№_____ Дата 02.10.14
Предмет Геометрия
Класс 10
Тема урока: Взаимное расположение двух плоскостей. Признак параллельности плоскостей
Цели урока: познакомить с понятием параллельности плоскостей, изучить признак параллельности плоскости и свойства параллельных плоскостей
Тип урока: изучения нового материала
ХОД УРОКА
1. Организационный момент.
Приветствие учащихся, проверка готовности класса к уроку, организация внимания учащихся, раскрытие общих целей урока и плана его проведения.
2. Формирование новых понятий и способов действия.
Две плоскости называются параллельными, если они не имеют общих точек, т.е. если α = α (рис. 20).
Теорема 1.
Через точку, не лежащую в плоскости, можно провести только одну плоскость, параллельную данной плоскости.
Доказательство.
Пусть даны плоскость
а
и точка А,
А
а
. В плоскости
а
возьмем две пересекающиеся прямые
а и
b
: а
,
b
, а
= В
(рис.21.) Тогда по теореме 1 (§2, п.2.1.) через точку
А
можно провести прямые
а
1
и
b
1
такие, что
а
1
||
а
и
b
1
||
b
Отсюда по аксиоме
CIII
существует единственная плоскость
, проходящая через пересекающиеся прямые
а
1
и
b
1
. Теперь остается показать, что α
, т.е. α
=
.
Пусть это не так, т.е. плоскости пересекаются по прямой с. Тогда по меньшей мере одна из прямых а или b не параллельна прямой с. Для определенности положим, что а с и а с = С.
Следовательно, a 1 с и также, как при доказательстве теоремы 2 из §2, имеем a 1 с= С, т.е. а 1 а = С.
Это противоречит тому, что а, || а . Поэтому α = α . Теорема доказана.
Теорема 2.
Если пересечь две параллельные плоскости третьей плоскостью, то прямые их пересечения будут параллельными, т.е α
,
а = α
,
b
=
=>
а
||
b
(рис.
22
).
Итак, две плоскости в пространстве могут взаимно располагаться в двух вариантах:
плоскости пересекаются по прямой;
плоскости параллельны.
Признак параллельности плоскостей
Теорема 3.
Если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум прямым другой плоскости, то эти плоскости параллельны.
Теорема 4. Отрезки параллельных прямых, ограниченных параллельными плоскостями, равны, между собой.
3. Применение. Формирование умений и навыков.
Задачи: Обеспечить применение учащимися знаний и способов действий, которые им необходимы для СР, создать условия для выявления школьниками индивидуальных способов применения изученного. Стр 24 №87,88,89,90(1)
4.Этап информации о домашнем задании.
Задачи: Обеспечить понимание учащимися цели, содержания и способов выполнения домашнего задания.стр.22 п3 №90(2)
5.Подведение итогов урока.
Задача: Дать качественную оценку работы класса и отдельных учащихся.
6.Этап рефлексии.
Две плоскости в пространстве могут быть либо взаимно параллель-ными, либо пересекающимися.
Плоскости параллельны, если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум пересекающимся прямым другой плоскости.
Выбор сторон треугольников произволен, так как только построением можно точно определить, какая действительно сторона и какого треугольника пересечет плоскость другого. Выбор вспомогательной плоскости также произволен, так как прямую общего положения, какими являются все стороны ∆ABC и ∆DEF , можно заключить в горизонтально проецирующую или во фронтально проецирующую плоскости.
1. Для построения точки M использована горизонтально проецирующая вспомогательная плоскость Ф (Ф AB треугольника ABC (AB Î Ф ).
2. Строим линию пересечения (на чертеже она задана точками 1 и 2) вспомогательной плоскости Ф (Ф 2) и плоскости ∆DEF .
Найдена одна точка M искомой линии пересечения.
4. Для построения точки N использована горизонтально проецирующая плоскость Р (Р 2), в которую заключена сторона EF треугольника DEF .
Построение аналогичны предыдущим.
5. Определение видимости элементов на плоскости П 2 выполнено с помощью фронтально конкурирующих точек 1=2 и 5=2.
Точка 5 (5ÎАВ ) расположена дальше от оси х чем точка 1 (1Î DF ), поэтому на плоскости П 2 часть треугольника ABC , расположенная в сторону точки 1, закрывает собой часть треугольника DEF , расположенную от линии пересечения в сторону точки 5.
Плоскость, прямая, точка - основные понятия геометрии. Нам трудно дать им четкие определения, однако интуитивно мы понимаем, что это такое. Плоскость имеет только два измерения. У нее нет глубины. Прямая имеет лишь одно измерение, а у точки вообще нет размеров - ни длины, ни ширины, ни высоты.
Плоскость бесконечна. Поэтому в задачах мы рисуем только часть плоскости. Надо же как-то ее изобразить.
А как все это выглядит в пространстве? Очень просто. Лист плотной бумаги послужит «моделью» плоскости. Можете взять другой плоский предмет, например, CD-диск, пластиковую карту. Карандаши вполне могут изобразить прямые. Все аксиомы и теоремы стереометрии можно показать «на пальцах», то есть с помощью подручных материалов. Читаете - и сразу стройте такую «модель».
Две плоскости в пространстве либо параллельны, либо пересекаются. Примеры в окружающем пространстве найти легко.
Если две плоскости имеют общую точку, то они пересекаются по прямой.
Мы не рассматриваем отдельно случай «плоскости совпадают». Раз совпадают - значит, это одна плоскость, а не две.
Угол между плоскостями
Пусть плоскости и заданы соответственно уравнениями и . Требуется найти угол между этими плоскостями.
Плоскости, пересекаясь, образуют четыре двугранных угла (рис. 11.6): два тупых и два острых или четыре прямых, причем оба тупых угла равны между собой, и оба острых тоже равны между собой. Мы всегда будем искать острый угол. Для определения его величины возьмем точку на линии пересечения плоскостей и в этой точке в каждой из плоскостей проведем перпендикуляры и к линии пересечения. Нарисуем также нормальные векторы и плоскостей и с началами в точке (рис. 11.6).
Рис.11.6.Угол между плоскостями
Если через точку провести плоскость , перпендикулярную линии пересечения плоскостей и , то прямые и и изображения векторов и будут лежать в этой плоскости. Сделаем чертеж в плоскости (возможны два варианта: рис. 11.7 и 11.8).
Рис.11.7.Угол между нормальными векторами острый
Рис.11.8.Угол между нормальными векторами тупой
В одном варианте (рис. 11.7) и , следовательно, угол между нормальными векторами равен углу , являющемуся линейным углом острого двугранного угла между плоскостями и .
Во втором варианте (рис. 11.8) , а угол между нормальными векторами равен . Так как
то в обоих случаях 
.
По определению скалярного произведения 
. Откуда
и соответственно
Если плоскости параллельны, то коллинеарны их нормальные векторы. Получаем условие параллельности плоскостей
| (11.6) |
где -- любое число.
23.Различные виды уравнений прямой в пространстве
Векторно-параметрическое уравнение прямой
где  - фиксированная точка, лежащая на прямой; - направляющий вектор.
В координатах (параметрические уравнения):
Уравнения прямой по двум точкам
24. Различные виды уравнений прямой в пространстве
Канонические уравнения прямой
 Параметрические уравнения прямой
получим, приравняв каждое из отношений (3.4) параметру t:
x = x 1 + mt , y = y 1 + nt , z = z 1 + р t .
25. Взаимное положение прямых
Две прямые в пространстве могут пересекаться, скрещиваться и могут быть параллельны.
1. Пересекающиеся прямые
Пересекающимися прямыми называются такие прямые, которые имеют одну общую точку.
Из инвариантного свойства 5 следует, что проекция точки пересечения проекций прямых а и b есть точка пересечения этих прямых (рис. 3.4).
 .
Рис. 3.4. Пересекающиеся прямые
2. Параллельные прямые
На рис. 3.5 изображены параллельные прямые – прямые, пересекающиеся в несобственной точке (прямые, лежащие в одной плоскости и пересекающиеся в бесконечно удаленной точке).
Из инвариантного свойства 6 следует, что проекции параллельных прямых а и b параллельны.
3. Скрещивающиеся прямые
Скрещивающиеся прямые – это прямые, не лежащие в одной плоскости, это прямые не имеющие ни одной общей точки.
На комплексном чертеже (рис. 3.6) точки пересечения проекций этих прямых не лежат на одном перпендикуляре к оси Х (в отличие от пересекающихся прямых, см. рис. 3.4).
 .
Рис. 3.5. Изображение параллельных прямых
 .
Рис. 3.6. Скрещивающиеся прямые
Расстояние от точки до прямой - равно длине перпендикуляра, опущенного из точки на прямую.
Если прямая параллельна плоскости проекции (h | | П 1), то для того чтобы определить расстояние от точки А до прямой h необходимо опустить перпендикуляр из точки А на горизонталь h.
|
Опр. Две плоскости в пространстве называются параллельными, если они не пересекаются, в противном случаи они пересекаются.
Теорема1: Если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум прямым другой плоскости, то эти плоскости параллельны.
Доказательство:
Пусть и - данные плоскости, а1 и а2 - прямые в плоскости, пересекающиеся в точке А, в1 и в2 - соответственно параллельные им прямые в
плоскости. Допустим, что плоскости и не параллельны, т.е. пересекаются по некоторой прямой с. По теореме прямые а1 и а2, как параллельные прямым в1и в2, параллельны плоскости, и поэтому они не
пересекают лежащую в этой плоскости прямую с. Таким образом, в плоскости через точку А проходят две прямые (а1 и а2) , параллельные прямой с. Но это невозможно по аксиоме параллельных. Мы пришли к противоречию ЧТД.
Перпендикулярные плоскости: Две пересекающиеся плоскости называются перпендикулярными, если третья плоскость, перпендикулярная прямой пересечения этих плоскостей, пересекает их по перпендикулярным прямым.
Теорема2: Если плоскость проходит через прямую, перпендикулярную другой плоскости, то эти плоскости перпендикулярны.
Доказательство:
Пусть - плоскость, в -перпендикулярная ей прямая, - плоскость, проходящая через прямую в, с - прямая, по которой пересекаются плоскости и. Докажем, что плоскости и перпендикулярны. Проведем в плоскости через точку пересечения прямой в с плоскостью прямую а,
перпендикулярную прямой с. Проведем через прямые а и в плоскость. Она перпендикулярна прямой с, т.к. прямая с перпендикулярна прямым а и в. Т. к. прямые а и в перпендикулярны, то плоскости и перпендикулярны. ч.т.д.
42. Нормальное уравнение плоскости и его свойства
Нормальное (нормированное) уравнение плоскости
в векторной форме:
где - единичный вектор,- расстояние П. от начала координат. Уравнение (2) может быть получено из уравнения (1) умножением на нормирующий множитель
(знаки ипротивоположны).
43. Уравнения прямой линии в пространстве: Общие уравнения, каноничекие и параметрические уравнения.
Канонические уравнения:
Выведем уравнение прямой, проходящей через данную точку и параллельную данному направляющему вектору. Заметим, что точкалежит на этой прямой тогда и только тогда, когда векторыиколлинеарны. Это означает, что координаты этих векторов пропорциональны:
Эти уравнения называют каноническими. Заметим, что одна или две координаты направляющего вектора могут оказаться равными нулю. Но мы воспринимаем это как пропорцию: мы понимаем как равенство.
Общие уравнения:
(A1x+B1y+C1z+D1=0
(A2x+B2y+C2z+D2=0
Где коэффиценты А1-С1 не пропорциональны A2-C2,что равносильно ее заданию как линии пересечения плоскостей
Параметрические:
Откладывая от точки векторыдля различных значений, коллинеарные направляющему вектору, мы будем получать на конце отложенных векторов различные точки нашей прямой. Из равенстваследует:
Переменную величину называют параметром. Поскольку для любой точки прямой найдется соответствующее значение параметра и поскольку различным значениям параметра соответствуют различные точки прямой, то существует взаимно однозначное соответствие между значениями параметра и точками прямой. Когда параметрпробегает все действительные числа отдо, соответствующая точкапробегает всю прямую.
44. Понятие линейного пространства. Аксиомы. Примеры линейных пространств
Пример линейного пространства – множество всех геометрических векторов.
Линейное , иливекторное пространство надполемP - этонепустое множествоL , на котором введеныоперации
сложения, то есть каждой паре элементов множества ставится в соответствие элемент того же множества, обозначаемыйи
умножения на скаляр(то есть элемент поляP ), то есть любому элементу и любому элементуставится в соответствие элемент из, обозначаемый.
При этом на операции накладываются следующие условия:
Для любых (коммутативность сложения );
Для любых (ассоциативность сложения );
существует такой элемент , чтодля любого(существование нейтрального элемента относительно сложения ), в частности L не пусто;
для
любого
существует
такой элемент,
что
(существование
противоположного элемента
).
(ассоциативность
умножения на скаляр
);
(умножение на нейтральный (по умножению) элемент поля P сохраняет вектор ).
(дистрибутивность умножения на вектор относительно сложения скаляров );
(дистрибутивность умножения на скаляр относительно сложения векторов ).
Элементы множества L называютвекторами , а элементы поляP -скалярами . Свойства 1-4 совпадают с аксиомами абелевой группы.
Простейшие свойства
Векторное пространство является абелевой группойпо сложению.
Нейтральный элемент является единственным, что вытекает из групповых свойств.
для любого .
Для любого противоположный элементявляется единственным, что вытекает из групповых свойств.
для
любого
.
для любых и.
для любого .
Элементы линейного пространства называются векторами. Пространство называется действительным, если в нем оперция умножения векторов на число определена только для действительных числе, и комплексным, если эта оперкция определана только для комплексных чисел.
45. Базис и размерност линейного прорстранства, связь между ними.
Конечная сумма вида
называется линейной комбинацией элементов с коэффициентами.
Линейная комбинация называется нетривиальной, если хотя бы один из её коэффициентов отличен от нуля.
Элементы называются линейно зависимыми, если существует их нетривиальная линейная комбинация, равная θ. В противном случае эти элементы называются линейно независимыми.
Бесконечное подмножество векторов из L называется линейно зависимым, если линейно зависимо его некоторое конечное подмножество, и линейно независимым, если любое его конечное подмножество линейно независимо.
Число элементов (мощность) максимального линейно независимого подмножества пространства не зависит от выбора этого подмножества и называется рангом, или размерностью, пространства, а само это подмножество - базисом(базисом Га́меля или линейным базисом). Элементы базиса также называют базисными векторами. Свойства базиса:
Любые n линейно независимых элементов n-мерного пространства образуют базис этого пространства.
Любой вектор можно представить (единственным образом) в виде конечной линейной комбинации базисных элементов:
46. Координты вектора в данном базисе. Линейные операции с векторами в координатной форме
п.4. Линейные операции с векторами в координатной форме записи.
Пусть – базиспространстваи– два его произвольных вектора. Пустьи–записьэтихвектороввкоординатнойформе. Пусть, далее,– произвольное действительное число. В этих обозначениях имеет место следующая теорема.
Теорема. (О линейных операциях с векторами в координатнойформе.)
Пусть Ln – произвольное n-мерное пространство, B = (e1,….,en) - фиксированный базис в нем. Тогда всякому вектору x пренадлежащему Ln взаимно однозначно соответствует столбец его координат в этом базисе.
Две плоскости в пространстве могут быть либо взаимно параллельны, в частном случае совпадая друг с другом, либо пересекаться. Взаимно перпендикулярные плоскости представляют собой частный случай пересекающихся плоскостей.
1. Параллельные плоскости. Плоскости параллельны, если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум пересекающимся прямым другой плоскости.
Это определение хорошо иллюстрируется задачей, через точку В провести плоскость параллельную плоскости, заданной двумя пересекающимися прямыми ab (рис.61).
Задача. Дано: плоскость общего положения, заданную двумя пересекающимися прямыми ab и точка В.
Требуется через точку В провести плоскость, параллельную плоскости ab и задать её двумя пересекающимися прямыми c и d.
Согласно определения если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум пересекающимся прямым другой плоскости то эти плоскости параллельны между собой.
Для того чтобы провести на эпюре параллельные прямые необходимо воспользоваться свойством параллельного проецирования - проекции параллельных прямых - параллельны между собой
d//a, с//b Þ d1//a1,с1//b1; d2//a2 ,с2//b2; d3//a3,с3//b3.
Рисунок 61. Параллельные плоскости
2. Пересекающиеся плоскости, частный случай – взаимно перпендикулярные плоскости. Линия пересечения двух плоскостей является прямая, для построения которой достаточно определить две её точки, общие обеим плоскостям, либо одну точку и направление линии пересечения плоскостей.
Рассмотрим построение линии пересечения двух плоскостей, когда одна из них проецирующая (рис.62).
Задача. Дано: плоскость общего положения задана треугольником АВС, а вторая плоскость - горизонтально проецирующая a.
Требуется построить линию пересечения плоскостей.
Решение задачи заключается в нахождении двух точек общих для данных плоскостей, через которые можно провести прямую линию. Плоскость, заданная треугольником АВС можно представить, как прямые линии (АВ), (АС), (ВС). Точка пересечения прямой (АВ) с плоскостью a - точка D, прямой (AС) -F. Отрезок определяет линию пересечения плоскостей. Так как a - горизонтально проецирующая плоскость, то проекция D1F1 совпадает со следом плоскости aП1, таким образом остается только построить недостающие проекции на П2 и П3.
Рисунок 62. Пересечение плоскости общего положения с горизонтально проецирующей плоскостью
Перейдем к общему случаю. Пусть в пространстве заданы две плоскости общего положения a(m,n) и b (ABC) (рис.63)
Рисунок 63. Пересечение плоскостей общего положения
Рассмотрим последовательность построения линии пересечения плоскостей a(m//n) и b(АВС). По аналогии с предыдущей задачей для нахождения линии пересечения данных плоскостей проведем вспомогательные секущие плоскости g и d. Найдем линии пересечения этих плоскостей с рассматриваемыми плоскостями. Плоскость g пересекает плоскость a по прямой (12), а плоскость b - по прямой (34). Точка К - точка пересечения этих прямых одновременно принадлежит трем плоскостям a, b и g, являясь таким образом точкой принадлежащей линии пересечения плоскостей a и b. Плоскость d пересекает плоскости a и b по прямым (56) и (7C) соответственно, точка их пересечения М расположена одновременно в трех плоскостях a, b, d и принадлежит прямой линии пересечения плоскостей a и b. Таким образом найдены две точки принадлежащие линии пересечения плоскостей a и b - прямая (КМ).
Некоторого упрощения при построении линии пересечения плоскостей можно достичь, если вспомогательные секущие плоскости проводить через прямые, задающие плоскость.
Взаимно перпендикулярные плоскости. Из стереометрии известно, что две плоскости взаимно перпендикулярны, если одна из них проходит через перпендикуляр к другой. Через точку А можно провести множество плоскостей перпендикулярных данной плоскости a(f,h). Эти плоскости образуют в пространстве пучок плоскостей, осью которого является перпендикуляр опущенный из точки А на плоскость a . Для того чтобы из точки А провести плоскость перпендикулярную плоскости заданной двумя пересекающимися прямыми hf необходимо из точки А провести прямую n перпендикулярную плоскости hf (горизонтальная проекция n перпендикулярна горизонтальной проекции горизонтали h, фронтальная проекция n перпендикулярна фронтальной проекции фронтали f). Любая плоскость проходящая через прямую n будет перпендикулярна плоскости hf, поэтому для задания плоскости через точки А проводим произвольную прямую m. Плоскость заданная двумя пересекающимися прямыми mn будет перпендикулярна плоскости hf (рис.64).
Рисунок 64. Взаимно перпендикулярные плоскости
