Средние величины и общие принципы их вычисления.

Средние величины относятся к обобщающим статистическим показателям, которые дают сводную (итоговую) характеристику массовых общественных явлений, так как строятся на основе большого количества индивидуальных значений варьирующего признака. Для выяснения сущности средней величины необходимо рассмотреть особенности формирования значений признаков тех явлений, по данным которых исчисляют среднюю величину.

Известно, что единицы каждого массового явления обладают многочисленными признаками. Какой бы из этих признаков мы ни взяли, его значения у отдельных единиц будут различными, они изменяются, или, как говорят в статистике, варьируют от одной единицы к другой. Так, например, заработная плата работника определяется его квалификацией, характером труда, стажем работы и целым рядом других факторов, поэтому изменяется в весьма широких пределах. Совокупное влияние всех факторов определяет размер заработка каждого работника, тем не менее, можно говорить о среднемесячной заработной плате работников разных отраслей экономики. Здесь мы оперируем типичным, характерным значением варьирующего признака, отнесенным к единице многочисленной совокупности.

Средняя величина отражает то общее, что характерно для всех единиц изучаемой совокупности. В то же время она уравновешивает влияние всех факторов, действующих на величину признака отдельных единиц совокупности, как бы взаимно погашая их. Уровень (или размер) любого общественного явления обусловлен действием двух групп факторов. Одни из них являются общими и главными, постоянно действующими, тесно связанными с природой изучаемого явления или процесса, и формируют то типичное для всех единиц изучаемой совокупности, которое и отражается в средней величине. Другие являются индивидуальными, их действие выражено слабее и носит эпизодический, случайный характер. Они действуют в обратном направлении, обусловливают различия между количественными признаками отдельных единиц совокупности, стремясь изменить постоянную величину изучаемых признаков. Действие индивидуальных признаков погашается в средней величине. В совокупном влиянии типичных и индивидуальных факторов, которое уравновешивается и взаимно погашается в обобщающих характеристиках, проявляется в общем виде известный из математической статистики фундаментальный закон больших чисел.

В совокупности индивидуальные значения признаков сливаются в общую массу и как бы растворяются. Отсюда и средняя величина выступает как «обезличенная», которая может отклоняться от индивидуальных значений признаков, не совпадая количественно ни с одним из них. Средняя величина отражает общее, характерное и типичное для всей совокупности благодаря взаимо погашению в ней случайных, нетипичных различий между признаками отдельных ее единиц, так как ее величина определяется как бы общей равнодействующей из всех причин.

Однако для того, чтобы средняя величина отражала наиболее типичное значение признака, она должна определяться не для любых совокупностей, а только для совокупностей, состоящих из качественно однородных единиц. Это требование является основным условием научно обоснованного применения средних величин и предполагает тесную связь метода средних величин и метода группировок в анализе социально-экономических явлений. Следовательно, средняя величина – это обобщающий показатель, характеризующий типичный уровень варьирующего признака в расчете на единицу однородной совокупности в конкретных условиях места и времени.

Определяя, таким образом, сущность средних величин, необходимо подчеркнуть, что правильное определение любой средней величины предполагает выполнение следующих требований:

Качественная однородность совокупности, по которой вычислена средняя величина. Это означает, что определение средних величин должно основываться на методе группировок, обеспечивающем выделение однородных, однотипных явлений;

Исключение влияния на вычисление средней величины случайных, сугубо индивидуальных причин и факторов. Это достигается в том случае, когда вычисление средней основывается на достаточно массовом материале, в котором проявляется действие закона больших чисел, и все случайности взаимно погашаются;

При вычислении средней величины важно установить цель ее расчета и так называемый определяющий показатель (свойство), на который она должна быть ориентирована. Определяющий показатель может выступать в виде суммы значений усредняемого признака, суммы его обратных значений, произведения его значений и т. п. Связь между определяющим показателем и средней величиной выражается в следующем: если все значения усредняемого признака заменить средним значением, то их сумма или произведение в этом случае не изменит определяющего показателя. На основе этой связи определяющего показателя со средней величиной строят исходное количественное отношение для непосредственного расчета средней величины. Способность средних величин сохранять свойства статистических совокупностей называют определяющим свойством.

Средняя величина, рассчитанная в целом по совокупности, называется общей средней; средние величины, рассчитанные для каждой группы, – групповыми средними. Общая средняя величина отражает общие черты изучаемого явления, групповая средняя дает характеристику явления, складывающуюся в конкретных условиях данной группы.

Средние величины могут быть как абсолютными, так и относительными (средняя заработная плата, средний процент выполнения плана).

Средняя величина всегда именованная, она имеет ту же размерность, что и признак у отдельных единиц совокупности.

Объективность и типичность статистической средней могут быть обеспечены лишь при определенных условиях. Первое условие состоит в том, что средняя должна вычисляться для качественно однородной совокупности. Второе условие – для исчисления средней должны быть использованы не единичные, а массовые данные, ибо только тогда взаимно погашаются возможные случайные отклонения.

Способы расчета могут быть разные, поэтому в статистике различают несколько видов средней величины, основными из которых являются средняя арифметическая, средняя гармоническая и средняя геометрическая.

В экономическом анализе использование средних величин является основным инструментом для оценки результатов научно-технического прогресса, социальных мероприятий, поиска резервов развития экономики. В то же время следует помнить о том, что чрезмерное увлечение средними показателями может привести к необъективным выводам при проведении экономико-статистического анализа. Это связано с тем, что средние величины, будучи обобщающими показателями, погашают, игнорируют те различия в количественных признаках отдельных единиц совокупности, которые реально существуют и могут представлять самостоятельный интерес.

Федеральное агентство по образованию

Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования "Уральский Государственный Экономический Университет"

Центр дистанционного образования

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА

по дисциплине: "Статистика "

Исполнитель:

студент группы: ЭТр-09 СР

Трошева Наталья Юрьевна

г. Екатеринбург

2009г.

Введение

1.1 Виды средних величин и способы расчета

1.2 Структурные средние величины

2. Практическое задание

Заключение

Список литературы

Введение

Данная контрольная работа состоит из двух частей – теоретической и практической.

В теоретической части будет подробно рассмотрена такая важная статистическая категория как средняя величина с целью выявления её сущности и условий применения, а также выделения видов средних и способов их расчёта.

Практическая часть посвящена расчету и анализу важнейших показателей работы любого предприятия – планового уровня развития явления и общего индекса цен с целью выделения основных факторов, влияющих на изменение этих показателей.

1. Среднее величины: виды, свойства, область применения

Средняя величина – это обобщающая величина изучаемого признака в исследуемой совокупности, которая отражает его типичный уровень в расчете на единицу совокупности в конкретных условиях места и времени.

Средние величины относятся к обобщающим статистическим показателям, которые дают сводную характеристику массовых общественных явлений, так как строятся на основе большого количества индивидуальных значений варьирующего признака.

Средняя величина отражает то общее, что характерно для всех единиц изучаемой совокупности. В то же время она уравновешивает влияние всех факторов, действующих на величину признака отдельных единиц совокупности, как бы взаимно погашая их. Уровень любого общественного явления обусловлен действием двух групп факторов. Одни из них являются общими и главными, постоянно действующими, тесно связанными с природой изучаемого явления или процесса, и формируют то типичное для всех единиц изучаемой совокупности, которое и отражается в средней величине. Другие являются индивидуальными, их действие выражено слабее и носит эпизодический, случайный характер. Отсюда средняя величина выступает как "обезличенная", которая может отклоняться от индивидуальных значений признаков, не совпадая количественно ни с одним из них. Средняя величина отражает общее, характерное и типичное для всей совокупности благодаря взаимопогашению в ней случайных, нетипичных различий между признаками отдельных ее единиц, так как ее величина определяется как бы общей равнодействующей из всех причин.

Для того, чтобы средняя величина отражала наиболее типичное значение признака, она должна определяться только для совокупностей, состоящих из качественно однородных единиц. Это требование является основным условием научно обоснованного применения средних величин и предполагает тесную связь метода средних величин и метода группировок в анализе социально-экономических явлений.

Необходимо подчеркнуть, что правильное исчисление любой средней величины предполагает выполнение следующих требований:

качественная однородность совокупности, по которой вычислена средняя величина.

исключение влияния на вычисление средней величины случайных, сугубо индивидуальных причин и факторов

при вычислении средней величины важно установить цель ее расчета и так называемый определяющий показатель, на который она должна быть ориентирована.

Средняя величина, рассчитанная в целом по совокупности, называется общей средней - отражает общие черты изучаемого явления; средние величины, рассчитанные для каждой группы групповыми средними - дают характеристику явления, складывающуюся в конкретных условиях данной группы.

1.1 Способы расчета могут быть разные, поэтому в статистике различают несколько видов средней величины

Средние величины делятся на 2 больших вида:

степенные средние (средняя гармоническая, средняя геометрическая, средняя арифметическая и др.). Для вычисления степенных средних необходимо использовать все имеющиеся значения признака. Если рассчитывать все виды степенных средних для одних и тех же данных, то их значения окажутся одинаковыми. Тогда действует правило мажорантности средних: с увеличением показателя степени средних увеличивается и сама средняя величина ().

структурные средние (мода, медиана). Мода и медиана определяются лишь структурой распределения. Поэтому их именуют "структурными позиционными средними". Медиану и моду часто используют как среднюю характеристику в тех совокупностях, где расчет средней степенной невозможен или нецелесообразен.

Для наглядности наиболее часто применяемые в практических исследованиях формулы вычисления различных видов степенных средних величин представлены в Таблице 1.

Таблица 1 Виды степенных средних

Вид степенной средней	Показатель степени	Формула расчета
Вид степенной средней	Показатель степени		Взвешенная
1. Гармоническая			, где
2. Геометрическая
3. Арифметическая

Средняя арифметическая величина представляет собой такое среднее значение признака, при вычислении которого общий объем признака в совокупности сохраняется неизменным. Для того чтобы исчислить среднюю арифметическую, необходимо сумму всех значений признаков разделить на их число. Она применяется в тех случаях, когда объем варьирующего признака для всей совокупности является суммой значений признаков отдельных ее единиц. Примером средней арифметической может служить общий фонд заработной платы.

Средняя арифметическая простая величина равна простой сумме отдельных значений осредняемого признака, деленной на общее число этих значений. Она применяется в тех случаях, когда имеются несгруппированные индивидуальные значения признака.

Средняя арифметическая взвешенная – это средняя их вариант, которые повторяются различное число раз или имеют различный вес.

Основные свойства средней арифметической:

Если индивидуальные значения признака, т.е. варианты, уменьшить или увеличить в i раз, то среднее значение нового признака соответственно уменьшится или увеличится в i раз.

Если все варианты осредняемого признака уменьшить или увеличить на число А, то средняя арифметическая соответственно уменьшится или увеличится на это же число.

Если веса всех осредняемых вариантов уменьшить или увеличить в k раз, то средняя арифметическая не изменится.

Сумма отклонений отдельных значений признака (вариант) от средней арифметической равна нулю.

Прежде чем выполнять расчет средней величины необходимо преобразовать интервальный ряд в дискретный. Для этого находят середину интервала в каждой группе. Ее определяют делением суммы верхней и нижней границы пополам.

Формула средней гармонической взвешенной величины применяется когда информация не содержит частот по отдельным вариантам x совокупности, а представлена как произведение . Для того чтобы исчислить среднюю, необходимо обозначить
, откуда
. Теперь преобразуем формулу средней арифметической таким образом, чтобы по имеющимся данным x и m можно было исчислить среднюю. В формулу средней арифметической взвешенной вместо подставим m, а вместо f – отношение , и таким образом получим формулу средней гармонической взвешенной.

Средняя гармоническая простая величина применяется в тех случаях, когда вес каждого варианта равен единице, т.е. ,

Средняя геометрическая величина применяется в тех случаях, когда индивидуальные значения признака представляют собой относительные величины динамики, построенные в виде цепных величин, как отношение к предыдущему уровню каждого уровня в ряду динамики, т.е. характеризует средний коэффициент роста.

Наиболее распространённой формой статистических показателей является средняя величина, представляющая собой обобщенную количественную характеристику признака в статистической совокупности в конкретных условиях места и времени. Показатель в форме средней величины выражает типичные черты и дает обобщающую характеристику однотипных явлений по одному из варьирующих признаков. Широкое применение средних объясняется тем, что они имеют ряд положительных свойств, делающих их незаменимым инструментом анализа явлений и процессов в экономике.

Важнейшее свойство средней величины заключается в том, что она отражает то общее, что присуще всем единицам исследуемой совокупности. Значения признака отдельных единиц совокупности колеблются в ту или иную сторону под влиянием множества факторов, среди которых могут быть как основные, так и случайные. Например, курс акций корпорации в основном определяется финансовыми результатами ее деятельности. В то же время, в отдельные дни и на отдельных биржах эти акции в силу сложившихся обстоятельств могут продаваться по более высокому или заниженному курсу. Сущность средней в том и заключается, что в ней взаимопогашаются отклонения значений признака отдельных единиц совокупности, обусловленные действием случайных факторов, и учитываются изменения, вызванные действием основных факторов. Это позволяет средней отражать типичный уровень признака и абстрагироваться от индивидуальных особенностей отдельных единиц.

Типичность средней непосредственным образом связана с однородностью совокупности. Средняя величина только тогда будет отражать типичный уровень признака, когда она рассчитана по качественно однородной совокупности. Так, если мы рассчитаем средний курс по акциям всех предприятий, реализуемых в данный день на данной бирже, то получим фиктивную среднюю. Это будет объясняться тем, что используемая для расчета совокупность является крайне неоднородной. В этом и подобных случаях метод средних используется в сочетании с методом группировок: если совокупность неоднородна – общие средние должны быть заменены или дополнены групповыми средними, т.е. средними, рассчитанными по качественно однородным группам.

В теории средних используются следующие условные обозначения.

1.Признак, по которому определяется среднее, называется осредняемым признаком и обозначается .

2.Величина осредняемого признака у каждой единицы совокупности называется его индивидуальным значением и обозначается .

3.Повторяемость индивидуальных значений называется частотой и обозначается f .

4. Суммарное значение признака обозначается W .

Всякий количественный признак статистической совокупности имеет одно единственное среднее значение. Оно может быть рассчитано различными способами в зависимости от формы выражения осредняемого признака (абсолютной, относительной и средней) и имеющейся информации. В зависимости от степени k получаются различные виды средних.

1.Средняя арифметическая простая – наиболее распространенный вид средней

k =1

2.Средняя арифметическая взвешенная – используется в том случае, если известны индивидуальные значения признака и их частоты f . Каждый вариант «взвешивают» по своей частоте, т.е. умножают на нее. Частоты f при этом называют статистическими весами или просто весами средней .

Пример. По имеющимся данным рассчитаем средний стаж работы сотрудников

3.Средняя гармоническая простая используется в том случае, если необходимо чтобы при осреднении оставалась неизменной сумма величин, обратных индивидуальным значениям признака.

где – сумма обратных значений признака.

Пример . Автомобиль с грузом от предприятия до склада ехал со скоростью 40 км/ч, а обратно порожняком со скоростью 60км/ч. Какова средняя скорость автомобиля за обе поездки?

Пусть расстояние перевозки составило S км. Никакой роли при расчете средней скорости S не играет. При замене индивидуальных значений скорости на среднюю величину необходимо, чтобы неизменной величиной оставалось время, затраченное на обе поездки, иначе средняя скорость может оказаться любой – от скорости черепахи до скорости света. Время поездок равно . Итак,

Сократив все члены равенства на S, получим т.е. выполняется условие гармонической средней. Подставляя и , получаем

Арифметическая средняя 50 км/ч неверна, т.к. приводит к другому времени движения, чем на самом деле. Если расстояние равно 96 км, то реальное время движения составит

В статистической практике чаще применяется средняя гармоническая взвешенная.

4.Средняя гармоническая взвешенная используется, если известны индивидуальные значения признака и суммарные значения признака.

Пример

5.Средняя агрегатная используется, если известны суммарные значения признака и их частоты.

Пример . Определить среднюю стоимость продукции, если известно

6.Средняя квадратическая применяется для расчета среднеквадратического отклонения, являющегося показателем вариации, а также в технике

k =2

Средняя квадратическая взвешенная

7.Средняя геометрическая используется для расчета среднего темпа роста по цепной схеме k= 0

При k= 1 получаем арифметическую среднюю, при k= 2 – квадратическую, при k= 3 – кубическую, при k= 0 – геометрическую, при k= -1 – гармоническую среднюю. Чем выше показатель степени k , тем больше значение средней величины. Если все исходные значения признака равны, то и все средние равны const. Итак, имеем следующее соотношение, которое называется правилом мажорантности средних :

Пользуясь этим правилом, статистика может в зависимости от настроения и желания ее «знатока» либо «утопить», либо «выручить» студента, получившего в сессию оценки 2 и 5. Каков его средний бал?

Если судить по средней арифметической, то средний бал равен 3,5. Но если декан желает «утопить» несчастного и вычислит среднюю гармоническую то студент остается в среднем двоечником, не дотянувшим до тройки.

Однако студенческий совет может возразить декану и представить среднюю кубическую величину . Студент уже выглядит «хорошистом» и даже претендует на стипендию.

Структурные средние – мода и медиана – в отличие от степенных средних, которые в значительной степени являются абстрактной характеристикой совокупности, выступают как конкретные величины, совпадающие со вполне определенными вариантами совокупности. Это делает их незаменимыми при решении практических задач.

Мода – это наиболее часто встречающееся значение признака у единиц данной совокупности. Для дискретного ряда распределения мода определяется без расчета, путем просматривания столбца частот, и соответствует значению признака с наибольшей частотой. Из примера №1 наибольшая частота f=20 , что соответствует 4 тарифному разряду, следовательно M o =4.

Для интервального ряда распределения мода определяется по формуле

где – нижняя граница модального интервала;

– величина модального интервала;

– частоты интервала соответственно предшествующего модальному, модального и следующего за модальным.

Модальному соответствует интервал с наибольшей частотой.

Рассчитаем моду для примера № 2. Модальному соответствует интервал 130-140. Для него , = 140-130=10, =20,

Чаще всего норма выработки работников составляет 134%, чаще всего план перевыполняется на 34%.

Медиана – значение признака, который лежит в середине ранжированного ряда и делит его пополам. Ранжированный ряд – ряд, расположенный в порядке возрастания или убывания признака. Для дискретных вариационных рядов медиана не рассчитывается, а определяется путем просмотра ряда. Например, для пяти работников дневная норма выработки деталей составляет соответственно 10, 12, 15, 16 и 18 шт. М е является выработка третьего работника и равна 15 деталям. При четном количестве значений признака за медиану принимается полусумма значений признака, занимающих срединное значение. Н-р, при 10 значениях полусумма 5-го и 6-го значений признака.

Для интервального ряда медиана определяется по формуле

где – нижняя граница медианного интервала;

– величина медианного интервала;

– полусумма объема вариационного ряда;

– накопленная частота интервала, предшествующего медианному;

– частота медианного интервала.

Медианным называется интервал, соответствующий половине объема ряда. Для того, найти медианный интервал, необходимо накапливать частоты до тех пор, пока не будет найден интервал, содержащий в себе половину объема ряда.

Рассчитаем медиану для примера № 2. Медианный интервал 120-130, т.к. соответствующая ему накопленная частота содержит в себе половину объема ряда. Для него

– Половина работников выполняет норму выработки меньше, чем 129%, а другая половина рабочих выполняет норму выработки больше, чем 129%.

Однако для того чтобы средняя величина отражала наиболее типичное значение признака, она должна определяться не для любых совокупностей, а только для совокупностей, состоящих из качественно одно–родных единиц. Это требование является основным условием научно обоснованного применения средних величин величин и предполагает тесную связь метода средних и метода группировок в анализе социально-экономических явлений.

Средняя величина – это обобщающий показатель, характеризующий типичный уровень варьирующего признака в расчете на единицу однородной совокупности в конкретных условиях места и времени.

Средняя, рассчитанная по совокупности в целом, называется общей средней, средние, исчисленные для каждой группы,– групповыми средними. Общая средняя отражает общие черты изучаемого явления, групповая средняя дает характеристику размера явления, складывающуюся в конкретных условиях данной группы.

В статистике используют различные виды средних величин, которые делятся на два больших класса:

1) степенные средние (средняя гармоническая, средняя геометрическая, средняя арифметическая, средняя квадратическая, средняя кубическая);

2) структурные средние (мода, медиана).

Самый распространенный вид средней – средняя арифметическая. Формула простой средней арифметической:

Средняя арифметическая взвешенная:

где xi –варианты осредняемого признака; f – частота, которая показывает, сколько раз встречается i-е значение в совокупности.

Формула простой средней гармонической:

где хi – отдельные варианты; n – число вариантов осредняемого признака. Средняя геометрическая простая рассчитывается по формуле:

Формула средней геометрической взвешенной:

Формула средней квадратической:

Формула средней квадратической взвешенной:

Формула средней кубической:

Средняя кубическая взвешенная:

3. Структурные средние: мода и медиана

Мода – величина признака, которая чаще всего встречается в данной совокупности. Применительно к вариационному ряду модой является наиболее часто встречающееся значение ранжированного ряда. Она показывает размер признака, свойственный значительной части совокупности, и определяется по формуле:

h – величина интервала;

fm – частота интервала;

fm-1 – частота предшествующего интервала;

fm+1 – частота следующего интервала.

Медианой называется вариант, расположенный в центре ранжированного ряда. Медиана делит ряд на две равные части таким образом, что по обе стороны от нее находится одинаковое количество единиц совокупности. При этом у одной половины единиц совокупности значение варьирующего признака меньше медианы, у другой – больше.

Описательный характер медианы проявляется в том, что она характеризует количественную границу значений варьирующего признака, которыми обладает половина единиц совокупности.

При определении медианы в интервальных вариационных рядах сначала определяется интервал, в котором она находится (медианный интервал). Этот интервал характерен тем, что его накопленная сумма частот равна или превышает полусумму всех частот ряда. Расчет медианы интервального вариационного ряда производится по формуле:

где х0 – нижняя граница интервала;

h – величина интервала;

fm – частота интервала;

f – число членов ряда;

Sm- 1 – сумма накопленных членов ряда, предшествующих данному.

Наряду с медианой для более полной характеристики структуры изучаемой совокупности применяют и другие значения вариантов, занимающих в ранжированном ряду вполне определенное положение. К ним относятся квартили и децили. Квартили делят ряд по сумме частот на четыре равные части, а децили – на десять равных частей. Квартилей насчитывается три, а децилей – девять.

Медиана и мода в отличие от средней арифметической не погашают индивидуальных различий в значениях варьирующего признака и поэтому являются дополнительными и очень важными характеристика–ми статистической совокупности. На практике они часто используются вместо средней либо наряду с ней. Особенно целесообразно вычислять медиану и моду в тех случаях, когда изучаемая совокупность содержит некоторое количество единиц с очень большим или очень малым значением варьирующего признака.

Лекция 6. Средние величины

Среди показателей, характеризующих статистические совокупности, важное место занимают средние величины.

Средняя величина - показатель, который даёт обобщённую (усреднённую) характеристику единиц изучаемой совокупности. В средней величине отражается то общее, что имеется в каждой единице совокупности.

Сущность статистической обработки методом средней величины заключается в замене индивидуальных значений признака их средним показателем. При этом общий объём совокупности остаётся неизменным.

Пример: есть данные о выработке 5 рабочих: 135, 141, 153, 159, 162. Определить среднюю выработку. .

Средние величины, которые необходимо знать наизусть:

Средняя арифметическая;

Средняя гармоническая;

Средняя хронологическая;

Средняя квадратическая, кубическая;

Средняя геометрическая;

Структурные средние: мода, медиана.

1. Средняя арифметическая: чаще всего в статистике и социально-экономических исследованиях применяется арифметическая величина.

Средняя арифметическая простая рассматривается в случаях, когда значение признака повторяется один или одинаковое число раз в ряде распределения:

Где n -количество единиц совокупности.

Средняя арифметическая взвешенная применяется в случаях, когда каждое значение признака повторяется неодинаковое число раз, или частота ряда распределения превышает единицу хотя бы для одного признака:

Где f -вес.(сколько раз повторяется каждая еденица совокупности)

2. Средняя гармоническая: в ряде случаев бывают известны варианты (x) и произведения варианты на частоту (x f), в то время как сами частоты (f) неизвестны, тогда применяется средняя гармоническая, которая бывает простой и взвешенной.

Произведение x f выражается через сложный экономический показатель M (M = x f ). Для расчёта средней величины, когда x f =M =1 , применяется средняя гармоническая простая: .

Если x f =M? 1 , то для расчёта применяется средняя гармоническая взвешенная: .

Средняя гармоническая - величина, обратная средней арифметической, из обратных значений признака.

Свойства средних величин

1. Если от каждой варианты отнять или прибавить одно и то же число, то средняя увеличится или уменьшится на то же число.

2. Если каждую варианту увеличить или уменьшить в a раз, то средняя увеличится или уменьшится в столько же раз.

3. Если все частоты увеличить или уменьшить в a раз, то средняя не изменится.

4. Если все частоты увеличить или уменьшить на a , то средняя изменится непредсказуемо.

5. Средняя арифметическая суммы нескольких величин равна суме средних арифметических этих величин.

6. Алгебраическая сумма отклонений значений признака от средней арифметической всегда равна нулю.

Пример: Найти среднюю урожайность в 2003 и 2004 гг.

Где f -вес

3. Средняя хронологическая: применяется для расчёта средней величины, если исходные данные представлены на определённые даты, моменты времени:

Пример: Найти среднюю стоимость ОПФ


стоимость ОПФ

Приведем все расчеты к одному знаменателю: Х=эээ

4. Средняя квадратическая: применяется для измерения вариации признака в совокупности:

5. Средняя кубическая: .

6. Средняя геометрическая: применяется чаще всего для определения средних темпов роста в единицу времени: ,

Пример: Рассчитайте среднегодовые темпы роста

Где m=n-1.

Средняя геометрическая, чаще всего, применяется в экономических расчетах, но учитывает только начало и конец ряда и недостаточно точно отражает динамику изменения, т.е. она не учитывает сумму ряда.

7. Средняя кумулятивная:

Формула кумулятивной средней более чётко отражает динамику изменений и помогает увидеть сумму ранжированного ряда.

Все рассмотренные средние величины (кроме средней хронологической) являются степенными средними и выводятся из следующей формулы: , где получается при

k=-1 ? средняя гармоническая;

k=0 ? средняя геометрическая;

k=1 ? средняя арифметическая;

k=2 ? средняя квадратическая;

k=3 ? средняя кубическая.

Все эти показатели рассчитываются для варьирующего признака для простых средних. Если все значения признака в ряде распределения одинаковы, то все значения средних равны. Между указанными средними величинами имеет место зависимость (для одного ряда распределения):

Это неравенство называется правилом мажорантности средних величин.

8. Структурные средние:

1) Структурное среднее мода (Mо ) - наиболее часто встречающееся значение ряда, другими словами, мода - это варианта, имеющая наибольшую частоту. В дискретных рядах мода определяется визуально, в интервальных рядах визуально определяется модальный интервал, а мода (точечная) определяется по формуле: , где

x 0 ? нижняя граница модального интервала;

i ? шаг интервального ряда;

f Mо ? частота модального интервала;

f Mо-1 ? частота интервала, предшествующего модальному;

f Mо+1 ? частота интервала, следующего за модальным.

Пример: Найти Мо в дискретном и интервальном рядах.

2) Структурное среднее медиана (Mе ) - значение, которое делит ранжированный ряд пополам.

В нечётных, чётных и дискретных рядах медиана определяется визуально, но в дискретных рядах она определяется с помощью накопленных частот. В интервальном ряду медианный интервал находится визуально, с помощью накопленных частот, а сама медиана (точечно) по формуле: