Как сравнить отрезки?

Что означает - сравнить два отрезка? Это значит сравнить их длины, определить, который из них длиннее (или короче). Если под рукой есть линейка, нет ничего проще: измерить с её помощью длины обоих отрезков, и сразу станет ясно, какой длиннее. Ниже мы расскажем, что делать, если линейки рядом с вами не оказалось.

Как сравнить два отрезка без линейки

Если отрезки нарисованы по клеткам, можно посчитать клетки. Однако так везет далеко не всегда. При отсутствии клеток можно воспользоваться циркулем. Сначала нужно установить раствор циркуля по концам одного отрезка, а потом, не сдвигая его ножек, установить иглу в конец другого отрезка и посмотреть, шире раствор циркуля, чем второй отрезок, или уже.

Если нет и циркуля, можно изготовить подобие линейки из полоски бумаги. Деления на ней рисовать не обязательно, достаточно обозначить начало и конец одного отрезка, затем совместить одну метку с началом второго отрезка и сравнить.

Так можно сравнить даже отрезки, нарисованные на земле, например, для того, чтобы обозначить места для столбиков под скамейку на равных расстояниях от стены дома. Только в этом случае нужно будет воспользоваться уже не полоской бумаги, а доской или верёвкой.

Как сравнить два отрезка в координатной сетке

Чтобы сравнить отрезки, надо знать их длины. В статье мы объяснили, как найти длину отрезка, если указаны его координаты на плоскости или в пространстве. Возьмём отрезки на плоскости с координатами: отрезок а = {x 1,y 1;x 2,y 2} и отрезок b = {x 3,y 3;x 4,y 4}.

Конечно, и так видно, что второй отрезок короче первого, но в математике «видно» не считается, надо доказать. Поэтому напишем формулу для вычисления длин отрезков и придадим координатам численные значения. После этого вы легко объясните, как сравнить два отрезка.

• Длина отрезка а d1 = √((х 1 - х 2)² + (у 1 - у 2)²)
• Длина отрезка b d2 = √((х 3 - х 4)² + (у 3 - у 4)²)

Пусть х 1 = -6, у 1 = 5; х 2 = 4, у 2 = -3; х 3 = -2, у 3 = -4; х 4 = 1, у 4 = -2. Значит:

• d1 = √((х 1 - х 2)² + (у 1 - у 2)²) = d1 = √(((-6) - 4)² + (5 - (-3))²) = √((-10)² + 8²) = √164
• d2 = √((х 3 - х 4)² + (у 3 - у 4)²) = √(((-2) - 1)² + ((-4) - (-2))²) = √((-3)² + 2²) = √13
• √164 > √13, значит, d1 > d2.

Аналогично можно сравнивать отрезки в трёхмерных координатах, только тогда нужно будет учесть ещё и третьи координаты: отрезок а = {x 1,y 1,z 1;x 2,y 2,z 2} и отрезок b = {x 3,y 3,z 3;x 4,y 4,z 4}.

Формулы аналогичны тем, что мы писали для координатной сетки на плоскости:

• Длина отрезка а d1 = √((х 1 - х 2)² + (у 1 - у 2)² + (z 1 - z 2)²)
• Длина отрезка b d2 = √((х 3 - х 4)² + (у 3 - у 4)² + (z 3 - z 4)²)

Пусть х 1 = -6, у 1 = 5, z 1 = 1; х 2 = 4, у 2 = -3, z 2 = 2; х 3 = -2, у 3 = -4, z 3 = 3; х 4 = 1, у 4 = -2, z 4 = -11.

• d1 = √((х 1 - х 2)² + (у 1 - у 2)² + (z 1 - z 2)² = √(((-6) - 4)² + (5 - (-3))² + (1 - 2)²) = √((-10)² + 8² + (-1)²) = √165
• d2 = √((х 3 - х 4)² + (у 3 - у 4)² + (z 3 - z 4)²) = √(((-2) - 1)² + ((-4) - (-2))² + (3 - (-11))²) = √((-3)² + 2² + 14²) = √(9 + 4 + 196) = √209
• √209 > √165

Значит, в этом случае второй отрезок получился больше первого.

§ 1 Точка

Начнем изучение темы с такого понятия, как точка. Точкой называют довольно абстрактный объект в пространстве. Ее нельзя измерить, у неё нет длины или ширины. Однако точка является одним из фундаментальных понятий в математике. Точку можно сравнить с меткой. Например, обозначение населенного пункта на карте. Или след от шариковой ручки на листе бумаги. Обозначают точку заглавной латинской буквой, строят карандашом, подписывают ручкой. Например, точка А, точка В, точка С и т.д.

§ 2 Отрезок

Если к двум точкам приложить линейку и соединить, то получится отрезок. Например, отрезок АВ. Тот же отрезок можно обозначить ВА. Точки А и В называют концами отрезка АВ. Любые две точки можно соединить только одним отрезком!

Определение этого понятия следующее:

Отрезок - это часть прямой, ограниченная двумя точками.

На данном рисунке вы видите отрезок ОР, точка Е лежит на отрезке ОР, а точка К и точка С не лежат на отрезке ОР. Таким образом, делаем вывод:

Точка может лежать внутри отрезка, то есть принадлежать ему, а может и не принадлежать отрезку.

§ 3 Сравнение отрезков

Отрезки можно сравнивать между собой. Например, на этом рисунке вы видите, что точка F лежит на отрезке BD, значит отрезок BF является частью отрезка BD, то есть можно сказать, что он короче или меньше отрезка BD, аналогично и отрезок FD меньше отрезка BD. А про отрезок BD, наоборот, можно сказать, что он длиннее или больше отрезка BF и отрезка FD.

А какие отрезки называются равными? Если отрезки при наложении друг на друга полностью совпадают, то они называются равными.

Однако на практике не всегда можно воспользоваться способом наложения при сравнении отрезков, проще их измерить, а затем сравнить.

§ 4 Единицы измерения длины

А как измерять отрезки? Каждый отрезок имеет длину. Длиной отрезка называют расстояние между его концами. Например, отрезок АВ имеет длину, равную расстоянию между точками А и В. Отрезок, длина которого принята за единицу, называется единицей измерения. В нашей стране используют такие единицы измерения как миллиметр, сантиметр, дециметр, метр, километр.

Если расстояние между точками А и В равно 7 см, то записывают АВ = 7 см, читают эту запись так: длина отрезка АВ равна 7 см.

Единицы измерения связаны между собой, например:

1 дециметр = 10 см = 100 мм

1 метр = 10 дециметров =100 см = 1000 мм

1 км = 1000 м.

Все эти соотношения между различными единицами измерения длины нам пригодятся для решения, например, таких задач как:

Выразите в сантиметрах:

8 дм 7 см = 87 см.

Или же выразите в метрах:

3 км 4 м = 3004 м.

Другое задание: Выразите в см и мм:

84 мм = 8 см 4 мм.

Давайте вернемся к сравнению отрезков, можем сделать вывод:

Больше тот отрезок, который имеет большую длину и наоборот, меньше тот отрезок, длина которого меньше. Равными же будут те отрезки, длины которых равны.

Список использованной литературы:

1. Математика 5 класс. Виленкин Н.Я., Жохов В.И. и др. 31-е изд., стер. - М: 2013.
2. Дидактические материалы по математике 5 класс. Автор - Попов М.А. - 2013 год
3. Вычисляем без ошибок. Работы с самопроверкой по математике 5-6 классы. Автор - Минаева С.С. - 2014 год
4. Дидактические материалы по математике 5 класс. Авторы: Дорофеев Г.В., Кузнецова Л.В. - 2010 год
5. Контрольные и самостоятельные работы по математике 5 класс. Авторы - Попов М.А. - 2012 год
6. Математика. 5 класс: учеб. для учащихся общеобразоват. учреждений / И. И. Зубарева, А. Г. Мордкович. - 9-е изд., стер. - М.: Мнемозина, 2009. - 270 с.: ил.

Цели урока:

1. Знакомство с одним из простейших способов сравнения плоских фигур;
2. Развитие геометрической интуиции, изобразительных навыков;
3. Обобщение с использованием элементов исследования, развитие математической речи;
4. Воспитание интереса к оперированию геометрическими понятиями и образами.

План урока:

1. Повторение ранее изученного материала. Ответы на вопросы по домашнему заданию.
2. Изучение нового материала.
3. Закрепление изученного материала. Контроль усвоения материала (письменный опрос).
4. Подведение итогов урока. Домашнее задание.

Ход урока

1. Теоретический опрос по вопросам 4-6 (стр. 25).Разбор нерешенных домашних задач.

2. Сообщение темы и цели урока. Слайд 2, слайд 3.

В геометрии очень важно уметь смотреть и видеть, замечать особенности геометрических фигур, делать выводы из замеченных особенностей. Среди окружающих нас предметов встречаются такие, которые имеют одинаковую форму и одинаковые размеры. Приведите примеры.

Как можно назвать такие фигуры? Правильно, такие фигуры называют равными.

Как можно сравнить две фигуры? (Фигуры вырезаны из картона и внешне почти равны)

Чтобы сравнить эти фигуры, надо один наложить на другой. Если из-за верхнего прямоугольника виден нижний, то верхний меньше нижнего и наоборот. А если они совместятся, то данные прямоугольники равны.

Как можно сравнить две фигуры, изображенные на доске или на бумаге? (Внешне фигуры почти равны)

Чтобы проверить это, необходимо скопировать одну фигуру на кальку и наложить на другую.

Какие две геометрические фигуры можно назвать равными? (Две геометрические фигуры называются равными, если их можно совместить при наложении)

Сравните отрезки АВ и СД, изображенные на рисунке (рисунок на доске), с помощью линейки без делений.

а) наложить линейку на отрезок АВ и отметить начало и конец данного отрезка:

б) наложить линейку на отрезок СД так, чтобы отмеченное начало отрезка АВ совпало с точкой С, если отмеченный конец отрезка АВ совпадает с точкой Д, то отрезки АВ и СД равны, пишут АВ=СД.

Если отмеченный конец отрезка АВ будет лежать на отрезке СД, то отрезок АВ меньше отрезка СД, пишут АВ < СД (СД > АВ).

Сравните отрезки АС и СВ (рис. 21 учебника). (АС=СВ). Как назовем точку С?(Точка С – середина отрезка АВ).

Как с помощью шарнирной модели угла можно сравнить два угла?

а) Зафиксировать с помощью модели один из углов;

б) наложить зафиксированную модель на другой угол таким образом, чтобы у них совпали вершины и по одной стороне, а две другие оказались по одну сторону от совместившихся сторон. Если вторая сторона модели угла совместиться со второй стороной другого угла, то данные углы равны. Если же эти стороны не совместятся, то меньшим считается тот угол, который составляет часть другого.

Сравните углы, изображенные на рисунке 22 а) (/ 1 < / 2.)

Какие углы являются неразвернутыми? Сравните развернутый и неразвернутый углы.

Кто скажет, как называется луч, исходящий из вершины угла и делящий его на два равных угла?

(Луч, исходящий из вершины угла и делящий его на два равных угла, называется биссектрисой.)

С помощью какого инструмента можно построить биссектрису угла? (Учащиеся знакомы с понятием – «биссектриса угла» с 5 класса и знают, что построить ее можно с помощью транспортира.)

Постройте углы АОВ и СМД, равные соответственно 120° и 56° и их биссектрисы.

3. Закрепление изученного материала.

Решить задачи в рабочей тетради № 17, 18, 19, 22,24 самостоятельно с последующим обсуждением решения.(Приложение)

4. Подводятся итоги, выставляются оценки.

Домашнее задание

§3, вопросы 7 – 11. Решить задачи. I уровень – № 20, 21, 23 из рабочей тетради.

II уровень - № 18, 19, 21, 23 из учебника.

Литература:

1. Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б, Позняк Э.Г., Юдина И.И. Геометрия, 7 – 9.Учебник для общеобразовательных учреждений – 15 –е изд. – М.:Просвещение,2005.
2. Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Глазков Ю.А., Юдина И.И. Геометрия. Рабочая тетрадь для 7 класса общеобразовательных учреждений. – М.: Просвещение, 2002.
3. Гаврилова Н.Ф. Поурочные разработки по геометрии: 7 класс. - 2-е изд., перераб. и доп. – М.:ВАКО, 2009.

Видеоурок «Сравнение отрезков и углов» содержит учебный материал по данной теме геометрии и формирует представление ученика о способах сравнения различных фигур.

Особенно удачным способом демонстрации операций по сравнению фигур является анимация, которая наглядно показывает особенности операции, ее результат. При помощи анимации можно четко увидеть разницу в фигурах при их наложении. С использованием видеоурока учителю не требуется дополнительных пособий для демонстрации проведения операций с фигурами.

Согласно программе курса геометрии понятие равенства фигур уже имеется у учеников. Теперь им необходимо научиться решать геометрические задачи для поиска решения о том, равны ли геометрические фигуры. Ученикам предлагается рассмотреть простейший пример по сравнению геометрических фигур - сравнение двух отрезков. На экране изображены два отрезка, расположенные на плоскости под разными углами. Согласно изученному ранее свойству равных фигур о совмещении их путем наложения, диктор предлагает произвести эту процедуру с данными простыми фигурами.

Демонстрируется верный способ сравнения отрезков - сначала необходимо совместить один конец отрезков и наложить их друг на друга. Если второй конец также совпадет, то отрезки равны. На данном рисунке начерчены отрезки разных размеров, они при наложении не совпали, следовательно, не равны. При этом меньший отрезок может быть назван частью большего. При помощи анимации ученикам демонстрируется меньший отрезок, так как при наложении он является всего лишь частью большего. Далее производится математическое описание произведенной операции. Исследуемым отрезкам присваивается название, которое используется в математическом описании задачи. Диктор отмечает, что отрезок АС меньше отрезка АВ. Результат сравнения описывается при помощи условных обозначений АС<АВ.

Далее рассматривается понятие середины отрезка. Отрезок АВ делится на две равные части точкой С, которая в данном случае называется серединой отрезка. Описание математическим языком звучит как «точка С - середина отрезка АВ», так как образованные отрезки АС=СВ.

Следующими фигурами для сравнения берутся углы. Это простейшие фигуры, при сравнении которых обнаруживаются свои особые свойства. Способ проведения операции сравнения такой же, как и ранее - наложение. При наложении двух углов друг на друга, необходимо произвести сначала наложение одной из сторон, а вторые расположить с одно стороны от нее. При этом различия в углах могут быть подмечены оценкой положения второй стороны. При совпадении второй стороны фигуры называют равными. Так как оставшаяся сторона не совпала, можно говорить о различии между углами. При этом меньший угол составляет часть большего угла. При математическом описании данного факта указывается, что 1<2. Так следует записывать результат сравнения двух данных углов. Частным случаем сравнения двух углов является сравнения любого неразвернутого угла с развернутым. Отмечается, что неразвернутый угол всегда будет частью развернутого угла, так как он всегда будет меньше. Демонстрируется очевидный факт, что любые два развернутых угла всегда будут равными.

После рассмотрения понятия равных углов, а также сравнения двух углов ученикам может быть подано определение биссектрисы, как луча, выходящего из вершины угла и делящего угол на две равные части. Разъяснение сопровождается математическим описанием проведенной операции - в результате разбиения угла hkна два угла и при этом hl=lk формируется понятие биссектрисы угла hk - луча l.

Видеоурок «Сравнение отрезков и углов» создан для учителем в качестве наглядного пособия при объяснении нового материала по данной теме. Также материал может заменить объяснение учителя при дистанционном обучении, рекомендоваться в качестве пособия при самостоятельном освоении материала учеником.