Среднеквадратическое приближение функции.

Рассмотрим задачу наилучшего среднеквадратичного приближения функции полиномом
по системе
.

Определение 1.

Обобщенным полиномом порядка m по системе { k } называется линейная комбинация

где C k – произвольные вещественные коэффициенты.

Задача. Найти полином
, наименее уклоняющийся от функции f в метрике L 2 , т.е. удовлетворяющий условию:

Теорема 1.

Если система
линейно независима, то задача наилучшего среднеквадратичного приближения по этой системе однозначно разрешима.

Запишем квадрат расстояния между функцией и полиномом:

(1)

Очевидно, что величина
- неотрицательно определенная квадратичная функция переменных
, а такая функция достигает минимального значения. Таким образом, решение задачи среднеквадратичного приближения существует.

Докажем единственность решения.

Запишем необходимые условия минимума:

, i=0,…,m .

Вычисляя частные производные по c i выражения (1), получим линейную cистему уравнений:

(2)

Система (2) называется нормальной системой .

Выпишем определитель этой системы

(3)

Определитель системы (3) – так называемый определитель Грама системы
. Известно, что если система
- линейно независима, то определитель
0 (легко доказывается от противного). Согласно условию теоремы
0 и система (2) имеет единственное решение.

1.6. Классические ортогональные многочлены и их применение в задачах приближения функций.

Пусть H- гильбертово пространство со скалярным произведением и, соответственно, нормой
. Важным примером такого пространства является так называемое пространство
- пространство функций f(x), для которых конечен интеграл:

(1)

Здесь h(x)- так называемая весовая функция , удовлетворяющая условиям:

Если же =(0,+), то должно выполняться условие:

т.е. должны существовать любые моменты весовой функции.

Определение 1.

Для
определено скалярное произведение:

(2)

и соответственно норма:

согласно условию (1).

Используя неравенство Коши – Буняковского - Шварца, получаем

Поэтому скалярное произведение существует для

Определение 2.

Расстояние между элементами f и g определяется равенством:

.

Возникает вопрос о том, как понимать нулевой элемент. Если норма
, следует ли отсюда, что f=g? Вводится терминология: f=g почти всюду, то есть они могут отличаться в конечном числе точек.

Определение 3.

f и g ортогональны на отрезке с весом h(x), если =0 (кратко пишут
).

Если в гильбертовом пространстве взять любую линейно независимую систему
, i=0,1,2,…, то ее можно ортогонализировать.

Рассмотрим в качестве примера систему:
При
конечный набор степенных функций линейно независим, поэтому на базе этой системы можно построить ортогональные полиномы. Известна следующая рекуррентная процедура ортогонализации (процедура Грама - Шмидта):

(3)

Коэффициенты b k+1,j определяются из условий ортогональности:

Последовательно умножая (3) на
получаем

(4)

Пример 1.

Пусть h(x)1, =[-1,1].

Построить первые три ортогональных полинома по процедуре (3) - (4).

Далее имеем:

следовательно,

Для системы ортогональных многочленов на отрезке [-1,1] с весом h(x)=1 справедлива формула Родрига:

(5)

Из (5) последовательно получаем:

Получаемые таким образом полиномы называются полиномами Лежандра.

Замечание.

Найденные по процедуре (3) – (4) ортогональные многочлены могут лишь множителями отличаться от тех, которые строятся по явной формуле Родрига (5).

Квадрат нормы у этих полиномов равен:

То есть эти многочлены не нормированы, так как

Для всех классических многочленов существует рекуррентная формула. Для полиномов Лежандра она имеет следующий вид:

Пусть
Рассмотрим среднеквадратичное приближение:

где
- среднеквадратичная ошибка аппроксимации,

- отрезок ряда Фурье для функции f(x) по системе ортогональных многочленов {P k (x)}.

В силу ортогональности многочленов Лежандра, система нормальных уравнений (2) из §1.5 становится диагональной, и ее решение приводит к следующим выражениям для коэффициентов c k:

(7)

то есть обеспечивается минимум нормы в L 2 .

Распишем подробно ошибку аппроксимации

С другой стороны

в силу ортогональности.

Подставляя в (8), получим

. (9)

Пример 2.

Пусть f(x)=|x|.

Аппроксимировать f(x) на [-1,1] в среднеквадратичном многочленом второй степени. Вычислить среднеквадратичную ошибку.

Используем ортогональную систему Лежандра:

Коэффициенты c k находим по формуле (7), учитывая вид полиномов Лежандра:

1.7. Некоторые общие свойства ортогональных полиномов.

Многочлен P n (x) ортогонален любому алгебраическому многочлену m-ой степени M m (x) при m

M m (x) можно единственным образом представить в виде линейной комбинации многочленов Лежандра:

Равенство (10) тождественное, поэтому коэффициенты a k единственным образом вычисляются путем приравнивания коэффициентов при старших степенях. Умножая обе части (10) на P n (x), имеем

в силу ортогональности системы

Полином P n (x) имеет на отрезке [-1,1] ровно n действительных и различных корней.

Заметим, что в силу теоремы Гаусса многочлен P n (x) не может иметь более чем n корней (вообще говоря, комплексных). Пусть P n (x) имеет меньше, чем n простых действительных корней. Обозначим их
По этим точкам построим фундаментальный многочлен

Рассмотрим многочлен:
- многочлен степени (k+n), который имеет нули
четной кратности. Значит, новый многочлен
сохраняет знак при переходе через эти нули, т.е. сохраняет знак на [-1,1]. Отсюда следует, что

Но это противоречит свойству 1, так как P n (x) обязательно должен быть ортогонален M k (x).

Между двумя соседними нулями многочлена P n (x) лежит ровно один нуль многочлена P n-1 (x).

Доказывается по индукции с помощью рекуррентного соотношения (6).

При n- четном многочлен P n (x) – четная функция от x, при n- нечетном, P n (x) – нечетная функция от x.

Наряду с многочленами Лежандра классическими ортогональными многочленами называют следующие системы многочленов (далее (a,b) – промежуток ортогональности, r(x) – весовая функция).

1) Многочлены Якоби {Р п (l ,m) (х )} - при а = -1, b = 1 r(х ) = (1-х ) l (1 + x ) m , l > -1, m > -1. Специальные частные случаи многочленов Якоби соответствуют следующим значениям l и m: l = m- ультрасферические многочлены (их иногда называют многочленами Гегенбауэра); l = m = - 1 / 2 , т. е. -многочлены Чебышева 1-го рода T n (x ); l = m = 1 / 2 , т. е. - многочлены Чебышева 2-го рода U n (x );

2) Многочлены Лагерра L n (x ) - при а = 0, b = + ∞ и r(х ) = е -х (их наз. также многочленами Чебышева - Лагерра) и обобщённые многочлены Лагерра - при . 3) М ногочлены Эрмита Н n (х ) - при а = -∞, b = + ∞ и (их называют также многочленами Чебышева - Эрмита).

Возьмем полуквадратичную систему координат. Это такая система координат, у которой по оси абсцисс шкала квадратичная, т. е. значения делений откладываются согласно выражению , здесь m – масштаб в каких-либо единицах длины, например, в см.

По оси ординат откладывается линейная шкала в соответствии с выражением

Нанесем на эту систему координат опытные точки. Если точки этого графика располагаются приблизительно по прямой, то это подтверждает наше предположение, что зависимость y от x хорошо выражается функцией вида (4.4). Для отыскания коэффициентов a и b можно теперь применить один из рассмотренных выше способов: способ натянутой нити, способ выбранных точек или способ средней.

Способ натянутой нити применяется также, как и для линейной функции.

Способ выбранных точек можем применить так. На прямолинейном графике возьмем две точки (далекие друг от друга). Координаты этих точек обозначим и (x, y ). Тогда можем записать

Из приведенной системы двух уравнений найдем a и b и подставим их в формулу (4.4) и получим окончательный вид эмпирической формулы.

Можно и не строить прямолинейного графика, а взять числа , (x,y ) прямо из таблицы. Однако полученная при таком выборе точек формула будет менее точна.

Процесс преобразования криволинейного графика в прямолинейный называется выравниванием.

Способ средней . Он применяется аналогично как в случае с линейной зависимостью. Разбиваем опытные точки на две группы с одинаковым (или почти одинаковым) числом точек в каждой группе. Равенство (4.4) перепишем так

Находим сумму невязок для точек первой группы и приравниваем нулю. То же делаем для точек второй группы. Получим два уравнения с неизвестными a и b . Решая систему уравнений, найдем a и b .

Заметим, что при применении этого способа не требуется строить приближающую прямую. Точечный график в полуквадратичной системе координат нужен только для проверки того, что функция вида (4.4) подходит для эмпирической формулы.

Пример. При исследовании влияния температуры на ход хронометра получены следующие результаты:

При этом нас интересует не сама температура, а ее отклонение от . Поэтому за аргумент примем , где t – температура в градусах Цельсия обычной шкалы.

Нанеся на декартову систему координат соответствующие точки, замечаем, что за приближающую кривую можно принять параболу с осью, параллельной оси ординат (рис.4). Возьмем полуквадратичную систему координат и нанесем на нее опытные точки. Видим, что эти точки достаточно хорошо укладываются на прямой. Значит, эмпирическую формулу

можно искать в виде (4.4).

Определим коэффициенты a и b по методу средней. Для этого разобьем опытные точки на две группы: в первой группе – первые три точки, во второй – остальные четыре точки. Используя равенство (4.5) находим сумму невязок по каждой группе и приравниваем каждую сумму нулю.

Нажав на кнопку "Скачать архив", вы скачаете нужный вам файл совершенно бесплатно.
Перед скачиванием данного файла вспомните о тех хороших рефератах, контрольных, курсовых, дипломных работах, статьях и других документах, которые лежат невостребованными в вашем компьютере. Это ваш труд, он должен участвовать в развитии общества и приносить пользу людям. Найдите эти работы и отправьте в базу знаний.
Мы и все студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будем вам очень благодарны.

Чтобы скачать архив с документом, в поле, расположенное ниже, впишите пятизначное число и нажмите кнопку "Скачать архив"

Подобные документы

Решение систем линейных алгебраических уравнений методом простой итерации. Полиномиальная интерполяция функции методом Ньютона с разделенными разностями. Среднеквадратическое приближение функции. Численное интегрирование функций методом Гаусса.

курсовая работа , добавлен 14.04.2009


Численные методы представляют собой набор алгоритмов, позволяющих получать приближенное (численное) решение математических задач. Два вида погрешностей, возникающих при решении задач. Нахождение нулей функции. Метод половинного деления. Метод хорд.

курс лекций , добавлен 06.03.2009


Понятие определенного интеграла, его геометрический смысл. Численные методы вычисления определенных интегралов. Формулы прямоугольников и трапеций. Применение пакета Mathcad для вычисления интегралов, проверка результатов вычислений с помощью Mathcad.

курсовая работа , добавлен 11.03.2013


Численные методы решения систем линейных уравнений: Гаусса, простой итерации, Зейделя. Методы аппроксимации и интерполяции функций: неопределенных коэффициентов, наименьших квадратов. Решения нелинейных уравнений и вычисление определенных интегралов.

курсовая работа , добавлен 27.04.2011


Методы оценки погрешности интерполирования. Интерполирование алгебраическими многочленами. Построение алгебраических многочленов наилучшего среднеквадратичного приближения. Численные методы решения задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений.

лабораторная работа , добавлен 14.08.2010


Решение нелинейных уравнений методом касательных (Ньютона), особенности и этапы данного процесса. Механизм интерполирования функции и численное интегрирование. Приближенное решение обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка методом Эйлера.

курсовая работа , добавлен 16.12.2015


Численные методы поиска безусловного экстремума. Задачи безусловной минимизации. Расчет минимума функции методом покоординатного спуска. Решение задач линейного программирования графическим и симплексным методом. Работа с программой MathCAD.

курсовая работа , добавлен 30.04.2011