"Стохастический" – это слово, которое физики, математики и другие ученые используют для описания процессов, обладающих элементом случайности. Происхождение его древнегреческое. В переводе оно означает "умеющий угадывать".

Значение слова "стохастический"

"Стохастический" - это понятие, которое используется во множестве различных областей науки. Оно означает случайность, хаотичность, неопределенность чего-либо. В этике Аристотеля (его скульптурный портрет представлен выше) понятие "стохастический" – это определение, относящееся к способности угадывать. Очевидно, математики употребляли его на том основании, что элемент случайности появляется как раз при необходимости угадывать. Слово "стохастический" – это понятие, которое определено в "Новом международном словаре" как "предположительный".

Таким образом, можно заметить, что техническое значение данного понятия не точно соответствует его словарному (лексическому) значению. Некоторые авторы используют выражение "стохастический процесс" как синоним понятия "случайный процесс".

Стохастичность в математике

Употребление данного термина в математике в настоящее время широко распространено. К примеру, существует такое понятие в теории вероятности, как стохастический процесс. Его итог нельзя определить по изначальному состоянию данной системы.

Употребление в математике понятия "стохастичность" относят к трудам Владислава Борцкевича. Именно он использовал данный термин в значении "выдвигать гипотезы". В математике, в особенности в таком разделе этой науки, как теория вероятности, область случайных исследований играет большую роль. Существует, к примеру, такое понятие, как стохастическая матрица. Колонки или строки данной матрицы в сумме дают единицу.

Стохастическая математика (финансовая)

Данный раздел математики анализирует финансовые структуры, действующие в условиях неопределенности. Он призван находить самые рациональные методы управления финансовыми средствами и структурами, учитывая такие факторы, как стохастическая эволюция, риск, время и др.

В науке принято выделять следующие структуры и объекты, которые используются в финансовой математике в целом:

• фирмы (к примеру, компании);
• индивидуумы;
• посреднические структуры (пенсионные фонды, банки);
• финансовые рынки.

Основным объектом изучения финансовой математики стохастической является именно последний из них. Данный раздел базируется на таких дисциплинах, как статистика случайных процессов, теория случайных процессов и др.

В настоящее время даже людям, далеким от науки, хорошо известно по многочисленным новостям и публикациям в СМИ, что значения так называемых глобальных финансовых индексов (например, индекса Доу Джонса), цены акций меняются хаотически. Л. Башелье предпринял первую попытку описать с использованием математики эволюцию стоимости акций. Его стохастический метод опирается на теорию вероятностей. Диссертация Л. Башелье, где представлена эта попытка, была опубликована в 1900 году. Ученый доказал формулу, известную в настоящее время как формула справедливой стоимости опциона-колл. В ней отражается стохастическая вероятность.

Важные идеи, которые в дальнейшем привели к возникновению теории эффективного рынка, были изложены в труде М. Кендалла, изданном в 1953 году. В этой работе рассматривается вопрос динамики цен акций. Исследователь описывает ее с помощью стохастических процессов.

Стохастичность в физике

Благодаря физикам Э. Ферми, С. Уламу, Н. Метрополису и Д. Нейману большое распространение получил метод Монте-Карло. Его название произошло от казино, расположенного в одноименном городе такой страны, как Монако. Именно здесь занимал деньги для игры дядя Улама. Использование природы повторов и случайностей для изучения процессов является аналогичным происходящей в казино деятельности.

При применении данного метода моделирования сначала происходит поиск вероятностного аналога. До этого моделирование осуществлялось в противоположном направлении: оно использовалось для проверки результата детерминированной проблемы, полученной ранее. И хотя и до открытия метода Монте-Карло существовали подобные подходы, они не были популярными и общими.

Энрико Ферми в 1930 году применил стохастические приемы для расчета свойств нейтрона, в то время только что обнаруженного. Методы Монте-Карло в дальнейшем использовались при работе над манхэттенским проектом, хотя в то время были существенно ограничены возможности вычислительных машин. По этой причине они получили широкое распространение только после того, как появились компьютеры.

Стохастические сигналы

Регулярные и стохастические сигналы имеют разные формы колебаний. Если повторно измерить последние, мы получим колебания, имеющие новую форму, которая отлична от предыдущей, однако проявляет определенное сходство в существенных чертах. Пример стохастического сигнала – запись колебаний волн моря.

Почему же вообще необходимо вести речь об этих достаточно необычных сигналах? Дело в том, что при изучении автоматических систем они встречаются даже чаще, чем предсказуемые.

Стохастичность и искусственный интеллект

Стохастические программы в сфере искусственного интеллекта работают с применением вероятностных методов. В качестве примера можно привести такие алгоритмы, как стохастическая оптимизация или нейронные сети. Это же относится к имитации отжига и генетическим алгоритмам. Во всех этих случаях стохастичность может содержаться в проблеме как таковой или же в планировании чего-либо в условии неопределенности. Детерминированное окружение для агента моделирования является более простым, чем стохастическое.

Итак, как мы видим, интересующее нас понятие используется во многих областях науки. Мы перечислили и охарактеризовали лишь основные сферы его применения. Изучение всех этих процессов, согласитесь, очень важно и актуально. Именно поэтому интересующее нас понятие, вероятно, будет еще долго использоваться в науке.

Любое развитие процесса во времени (неважно, детерминированное или вероятностное) при анализе в терминах вероятностей будет случайным процессом (иными словами, все процессы, имеющие развитие во времени, с точки зрения теории вероятностей, стохастические).

Стохастичность в математике

Использование термина стохастичность в математике относят к работам Владислава Борцкевича , который использовал его в значении выдвигать гипотезы , которое, в свою очередь, отсылает нас к древнегреческим философам, а также к работе Я. Бернулли Ars Conjectandi (лат. искусство загадывать) .

Область исследований случайных в математике , особенно в теории вероятностей , играет большую роль.

Использование методов Монте-Карло требует большого числа случайных величин, что, как следствие, привело к развитию генераторов псевдослучайных чисел , которые были намного быстрее, чем табличные методы генерации, которые ранее использовались для статистической выборки.

Одной из программ, где практически используются методы Монте-Карло, является MCNP .

Биология

В биологических системах было введено понятие "стохастического шума", который помогает усилить сигнал внутренней обратной связи. Применяется для контроля за обменом веществ у диабетиков. Также имеет место понятие «стохастичности речевых сигналов» .

Медицина

Примером подобных стохастических эффектов может служить рак.

Напишите отзыв о статье "Стохастичность"

Примечания

Ссылки

• from Index Funds Advisors
• Formalized Music: Thought and Mathematics in Composition by Iannis Xenakis , ISBN 1-57647-079-2
• Frequency and the Emergence of Linguistic Structure by Joan Bybee and Paul Hopper (eds.), ISBN 1-58811-028-1 /ISBN 90-272-2948-1 (Eur.)

Отрывок, характеризующий Стохастичность

«Нет, она права, – думала старая княгиня, все убеждения которой разрушились пред появлением его высочества. – Она права; но как это мы в нашу невозвратную молодость не знали этого? А это так было просто», – думала, садясь в карету, старая княгиня.

В начале августа дело Элен совершенно определилось, и она написала своему мужу (который ее очень любил, как она думала) письмо, в котором извещала его о своем намерении выйти замуж за NN и о том, что она вступила в единую истинную религию и что она просит его исполнить все те необходимые для развода формальности, о которых передаст ему податель сего письма.
«Sur ce je prie Dieu, mon ami, de vous avoir sous sa sainte et puissante garde. Votre amie Helene».
[«Затем молю бога, да будете вы, мой друг, под святым сильным его покровом. Друг ваш Елена»]
Это письмо было привезено в дом Пьера в то время, как он находился на Бородинском поле.

Во второй раз, уже в конце Бородинского сражения, сбежав с батареи Раевского, Пьер с толпами солдат направился по оврагу к Князькову, дошел до перевязочного пункта и, увидав кровь и услыхав крики и стоны, поспешно пошел дальше, замешавшись в толпы солдат.
Одно, чего желал теперь Пьер всеми силами своей души, было то, чтобы выйти поскорее из тех страшных впечатлений, в которых он жил этот день, вернуться к обычным условиям жизни и заснуть спокойно в комнате на своей постели. Только в обычных условиях жизни он чувствовал, что будет в состоянии понять самого себя и все то, что он видел и испытал. Но этих обычных условий жизни нигде не было.
Хотя ядра и пули не свистали здесь по дороге, по которой он шел, но со всех сторон было то же, что было там, на поле сражения. Те же были страдающие, измученные и иногда странно равнодушные лица, та же кровь, те же солдатские шинели, те же звуки стрельбы, хотя и отдаленной, но все еще наводящей ужас; кроме того, была духота и пыль.
Пройдя версты три по большой Можайской дороге, Пьер сел на краю ее.
Сумерки спустились на землю, и гул орудий затих. Пьер, облокотившись на руку, лег и лежал так долго, глядя на продвигавшиеся мимо него в темноте тени. Беспрестанно ему казалось, что с страшным свистом налетало на него ядро; он вздрагивал и приподнимался. Он не помнил, сколько времени он пробыл тут. В середине ночи трое солдат, притащив сучьев, поместились подле него и стали разводить огонь.
Солдаты, покосившись на Пьера, развели огонь, поставили на него котелок, накрошили в него сухарей и положили сала. Приятный запах съестного и жирного яства слился с запахом дыма. Пьер приподнялся и вздохнул. Солдаты (их было трое) ели, не обращая внимания на Пьера, и разговаривали между собой.
– Да ты из каких будешь? – вдруг обратился к Пьеру один из солдат, очевидно, под этим вопросом подразумевая то, что и думал Пьер, именно: ежели ты есть хочешь, мы дадим, только скажи, честный ли ты человек?
– Я? я?.. – сказал Пьер, чувствуя необходимость умалить как возможно свое общественное положение, чтобы быть ближе и понятнее для солдат. – Я по настоящему ополченный офицер, только моей дружины тут нет; я приезжал на сраженье и потерял своих.
– Вишь ты! – сказал один из солдат.
Другой солдат покачал головой.
– Что ж, поешь, коли хочешь, кавардачку! – сказал первый и подал Пьеру, облизав ее, деревянную ложку.
Пьер подсел к огню и стал есть кавардачок, то кушанье, которое было в котелке и которое ему казалось самым вкусным из всех кушаний, которые он когда либо ел. В то время как он жадно, нагнувшись над котелком, забирая большие ложки, пережевывал одну за другой и лицо его было видно в свете огня, солдаты молча смотрели на него.
– Тебе куды надо то? Ты скажи! – спросил опять один из них.
– Мне в Можайск.
– Ты, стало, барин?
– Да.
– А как звать?
– Петр Кириллович.
– Ну, Петр Кириллович, пойдем, мы тебя отведем. В совершенной темноте солдаты вместе с Пьером пошли к Можайску.
Уже петухи пели, когда они дошли до Можайска и стали подниматься на крутую городскую гору. Пьер шел вместе с солдатами, совершенно забыв, что его постоялый двор был внизу под горою и что он уже прошел его. Он бы не вспомнил этого (в таком он находился состоянии потерянности), ежели бы с ним не столкнулся на половине горы его берейтор, ходивший его отыскивать по городу и возвращавшийся назад к своему постоялому двору. Берейтор узнал Пьера по его шляпе, белевшей в темноте.
– Ваше сиятельство, – проговорил он, – а уж мы отчаялись. Что ж вы пешком? Куда же вы, пожалуйте!
– Ах да, – сказал Пьер.
Солдаты приостановились.
– Ну что, нашел своих? – сказал один из них.
– Ну, прощавай! Петр Кириллович, кажись? Прощавай, Петр Кириллович! – сказали другие голоса.
– Прощайте, – сказал Пьер и направился с своим берейтором к постоялому двору.
«Надо дать им!» – подумал Пьер, взявшись за карман. – «Нет, не надо», – сказал ему какой то голос.
В горницах постоялого двора не было места: все были заняты. Пьер прошел на двор и, укрывшись с головой, лег в свою коляску.

Едва Пьер прилег головой на подушку, как он почувствовал, что засыпает; но вдруг с ясностью почти действительности послышались бум, бум, бум выстрелов, послышались стоны, крики, шлепанье снарядов, запахло кровью и порохом, и чувство ужаса, страха смерти охватило его. Он испуганно открыл глаза и поднял голову из под шинели. Все было тихо на дворе. Только в воротах, разговаривая с дворником и шлепая по грязи, шел какой то денщик. Над головой Пьера, под темной изнанкой тесового навеса, встрепенулись голубки от движения, которое он сделал, приподнимаясь. По всему двору был разлит мирный, радостный для Пьера в эту минуту, крепкий запах постоялого двора, запах сена, навоза и дегтя. Между двумя черными навесами виднелось чистое звездное небо.
«Слава богу, что этого нет больше, – подумал Пьер, опять закрываясь с головой. – О, как ужасен страх и как позорно я отдался ему! А они… они все время, до конца были тверды, спокойны… – подумал он. Они в понятии Пьера были солдаты – те, которые были на батарее, и те, которые кормили его, и те, которые молились на икону. Они – эти странные, неведомые ему доселе они, ясно и резко отделялись в его мысли от всех других людей.

Обнаружение радиолокационных сигналов неопределенно из-за того, что одновременно с ними присутствуют и случайные флуктуации, или "шумы". Если бы можно было предсказать точные значения шумовых напряжений или токов, их можно было бы вычесть из суммарного сигнала и после этого принять определенное решение либо о наличии, либо об отсутствии сигнала. Но такое предсказание невозможно, так как шумовые напряжения появляются вследствие хаотического теплового движения ионов - и электронов в элементах приемника и в пространстве, окружающем антенну. Лучшее, что можно сделать, это описать флуктуации напряжения статистически с помощью распределений вероятностей их значений и использовать эти статистические данные для проектирования приемника, в котором достигалось бы наибольшее возможное число успешных обнаружений при большом числе опытов. В настоящей главе дается статистическое описание шума, а в следующей главе вводятся различные критерии успешного и ошибочного обнаружения в статистических ситуациях, указывающие, какими соображениями следует руководствоваться при поисках оптимальной конструкции приемника.

Если бы напряжение в некоторой точке радиолокационного приемника, например на сетке первой усилительной лампы, было записано как функция времени, запись имела бы совершенно беспорядочный вид и казалось бы, что нет способа вычисления или предсказания значений этого флуктуирующего напряжения. Если бы одновременно были записаны напряжения в соответствующих точках каждого из набора одинаковых приемников, находящихся в одинаковых условиях,

они различались бы в деталях от приемника к приемнику. Однако некоторые грубые или средние свойства записей были бы почти одинаковы. Изучая большое число таких записей и определяя относительные частоты, с которыми рассматриваемые величины принимают различные значения, можно описать поведение флуктуирующих напряжений статистически. Такое описание производится на языке теории вероятностей, позволяющей делать логические заключения о свойствах флуктуирующих напряжений. Краткий обзор теории вероятностей дан в приложении Б. Для более полного ознакомления с ней читателю следует изучить один из учебников, указанных в литературе к приложению Б. В настоящей главе теория вероятностей будет использована для анализа шумовых флуктуаций.

Функция времени, подобная записи флуктуационного напряжения, упомянутой выше, называется временндй последовательностью, а набор временных последовательностей, подобный тому, который получается от большого числа приемников, находящихся в одинаковых условиях, известен как ансамбль. Случайная функция, значения которой описываются только при помощи системы распределений вероятностей, о чем более подробно будет говориться ниже, часто называется стохастическим процессом. Если измерения производятся непрерывно во времени, имеет место непрерывный стохастический процесс. Во многих случаях величины измеряются только в отдельные последовательные моменты времени. При этом получается дискретный стохастический процесс. Пример последнего - ежечасные или ежедневные наблюдения температуры на метеорологических станциях. Мы будем иметь дело в основном с непрерывными процессами, но многие представления могут быть применены в той же мере и к дискретным процессам. Каждый член ансамбля называется реализацией стохастического процесса.

Если член ансамбля временных последовательностей выбран случайно, вероятность, что его значение х в любой данный момент времени лежит в интервале между есть

где функция плотности вероятности переменной х. Под этим мы понимаем в применении к вышеприведенному

примеру следующее. Если напряжения измерены в одинаковых точках в большом числе идентичных приемников, число значений, лежащих в таком интервале, равно длине интервала, умноженной на достаточно малой длине интервала). Во многих случаях не будет зависеть от момента времени, в который производятся измерения. Функция плотности вероятности является основой статистического описания стохастического процесса, но сама по себе она недостаточна, так как ничего не говорит о том, как связано значение х, измеренное в один момент времени, со значениями, измеренными в другие моменты времени.

Обозначим значения временной последовательности измеренные в последовательные моменты времени через Функция плотности совместного распределения вероятностей

определяется утверждением, что вероятность выполнения неравенств

равна Для полного описания непрерывного стохастического процесса требуется задание функций распределения для всех возможных выборов моментов времени для всех положительных целых Все эти функции нормированы так, что выполняется соотношение

в соответствии с определением вероятности. Кроме того, они должны быть согласованы так, чтобы функцию распределения более низкого порядка можно было получить, интегрируя по

интервалу изменения "лишней" переменной. Например,

Любые переменных для которых выполняется равенство

называются статистически независимыми.

Функция плотности совместного распределения операционно определяется с помощью относительных частот осуществления различных комбинаций значений для и рассматриваемых моментов времени. Но, очевидно, определить полную систему функций распределения таким образом невозможно. Вместо этого для получения гипотетических распределений строится теория процессов птем применения законов физики к ситуациям, возникающим в таких областях науки, как статистическая механика или термодинамика. С помощью теории стохастических процессов вычисляются некоторые средние значения, доступные для наблюдения, и вычисленные значения сравниваются с найденными из опыта. Когда ситуация слишком сложна для такого анализа, как, например, в экономике и, вероятно, даже в метеорологии, для стохастического процесса предлагается простая статистическая "модель". Эта модель дает функцию распределения, содержащую несколько неизвестных параметров, значения которых оцениваются на основе доступных данных. Затем строятся логические заключения и, если возможно, производится сравнение с результатами дальнейших наблюдений. К счастью, существует большая теоретическая база, позволяющая рассматривать электрические шумовые процессы, с которыми приходится встречаться в задачах обнаружения сигналов. Некоторые физические основы будут изложены ниже, в разд. 3. Но сначала мы должны обсудить некоторые понятия, которые будут применяться при анализе стохастических процессов.

Пока радиолокационный приемник поддерживается при постоянной температуре и связан с неподвижной антенной,

на которую сигнал не действует, статистическое описание шума в приемнике не будет зависеть от выбора начала отсчета времени. Это значит, что плотность совместного распределения вероятностей зависит только от интервалов между измерениями, а не от самих моментов времени Такие стохастические процессы называют стационарными. Если не будет сделано других утверждений, будем считать, что изучаемые временные последовательности обладают этим свойством временной инвариантности или стационарности.

Длинная запись одиночной реализации стационарной временной последовательности для большинства моментов времени обладает одинаковыми свойствами. По-видимому, большое число отрезков, взятых из одного члена ансамбля, будет создавать ансамбль с такими же статистическими свойствами, как и у основного ансамбля. Если измеряемая переменная связана с механической системой, подобной газу, или электрической, подобной контуру, и если с течением времени система проходит через все состояния, совместимые с внешними условиями, созданными экспериментатором, сделанное выше предположение является обоснованным. В частности, средние, найденные по длинной выборке на одной реализации процесса, равны средним значениям по всем членам ансамбля в какой-либо момент времени. Стохастические процессы, обладающие этим свойством, называются эргодическими.

Например, среднее или "математическое ожидание" стационарной временнбйпоследовательности определяется равенством

где функция плотности распределения вероятностей одиночного наблюдения. Это среднее значение х не зависит от времени. С другой стороны, среднее по времени х можно определить формулой

Из-за условия стационарности это среднее по времени не зависит от момента времени в который начинается усреднение. Если, кроме того, стохастический процесс эргодический, То же самое справедливо для математического ожидания других функций аргумента х.

Легко можно представить себе процессы, не являющиеся эргодическими, например такие, где величина х постепенно перемещается в область, которую она потом не может покинуть, или если есть некоторое количество таких "ловящих" областей. Но в этой книге будет предполагаться, что все изучаемые флуктуационные процессы являются эргодическими. Справедливость такого предположения должна основываться на успехе теорий, в которых оно принято, так как, хотя это допущение и подтверждается интуицией, проверить его экспериментально невозможно. Допущение эргодичности существенно для любых задач, в которых статистические параметры приходится оценивать на основе одиночной экспериментальной реализации процесса.

Определение

X t (⋅) : Ω → R , t ∈ T {\displaystyle X_{t}(\cdot)\colon \Omega \to \mathbb {R} ,\quad t\in T} ,

где T {\displaystyle T} произвольное множество , называется случайной функцией .

Терминология

Данная классификация нестрогая. В частности, термин «случайный процесс» часто используется как безусловный синоним термина «случайная функция».

Классификация

• Случайный процесс X (t) {\displaystyle X(t)} называется процессом дискретным во времени , если система, в которой он протекает, меняет свои состояния только в моменты времени t 1 , t 2 , … {\displaystyle \;t_{1},t_{2},\ldots } , число которых конечно или счётно. Случайный процесс называется процессом с непрерывным временем , если переход из состояния в состояние может происходить в любой момент времени.
• Случайный процесс называется процессом с непрерывными состояниями , если значением случайного процесса является непрерывная случайная величина. Случайный процесс называется случайным процессом с дискретными состояниями , если значением случайного процесса является дискретная случайная величина:
• Случайный процесс называется стационарным , если все многомерные законы распределения зависят только от взаимного расположения моментов времени t 1 , t 2 , … , t n {\displaystyle \;t_{1},t_{2},\ldots ,t_{n}} , но не от самих значений этих величин. Другими словами, случайный процесс называется стационарным , если его вероятностные закономерности неизменны во времени. В противном случае, он называется нестационарным .
• Случайная функция называется стационарной в широком смысле , если её математическое ожидание и дисперсия постоянны, а АКФ зависит только от разности моментов времени, для которых взяты ординаты случайной функции. Понятие ввёл А. Я. Хинчин .
• Случайный процесс называется процессом со стационарными приращениями определённого порядка, если вероятностные закономерности такого приращения неизменны во времени. Такие процессы были рассмотрены Ягломом .
• Если ординаты случайной функции подчиняются нормальному закону распределения , то и сама функция называется нормальной .
• Случайные функции, закон распределения ординат которых в будущий момент времени полностью определяется значением ординаты процесса в настоящий момент времени и не зависит от значений ординат процесса в предыдущие моменты времени, называются марковскими .
• Случайный процесс называется процессом с независимыми приращениями , если для любого набора t 1 , t 2 , … , t n {\displaystyle t_{1},t_{2},\ldots ,t_{n}} , где n > 2 {\displaystyle n>2} , а t 1 < t 2 < … < t n {\displaystyle t_{1}, случайные величины (X t 2 − X t 1) {\displaystyle (X_{t_{2}}-X_{t_{1}})} , (X t 3 − X t 2) {\displaystyle (X_{t_{3}}-X_{t_{2}})} , … {\displaystyle \ldots } , (X t n − X t n − 1) {\displaystyle (X_{t_{n}}-X_{t_{n-1}})} независимы в совокупности.
• Если при определении моментных функций стационарного случайного процесса операцию усреднения по статистическому ансамблю можно заменить усреднением по времени, то такой стационарный случайный процесс называется эргодическим .
• Среди случайных процессов выделяют импульсные случайные процессы .

Траектория случайного процесса

Пусть дан случайный процесс { X t } t ∈ T {\displaystyle \{X_{t}\}_{t\in T}} . Тогда для каждого фиксированного t ∈ T {\displaystyle t\in T} X t {\displaystyle X_{t}} - случайная величина, называемая сечением . Если фиксирован элементарный исход ω ∈ Ω {\displaystyle \omega \in \Omega } , то X t: T → R {\displaystyle X_{t}\colon T\to \mathbb {R} } - детерминированная функция параметра t {\displaystyle t} . Такая функция называется траекто́рией или реализа́цией случайной функции { X t } {\displaystyle \{X_{t}\}} .