В уравнении (17.2) первое слагаемое описывает детерминированный процесс - тренд, а второе - стохастический процесс. На рис. 17.3 представлено некоторое (произвольное) изменение средней цены на товар во времени.  

Поскольку уравнение (17.2) описывает стохастический процесс, то его решение представляет собой распределение плотности вероятностей. Уравнение (17.5) отображает тот факт, что каждой цене на товар в некоторый момент т соответствует своя плотность вероятности р.  

Гносеологическая необходимость в опыте для объективизации оценок подтверждается их вероятностным (стохастическим) характером. Рост числа соглашений или фактов оценки позволяет рассматривать их уже в качестве не детерминированных, а именно стохастических величин, не зависящих друг от друга и от воздействия на них методов измерения . Стохастическими оценки становятся еще и потому, что их расчеты отделяются друг от друга и не корреспондируют между собой. В самом деле, при единичном соглашении об оценке методы покупателя и продавца или нескольких экспертов согласуются или по крайней мере сопоставляются их результаты. При множественности, территориальной и временной разъединенности сделок методы оценок не сравниваются между собой и появляется возможность трактовки оценок как стохастического процесса, в результате которого в качестве объективной оценки принимается ее математическое ожидание.  

Сбор, обработка и сводка информации представляют собой составную часть общего информационно-аналитического процесса маркетинга . Получение информации подчинено задачам управления и имеет целью обеспечить оценку и анализ рыночных процессов для принятия правильных маркетинговых решений . Процесс управления неосуществим без осмысления ретроспективы развития фирмы, оценки ее настоящего и прогноза будущего . Регулирование некоторых рыночных процессов также требует информации о самом этом процессе и факторах, влияющих на него. Информация - средство уменьшения неопределенности, свойственной стохастическим процессам рынка. По словам отца кибернетики Н. Винера, управление фирмой есть процесс преобразования информации в действия. Информация -инструмент маркетинг -менеджмента.  

Стохастические процессы в системах управления запасами . Обычно невозможно указать точно характеристику спроса. Детерминированное описание является только приближенным. Задержки в поставках, потери при транспортировке можно описать с помощью вероятностных параметров. Время поставки меняется из-за непостоянства времени выполнения заказа, оформления сопровождающей документации.  

Рассмотрим теперь модель поведения потенциального вкладчика, то есть вкладчика, еще не открывшего своего счета к моменту времени to-В этой модели предполагается, что счет открывается в некоторый случайный момент времени т > 0 под влиянием обстоятельств, появление которых во времени описывается пуассоновским стохастическим процессом k+(t) с параметром интенсивности Я.+. Таким образом, случайное число + (0, t) = k+ (t) - k (t0) появлений за промежуток времени обстоятельств, способствующих открытию счета потенциальным вкладчиком, имеет распределение Пуассона k+(t0,t)e Pn(k (t-tf>)). Для упрощения модели предполагается, что потенциальный вкладчик не может многократно открывать и закрывать свой счет на промежутке времени .  

Для экономических исследований большое значение имеет также анализ стохастических процессов, в т.ч. "марковских процессов".  

Точно так же можно воссоздать искусственную картину работы самого магазина здесь распределение времени подхода покупателей будет взаимодействовать с распределением времени обслуживания отдельного покупателя. Получаются опять два стохастических процесса. Их взаимодействие даст "очередь" с примерно такими же характеристиками (напр., средней длиной очереди или средним временем ожидания), какими обладает реальная очередь.  

Случайные (стохастические) процессы 294  

Города, особенно крупные, заключают в своих административно-территориальных границах сложнейший комплекс непрерывно протекающих стохастических процессов взаимодействия многочисленных хозяйствующих субъектов друг с другом и с внешними контрагентами.  

Розенблат-Рот М. Энтропия стохастических процессов //ДАН СССР, 1957.  

СТОХАСТИЧЕСКИЕ ПРОЦЕССЫ - события, процессы, на протекание которых оказывают значительное влияние случайные факторы.  

До недавнего времени вопросам определения норм сбытовых запасов в натуральном выражении не уделялось достаточного внимания. Были разработаны вопросы нормирования запасов только для двух видов материальных ресурсов - цемента в и угля в . Кроме того, в настоящее время действует Типовая инструкция , в одном из разделов которой регламентированы вопросы определения норм оборотных средств , авансированных в запасы готовой продукции . В экономической литературе нормированию сбытовых запасов посвящены только две работы - , . Рекомендуемые в них методические подходы к определению норм и алгоритмы приведены в табл. 3.3, из которой видно, что они значительно разнятся между собой. Например, если в Инструкции расчет основан на предположении, что условия формирования сбытового запаса угля являются стохастическим процессом, и применена вероятностная обработка вариаций значений нормообразующих факторов, то в других работах использован детерминированный подход к расчету. Различаются у авторов также взгляды и на структуру самой исчисляемой нормы, т.е. экономическое содержание ее составляющих. Н. Фасоляк в предлагает при расчете нормы определять ее через такие же составляющие, как и в случае производственных запасов , но не раскрывает их физического содержания. Другие авторы все нормообразующие факторы учитывают вместе, не подразделяя их по группам.  

СТОХАСТИЧЕСКИЙ ПРОЦЕСС - см Случайный процесс  

Настоящая книга посвящена изложению гипотезы фрактального рынка , как альтернативе гипотезы эффективного рынка . Фракталы, как следствие геометрии Демиурга присутствуют повсеместно в нашем мире и играют существенную роль, в том числе, и в структуре финансовых рынков , которые локально случайны, но глобально детерминированы, по мнению автора. В книге будут рассмотрены методы фрактального анализа рынков акций, облигаций и валют, методы различения независимого процесса, нелинейного стохастического процесса и нелинейного детерминированного процесса и исследовано влияние этих различий на пользовательские инвестиционные стратегии и способности моделирования. Такие стратегии и способности моделирования тесно связаны с типом активов и инвестиционным горизонтом пользователя.  

Рисунки 2.5 и 2.6 показывают подобные распределения для валютного курса иена/доллар (1971-1990 гг.) и 20-летних доходов по американским казначейским облигациям (1979-1992 гг.) соответственно. Толстые хвосты - не только явление фондового рынка . Другие рынки капитала показывают схожие характеристики. Такие распределения с толстыми хвостами часто являются доказательством системы с долговременной памятью, произведенной нелинейным стохастическим процессом.  

Самое популярное объяснение ограниченности заключается в том, что прибыли являются возвратными к среднему. Стохастический процесс, возвратный к среднему, может произвести ограниченное множество , но не увеличивающийся коэффициент Шарпа . Возвратный к среднему процесс подразумевает игру с нулевой суммой. Исключительно высокие доходы в одном периоде нейтрализуются доходами ниже среднего в более позднем периоде. Коэффициент Шарпа остался бы постоянным, потому что прибыли также были бы ограничены. Таким образом, средняя реверсия в прибылях не является полностью удовлетворительным объяснением ограниченности изменчивости. Независимо от этого процесс, который производит наблюдаемую временную структуру волатильности , явно не гауссов, при этом он недостаточно хорошо описывается нормальным распределением.  

Почему акции и облигации являются ограниченными множествами Возможным объяснением ограниченности является возвратный к среднему стохастический процесс, но он не объясняет растущее быстрее стандартное отклонение . Ограничения и быстро растущие стандартные отклонения обычно вызываются детерминистическими системами с периодическими или непериодическими циклами.  

В данный момент мы можем видеть свидетельство того, что акции, облигации, и валюта являются возможными нелинейными стохастическими процессами в краткосрочной перспективе, что подтверждается их частотными распределениями и временными структурами волатильности . Однако акции и облигации имеют признаки долгосрочного детерминизма. И снова мы видим локальную случайность и глобальный детерминизм.  

В этой книге мы рассмотрим методы различения независимого процесса, нелинейного стохастического процесса и нелинейного детерминированного процесса и исследуем, как эти различия влияют на наши инвестиционные стратегии и наши способности моделирования. Такие стратегии и способности моделирования тесно связаны с типом актива и нашим инвестиционным горизонтом.  

В следующем разделе исследуется R/S-анализ различных типов временных рядов , которые часто используются в моделировании финансовой экономики, а также других видов стохастических процессов. Особое внимание будет уделяться возможности ошибки второго рода (классификация процесса как имеющего долговременную память, тогда как в действительности, процесс имеет кратковременную память).  

Они являются семейством нелинейных стохастических процессов, в  

Авторегрессионный (AR) процесс. Стационарный стохастический процесс, где текущая величина временного ряда соотносится с прошлыми величинами р (р - некоторое целое число), называется AR(p) процессом. Когда текущая величина связана с двумя предыдущими величинами, мы имеем AR(2) процесс. AR(1) процесс имеет бесконечную память.  

Достаточно сказать, кроме формулы для FastK (RAW), все эти Стохастические функции, а следовательно, их производные индикаторы, не соответствуют опубликованному определению Стохастического Процесса Джорджа Лэйна, представляя собой модификации первоначальной формулы. Не забудьте проверить списки этих функций, используя PowerEditor в TradeStaton , чтобы узнать, что именно вы применяете, прежде чем будете принимать основанные на этих индикаторах торговые решения.  

Стохастика (от греч. Sto hasis - догадка) - вероятность событий , обусловленных случайным сочетанием факторов. Стохастическая (возможная, вероятная) совокупность образуется в результате реализации стохастического процесса и представляет собой совокупность возможных комбинаций отбираемых единиц.  

СТОХАСТИЧЕСКИЙ ПРОЦЕСС - процесс называется стохастическим, если он описывается случайными переменными , значения которых меняются во времени. Подробнее см. Случайный процесс.  

СЛУЧАЙНЫЙ ПРОЦЕСС , вероятностный процесс , стохастический процесс (sto hasti pro ess) - случайная ф-ция X(t) от действительного параметра времени teT, значения которой для любого t являются случайными величинами Область определения С п является либо последовательностью, либо конечным или бесконечным интервалом, в первом случае С п называется процессом с дискретным временем, во втором - процессом с непрерывным временем Приме ром С п является поток  

Стохастические процессы подразделяются на стационарные и нестационарные процессы. Стохастический процесс является стационарным, если он находится в определенном смысле в статистическом равновесии, т.е. его свойства с вероятностной точки зрения не зависят от времени. Процесс не стационарен, если эти условия нарушаются.

Важное теоретическое значение имеют гауссовские процессы. Это такие процессы, в которых любой набор наблюдений имеет совместное нормальное распределение. Как правило, термин "временной ряд" сам по себе подразумевает, что этот ряд является одномерным (скалярным).

При анализе экономических временных рядов традиционно различают разные виды эволюции (динамики). Эти виды динамики могут, вообще говоря, комбинироваться. Тем самым задается разложение временного ряда на составляющие или компоненты, которые с экономической точки зрения несут разную содержательную нагрузку. Различают два вида компонент: систематические (это результат воздействия на временной ряд постоянно действующих факторов) и случайные (это случайный шум или ошибка, нерегулярно воздействующие на ряд).

Перечислим наиболее важные компоненты. К систематическим относятся следующие:

тенденция - соответствует медленному изменению, происходящему в некотором направлении, которое сохраняется в течение значительного промежутка времени. Тенденцию называют также трендом или долговременным движением;

циклические колебания - это более быстрая, чем тенденция, квазипериодическая динамика, выходящая за рамки одного периода и в которой есть фаза возрастания и фаза убывания. Промежуток времени между двумя вершинами или впадинами считается длиною цикла. На циклические компоненты оказывают влияние трудно идентифицируемые формальными методами факторы (изменение политической ситуации, прирост или истощение ресурсов и др.). Наиболее часто цикл связан с флуктуациями экономической активности;

сезонные колебания - соответствуют изменениям, которые происходят регулярно в течение года, недели или суток, т.е. внутри одного выделенного периода. Они связаны с сезонами и ритмами человеческой активности;

календарные эффекты - это отклонения, связанные с определенными предсказуемыми календарными событиями, такими, как праздничные дни, количество рабочих дней за месяц, високосный год и т.п.

Систематические компоненты могут одновременно все присутствовать во временном ряде.

Случайные компоненты включают в себя следующие виды:

случайные флуктуации - беспорядочные движения относительно большой частоты. Они порождаются влиянием разнородных событий на изучаемую величину (несистематический или случайный эффект). Часто такую составляющую называют шумом (этот термин пришел из технических приложений).

выбросы - это аномальные движения временного ряда, связанные с редко происходящими событиями, которые резко, но лишь очень кратковременно отклоняют ряд от общего закона, по которому он движется.

структурные сдвиги - это аномальные движения временного ряда, связанные с редко происходящими событиями, имеющие скачкообразный характер и меняющие тенденцию.

Некоторые экономические ряды можно считать представляющими те или иные виды таких движений почти в чистом виде. Но большая часть их имеет очень сложный вид. В них могут проявляться, например, как общая тенденция возрастания, так и сезонные изменения, на которые могут накладываться случайные флуктуации. Часто для анализа временных рядов оказывается полезным изолированное рассмотрение отдельных компонент.

Для того чтобы можно было разложить конкретный ряд на эти составляющие, требуется сделать какие-то допущения о том, какими свойствами они должны обладать. Желательно построить сначала формальную статистическую модель, которая бы включала в себя в каком-то виде эти составляющие, затем оценить ее, а после этого на основании полученных оценок вычленить составляющие. Однако построение формальной модели является сложной задачей. В частности, из содержательного описания не всегда ясно, как моделировать те или иные компоненты. Например, тренд может быть детерминированным или стохастическим. Аналогично, сезонные колебания можно комбинировать с помощью детерминированных переменных или с помощью стохастического процесса определенного вида. Компоненты временного ряда могут входить в него аддитивно или мультипликативно, либо в смешенном виде. Более того, далеко не все временные ряды имеют достаточно простую структуру, чтобы можно было разложить их на указанные составляющие. Существует два основных подхода к разложению временных рядов на компоненты. Первый подход основан на использовании множественных регрессий с факторами, являющимися функциями времени, второй основан на применении линейных фильтров.

Еще статьи по экономике

Управление формированием и использованием активов предприятия
актив ликвидность движение оборотный Определение и детальное рассмотрение категории активы в экономической науке является одной из ключевых проблем. Острота ее изучения подчерки...

Инвестиции и инвестиционная деятельность
Среди функциональных стратегий предприятия присутствует инвестиционная политика. Инвестиционная политика определяет выбор и способы реализации наиболее рациональных путей обновления и расшир...

Кредитно-денежная политика Центрального Банка
Актуальность данной темы заключается в том, что в настоящее время деятельность ЦБ РФ приобретает огромное значение, поскольку от его эффективного функционирования и правильно...

Обнаружение радиолокационных сигналов неопределенно из-за того, что одновременно с ними присутствуют и случайные флуктуации, или "шумы". Если бы можно было предсказать точные значения шумовых напряжений или токов, их можно было бы вычесть из суммарного сигнала и после этого принять определенное решение либо о наличии, либо об отсутствии сигнала. Но такое предсказание невозможно, так как шумовые напряжения появляются вследствие хаотического теплового движения ионов - и электронов в элементах приемника и в пространстве, окружающем антенну. Лучшее, что можно сделать, это описать флуктуации напряжения статистически с помощью распределений вероятностей их значений и использовать эти статистические данные для проектирования приемника, в котором достигалось бы наибольшее возможное число успешных обнаружений при большом числе опытов. В настоящей главе дается статистическое описание шума, а в следующей главе вводятся различные критерии успешного и ошибочного обнаружения в статистических ситуациях, указывающие, какими соображениями следует руководствоваться при поисках оптимальной конструкции приемника.

Если бы напряжение в некоторой точке радиолокационного приемника, например на сетке первой усилительной лампы, было записано как функция времени, запись имела бы совершенно беспорядочный вид и казалось бы, что нет способа вычисления или предсказания значений этого флуктуирующего напряжения. Если бы одновременно были записаны напряжения в соответствующих точках каждого из набора одинаковых приемников, находящихся в одинаковых условиях,

они различались бы в деталях от приемника к приемнику. Однако некоторые грубые или средние свойства записей были бы почти одинаковы. Изучая большое число таких записей и определяя относительные частоты, с которыми рассматриваемые величины принимают различные значения, можно описать поведение флуктуирующих напряжений статистически. Такое описание производится на языке теории вероятностей, позволяющей делать логические заключения о свойствах флуктуирующих напряжений. Краткий обзор теории вероятностей дан в приложении Б. Для более полного ознакомления с ней читателю следует изучить один из учебников, указанных в литературе к приложению Б. В настоящей главе теория вероятностей будет использована для анализа шумовых флуктуаций.

Функция времени, подобная записи флуктуационного напряжения, упомянутой выше, называется временндй последовательностью, а набор временных последовательностей, подобный тому, который получается от большого числа приемников, находящихся в одинаковых условиях, известен как ансамбль. Случайная функция, значения которой описываются только при помощи системы распределений вероятностей, о чем более подробно будет говориться ниже, часто называется стохастическим процессом. Если измерения производятся непрерывно во времени, имеет место непрерывный стохастический процесс. Во многих случаях величины измеряются только в отдельные последовательные моменты времени. При этом получается дискретный стохастический процесс. Пример последнего - ежечасные или ежедневные наблюдения температуры на метеорологических станциях. Мы будем иметь дело в основном с непрерывными процессами, но многие представления могут быть применены в той же мере и к дискретным процессам. Каждый член ансамбля называется реализацией стохастического процесса.

Если член ансамбля временных последовательностей выбран случайно, вероятность, что его значение х в любой данный момент времени лежит в интервале между есть

где функция плотности вероятности переменной х. Под этим мы понимаем в применении к вышеприведенному

примеру следующее. Если напряжения измерены в одинаковых точках в большом числе идентичных приемников, число значений, лежащих в таком интервале, равно длине интервала, умноженной на достаточно малой длине интервала). Во многих случаях не будет зависеть от момента времени, в который производятся измерения. Функция плотности вероятности является основой статистического описания стохастического процесса, но сама по себе она недостаточна, так как ничего не говорит о том, как связано значение х, измеренное в один момент времени, со значениями, измеренными в другие моменты времени.

Обозначим значения временной последовательности измеренные в последовательные моменты времени через Функция плотности совместного распределения вероятностей

определяется утверждением, что вероятность выполнения неравенств

равна Для полного описания непрерывного стохастического процесса требуется задание функций распределения для всех возможных выборов моментов времени для всех положительных целых Все эти функции нормированы так, что выполняется соотношение

в соответствии с определением вероятности. Кроме того, они должны быть согласованы так, чтобы функцию распределения более низкого порядка можно было получить, интегрируя по

интервалу изменения "лишней" переменной. Например,

Любые переменных для которых выполняется равенство

называются статистически независимыми.

Функция плотности совместного распределения операционно определяется с помощью относительных частот осуществления различных комбинаций значений для и рассматриваемых моментов времени. Но, очевидно, определить полную систему функций распределения таким образом невозможно. Вместо этого для получения гипотетических распределений строится теория процессов птем применения законов физики к ситуациям, возникающим в таких областях науки, как статистическая механика или термодинамика. С помощью теории стохастических процессов вычисляются некоторые средние значения, доступные для наблюдения, и вычисленные значения сравниваются с найденными из опыта. Когда ситуация слишком сложна для такого анализа, как, например, в экономике и, вероятно, даже в метеорологии, для стохастического процесса предлагается простая статистическая "модель". Эта модель дает функцию распределения, содержащую несколько неизвестных параметров, значения которых оцениваются на основе доступных данных. Затем строятся логические заключения и, если возможно, производится сравнение с результатами дальнейших наблюдений. К счастью, существует большая теоретическая база, позволяющая рассматривать электрические шумовые процессы, с которыми приходится встречаться в задачах обнаружения сигналов. Некоторые физические основы будут изложены ниже, в разд. 3. Но сначала мы должны обсудить некоторые понятия, которые будут применяться при анализе стохастических процессов.

Пока радиолокационный приемник поддерживается при постоянной температуре и связан с неподвижной антенной,

на которую сигнал не действует, статистическое описание шума в приемнике не будет зависеть от выбора начала отсчета времени. Это значит, что плотность совместного распределения вероятностей зависит только от интервалов между измерениями, а не от самих моментов времени Такие стохастические процессы называют стационарными. Если не будет сделано других утверждений, будем считать, что изучаемые временные последовательности обладают этим свойством временной инвариантности или стационарности.

Длинная запись одиночной реализации стационарной временной последовательности для большинства моментов времени обладает одинаковыми свойствами. По-видимому, большое число отрезков, взятых из одного члена ансамбля, будет создавать ансамбль с такими же статистическими свойствами, как и у основного ансамбля. Если измеряемая переменная связана с механической системой, подобной газу, или электрической, подобной контуру, и если с течением времени система проходит через все состояния, совместимые с внешними условиями, созданными экспериментатором, сделанное выше предположение является обоснованным. В частности, средние, найденные по длинной выборке на одной реализации процесса, равны средним значениям по всем членам ансамбля в какой-либо момент времени. Стохастические процессы, обладающие этим свойством, называются эргодическими.

Например, среднее или "математическое ожидание" стационарной временнбйпоследовательности определяется равенством

где функция плотности распределения вероятностей одиночного наблюдения. Это среднее значение х не зависит от времени. С другой стороны, среднее по времени х можно определить формулой

Из-за условия стационарности это среднее по времени не зависит от момента времени в который начинается усреднение. Если, кроме того, стохастический процесс эргодический, То же самое справедливо для математического ожидания других функций аргумента х.

Легко можно представить себе процессы, не являющиеся эргодическими, например такие, где величина х постепенно перемещается в область, которую она потом не может покинуть, или если есть некоторое количество таких "ловящих" областей. Но в этой книге будет предполагаться, что все изучаемые флуктуационные процессы являются эргодическими. Справедливость такого предположения должна основываться на успехе теорий, в которых оно принято, так как, хотя это допущение и подтверждается интуицией, проверить его экспериментально невозможно. Допущение эргодичности существенно для любых задач, в которых статистические параметры приходится оценивать на основе одиночной экспериментальной реализации процесса.

Стохастичность (др.-греч. στόχος - цель, предположение) означает случайность. Стохастический процесс - это процесс, поведение которого не является детерминированным, и последующее состояние такой системы описывается как величинами, которые могут быть предсказаны, так и случайными. Однако, по М. Кацу и Э. Нельсону, любое развитие процесса во времени (неважно, детерминированное или вероятностное) при анализе в терминах вероятностей будет стохастическим процессом (иными словами, все процессы, имеющие развитие во времени, с точки зрения теории вероятностей, стохастические).

Примером реального стохастического процесса в нашем мире может служить моделирование давления газа при помощи Винеровского процесса. Несмотря на то, что каждая молекула газа движется по своему строго определённому пути (в данной модели, а не в реальном газе), движение совокупности таких молекул практически нельзя просчитать и предсказать. Достаточно большой набор молекул будет обладать стохастическими свойствами, такими как наполнение сосуда, выравнивание давление, движение в сторону меньшего градиента концентрации и т. д. Таким образом проявляется эмерджентность системы.

Метод Монте-Карло получил распространение благодаря физикам Станиславу Уламу, Энрико Ферми, Джону фон Нейману и Николасу Метрополису. Название произошло от казино в городе Монте Карло, Монако, где дядя Улама занимал деньги для игры. Использование природы случайностей и повторов для изучения процессов аналогично деятельности, происходящей в казино.

Методы проведения расчётов и экспериментов на основе случайных процессов как формы стохастического моделирования применялись ещё на заре развития теории вероятностей (напр. Задача Буффона и работах по оценке малых выборок Уильяма Госсета), но наиболее развились в предкомпьютерную эру. Отличительной чертой методов моделирования Монте-Карло является то, что сначала идёт поиск вероятностного аналога (см. алгоритм имитации отжига). До этого методы моделирования шли в противоположном направлении: моделирование использовалось для того, чтобы проверить результат полученной ранее детерминированной проблемы. И хотя подобные подходы существовали до этого, они не были общими и популярными до тех пор, пока не появился метод Монте-Карло.

Возможно, наиболее известное из ранних применений подобных методом принадлежит Энрико Ферми, который в 1930 году использовал стохастические методы для расчёта свойств только что открытого нейтрона. Методы Монте-Карло широко использовались в ходе работы над манхэттенским проектом, несмотря на то, что возможности вычислительных машин были сильно ограничены. По этой причине только с появлением компьютеров методы Монте-Карло начали широко распространяться. В 1950х их использует Лос-Аламосская национальная лаборатория для создания водородной бомбы. Широкое распространения методы получили в таких областях, как Физика, Физическая химия и Исследование операций.

Использование методов Монте-Карло требует большого числа случайных величин, что, как следствие, привело к развитию генераторов псевдослучайных чисел, которые были намного быстрее, чем табличные методы генерации, которые ранее использовались для статистической выборки.

Изучение статистических закономерностей - важнейшая познавательная задача статистики, которую она решает с помощью особых методов, видоизменяющихся в зависимости от характера исходной информации и целей познания. Знание характера и силы связей позволяет управлять социально-экономическими процессами и предсказывать их развитие.

Среди многих форм связей важнейшей является причинная, определяющая все другие формы. Сущность причинности состоит в порождении одного явления другим. Вместе с тем, причина сама по себе еще не определяет следствия, она зависит также от условий, в которых протекает действие причины. Для возникновения следствия нужны все определяющие его факторы - причина и условия. Необходимая обусловленность явлений множеством факторов называется детерминизмом.

Объектами исследования при статистическом измерении связей служит, как правило, детерминированность следствия факторами (причиной и условиями). Признаки по их значению для изучения взаимосвязи делятся на два класса. Признаки, являющиеся причиной изменения других, связанных с ними признаков, называют факторными, или просто факторами. Признаки, изменяющиеся под действием факторных признаков, называют результативными.

Связи между явлениями и их признаками классифицируют по степени тесноты связи, направлению и аналитическому выражению.

Между различными явлениями и их признаками необходимо, прежде всего, выделить два типа связей: функциональную (жестко детерминированную) и статистическую (стохастически детерминированную).

Связь признака "y" с признаком "x" называется функциональной, если каждому возможному значению независимого признака "x" соответствует одно или несколько строго определенных значений зависимого признака "y". Определение функциональной связи может быть легко обобщено для случая многих признаков x 1 ,x 2 ,...,x n .

Характерной особенностью функциональных связей является то, что в каждом отдельном случае известен полный перечень факторов, определяющих значение зависимого (результативного) признака, а также точный механизм их влияния, выраженный определенным уравнением.

Функциональную связь можно представить уравнением: y i =f(x i), где y i - результативный признак (i = 1, ...,n); f(x i) - известная функция связи результативного и факторного признаков; x i - факторный признак.

Чаще всего функциональные связи наблюдаются в явлениях, описываемых математикой, физикой и другими точными науками. Имеют место функциональные связи и в социально-экономических процессах, но довольно редко (они отражают взаимосвязь только отдельных сторон сложных явлений общественной жизни). В экономике примером функциональной связи может служить связь между оплатой труда у и количеством изготовленных деталей х при простой сдельной оплате труда.

В реальной общественной жизни, ввиду неполноты информации жестко детерминированной системы, может возникнуть неопределенность, из-за которой эта система по своей природе должна рассматриваться как вероятностная, при этом связь между признаками становится стохастической.

Стохастическая связь – это связь между величинами, при которой одна из них, случайная величина у, реагирует на изменение другой величины х или других величин x 1 ,x 2 ,...,x n , (случайных или неслучайных) изменением закона распределения. Это обусловливается тем, что зависимая переменная (результативный признак), кроме рассматриваемых независимых, подвержена влиянию ряда неучтенных или неконтролируемых (случайных) факторов, а также некоторых неизбежных ошибок измерения переменных. Поскольку значения зависимой переменной подвержены случайному разбросу, они не могут быть предсказаны с достаточной точностью, а только указаны с определенной вероятностью.

Характерной особенностью стохастических связей является то, что они проявляются во всей совокупности, а не в каждой ее единице (причем не известен ни полный перечень факторов, определяющих значение результативного признака, ни точный механизм их функционирования и взаимодействия с результативным признаком).

Модель стохастической связи может быть представлена в общем виде уравнением: ŷ i = f(x i) + ε i , где ŷ i - расчетное значение результативного признака; f(x i ) - часть результативного признака, сформировавшаяся под воздействием учтенных известных факторных признаков (одного или множества), находящихся в стохастической связи с признаком; ε i - часть результативного признака, возникшая вследствие действия неконтролируемых или неучтенных факторов, а также измерения признаков, неизбежно сопровождающегося некоторыми случайными ошибками.

Проявление стохастических связей подвержено действию закона больших чисел: лишь в достаточно большом числе единиц индивидуальные особенности сгладятся, случайности взаимопогасятся и зависимость, если она имеет существенную силу, проявится достаточно отчетливо.

В социально-экономической жизни приходится сталкиваться со многими явлениями, имеющими вероятностный характер. Например, уровень производительности труда рабочих стохастически связан с целым комплексом факторов: квалификацией, стажем работы, уровнем механизации и автоматизации производства, интенсивностью труда, простоями, состоянием здоровья работника, его настроением, атмосферным давлением и другими. Полный перечень факторов определить практически невозможно.

Частным случаем стохастической связи является корреляционная связь, при которой среднее значение (математическое ожидание) случайной величины результативного признака у закономерно изменяется в зависимости от изменения другой величины х или других случайных величин x 1 ,x 2 ,...,x n . Корреляционная связь проявляется не в каждом отдельном случае, а во всей совокупности в целом. Только при достаточно большом количестве случаев каждому значению случайного признака х будет соответствовать распределение средних значений случайного признака у. Наличие корреляционных связей присуще многим общественным явлениям.

В зависимости от направления действия функциональные и стохастические связи могут быть прямыми и обратными. При прямой связи направление изменения результативного признака совпадает с направлением изменения признака-фактора, т.е. с увеличением факторного признака увеличивается и результативный, и наоборот, с уменьшением факторного признака уменьшается и результативный признак. В противном случае между рассматриваемыми величинами существуют обратные связи. Например, чем выше квалификация рабочего (разряд), тем выше уровень производительности труда – прямая связь. А чем выше производительность труда, тем ниже себестоимость единицы продукции – обратная связь.

По аналитическому выражению (форме) связи могут быть прямолинейными и нелинейными (криволинейными). При прямолинейной связи с возрастанием значения факторного признака происходит непрерывное возрастание (или убывание) значений результативного признака. Математически такая связь представляется уравнением прямой, а графически - прямой линией. Отсюда ее более короткое название - линейная связь.

При криволинейных связях с возрастанием значения факторного признака возрастание (или убывание) результативного признака происходит неравномерно или же направление его изменения меняется на обратное. Геометрически такие связи представляются кривыми линиями (гиперболой, параболой и т.д.).

По количеству факторов, действующих на результативный признак, связи различаются однофакторные (один фактор) и многофакторные (два и более факторов). Однофакторные (простые) связи обычно называются парными (так как рассматривается пара признаков). Например, корреляционная связь между прибылью и производительностью труда. В случае многофакторной (множественной) связи имеют в виду, что все факторы действуют комплексно, т.е. одновременно и во взаимосвязи, например, корреляционная связь между производительностью труда и уровнем организации труда, автоматизации производства, квалификации рабочих, производственным стажем, простоями и другими факторными признаками.

С помощью множественной корреляции можно охватить весь комплекс факторных признаков и объективно отразить существующие множественные связи.

Определение

где T {\displaystyle T} произвольное множество , называется случайной функцией .

Терминология

Данная классификация нестрогая. В частности, термин «случайный процесс» часто используется как безусловный синоним термина «случайная функция».

Классификация

• Случайный процесс X (t) {\displaystyle X(t)} называется процессом дискретным во времени , если система, в которой он протекает, меняет свои состояния только в моменты времени t 1 , t 2 , … {\displaystyle \;t_{1},t_{2},\ldots } , число которых конечно или счётно. Случайный процесс называется процессом с непрерывным временем , если переход из состояния в состояние может происходить в любой момент времени.
• Случайный процесс называется процессом с непрерывными состояниями , если значением случайного процесса является непрерывная случайная величина. Случайный процесс называется случайным процессом с дискретными состояниями , если значением случайного процесса является дискретная случайная величина:
• Случайный процесс называется стационарным , если все многомерные законы распределения зависят только от взаимного расположения моментов времени t 1 , t 2 , … , t n {\displaystyle \;t_{1},t_{2},\ldots ,t_{n}} , но не от самих значений этих величин. Другими словами, случайный процесс называется стационарным , если его вероятностные закономерности неизменны во времени. В противном случае, он называется нестационарным .
• Случайная функция называется стационарной в широком смысле , если её математическое ожидание и дисперсия постоянны, а АКФ зависит только от разности моментов времени, для которых взяты ординаты случайной функции. Понятие ввёл А. Я. Хинчин .
• Случайный процесс называется процессом со стационарными приращениями определённого порядка, если вероятностные закономерности такого приращения неизменны во времени. Такие процессы были рассмотрены Ягломом .
• Если ординаты случайной функции подчиняются нормальному закону распределения , то и сама функция называется нормальной .
• Случайные функции, закон распределения ординат которых в будущий момент времени полностью определяется значением ординаты процесса в настоящий момент времени и не зависит от значений ординат процесса в предыдущие моменты времени, называются марковскими .
• Случайный процесс называется процессом с независимыми приращениями , если для любого набора t 1 , t 2 , … , t n {\displaystyle t_{1},t_{2},\ldots ,t_{n}} , где n > 2 {\displaystyle n>2} , а t 1 < t 2 < … < t n {\displaystyle t_{1}, случайные величины (X t 2 − X t 1) {\displaystyle (X_{t_{2}}-X_{t_{1}})} , (X t 3 − X t 2) {\displaystyle (X_{t_{3}}-X_{t_{2}})} , … {\displaystyle \ldots } , (X t n − X t n − 1) {\displaystyle (X_{t_{n}}-X_{t_{n-1}})} независимы в совокупности.
• Если при определении моментных функций стационарного случайного процесса операцию усреднения по статистическому ансамблю можно заменить усреднением по времени, то такой стационарный случайный процесс называется эргодическим .
• Среди случайных процессов выделяют импульсные случайные процессы .

Траектория случайного процесса

Пусть дан случайный процесс { X t } t ∈ T {\displaystyle \{X_{t}\}_{t\in T}} . Тогда для каждого фиксированного t ∈ T {\displaystyle t\in T} X t {\displaystyle X_{t}} - случайная величина, называемая сечением . Если фиксирован элементарный исход ω ∈ Ω {\displaystyle \omega \in \Omega } , то X t: T → R {\displaystyle X_{t}\colon T\to \mathbb {R} } - детерминированная функция параметра t {\displaystyle t} . Такая функция называется траекто́рией или реализа́цией случайной функции { X t } {\displaystyle \{X_{t}\}} .