы;

S М Х 1 Л М у - изгибающие моменты;

S Т - крутящий момент.

При известных внешних силах все шесть внутренних силовых факторов могут быть определены из шести уравнений статики (уравнений равновесия), которые составляются для отсеченной части стержня (правой или левой):

NB: в приведенных условиях равновесия отсеченной части стержня символами F x omc , F y omc и F z ome обозначены проекции внешних сил на соответствующие координатные оси; а символом F° mc - внешние силы.

Рассмотренный метод сечений позволяет перевести внутренние силовые факторы в категорию внешних сил и, подчинив условиям равновесия, определить их величины и направления.

Сущность метода сечений заключается в следующих четырех действиях:

1. Рассечь мысленно стержень плоскостью, перпендикулярной его оси в том месте, где требуется найти внутренние силовые факторы (см. рис. 3, а).
2. Отбросить одну из частей стержня (правую или левую).
3. Заменить действие отброшенной части стержня на оставленную часть искомыми внутренними силовыми факторами (см. рис. 4, б). Равновесие оставленной части не нарушится лишь в том случае, если к ней приложить ВСФ, заменяющие действие отброшенной части. Для оставленной части они будут играть роль внешних сил (см. рис. 3, б).
4. Уравновесить оставленную часть стержня и из условий равновесия оставленной части стержня найти величины и направления внутренних силовых факторов.

От степени усвоения метода сечений зависит успешное изучение и понимание основных вопросов сопротивления материалов. Добиться этого несложно, если при применении метода сечений каждый раз последовательно использовать все четыре указанные операции. При этом следует помнить, что пропуск какой-либо из этих операций неизбежно приведет к ошибкам и недопониманию изучаемого вопроса.

При применении метода сечений должны быть предварительно определены все внешние силы и моменты, приложенные к отсеченной части стержня, в том числе и опорные реакции. Оставленная часть стержня должна рассматриваться как свободное тело, находящееся под действием приложенных к нему внешних сил, моментов и внутренних силовых факторов, не изменяющее своего положения в пространстве (опоры отсутствуют, так как их действия заменены опорными реакциями).

Все материалы, элементы конструкций и конструкции под действием внешних сил в той или иной мере испытывают смещения (перемещения относительно нагруженного состояния) и изменяют свою форму (деформируются). Взаимодействие между частями (частицами) внутри элемента конструкции характеризуется внутренними силами.

Внутренние силы − силы межатомного взаимодействия, возникающие при воздействии на тело внешних нагрузок и стремящиеся противодействовать деформации.

Для расчета элементов конструкций на прочность, жесткость и устойчивость необходимо с помощью метода сечений определить возникающие внутренние силовые факторы.

Суть метода сечений заключается в том, что внешние силы, приложенные к отсеченной части тела, уравновешиваются внутренними силами, возникающими в плоскости сечения и заменяющими действие отброшенной части тела на остальную.

Стержень, находящийся в равновесии под действием сил F 1 , F 2 , F 3 , F 4 , F 5 (рис. 86, а ), мысленно рассечем на две части I и II (рис. 86, б ) и рассмотрим одну из частей, например левую.

Так как связи между частями устранены, то действие одной из них на другую следует заменить системой внутренних сил в сечении. Поскольку действие равно противодействию и противоположно по направлению, то внутренние силы, возникающие в сечении, уравновешивают внешние силы, приложенные к оставленной части.

Поместим в точку О систему координат xyz . Разложим главный вектор и главный момент на составляющие, направленные по координатным осям:

Составляющая N z - называемая продольной (нормальной) силой, вызывает деформацию растяжения или сжатия. Составляющие Q x и Q y перпендикулярны нормали и стремятся сдвинуть одну часть тела относительно другой, их называют поперечными силами. Моменты M x и M y изгибают тело и называются изгибающими . Момент M z скручивающий тело называют крутящим . Эти силы и моменты, являются внутренними силовыми факторами (рис. 86, в ).

Отыскать составляющие главного вектора и главного момента внутренних сил позволяют условия равновесия:

В частных случаях отдельные внутренние силовые факторы могут быть равны нулю. Так, при действии плоской системы сил (например, в плоскости zy ) в его сечениях возникают силовые факторы: изгибающий момент M x , поперечная сила Q y , продольная сила N z . Условия равновесия для данного случая:

Для определения внутренних силовых факторов необходимо:

1. Мысленно провести сечение в интересующей нас точке конструкции или стержня.

2. Отбросить одну из отсеченных частей и рассмотреть равновесие оставленной части.

3. Составить уравнения равновесия для оставленной части и определить из них значения и направления внутренних силовых факторов.

Внутренние силовые факторы, возникающие в поперечном сечении стержня, определяют деформированное состояние.

Метод сечений не позволяет установить закон распределения внутренних сил по сечению.

Эффективными характеристиками для оценки нагруженности деталей будет интенсивность внутренних сил взаимодействия - напряжение и деформация .

Рассмотрим сечение тела (рис. 87). На основании принятого ранее допущения о том, что рассматриваемые тела сплошные, можно считать, что внутренние силы непрерывно распределены по всему сечению.

В сечении выделим элементарную площадку ΔА , а равнодействующую внутренних сил на этой площадке обозначим ΔR . Отношение равнодействующей внутренних сил ΔR на площадке ΔА к величине площади этой площадки называется средним напряжением на данной площадке,

Если площадку ΔА уменьшать (стягивать в точку), то в пределе получим напряжение в точке

Силу ΔR можно разложить на составляющие: нормальную ΔN и касательную ΔQ. По этим составляющим определяют нормальное σ и касательное τ напряжения (рис. 88):

Для измерения напряжений в Международной системе единиц (СИ) служит ньютон на квадратный метр, названный паскалем Па (Па = Н/м 2). Так как эта единица очень мала и пользоваться ею неудобно, применяют кратные единицы (кН/м 2 , МН/м 2 и Н/мм 2). Отметим, что 1 МН/м 2 =1МПа =1Н/мм . Эта единица наиболее удобна для практического использования.

В технической системе единиц (МКГСС) для измерения напряжений применяли килограмм-силу на квадратный сантиметр. Соотношение между единицами измерения напряжений в Международной и технической системах устанавливается на основе соотношения между единицами сил: 1 кгс = 9,81 Н 10 Н. Приближенно можно считать: 1 кгс/см 2 = 10 Н/см 2 = 0,1 Н/мм 2 = 0,1 МПа или 1 МПа = 10 кгс/см 2 .

Нормальные и касательные напряжения являются удобной мерой оценки внутренних сил тела, так как материалы различным образом им сопротивляются. Нормальные напряжения стремятся сблизить или удалить отдельные частицы тела по направлению нормали к плоскости сечения, а касательные напряжения стремятся сдвинуть одни частицы тела относительно других по плоскости сечения. Поэтому касательные напряжения называют еще напряжениями сдвига.

Деформация нагруженного тела сопровождается изменением расстояний между его частицами. Внутренние силы, возникающие между частицами, изменяются под действием внешней нагрузки до тех пор, пока не установится равновесие между внешней нагрузкой и внутренними силами сопротивления. Полученное состояние тела называют напряженным состоянием. Оно характеризуется совокупностью нормальных и касательных напряжений, действующих по всем площадкам, которые можно провести через рассматриваемую точку. Исследовать напряженное состояние в точке тела - значит получить зависимости, позволяющие определить напряжения по любой площадке, проходящей через указанную точку.

Напряжение, при котором происходит разрушение материала или возникают заметные пластические деформации, называют предельным и обозначают σ пред; τ пред. . Эти напряжения определяют опытным путем.

Чтобы избежать разрушения элементов сооружений или машин, возникающие в них рабочие (расчетные) напряжения (σ, τ) не должны превышать допускаемых напряжений, которые обозначают в квадратных скобках: [σ], [τ]. Допускаемые напряжения - это максимальные значения напряжений, обеспечивающие безопасную работу материала. Допускаемые напряжения назначаются как некоторая часть экспериментально найденных предельных напряжений, определяющих исчерпание прочности материала:

где [n ] - требуемый или допускаемый коэффициент запаса прочности, показывающий, во сколько раз допускаемое напряжение должно быть меньше предельного.

Коэффициент запаса прочности зависит от свойств материала, характера действующих нагрузок, точности применяемого метода расчета и условий работы элемента конструкции.

Под действием сил возникают смещения не только в конструкции, но и в материале, из которого она изготовлена (хотя во многих случаях такие перемещения находятся далеко за пределами возможностей невооруженного глаза и обнаруживаются с помощью высокочувствительных датчиков и приборов).

Для определения деформаций в точке К рассмотрим малый отрезок KL длиной s , исходящий из этой точки в произвольном направлении (рис. 89).

В результате деформации точки К и L переместятся в положение К 1 и L 2 соответственно, а длина отрезка, возрастет на величину Δs. Отношение

представляет собой среднее удлинение на отрезке s.

Уменьшая отрезок s , приближая точку L к точке К , в пределе получим линейную деформацию в точке К по направлению KL :

Если в точке К провести три оси параллельные осям координат, то линейные деформации в направлении координатных осей х , у и z будут равны соответственно ε x , ε y , ε z .

Деформация тела является безразмерной и часто выражается в процентах. Обычно деформации невелики и в условиях упругости не превышают 1 − 1,5 %.

Рассмотрим прямой угол, образованный в недеформированном теле отрезками ОМ и ON (рис. 90). В результате деформации под действием внешних сил угол MON изменится и станет равным углу M 1 O 1 N 1 . В пределе разность углов называют угловой деформацией или деформацией сдвига в точке О в плоскости MON :