В зависимости от формы траектории движение можно подразделять на прямолинейное и криволинейное. Чаще всего можно столкнуться с криволинейными движениями, когда траектория представлена в виде кривой. Примером такого вида движения является путь тела, брошенного под углом к горизонту, движение Земли вокруг Солнца, планет и так далее.

Рисунок 1 . Траектория и перемещение при криволинейном движении

Криволинейным движением называют движение, траектория которого представляет собой кривую линию. Если тело движется по криволинейной траектории, то вектор перемещения s → направлен по хорде, как показано на рисунке 1 , а l является длиной траектории. Направление мгновенной скорости движения тела идет по касательной в той же точке траектории, где в данный момент располагается движущийся объект, как показано на рисунке 2 .

Рисунок 2 . Мгновенная скорость при криволинейном движении

Определение 2

Криволинейное движение материальной точки называют равномерным тогда, когда модуль скорости постоянный (движение по окружности), и равноускоренным при изменяющемся направлении и модуле скорости (движение брошенного тела).

Криволинейное движение всегда ускоренное. Это объясняется тем, что даже при неизмененном модуле скорости, а измененном направлении, всегда присутствует ускорение.

Для того чтобы исследовать криволинейное движение материальной точки, применяют два метода.

Путь разбивается на отдельные участки, на каждом из которых его можно считать прямолинейным, как показано на рисунке 3 .

Рисунок 3 . Разбиение криволинейного движения на поступательные

Теперь для каждого участка можно применять закон прямолинейного движения. Такой принцип допускается.

Самым удобным методом решения считается представление пути в качестве совокупности нескольких движений по дугам окружностей, как показано на рисунке 4 . Количество разбиений будет намного меньше, чем в предыдущем методе, кроме того, движение по окружности уже является криволинейным.

Рисунок 4 . Разбиение криволинейного движения на движения по дугам окружностей

Замечание 1

Для записи криволинейного движения необходимо уметь описывать движение по окружности, произвольное движение представлять в виде совокупностей движений по дугам этих окружностей.

Исследование криволинейного движения включает в себя составление кинематического уравнения, которое описывает это движение и позволяет по имеющимся начальным условиям определить все характеристики движения.

Пример 1

Дана материальная точка, движущаяся по кривой, как показано на рисунке 4 . Центры окружностей O 1 , O 2 , O 3 располагаются на одной прямой. Необходимо найти перемещение
s → и длину пути l во время движения из точки А в В.

Решение

По условию имеем, что центры окружности принадлежат одной прямой, отсюда:

s → = R 1 + 2 R 2 + R 3 .

Так как траектория движения – это сумма полуокружностей, то:

l ~ A B = π R 1 + R 2 + R 3 .

Ответ: s → = R 1 + 2 R 2 + R 3 , l ~ A B = π R 1 + R 2 + R 3 .

Пример 2

Дана зависимость пройденного телом пути от времени, представленная уравнением s (t) = A + B t + C t 2 + D t 3 (C = 0 , 1 м / с 2 , D = 0 , 003 м / с 3) . Вычислить, через какой промежуток времени после начала движения ускорение тела будет равно 2 м / с 2

Решение

Ответ: t = 60 с.

Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter

Кинематика изучает движение без выявления причин, вызывающих это движение. Кинематика является разделом механики. Главной задачей кинематики является математическое определение положения и характеристик движения точек или тел во времени.

Основные кинематические величины:

- Перемещение() – вектор, соединяющий начальную и конечную точки.

r – радиус-вектор, определяет положение МТ в пространстве.

- Скорость – отношение пути ко времени.

- Путь – множество точек через которое прошло тело.

- Ускорение – скорость изменения скорости, то есть первая производная от скорости.

2.Ускорение при криволинейном движении: нормальное и тангенциальное ускорение. Плоское вращение. Угловая скорость, ускорение.

Криволинейное движение – это движение, траектория которого представляет собой кривую линию. Примером криволинейного движения является движение планет, конца стрелки часов по циферблату и т.д.

Криволинейное движение – это всегда ускоренное движение. То есть ускорение при криволинейном движении присутствует всегда, даже если модуль скорости не изменяется, а изменяется только направление скорости.

Изменение величины скорости за единицу времени – это тангенциальное ускорение :

Где 𝛖 τ , 𝛖 0 – величины скоростей в момент времени t 0 + Δt и t 0 соответственно. Тангенциальное ускорение в данной точке траектории по направлению совпадает с направлением скорости движения тела или противоположно ему.

Нормальное ускорение - это изменение скорости по направлению за единицу времени:

Нормальное ускорение направлено по радиусу кривизны траектории (к оси вращения). Нормальное ускорение перпендикулярно направлению скорости.

Полное ускорение при равнопеременном криволинейном движении тела равно:

-угловая скорость показывает, на какой угол поворачивается точка при равномерном движении по окружности за единицу времени. Единица измерения в СИ - рад/с.

Плоское вращение – это вращение всех векторов скоростей точек тела в одной плоскости.

3.Связь между векторами скорости и угловой скорости материальной точки. Нормальное, тангенциальное и полное ускорение.

Тангенциальное (касательное) ускорение – это составляющая вектора ускорения, направленная вдоль касательной к траектории в данной точке траектории движения. Тангенциальное ускорение характеризует изменение скорости по модулю при криволинейном движении.

Нормальное (центростремительное) ускорение – это составляющая вектора ускорения, направленная вдоль нормали к траектории движения в данной точке на траектории движения тела. То есть вектор нормального ускорения перпендикулярен линейной скорости движения (см. рис. 1.10). Нормальное ускорение характеризует изменение скорости по направлению и обозначается буквой n. Вектор нормального ускорения направлен по радиусу кривизны траектории.

Полное ускорение при криволинейном движении складывается из тангенциального и нормального ускорений по правилу сложения векторов и определяется формулой.

В зависимости от формы траектории, движение делится на прямолинейное и криволинейное. В реальном мире мы чаще всего имеем дело с криволинейным движением, когда траектория представляет собой кривую линию. Примерами такого движения является траектория тела, брошенного под углом к горизонту, движение Земли вокруг Солнца движение планет, конца стрелки часов по циферблату и т.д.

Рисунок 1. Траектория и перемещение при криволинейном движении

Определение

Криволинейное движение -- это движение, траектория которого представляет собой кривую линию (например, окружность, эллипс, гиперболу, параболу). При движении по криволинейной траектории вектор перемещения $\overrightarrow{s}$ направлен по хорде (рис. 1), а l -- длина траектории. Мгновенная скорость движения тела (то есть скорость тела в данной точке траектории) направлена по касательной в той точке траектории, где в данный момент находится движущееся тело (рис. 2).

Рисунок 2. Мгновенная скорость при криволинейном движении

Однако более удобным является следующий подход. Можно представить это движение как совокупность нескольких движений по дугам окружностей (см. рис. 4.). Таких разбиений получится меньше, чем в предыдущем случае, кроме того, движение по окружности само является криволинейным.

Рисунок 4. Разбиение криволинейного движения на движения по дугам окружностей

Вывод

Для того, чтобы описывать криволинейное движение, нужно научиться описывать движение по окружности, а потом произвольное движение представлять в виде совокупностей движений по дугам окружностей.

Задачей исследования криволинейного движения материальной точки является составление кинематического уравнения, описывающего это движение и позволяющего по заданным начальным условиям определить все характеристики этого движения.

Понятия скорости и ускорения естественным образом обобщаются на случай движения материальной точки по криволинейной траектории . Положение движущейся точки на траектории задается радиус-вектором r , проведенным в эту точку из какой-либо неподвижной точки О , например, начала координат (рис. 1.2). Пусть в момент времени t материальная точка находится в положении М с радиус-вектором r = r (t ). Спустя короткое время Dt , она переместится в положение М 1 с радиусом – вектором r 1 = r (t + Dt ). Радиус – вектор материальной точки получит приращение, определяемое геометрической разностью Dr = r 1 - r . Средней скоростью движения за время Dt называется величина

Направление средней скорости V ср совпадает с направлением вектора Dr .

Предел средней скорости при Dt ® 0, т. е. производная радиуса – вектора r по времени

(1.9)

называется истинной или мгновенной скоростью материальной точки. Вектор V направлен по касательной к траектории движущейся точки.

Ускорением а называется вектор, равный первой производной вектора скорости V или второй производной радиуса – вектора r по времени:

(1.10)

(1.11)

Отметим следующую формальную аналогию между скоростью и ускорением. Из произвольной неподвижной точки О 1 будем откладывать вектор скорости V движущейся точки во всевозможные моменты времени (рис. 1.3).

Конец вектора V называется скоростной точкой . Геометрическое место скоростных точек есть кривая, называемая годографом скорости. Когда материальная точка описывает траекторию, соответствующая ей скоростная точка движется по годографу.

Рис. 1.2 отличается от рис. 1.3 только обозначениями. Радиус – вектор r заменен на вектор скорости V , материальная точка – на скоростную точку, траектория – на годограф. Математические операции над вектором r при нахождении скорости и над вектором V при нахождении ускорения совершенно тождественны.

Скорость V направлена по касательной траектории. Поэтому ускорение a будет направлено по касательной к годографу скорости. Можно сказать, что ускорение есть скорость движения скоростной точки по годографу . Следовательно,

Рассматривая криволинейное движение тела, мы увидим, что его скорость в разные моменты различна. Даже в том случае, когда модуль скорости не меняется, все же имеет место изменение направления скорости. В общем случае меняются и модуль и направление скорости.

Таким образом, при криволинейном движении скорость непрерывно изменяется, так что это движение происходит с ускорением. Для определения этого ускорения (по модулю и направлению) требуется найти изменение скорости как вектора, т. е. найти приращение модуля скорости и изменение ее направления.

Рис. 49. Изменение скорости при криволинейном движении

Пусть, например, точка, двигаясь криволинейно (рис. 49), имела в некоторый момент скорость а через малый промежуток времени - скорость . Приращение скорости есть разность между векторами и . Так как эти векторы имеют различное направление, то нужно взять их векторную разность. Приращение скорости выразится вектором , изображаемым стороной параллелограмма с диагональю и другой стороной . Ускорением называется отношение приращения скорости к промежутку времени , за который это приращение произошло. Значит, ускорение

По направлению совпадает с вектором .

Выбирая достаточно малым, придем к понятию мгновенного ускорения (ср. § 16); при произвольном вектор будет представлять среднее ускорение за промежуток времени .

Направление ускорения при криволинейном движении не совпадает с направлением скорости, в то время как для прямолинейного движения эти направления совпадают (или противоположны). Чтобы найти направление ускорения при криволинейном движении, достаточно сопоставить направления скоростей в двух близких точках траектории. Так как скорости направлены по касательным к траектории, то по виду самой траектории можно сделать заключение, в какую сторону от траектории направлено ускорение. Действительно, так как разность скоростей в двух близких точках траектории всегда направлена в ту сторону, куда искривляется траектория, то, значит, и ускорение всегда направлено в сторону вогнутости траектории. Например, когда шарик катится по изогнутому желобу (рис. 50), его ускорение на участках и направлено так, как показывают стрелки, причем это не зависит от того, катится шарик от к или в обратном направлении.

Рис. 50. Ускорения при криволинейном движении всегда направлены в сторону вогнутости траектории

Рис. 51. К выводу формулы для центростремительного ускорения

Рассмотрим равномерное движение точки по криволинейной траектории. Мы уже знаем, что это - ускоренное движение. Найдем ускорение. Для этого достаточно рассмотреть ускорение для частного случая равномерного движения по окружности. Возьмем два близких положения и движущейся точки, разделенных малым промежутком времени (рис. 51, а). Скорости движущейся точки в и равны по модулю, но различны по направлению. Найдем разность этих скоростей, пользуясь правилом треугольника (рис. 51, б). Треугольники и подобны, как равнобедренные треугольники с равными углами при вершине. Длину стороны , изображающей приращение скорости за промежуток времени , можно положить равной , где - модуль искомого ускорения. Сходственная ей сторона есть хорда дуги ; вследствие малости дуги длина ее хорды может быть приближенно принята равной длине дуги, т.е. . Далее, ; , где - радиус траектории. Из подобия треугольников следует, что отношения сходственных сторон в них равны:

откуда находим модуль искомого ускорения:

Направление ускорения перпендикулярно к хорде . Для достаточно малых промежутков времени можно считать, что касательная к дуге практически совпадает с ее хордой. Значит, ускорение можно считать направленным перпендикулярно (нормально) к касательной к траектории, т. е. по радиусу к центру окружности. Поэтому такое ускорение называют нормальным или центростремительным ускорением.

Если траектория - не окружность, а произвольная кривая линия, то в формуле (27.1) следует взять радиус окружности, ближе всего подходящей к кривой в данной точке. Направление нормального ускорения и в этом случае будет перпендикулярно к касательной к траектории в данной точке. Если при криволинейном движении ускорение постоянно по модулю и направлению, его можно найти как отношение приращения скорости к промежутку времени, за который это приращение произошло, каков бы ни был этот промежуток времени. Значит, в этом случае ускорение можно найти по формуле

аналогичной формуле (17.1) для прямолинейного движения с постоянным ускорением. Здесь - скорость тела в начальный момент, a - скорость в момент времени .