При использовании полиномов разных степеней оценка параметров уравнения тренда производится методом наименьших квадратов (МНК) точно так же, как оценки параметров уравнения регрессии на основе пространственных данных. В качестве зависимой переменной рассматриваются уровни динамического ряда, а в качестве независимой переменной – фактор времени t, который обычно выражается рядом натуральных чисел 1, 2, ..., п.

Оценка параметров нелинейных функций проводится МНК после линеаризации, т.е. приведения их к линейному виду. Рассмотрим применение МНК для некоторых нелинейных функций, которые не излагались подробно в главе, посвященной регрессии.

Для оценки параметров показательной кривой у = ab 1 или экспоненты у = е а+ы (либо у = ае ы) путем логарифмирования функции приводятся к линейному виду lny = ln a + t ln b или экспоненты: lny = a + bt. Далее строится система нормальных уравнений

Пример 5.1

Число зарегистрированных ДТП (на 100 000 человек населения) по Новгородской области за 2000–2008 гг. характеризуется данными:

Исходя из графика была выбрана показательная кривая / Для построения системы нормальных уравнений были рассчитаны вспомогательные величины

Система нормальных уравнений составила

Решая ее, получим значения

Соответственно имеем экспоненту или показательную кривую

За период с 2000 по 2008 г. число дорожно-транспортных происшествий возрастало в среднем ежегодно на 13,5%. Экспонента достаточно хорошо описывает тенденцию исходного временного ряда: коэффициент детерминации составил 0,9202. Следовательно, данный тренд объясняет 92% колеблемости уровней ряда и лишь 8% ее связаны со случайными факторами.

Некоторую специфику имеет оценка параметров кривых с насыщением: модификационной экспоненты, логистической кривой, кривой Гомперца, гиперболы вида По этим функциям должна быть сначала определена асимптота. Если она может быть задана исследователем на основе анализа временного ряда, то другие параметры могут быть оценены по МНК. В этих случаях данные функции приводятся к линейному виду. Рассмотрим оценку параметров этих кривых на отдельных примерах, начиная с модифицированной экспоненты.

Пример 5.2

Уровень механизации труда (в %) характеризуется динамическим рядом (табл. 5.2)

Таблица 5.2. Расчет параметров модифицированной экспоненты у = с ab" t

		У = с-у

Так как уровень механизации труда не может превышать 100%, то имеется объективно заданная верхняя асимптота с = 100. Для оценки параметров а и b приведем рассматриваемую функцию к линейному виду ; обозначим (с-у) через Y и прологарифмируем:

Для нашего примера, исходя из данных итоговой строки табл. 3, имеем систему уравнений

Решив ее, получим ln а = 3,06311; ln b = -0,19744. Соответственно потенцируя, получим: т.е. уравнение .

Если перейти от Y к исходным уровням ряда, уравнение модифицированной экспоненты составит , где параметр показывает средний коэффициент снижения уровня использования ручного труда за 1998–2005 гг. Расчетные значения у, т.е. могут быть найдены путем подстановки в уравнение 0,8208" соответствующих значений t. Либо на основе уравнения In 7= 3,06311 – 0,19744 г при компьютерной обработке определяется In У и далее 100 – е 1пу. Так, при t = 8 In Y = = 1,48363 и 100 – e1"48363 = 100 – 4,40892 = 95,59108 = 95,6 (см. последнюю графу таблицы). Ввиду некоторой смещенности оценок (так как МНК применяется к логарифмам) Ху, Ф Ху, хотя в примере эти величины достаточно близки друг другу.

Если асимптота с не задана, то оценка параметров модифицированной экспоненты усложняется. В этих случаях могут использоваться разные методы оценивания: метод трех сумм, метод трех точек , с помощью регрессии , метод Брианта . Рассмотрим применение метода регрессии для оценки параметров модифицированной экспоненты вида у = с – ab c.

Пример 5.3

В таблице представлены данные о расходах предприятия на рекламу за 10 мес. года.

Таблица 5.3. Данные о расходах предприятия на рекламу за 10 мес. года (в тыс. руб.)

Найдем по нашему ряду цепные абсолютные приростыг и представим их через параметры нашей функции, T.e.z = c-ab" – с + ab"~ l = ab" 1 (1 – b). Известно, что для модифицированной экспоненты логарифм абсолютных приростов линейно зависит от фактора времени t. Следовательно, можно записать, что lnz = Ιηα + (f – 1) lnb + ln(l – b). Обозначим Ιηα + ln(l – b) через d. Тогда lnz = d + (t- 1) lnb, т.е. линейное в логарифмах уравнение. Применяя МНК, получим оценки параметров d, lnb, а соответственно и параметра Ь. В рассматриваемом примере на основании граф табл. 5.3 lnz и (t – 1) было найдено уравнение регрессии: lnz = 4,519641 – 0,20882 (t – 1). Исходя из него получаем lnb = -0,20882; b = 0,811538. 4,519641 = In a + In (1 – b) = In [α (1 – b)]. Тогда α (1 – b) = e4,519641, откуда параметра =91,80264/(1-0,811538) = 487,1145.

Далее можно найти оценку параметра с как среднее значение из величин с = у + ab", найденных для каждого месяца (см. последнюю графу табл. 5.3). Предельная величина расходов на рекламу составит 516,4 тыс. руб. Искомое уравнение тренда примет вид

Рассмотренный метод применим, если абсолютные приросты – величины положительные. Если же некоторые приросты окажутся меньше нуля, то нужно проводить сглаживание уровней временного ряда методом скользящей средней.

Для логистической кривой Перла – Рида аналогично параметры а и b могут быть найдены МНК, если асимптота с задана. Тогда данная функция преобразовывается в линейную из логарифмов обозначим через Y и прологарифмируем, т.е. ). Далее параметры а и b определяются МНК, как и в примере по табл. 5.3.

Для логистической кривой вида параметры а и b могут быть оценены МНК, если асимптота с задана, так как в этом случае функция линеаризуема: ; обозначим через Y величину и прологарифмируем: Далее, применяя МНК, оцениваем параметры а и b.

При практических расчетах значение верхней асимптоты логистической кривой может быть определено исходя из существа развития явления, различного рода ограничений для его роста (нормативы потребления, законодательные акты), а также графически.

Если верхняя асимптота не задана, то для оценки параметров могут использоваться разные методы: Фишера, Юла, Родса, Нейра и др. Сравнительная оценка и обзор этих методов изложены в работе E. М. Четыркина .

Покажем на примере расчет параметров логистической кривой по методу Фишера.

Пример 5.4

Производство продукции характеризуется данными, представленными в табл. 5.4.

Таблица 5.4. Расчет параметров логистической кривой

Метод Фишера основан на определении производной для логистической кривой. Дифференцируя данную функцию по t, получим уравнение

Обозначим темп прироста логистической кривой через . Тогда , т.е. для z, имеем линейную функцию с параметрами а и . Чтобы найти решение, необходимо оценить z,. Предполагая, что интервалы между уровнями в ряду динамики равны, Фишер предложил приближенно оценивать в виде уравнения , где п - 1. Для нашего примера значения z, представлены в графе 3 табл. 5.4. Далее применяем МНК к уравнению: , т.е. строим регрессию z(оту(, беря данные от t = 2 до f = 8. Уравнение регрессии запишется в виде Исходя из него находим параметры а и с для логистической кривой. Параметр а = 0,806. Данное уравнение статистически значимо: F-критерий равен 689,6; R 2 = 0,996. Соответственно для него значимы и параметры: f-критерий для параметра а равен 47,2 и для параметра – равен -26,2. Так как , то и т.е. верхняя асимптота производства продукции составляет 403 ед.

После того, как найдены параметры а и с, находим параметр b . Для этого функциюпредставим как Обозначим через Y выражение в левой части равенства, т.е..-Тогда имеем уравнение Прологарифмируем его:. В этом уравнении свободным членом является In Ь. Его можно определить из первого уравнения системы нормальных уравнений, а именно Для нашего примера имеем уравнение . Соответственно Таким образом, логистическая кривая запишется в виде

Теоретические значения данной функции представлены в графе 6 табл. 5.4 (найдены путем подстановки соответствующих значений t). Они достаточно близко подходят к исходным данным: коэффициент корреляции между ними равен 0,999; ввиду того, что в расчетах использовались логарифмы. Если предположить, что предельное значение объема производства продукции равно 400 ед., т.е. применить МНК к уравнению , то получим и b = =67,5; параметр а при компьютерной обработке определяется как -а = -0,8. Соответственно уравнение тренда запишется в виде . Результаты двух уравнений достаточно близки.

Параметры кривой Гомперца также могут быть оценены МНК, если асимптота с задана, так как в этом случае данная функция сводима к линейному виду Прологарифмировав ее, получим уравнение .

Вторично прологарифмировав, получим уравнение , Обозначив через у*, lgb через В и Ig(lga) через А, запишем кривую Гомперца в линейном виде , для оценки параметров которой применим МНК.

При практическом применении кривой Гомперца могут возникнуть некоторые сложности по динамическому ряду с повышающейся тенденцией. В этом случае задается верхняя асимптота с и логарифмы При повторном логарифмировании в расчетах используются лишь положительные значения Продемонстрируем возможность оценки параметров кривой Гомперца с верхней асимптотой на примере динамики по предприятию товарных запасов на начало каждого месяца (тыс. долл.).

Таблица 5.5. Расчет параметров кривой Гомперца

Лекция 4. ОСНОВНЫЕ ТИПЫ ТЕНДЕНЦИЙ И УРАВНЕНИЙ ТРЕНДА

В главе 2 было рассмотрено понятие о тенденции временного ряда, т.е. тенденции динамики развития изучаемого показате-ля. Задача данной главы состоит в том, чтобы рассмотреть ос-новные типы таких тенденций, их свойства, отражаемые с большей или меньшей степенью полноты уравнением линии тренда. Укажем при этом, что в отличие от простых систем ме-ханики тенденции изменения показателей сложных социальных, экономических, биологических и технических систем только с некоторым приближением отражаются тем или иным уравне-нием, линией тренда.

В данной главе рассматриваются далеко не все известные в математике линии и их уравнения, а лишь набор их сравнитель-но простых форм, который мы считаем достаточным для ото-бражения и анализа большинства встречающихся на практике тенденций временных рядов. При этом желательно всегда вы-бирать из нескольких типов линий, достаточно близко выра-жающих тенденцию, более простую линию. Этот «принцип простоты» обоснован тем, что чем сложнее уравнение линии тренда, чем большее число параметров оно содержит, тем при равной степени приближения труднее дать надежную оценку этих параметров по ограниченному числу уровней ряда и тем больше ошибка оценки этих параметров, ошибки прогнозиру-емых уровней.

4.1. Прямолинейный тренд и его свойства

Самым простым типом линии тренда является прямая ли-ния, описываемая линейным (т.е. первой степени) уравнением тренда:

Где - выровненные, т.е. лишенные колебаний, уровни тренда для лет с номером i;

а - свободный член уравнения, численно равный среднему выровненному уровню для момента или периода времени, принятого за начало отсчета, т.е. для

t = 0;

b - средняя величина изменения уровней ряда за единицу из-менения времени;

ti - номера моментов или периодов времени, к которым от-носятся уровни временного ряда (год, квартал, месяц, дата).

Среднее изменение уровней ряда за единицу времени - глав-ный параметр и константа прямолинейного тренда. Следова-тельно, этот тип тренда подходит для отображения тенденции примерно равномерных изменений уровней: равных в среднем абсолютных приростов или абсолютных сокращений уровней за равные промежутки времени. Практика показывает, что та-кой характер динамики встречается достаточно часто. Причи-на близких к равномерному абсолютных изменений уровней ряда состоит в следующем: многие явления, как, например, урожай-ность сельскохозяйственных культур, численность населения региона, города, сумма дохода населения, среднее потребление какого-либо продовольственного товара и др., зависят от боль-шого числа различных факторов. Одни из них влияют в сторо-ну ускоренного роста изучаемого явления, другие - в сторону замедленного роста, третьи - в направлении сокращения уров-ней и т.д. Влияние разнонаправленных и разноускоренных (за-медленных) сил факторов взаимно усредняется, частично взаимно погашается, а равнодействующая их влияний приобре-тает характер, близкий к равномерной тенденции. Итак, равно-мерная тенденция динамики (или застоя) - это результат сложения влияния большого количества факторов на изменение изучаемого показателя.

Графическое изображение прямолинейного тренда - прямая линия в системе прямоугольных координат с линейным (ариф-метическим) масштабом на обеих осях. Пример линейного тренда дан на рис. 4.1.

Абсолютные изменения уровней в разные годы не были точно одинаковыми, но общая тенденция сокращения численности занятых в народном хозяйстве очень хорошо отражает-ся прямолинейным трендом. Его параметры вычислены в гл. 5 (табл. 5.3).

Основные свойства тренда в форме прямой линии таковы:

Равные изменения за равные промежутки времени;

Если средний абсолютный прирост - положительная вели-чина, то относительные приросты или темпы прироста посте-пенно уменьшаются;

Если среднее абсолютное изменение - отрицательная вели-чина, то относительные изменения или темпы сокращения по-степенно увеличиваются по абсолютной величине снижения к предыдущему уровню;

Если тенденция к сокращению уровней, а изучаемая вели-чина является по определению положительной, то среднее изме-нение b не может быть больше среднего уровня а;

При линейном тренде ускорение, т.е. разность абсолютных изменений за последовательные периоды, равно нулю.

Свойства линейного тренда иллюстрирует табл. 4.1. Урав-нение тренда: = 100 +20 *ti.

Показатели динамики при наличии тенденции сокращения уровней приведены в табл. 4.2.

Таблица 4.1

Показатели динамики при линейном тренде к увеличению уровней = 100 +20 *ti.

Номер периода ti	Уровень		Темпы (цеп-ные), %	Ускоре-ние
1	120	+20	120,0	-
2	140	+20	116,7	0
3	160	+20	114,3	0
4	180	+20	112,5	0
5	200	+20	111,1	0
6	220	+20	110,0	0

Таблица 4.2

Показатели динамики при линейном тренде сокращения уровней: = 200 -20 *ti.

Номер периода ti	Уровень	Абсолютное изме-нение к предыду-щему периоду	Темп к предыдущему периоду, %	Ускоре-ние
1	180	-20	90,0	-
2	160	-20	88,9	0
3	140	-20	87,5	0
4	120	-20	85,7	0
5	100	-20	83,3	0
6	80	-20	80,0	0

^ 4.2. Параболический тренд и его свойства

Под названием параболического будем иметь в виду тренд, выраженный параболой II порядка с уравнением

=a+b*t+c*t 2 .

Параболы III порядка и более высоких порядков редко приме-нимы для выражения тенденции динамики и слишком сложны для получения надежных оценок параметров при ограничен-ной длине временного ряда. Прямую линию, с точки зрения ма-тематики, можно также считать одним из видов парабол - параболой I порядка, которая уже рассмотрена ранее.

Значения (смысл, сущность) параметров параболы II поряд-ка таковы: свободный член а - это средний (выровненный) уро-вень тренда на момент или период, принятый за начало отсчета времени, т.е. t = 0; b - это средний за весь период среднегодовой прирост, который уже не является константой, а изменяется рав-номерно со средним ускорением, равным 2 с, которое и служит константой, главным параметром параболы II порядка.

Следовательно, тренд в форме параболы II порядка при-меняется для отображения таких тенденций динамики, кото-рым свойственно примерно постоянное ускорение абсолютных изменений уровней. Процессы такого рода встречаются на практике гораздо реже, чем процессы с равномерным измене-нием, но, с другой стороны, любое отклонение процесса от строго равномерного прироста (или сокращения) уровней можно интерпретировать как наличие ускорения. Более того, существует строгое математическое правило: чем выше поря-док параболы, тем ближе линия тренда к уровням исходного временного ряда. Если это правило довести до крайнего пре-дела, то любой ряд из п уровней может быть точно отображен параболой (п -1)-го порядка! (Через любые две точки прохо-дит одна прямая, через три точки - одна парабола II порядка и т.д.) Такое «приближение» линии тренда к эмпирическому ряду, содержащему как тенденцию, так и колебания, нельзя считать достижением научного анализа. Напротив, применяя параболу более высокого порядка там, где сущность процес-са этого не требует, а только ради уменьшения остаточной суммы отклонений (или их квадратов) отдельных уровней от тренда, исследователь уходит от цели, смешивая тренд с коле-баниями.

ПараболаII порядка, как уравнение тренда, применяется к различным процессам, которые на некотором, как правило не-продолжительном, этапе развития имеют примерно постоян-ное ускорение абсолютного прироста уровней. Такими бывают рост населения отдельных городов или регионов, ускоренное увеличение объема продукции в фазе циклического подъема, как, например, динамика экспорта Японии в 1988-1995 гг. на рис. 4.2.

Рис. 4.2. Динамика экспорта Японии

Расчет уравнения этой параболы приведен в гл. 5. Основные свойства тренда в форме параболы II порядка та-ковы:

1) неравные, но равномерно возрастающие или равномерно убывающие абсолютные изменения за равные промежутки вре-мени;

2) парабола, рассматриваемая относительно ее математи-ческой формы, имеет две ветви: восходящую с увеличением уровней признака и нисходящую с их уменьшением. Но отно-сительно статистики по содержанию изучаемого процесса из-менений трендом, выражающим определенную тенденцию развития, чаще всего можно считать только одну из ветвей:

Либо восходящую, либо нисходящую. В особых, более конк-ретных, ситуациях мы не отрицаем возможности объединения обеих ветвей в единый тренд;

3) так как свободный член уравнения а как значение показа-теля в начальный момент (период) отсчета времени, как правило, величина положительная, то характер тренда определяется знаками параметров b и с:

А) при b >0 и с>0 имеем восходящую ветвь, т.е. тенденцию к ускоренному росту уровней;

Б) при b <0 и с<0 имеем нисходящую ветвь - тенденцию к ускоренному сокращению уровней;

В) при b > 0 и с<0 имеем либо восходящую ветвь с замедляю-щимся ростом уровней, либо обе ветви параболы, восходящую и нисходящую, если их по существу можно считать единым про-цессом;

Г) при b <0 и с>0 имеем либо нисходящую ветвь с замедляю-щимся сокращением уровней, либо обе ветви - нисходящую и восходящую, если их можно считать единой тенденцией;

4) при параболической форме тренда, в зависимости от со-отношений между его параметрами, цепные темпы изменений могут либо уменьшаться, либо некоторое время возрастать, но при достаточно длительном периоде рано или поздно темпы роста обязательно начинают уменьшаться, а темпы сокращения уровней при b <0 и с<0 обязательно начинают возрастать (по абсолютной величине относительного изменения).

Ввиду ограниченного объема учебника рассмотрим не все четыре случая параболических трендов, а лишь два первых (табл. 4.3 и 4.4).

Таблица 4.3

Показатели динамики при параболическом тренде,

Номер периода ti	Уровень	Абсолютное изменение		Ускоре-ние
1	122	+22	122,0	-
2	148	+26	121,3	+4
3	178	+30	120,3	+4
4	212	+34	119,1	+4
5	250	+38	117,9	+4
6	292	+42	116,8	+4

^ Таблица 4.4

Показатели динамики при параболическомтренде,

Номер перио-да	Уро-вень	Абсо-лютные измене-ния	Цепные темпы, % к предыдущему периоду	Уско-рение	Цепное относи-тельное измене-ние, % к преды-дущему периоду
1	178	-22	89,0	-	-11,0
2	152	-26	85,4	-4	-14,6
3	122	-30	80,3	-4	-19,7
4	88	-34	72,1	-4	-27,9
5	50	-38	56,8	-4	-43,2
6	8	-42	16,0	-4	-84,0

В тех случаях, когда по существу изучаемого процесса до-пустимо считать единым трендом обе ветви параболы, пред-ставляет большой интерес решение задачи о нахождении того периода или момента времени, когда уровень тренда достигает максимума (когда b >0, с<0) или минимума (если b <0, с>0). Эк-стремальная точка параболы = а + bt + ct 2 достигается при ну-левом значении первой производной:

^ 4.3. Экспоненциальный тренд и его свойства

Экспоненциальным трендом называют тренд, выраженный уравнением: . Свобод-ный член экспоненты а равен выровненному уровню, т.е. уров-ню тренда в момент или период, принятый за начало отсчета времени, т.е. при t = 0. Основной параметр экспоненциального тренда k является постоянным темпом изменения уровней (цен-ным). Если k > 1, имеем тренд с возрастающими уровнями, при-чем это возрастание не просто ускоренное, а с возрастающим ускорением и возрастающими производными всех более высо-ких порядков. Если k < 1, то имеем тренд, выражающий тенден-цию постоянного, но замедляющегося сокращения уровней, причем замедление непрерывно усиливается. Экстремума экс-понента не имеет и при
стремится либо к
при k > 1, либо к 0 при k < 1.

Экспоненциальный тренд характерен для процессов, разви-вающихся в среде, не создающей никаких ограничений для рос-та уровня. Из этого следует, что на практике он может развиваться только на ограниченном промежутке времени, так как любая среда рано или поздно создает ограничения, любые ресурсы со временем исчерпаемы. Однако практика показала что, например, численность населения Земли на протяжении 1950-1985 гг. возрастала примерно по экспоненте со среднего-довым темпом роста k = 1,018 и за это время возросла вдвое - с 2,5 до 5 млрд. чел. (рис. 4.3). В настоящее время темп роста насе-ления постепенно уменьшается.

Экспоненциальный рост объема реализации и производства происходит при возникновении новых видов продукции и их освоении промышленностью: при появлении цветных телеви-зоров, видеомагнитофонов, пейджеров и т.п., но когда произ-водство начинает наполнять рынок, приближаться к спросу, экспоненциальный рост прекращается.

Рис. 4.3. Рост народонаселения Земли

Расчет экспоненциального тренда дан в гл. 5. Основные свойства экспоненциального тренда:

1. Абсолютные изменения уровней тренда пропорциональ-ны самим уровням.

2. Экспонента экстремумов не имеет: при k > 1 тренд стремит-ся к +, при k < 1 тренд стремится к нулю.

3. Уровни тренда представляют собой геометрическую про-грессию: уровень периода с номером t = т есть a * k m .

4. При k > 1 тренд отражает ускоряющийся неравномерно рост уровней, при k < 1 тренд отражает замедляющееся неравномерно уменьшение уровней. Поведение основных показателей дина-мики в этих случаях рассмотрено в табл. 4.5 и 4.6.

В табл. 4.5 и 4.6 в последней графе приведены редко приме-няемые показатели динамики III порядка: ускорение (или при-рост) ускорения и замедление ускорения. Эти абсолютные показатели даны для наглядного пояснения главного отличия экспоненциального тренда от парабол любого порядка: экспо-нента не имеет постоянных производных любого порядка по времени. Постоянен только цепной темп изменения.

Номер периода	Уровень	Абсолютные изменения (цепные)	Цепные темпы, % к предыдущему периоду	Ускорение	Прирост ускорения к предыдущему периоду
1	120,00	+20,00	120	-	-
2	144,00	+24,00	120	+4,00	-
3	172,80	+28,80	120	+4,80	+0,80
4	207,36	+34,56	120	+4,76	+0,96
5	248,83	+41,47	120	+6,81	+1,15
6	298,60	+49,77	120	+8,30	+1,39

Номер периода	Уровень	Абсолютные изменения (цепные)	Цепные темпы, % к предыдущему периоду	Ускорение	Замедление ускорения
1	160,00	40,00	80	-	-
2	128,0	-32,00	80	+8,00	-
3	102,40	-25,60	80	+6,40	-1,60
4	81,92	-20,48	80	+5,12	-1,28
5	65,54	-16,38	80	+4,10	-1,02
6	52,43	-13,11	80	+3,27	-0,83

Читатель может заинтересоваться и таким вопросом: как на-звать тенденцию динамики, при которой и темп изменения был бы непостоянен, а имел постоянное абсолютное или относи-тельное изменение, например, уравнение типа или и т.д. Подобные «гиперэкспоненты» не применяют-ся статистикой, ибо любой, сколь угодно быстрый, сколь угодно ускоряющийся рост может быть отображен обычной экспонентой - стоит лишь уменьшить период, за который происходит возрастание (или сокращение) уровней в k раз. По своему суще-ству экспоненциальное развитие процесса и есть предельно воз-можное, предельно благоприятное по условиям развития, так как оно осуществляется в среде, не ограничивающей развитие данного процесса. Но следует помнить, что это происходит толь-ко до определенного времени, так как каждая среда, каждый ре-сурс в природе ограничен. Единственный спорный в науке процесс, по которому до сих пор нет доказательства ограничен-ности его во времени, - это экспоненциальное замедляющееся расширение Вселенной. Ограничено ли оно и сменится ли со временем сжатием или будет продолжаться бесконечно, зави-сит от значения средней плотности вещества и излучения во Вселенной, которую пока науке установить не удалось, ибо не все формы существования вещества и полей науке извест-ны. Зато интересно знать, что самый фундаментальный про-цесс, охватывающий всю известную Вселенную, уже, по крайней мере, 12-15 млрд. лет развивается по экспоненте.

^ 4.4. Гиперболический тренд и его свойства

Из различных форм гипербол рассмотрим только наиболее простую:

Если основной параметр гиперболы b >0, то этот тренд вы-ражает тенденцию замедляющегося снижения уровней и при .. Таким образом, свободный член гиперболы - это предел, к которому стремится уровень тренда.

Такая тенденция наблюдается, например (рис. 4.4), при изу-чении процесса снижения затрат любого ресурса (труда, мате-риалов, энергии) на единицу данного вида продукции или ее себестоимости в целом. Затраты ресурса не могут стремиться к нулю, значит, экспонента не соответствует сущности процесса; нужно применить гиперболическую формулу тренда.

Если параметр b <0, то с возрастанием t , т.е. с течением вре-мени, уровни тренда возрастают и стремятся к величине а при .

Такой характер динамики присущ, например, показателям КПД двигателей или иных преобразователей энергии (трансфор-матор тока, фотоэлемент и т.п.). По мере развития научно-тех-нического прогресса эти КПД постепенно повышаются, но никогда не могут превысить определенного предела для каждо-го типа двигателя и не могут превысить 100% в принципе для любого преобразователя энергии. При расчете гиперболического тренда нельзя нумеровать года от середины ряда, так как значения 1/ti должны быть всегда положительными.

Основные свойства гиперболического тренда:

1. Абсолютный прирост или сокращение уровней, ускоре-ние абсолютных изменений, темп изменения - все эти показате-ли не являются постоянными. При b >0 уровни замедленно уменьшаются, отрицательные абсолютные изменения, а также положительные ускорения тоже уменьшаются, цепные темпы из-менения растут и стремятся к 100%.

Рис. 4.4. Динамика расхода условного топлива на производство электроэнергии (г на 1 кВт-ч) на электростанциях региона

2. При b <0 уровни замедленно возрастают, положительные абсолютные изменения, а также отрицательные ускорения и цеп-ные темпы роста замедленно уменьшаются, стремясь к 100%.

Как видим, гиперболический тренд описывает в любом слу-чае тенденцию такого процесса, показатели которого со време-нем затухают, т.е. происходит переход от движения к застою. Иллюстрацией этих свойств может служить табл. 4.7.

Таблица 4.7

Показатели динамики при гиперболическом тренде:

Номер периода	Уровень	Абсолютные изменения (цепные)	Цепные темпы, % к предыдущему периоду	Ускорение
1	200,0	-	-	-
2	150,0	-50,0	75,0	-
3	133,0	-16,7	88,9	+33,3
4	125,0	-8,3	93,8	+8,4
5	120,0	-5,0	96,0	+3,3
6	116,7	-3,3	97,2	+1,7

^ 4.5. Логарифмический тренд и его свойства

Если изучаемый процесс приводит к замедлению роста ка-кого-то показателя, но при этом рост не прекращается, не стремится к какому-либо ограниченному пределу, то гипербо-лическая форма тренда уже не подходит. Тем более не подходит парабола с отрицательным ускорением, по которой замедляю-щийся рост перейдет со временем в снижение уровней. В указан-ном случае тенденция изменения лучше всего отображается логарифмической формой тренда: = a + b ln .

Логарифмы возрастают значительно медленнее, чем сами числа (номера периодов ), но рост логарифмов неограничен. Подбирая начало отсчета периодов (моментов) времени, мож-но найти такую скорость снижения абсолютных изменений, ко-торая наилучшим образом отвечает фактическому временному ряду.

Примером тенденций, соответствующих логарифмическому тренду, может служить динамика рекордных достижений в спорте: известно, что увеличение на 1 см рекорда прыжка в вы-соту или снижение на 0,1 с времени бега на 200 или 400 м требует все больших и больших затрат времени, каждый рекорд дается все большим и большим трудом. В то же время нет и «вечных» рекордов, все спортивные достижения улучшаются, но медлен-нее и медленнее, т.е. по логарифмическому тренду. Нередко та-кой же характер динамики присущ на отдельных этапах развития динамике урожайности или валового сбора какой-то культуры в данном регионе, пока новое агротехническое достижение не при-даст снова тенденции ускорения, что иллюстрирует рис. 4.5.

Конечно, характер тенденции маскируется колебаниями, но видно, что рост валового сбора замедляется. Это показывают и средние уровни сбора чая:

За 1978-1983 гг. средний сбор равен 333 тыс. т;

За 1984-1989 гг. средний сбор равен 483 тыс. т, рост на 150 тыс.т;

За 1990-1994 гг. средний сбор равен 566 тыс. т, рост на 83 тыс.т.

На рис. 4.5 для убедительности нанесен и логарифмический тренд, расчет

Рис. 4.5. Динамика валового сбора чая в Китае

Которого дан в гл. 5. Заметны также 5-6-летние циклические колебания валового сбора чая.

Основные свойства логарифмического тренда:

1. Если b >0, то уровни возрастают, но с замедлением, а если b <0, то уровни тренда уменьшаются, тоже с замедлением.

2. Абсолютные изменения уровней по модулю всегда умень-шаются со временем.

3. Ускорения абсолютных изменений имеют знак, противо-положный самим абсолютным изменениям, а по модулю посте-пенно уменьшаются.

4. Темпы изменения (цепные) постепенно приближаются к 100% при .

Можно сделать общий вывод о том, что логарифмический тренд отражает, так же как и гиперболический тренд, посте-пенно затухающий процесс изменений. Различие состоит в том, что затухание по гиперболе происходит быстро при приближе-нии к конечному пределу, а при логарифмическом тренде зату-хающий процесс продолжается без ограничения гораздо медленнее.

^ 4.6. Логистический тренд и его свойства

Логистическая форма тренда подходит для описания такого процесса, при котором изучаемый показатель проходит полный цикл развития, начиная, как правило, от нулевого уровня, сна-чала медленно, но с ускорением возрастая, затем ускорение ста-новится нулевым в середине цикла, т.е. рост происходит по линейному тренду, затем, в завершающей части цикла, рост за-медляется по гиперболе по мере приближения к предельному значению показателя.

Примером такого цикла динамики может служить измене-ние доли грамотного населения в стране, например в России, с 1800 г. до наших дней, или изменение доли семей, имеющих те-левизоры, примерно с 1945 до 2000 г. в России, доли жилищ в городах, имеющих горячее водоснабжение или центральное ото-пление (процесс, еще не законченный). В некоторых зарубеж-ных программах для компьютеров логистическая кривая называется S-образной кривой.

Можно, конечно, логистическую тенденцию считать объе-динением трех разных по типу тенденций: параболической с ускоряющимся ростом на первом этапе, линейной - на втором и гиперболической с замедляющимся ростом - на третьем этапе. Но есть доводы и в пользу рассмотрения всего цикла развития как особого единого типа тенденции со сложными, переменными свойствами, но постоянным направлением из-менений в сторону увеличения уровней в рассмотренных нами примерах или уменьшения уровней, если взять противополож-ный процесс - сокращение доли неграмотных среди населе-ния, доли жилищ, не оборудованных газоснабжением или центральным отоплением, и т.д.

Рассмотрение таких временных рядов, как проявление еди-ной логистической тенденции, позволяет уже на первом этапе рассчитать всю траекторию развития, определить сроки пере-хода от ускоренного роста к замедленному, что чрезвычайно важно при планировании производства или реализации нового вида товара, спрос на который будет проходить все этапы логи-стической тенденции вплоть до насыщения рынка. Так, напри-мер, обеспеченность населения в России автомобилями в конце 1980-х годов находилась на начальном этапе логистической кри-вой, и это означало, что предстоит еще ряд лет или даже десяти-летий ускоренного роста спроса. В то же время обеспеченность фотоаппаратами уже достигла этапа замедления роста, и это означало, что расширять производство или импорт прежних типов фотоаппаратов не следует. Расширение их рынка возмож-но было только для принципиально новых типов фотоаппара-тов, насыщенность которыми еще находится в самом начале первого этапа.

В вышеописанном диапазоне изменения уровней, т.е. от нуля до единицы, уравнение логистического тренда имеет вид:

должно быть примерно равно -10. Чем больше , тем быст-рее будут снижаться уровни, например, при = -10; = 1, уже при = 20 уровни снизятся почти до нуля.

Если же диапазон изменения уровней ограничен не нулем и единицей, а любыми значениями, определяемыми исходя из су-щества задачи, обозначаемыми то формула логис-тического тренда принимает вид:

Как видно из табл. 4.8, абсолютные изменения нарастают до середины периода, затем уменьшаются. Все они положитель-ны. Ускорения сначала возрастают, а после середины периода снижаются, становятся отрицательными, но уменьшаются по мо-дулю. Сумма положительных и отрицательных ускорений при-ближенно равна нулю (если ряд продлить от - до +, то сумма их точно равна нулю). Темпы роста возрастают до конца пер-вой половины ряда, затем снижаются. Если ряд достаточно длин-ный, то темпы начинаются со 100 % и завершаются на 100%.

Таблица 4.8

Показатели динамики при логистическом тренде:

Номер периода	Уровень	Абсолютные изме-нения к предыдуще-му периоду	Ускоре-ние	Темп роста к предыдущему периоду, %
0	51,0	-	-	-
1	54,4	+3,4	-	106,7
2	67,9	+13,5	+10,1	124,8
3	106,6	+38,7	+25,2	157,0
4	159,7	+53,1	+14,4	149,8
5	188,6	+28,8	-24,2	118,1
6	197,3	+8,7	-20,2	104,6
7	199,4	+2,1	-6,6	101,1

При логистическом тренде со снижающимися уровнями по-казатели динамики изменяются в следующем порядке: отрица-тельные абсолютные изменения по модулю возрастают до середины ряда и снижаются к концу, стремясь к нулю при . Ускорения в первой половине периода отрицательные и по мо-дулю возрастающие; во второй половине периода ускорения положительные и уменьшающиеся в пределе до нуля. Темпы изменений все меньше 100%, в конце первой половины периода наименьшие, во второй половине возрастающие с замедлением до 100% в пределе. Графическое изображение логистического тренда приведено на рис. 5.2.

Инструкция

Линейный тренд выражает собой функцию: y=ax+b, гдеa – значение, на которое будет увеличено следующее значение во временном ряду;x – номер периода в определенном временном ряду (к примеру, номер месяца, дня или квартала);y – последовательность анализируемых значений (это могут быть продажи за месяц);b – точка пересечения, которая на графике будет с осью y (минимальный уровень).При этом, если значение a является больше нуля, то роста будет положительной. В свою очередь, если а меньше нуля, то динамика линейного тренда будет отрицательной.

Используйте линейный тренд для прогнозирования отдельных временных рядов, у которых данные увеличиваются или снижаются с постоянной скоростью. При построении линейного тренда можете использовать программу Excel. Например, если вам необходим линейный тренд для построения прогноза продаж по месяцам, тогда сделайте 2 переменных во временном ряду (время - месяцы и объем продаж).

Уравнение линейного тренда у вас будет же: y=ax+b, где y - объемы продаж, x - это месяцы.Постройте график в Excel. По оси x у вас получится ваш временной промежуток (1, 2, 3 - по месяцам: январь, февраль и т.д.), по оси y изменения объема продаж. После этого добавьте на графике линию тренда .

Продлите линию тренда для прогнозирования и определите ее значения. При этом вам должны быть известны только значения времени по оси X, а прогнозные значения вам необходимо рассчитать с помощью ранее указанной формулы.

Сопоставьте полученные прогнозные значения линейного тренда с фактическими данными. Таким образом вы сможете определить рост объема продаж в процентном соотношении.

Можете скорректировать прогнозируемые значения линейного тренда в том случае, если вас не устраивает рост, т.е. вы понимаете, что есть компоненты, которые на него могут повлиять. Если вы измените значение «a» в линейном тренде y=ax+b, тогда вы сможете увеличить наклон тренда . Так вы можете изменять наклон тренда , уровень тренда , или одновременно эти два показателя.

Источники:

• уравнение линейного тренда

Числовая последовательность представлена функцией вида an=f(n), которая задана на множестве натуральных чисел. В большинстве случаев в числовых последовательностях f(n) заменяется на an. Числа a1, a2, …, an – члены последовательности, причем a1 – первый, a2 – второй, аk – k-ый. На основании данных функции числовой последовательности строится график.

Вам понадобится

• - справочник по математике;
• - линейка;
• - тетрадь;
• - простой карандаш;
• - исходные данные.

Инструкция

Прежде чем приступать к построению , определите, функцией является числовая последовательность. Различают невозрастающую или неубывающую последовательность (an), для которой при любом значении n справедливым является неравенство вида: an≥an+1 или an≤an+1. При условии, что an>an+1 или an

При построении числовой последовательности обратите внимание на то, что последовательность (an) может быть ограничена снизу или сверху: для этого должно существовать

Когда тип тренда установлен, необходимо вычислить оптимальные значения параметров тренда исходя из фактических уровней. Для этого обычно используют метод наименьших квадратов (МНК). Его значение уже рассмотрено в предыдущих главах учебного пособия, в данном случае оптимизация состоит в минимизации суммы квадратов отклонений фактических уровней ряда от выравненных уровней (от тренда). Для каждого типа тренда МНК дает систему нормальных уравнений, решая которую вычисляют параметры тренда. Рассмотрим лишь три такие системы: для прямой, для параболы 2-го порядка и для экспоненты. Приемы определения параметров других типов тренда рассматриваются в специальной монографической литературе.

Для линейного тренда нормальные уравнения МНК имеют вид:

Нормальные уравнения МНК для экспоненты имеют следующий вид:

По данным табл. 9.1 рассчитаем все три перечисленных тренда для динамического ряда урожайности картофеля с целью их сравнения (см. табл. 9.5).

Таблица 9.5

Расчет параметров трендов

Согласно формуле (9.29) параметры линейного тренда равны а = 1894/11 = 172,2 ц/га; b = 486/110 = 4,418 ц/га. Уравнение линейного тренда имеет вид:

у ̂ = 172,2 + 4,418t , где t = 0 в 1987 г Это означает,что средний фактический и выравненный уровень, отнесенный к середине периода, т.е. к 1991 г., равен 172 ц с 1 ra a среднегодовой прирост составляет 4,418 ц/га в год

Параметры параболического тренда согласно (9.23) равны- b = 4,418; a = 177,75; с = -0,5571. Уравнение параболического тренда имеет вид у̃ = 177,75 + 4,418t - 0.5571t 2 ; t = 0 в 1991 г. Это означает, что абсолютный прирост урожайности замедляется в среднем на 2·0,56 ц/га в год за год. Сам же абсолютный прирост уже не является константой параболического тренда, а является средней величиной за период. В год, принятый за начало отсчета т.е. 1991 г., тренд проходит через точку с ординатой 77,75 ц/га; Свободный член параболического тренда не является средним уровнем за период. Параметры экспоненциального тренда вычисляются по формулам(9.32) и (9.33) lnа = 56,5658/11 = 5,1423; потенцируя, получаем а = 171,1; lnk = 2,853:110 = 0,025936; потенцируя, получаем k = 1,02628.

Уравнение экспоненциального тренда имеет вид: y ̅ = 171,1·1,02628 t .

Это означает, что среднегодовой темп поста урожайности за период составил 102,63%. В точке принятК начало отсчета, тренд проходит точку с ординатой 171,1 ц/га.

Рассчитанные по уравнениям трендов уровни записаны в трех последних графах табл. 9.5. Как видно по этим данным. расчетные значения уровней по всем трем видам трендов различаются ненамного, так как и ускорение параболы, и темп роста экспоненты невелики. Существенное отличие имеет парабола - рост уровней с 1995 г. прекращается, в то время как при линейном тренде уровни растут и далее, а при экспоненте их ост ускоряется. Поэтому для прогнозов на будущее эти три тренда неравноправны: при экстраполяции параболы на будущие годы уровни резко разойдутся с прямой и экспонентой, что видно из табл. 9.6. В этой таблице представлена распечатка решения на ПЭВМ по программе «Statgraphics» тех же трех трендов. Отличие их свободных членов от приведенных выше объясняется тем, что программа нумерует года не от середины, а от начала, так что свободные члены трендов относятся к 1986 г., для которого t = 0. Уравнение экспоненты на распечатке оставлено в логарифмированном виде. Прогноз сделан на 5 лет вперед, т.е. до 2001 г.. При изменении начала координат (отсчета времени) в уравнении параболы меняется и средний абсолютной прирост, параметр b . так как в результате отрицательного ускорения прирост все время сокращается, а его максимум - в начале периода. Константой параболы является только ускорение.

В строке «Data» приводятся уровни исходного ряда; «Forecast summary» означает сводные данные для прогноза. В следующих строках - уравнения прямой, параболы, экспоненты - в логарифмическом виде. Графа ME означает среднее расхождение между уровнями исходного ряда и уровнями тренда (выравненными). Для прямой и параболы это расхождение всегда равно нулю. Уровни экспоненты в среднем на 0,48852 ниже уровней исходного ряда. Точное совпадение возможно, если истинный тренд - экспонента; в данном случае совпадения нет, но различие, мало. Графа МАЕ -это дисперсия s 2 - мера колеблемости фактических уровней относительно тренда, о чем сказано в п. 9.7. Графа МАЕ - среднее линейное отклонение уровней от тренда по модулю (см. параграф 5.8); графа МАРЕ - относительное линейное отклонение в процентах. Здесь они приведены как показатели пригодности выбранного вида тренда. Меньшую дисперсию и модуль отклонения имеет парабола: она за период 1986 - 1996 гг. ближе к фактическим уровням. Но выбор типа тренда нельзя сводить лишь к этому критерию. На самом деле замедление прироста есть результат большого отрицательного отклонения, т. е. неурожая в 1996 г.

Вторая половина таблицы - это прогноз уровней урожайности по трем видам трендов на годы; t = 12, 13, 14, 15 и 16 от начала отсчета (1986 г.). Прогнозируемые уровни по экспоненте вплоть до 16-го года ненамного выше,.чем по прямой. Уровни тренда-параболы - снижаются, все более расходясь с другими трендами.

Как видно в табл. 9.4, при вычислении параметров тренда уровни исходного ряда входят с разными весами - значениями t p и их квадратов. Поэтому влияние колебаний уровней на параметры тренда зависит от того, на какой номер года приходится урожайный либо неурожайный год. Если резкое отклонение приходится на год с нулевым номером (t i = 0 ), то оно никакого влияния на параметры тренда не окажет, а если попадет на начало и конец ряда, то повлияет сильно. Следовательно, однократное аналитическое выравнивание неполно освобождает параметры тренда от влияния колеблемости, и при сильных колебаниях они могут быть сильно искажены, что в нашем примере случилось с параболой. Для дальнейшего исключения искажающего влияния колебаний на параметры тренда следует применить метод многократного скользящего выравнивания.

Этот прием состоит в том, что параметры тренда вычисляются не сразу по всему ряду, а скользящим методом, сначала за первые т периодов времени или моментов, затем за период от 2-го до т + 1, от 3-го до (т + 2)-го уровня и т.п. Если число исходных уровней ряда равно п, а длина каждой скользящей базы расчета параметров равна т, то число таких скользящих баз t или отдельных значений параметров, которые будут по ним определены, составит:

L = п + 1 - т.

Применение методики скользящего многократного выравнивания рассматривать, как видно из приведенных расчетов, возможно только при достаточно большом числе уровней ряда, как правило 15 и более. Рассмотрим эту методику на примере данных табл. 9.4 -динамики цен на нетопливные товары развивающихся стран, что опять же дает возможность читателю участвовать в небольшом научном исследовании. На этом же примере продолжим и методику прогнозирования в разделе 9.10.

Если вычислять в нашем ряду параметры по 11 -летним периодам (по 11 уровням), то t = 17 + 1 - 11 = 7. Смысл многократного скользящего выравнивания в том, что при последовательных сдвигах базы расчета параметров на концах ее и в середине окажутся разные уровни с разными по знаку и величине отклонениями от тренда. Поэтому при одних сдвигах базы параметры будут завышаться, при других - занижаться, а при последующем усреднении значений параметров по всем сдвигам базы расчета произойдет дальнейшее взаимопогашение искажений параметров тренда колебаниями уровней.

Многократное скользящее выравнивание не только позволяет получить более точную и надежную оценку параметров тренда, но и осуществить контроль правильности выбора типа уравнения тренда. Если окажется, что ведущий параметр тренда, его константа при расчете по скользящим базам не беспорядочно колеблется, а систематически изменяет свою величину существенным образом, значит, тип тренда был выбран неверно, данный параметр константой не является.

Что касается свободного члена при многократном выравнивании, то нет необходимости и, более того, просто неверно вычислять его величину как среднюю по всем сдвигам базы, ибо при таком способе отдельные уровни исходного ряда входили бы в расчет средней с разными весами, и сумма выравненных уровней разошлась бы с суммой членов исходного ряда. Свободный член тренда - это средняя величина уровня за период, при условии отсчета времени от середины периода. При отсчете от начала, если первый уровень t i = 1, свободный член будет равен: a 0 = у ̅ - b ((N-1)/2). Рекомендуется длину скользящей базы расчета параметров тренда выбирать не менее 9-11 уровней, чтобы в достаточной мере погасить колебания уровней. Если исходный ряд очень длинный, база может составлять до 0,7 - 0,8 его длины. Для устранения влияния долго-периодических (циклических) колебаний на параметры тренда, число сдвигов базы должно быть равно или кратно длине цикла колебаний. Тогда начало и конец базы будут последовательно «пробегать» все фазы цикла и при усреднении параметра по всем сдвигам его искажения от циклических колебаний будут взаимопогашаться. Другой способ - взять длину скользящей базы, равной длине цикла, чтобы начало базы и конец базы всегда приходились на одну и ту же фазу цикла колебаний.

Поскольку по данным табл. 9.4, уже было установлено, что тренд имеет линейную форму, проводим расчет среднегодового абсолютного прироста, т. е. параметра b уравнения линейного тренда скользящим способом по 11-летним базам (см. табл. 9.7). В ней же приведен расчет данных, необходимых для последующего изучения колеблемости в параграфе 9.7. Остановимся подробнее на методике многократного выравнивания по скользящим базам. Рассчитаем параметр b по всем базам:

Таблица 9.7

Многократное скользящее выравнивание по прямой

Уравнение тренда: у ̂ = 104,53 - 1,433t ; t = 0 в 1987 г. Итак, индекс цен в среднем за год снижался на 1,433 пункта. Однократное выравнивание по всем 17 уровням может исказить этот параметр, ибо начальный уровень содержит значительное отрицательное отклонение, а конечный уровень - положительное. В самом деле, однократное выравнивание дает величину среднегодового изменения индекса всего на 0,953 пункта.

9.7. Методика изучения и показатели колеблемости

Если при изучении и измерении тенденции динамики колебания уровней играли лишь роль помех, «информационного шума», от которого следовало по возможности абстрагироваться, то в дальнейшем сама колеблемость становится предметом статистического исследования. Значение изучения колебаний уровней динамического ряда очевидно: колебания урожайности, продуктивности скота, производства мяса экономически нежелательны, так как потребность в продукции агрокомплекса постоянна. Эти колебания следует уменьшать, применяя прогрессивную технологию и другие меры. Напротив, сезонные колебания объемов производства зимней и летней обуви, одежды, мороженого, зонтиков, коньков - необходимы и закономерны, так как спрос на эти товары тоже колеблется по сезонам и равномерное производство требует лишних затрат на хранение запасов. Регулирование рыночной экономики как со стороны государства, так и производителей в значительной мере состоит в регулировании колебаний экономических процессов.

Типы колебаний статистических показателей весьма разнообразны, но все же можно выделить три основных: пилообразную или маятниковую колеблемость, циклическую долгопериодическую и случайно распределенную во времени колеблемость. Их свойства и отличия друг от друга хорошо видны при графическом изображении рис. 9.2.

Пилообразная или маятниковая колеблемость состоит в попеременных отклонениях уровней от тренда в одну и в другую сторону. Таковы автоколебания маятника. Такие автоколебания можно наблюдать в динамике урожайности при невысоком уровне агротехники: высокий урожай при благоприятных условиях погоды выносит из почвы больше питательных веществ, чем их образуется естественным путем за год; почва обедняется, что вызывает снижение следу- ющего урожая ниже тренда, он выносит меньше питательных веществ, чем образуется за год, плодородие возрастает и т.д.

Рис. 9.2. Виды колебаний

Циклическая долгопериодическая колеблемость свойственна, например, солнечной активности (10-11-летние циклы), а значит, и связанным с ней на Земле процессам - полярным сияниям, грозовой деятельности, урожайности отдельных культур в ряде районов, некоторым заболеваниям людей, растений. Для этого типа характерны редкая смена знаков отклонений от тренда и кумулятивный (накапливающийся) эффект отклонений одного знака, который может тяжело отражаться на экономике. Зато колебания хорошо прогнозируются.

Случайно распределенная во времени колеблемость - нерегулярная, хаотическая. Она может возникать при наложении (интерференции) множества колебаний с разными по длительности циклами. Но может возникать в результате столь же хаотической колеблемости главной причины существования колебаний, например суммы осадков за летний период, температуры воздуха в среднем за месяц в разные годы.

Для определения типа колебаний применяются графическое изображение, метод «поворотных точек» М. Кендэла, вычисление коэффициентов автокорреляции отклонений от тренда. Эти методы будут рассмотрены далее.

Основными показателями, характеризующими силу колеблемости уровней, выступают уже известные по главе 5 показатели, характеризующие вариацию значений признака в пространственной совокупности. Однако вариация в пространстве и колеблемость во времени принципиально различны. Прежде всего различны их основные причины. Вариация значений признака у одновременно существующих единиц возникает из-за различий в условиях существования единиц совокупности. Например, разная урожайность картофеля в совхозах области в 1990 г. вызвана различиями в плодородии почв, в качестве семян, в агротехнике. А вот суммы эффективных температур за вегетационный период и осадков не являются причинами пространственной вариации, так как в одном и том же году на территории области эти факторы почти не варьируют. Напротив, главными причинами колебания урожайности картофеля в области за ряд лет как раз являются колебания метеорологических факторов, а качество почв колебаний почти не имеет. Что же касается общего прогресса агротехники, то он является причиной тренда, но не колеблемости.

Второе коренное отличие состоит в том, что значения варьирующего признака в пространственной совокупности можно считать в основном не зависимыми друг от друга, напротив, уровни динамического ряда, как правило, являются зависимыми: это показатели развивающегося процесса, каждая стадия которого связана с предыдущими состояниями.

В-третьих, вариация в пространственной совокупности измеряется отклонениями индивидуальных значений признака от среднего значения, а колеблемость уровней динамического ряда измеряется не их отличиями от среднего уровня (эти отличия включают и тренд, и колебания), а отклонениями уровней от тренда.

Поэтому лучше использовать разные термины: различия признака в пространственной совокупности называть только вариацией, но не колебаниями: никто же не станет называть различия численности населения Москвы, Петербурга, Киева и Ташкента «колебаниями числа жителей»! Отклонения уровней динамического ряда от тренда будем называть всегда колеблемостью. Колебания всегда происходят во времени, не может существовать колебаний вне времени, в фиксированный момент.

На основе качественного содержания понятия колеблемости строится и система ее показателей. Показателями силы колебании уровней являются: амплитуда отклонений уровней отдельных периодов или моментов от тренда (по модулю), среднее абсолютное отклонение уровней от тренда (по модулю), среднее квадратическое откло;-нение уровней от тренда. Относительные меры колеблемости: относительное линейное отклонение от тренда и коэффициент колеблемости - аналог коэффициента вариации.

Особенностью методики вычисления средних отклонений от тренда является необходимость учета потерь степеней свободы колебаний на величину, равную числу параметров уравнения тренда. Например, прямая линия имеет два параметра, и, как известно из геометрии, через любые две точки можно провести прямую линию. Значит, имея лишь два уровня, мы проведем линию тренда точно через эти два уровня, и никаких отклонений уровней от тренда не окажется, хотя на самом деле и эти два уровня включали колебания, не были свободны от действия факторов колеблемости. Парабола второго порядка пройдет точно через любые три точки и т.п.

Учитывая потерю степеней свободы, основные абсолютные показатели колеблемости вычисляются по формулам (9.34) и (9.35):

среднее линейное отклонение

(9.34)

среднее квадратичное отклонение

(9.35)

где y i - фактический уровень;

y ̂ i - выравненный уровень, тренд;

n - число уровней;

р - число параметров тренда.

Знак времени «t » в скобках после показателя означает, что это показатель не обычной пространственной вариации, как в главе V, а показатель колеблемости во времени.

Относительные показатели колеблемости вычисляются делением абсолютных показателей на средний уровень за весь изучаемый период. Расчет показателей колеблемости проведем по результатам анализа динамики индекса цен (см. табл. 9.7). Тренд примем по результатам многократного скользящего выравнивания, т. е. у ̂ = 104,53 - 1,433t ; t = 0 в 1987 г.

1. Амплитуда колебаний составила от -14,0 в 1986 г. до +15,2 в 1984 г., т.е. 29,2 пункта.

2. Среднее линейное отклонение по модулю найдем, сложив модули |u i | (их сумма равна 132,3), и разделив на (п - р), согласно формуле (9.34):

=8,82 пункта.

3. Среднее квадратическое отклонение уровней от тренда по формуле (9.35) составило:

= 9,45 пункта.

Небольшое превышение среднего квадратического отклонения над линейным указывает на отсутствие среди отклонений резко выделяющихся по абсолютной величине.

4. Коэффициент колеблемости: или 9,04%. Колеблемость умеренная, не сильная. Для сравнения приводим показатели (без расчета) по колебаниям урожайности картофеля, данные таблиц 9.1 и 9.5 - отклонение от линейного тренда:

s (t ) = 14,38 ц с 1 га, v (t ) = 8,35%.

Для выявления типа колебаний воспользуемся приемом, предложенным М. Кендэлом. Он состоит в подсчете так называемых «поворотных точек» в ряду отклонений от тренда и i т. е. локальных экстремумов. Отклонение, либо большее по алгебраической величине, либо меньшее двух соседних, отмечается точкой. Обратимся к рис. 9.2. При маятниковой колеблемости все отклонения, кроме двух крайних, будут «поворотными», следовательно, их число составит п - 1. При долгопериодических циклах на цикл приходятся один минимум и один максимум, а общее число точек составит 2(n : l ), где l - длительность цикла. При случайно распределенной во времени колеблемости, как доказал М. Кендэл, число поворотных точек в среднем составит: 2/3 (n - 2). В нашем примере при маятниковой колеблемости было бы 15 точек, при связанной с 11-летним циклом было бы 2-(17: 11) ≈ 3 точки, при случайно распределенной во времени в среднем было бы (2/3)·(17-2) =10 точек.

Фактическое число точек 6 выходит за границы двукратного среднего квадратического отклонения числа поворотных точек, которое по Кендэлу равно , в нашем случае .

Наличие 6 точек, при 2 точках за цикл, означает, что в ряду могут быть примерно 3 цикла, продолжительность периода которых 5,5 - 6 лет. Возможно сочетание таких циклических колебаний со случайными.

Другой метод анализа типа колеблемости и поиска длины цикла основан на вычислении коэффициентов автокорреляции отклонений от тренда.

Автокорреляция - это корреляция между уровнями ряда или отклонениями от тренда, взятыми со сдвигом во времени: на 1 период (год), на 2, на 3 и т. д., поэтому говорят о коэффициентах автокорреляции разных порядков: первого, второго и т. д. Рассмотрим сначала коэффициент автокорреляции отклонений от тренда первого порядка.

Одна из основных формул для расчета коэффициента автокорреляции отклонений от тренда имеет вид:

(9.36)

Как легко видеть по табл. 9.7, первое и последнее в ряду отклонения участвуют только в одном произведении в числителе, а все прочие отклонения от второго до (п - 1)-го - в двух. Поэтому и в знаменателе квадраты первого и последнего отклонений следует взять с половинным весом, как в хронологической средней. По данным табл. 9.7 имеем:

Теперь обратимся к рис. 9.2. При маятниковой колеблемости все произведения в числителе будут отрицательными величинами, и коэффициент автокорреляции первого порядка будет близок к -1. При долголериодических циклах будут преобладать положительные произведения соседних отклонений, а смена знака происходит лишь дважды за цикл. Чем длиннее Цикл, тем больше перевес положительных произведений в числителе, и коэффициент автокорреляции первого порядка ближе к +1. При случайно распределенной во времени колеблемости знаки отклонений чередуются хаотически, число положительных произведений близко к числу отрицательных, ввиду чего коэффициент автокорреляции близок к нулю. Полученное значение говорит о наличии как случайно распределенных во времени колебаний, так и циклических. Коэффициенты автокорреляции следующих порядков: II = - 0,577; Ш = -0,611; IV == -0,095; V = +0,376; VI = +0,404; VII = +0,044. Следовательно, противофаза цикла ближе всего кЗ годам (наибольший отрицательный коэффициент при сдвиге на 3 года), а совпадающие фазы ближе к б годам, что и дает длину цикла колебаний. Эти максимальные по абсолютной величине коэффициенты не близки к единице. Это означает, что циклическая колеблемость смешана со значительной случайной колеблемостью. Таким образом, подробный автокорреляционный анализ в целом дал те же результаты, что и выводы по автокорреляции первого порядка.

Если динамический ряд достаточно длинен, можно поставить и решить задачу об изменении показателей колеблемости с течением времени. Для этого рассчитывают эти показатели по подпериодам, но длительностью не менее 9-11 лет, иначе измерения колеблемости ненадежны. Кроме того, можно рассчитывать показатели колеблемости скользящим способом, а затем произвести их выравнивание, т. е. вычислить тренд показателей колеблемости. Это полезно, чтобы сделать вывод о действенности мер, применявшихся для уменьшения колебаний урожайности и других нежелательных колебаний, а также для того, чтобы по тренду сделать прогноз ожидаемых в будущем размеров колебаний.

9.8. Измерение устойчивости в динамике

Понятие «устойчивость» используется в весьма различных смыслах. По отношению к статистическому изучению динамики мы рассмотрим два аспекта этого понятия: 1) устойчивость как категория, противоположная колеблемости; 2) устойчивость направленности изменений, т. е. устойчивость тенденции.

В первом понимании показатель устойчивости, который может быть только относительным, должен изменяться от нуля до единицы (100%). Это разность между единицей и относительным показателем колеблемости. Коэффициент колеблемости составил 9,0%. Следовательно, коэффициент устойчивости равен 100% - 9,0% = 91,0%. Этот показатель характеризует близость фактических уровней к тренду и совершенно не зависит от характера последнего. Слабая колеблемость и высокая устойчивость уровней в данном смысле могут существовать даже при полном застое в развитии, когда тренд выражен горизонтальной прямой.

Устойчивость во втором смысле характеризует не сами по себе уровни, а процесс их направленного изменения. Можно узнать, например, насколько устойчив процесс сокращения удельных затрат ресурсов на производство единицы продукции, является ли устойчивой тенденция снижения детской смертности и т. д. С этой точки зрения полной устойчивостью направленного изменения уровней динамического ряда следует считать такое изменение, в процессе которого каждый следующий уровень либо выше всех предшествующих (устойчивый рост), либо ниже всех предшествующих (устойчивое снижение). Всякое нарушение строго ранжированной последовательности уровней свидетельствует о неполной устойчивости изменений.

Из определения понятия устойчивости тенденции вытекает и метод построения ее показателя. В качестве показателя устойчивости можно использовать коэффициент корреляции рангов Ч. Спирмэна (Spearman) - r x .

где п - число уровней;

Δ i - разность рангов уровней и номеров периодов времени.

При полном совпадении рангов уровней, начиная с наименьшего, и номеров периодов (моментов) времени по их хронологическому порядку коэффициент корреляции рангов равен +1. Это значение соответствует случаю полной устойчивости возрастания уровней. При полной противоположности рангов уровней рангам лет коэффициент Спирмэна равен -1, что означает полную устойчивость процесса сокращения уровней. При хаотическом чередовании рангов уровней коэффициент близок к нулю, это означает неустойчивость какой-либо тенденции. Приведем расчет коэффициента корреляции Спирмэна по данным о динамике индекса цен (табл. 9.7) в табл. 9.8.

Таблица 9.8

Расчет коэффициентов корреляции рангов Спирмена

		Ранг лет, Р x	Ранг уровней, Р у	Р x -Р y	(P x -P y ) 2

Ввиду наличия трех пар «связанных рангов» применяем формулу (8.26):

Отрицательное значение r x указывает на наличие тенденции снижения уровней, причем устойчивость этой тенденции ниже средней.

При этом следует иметь в виду, что даже при 100%-ной устойчивости тенденции в ряду динамики может быть колеблемость уровней, и коэффициент их устойчивости будет ниже 100%. При слабой колеблемости, но еще более слабой тенденции, напротив, возможен высокий коэффициент устойчивости уровней, но близкий к нулю коэффициент устойчивости тренда. В целом же оба показателя связаны, конечно, прямой зависимостью: чаще всего большая устойчивость уровней наблюдается одновременно с большей устойчивостью тренда.

Устойчивость тенденции развития или комплексная устойчивость, в динамике может быть охарактеризована соотношением между среднегодовым абсолютным изменением и средним квадратическим (либо линейным) отклонением уровней от тренда:

Если, как нередко бывает, распределение отклонений уровней ряда от тренда близко к нормальному, то с вероятностью 0,95 отклонение от тренда вниз не превысит 1,645s (t ) по величине. Следовательно, если в ряду динамики

с > 1,64, то уровни, более низкие, чем предыдущие, в среднем будут встречаться менее 5раз за 100 периодов, или 1 раз из 20, т. е. устойчивость тренда будет высока. При с = 1 нарушения ранжированности уровней будут встречаться в среднем 16 раз из 100, а при с = 0,5 – уже 31 раз из 100, т. е. устойчивость тенденции будет низкой. Можно также пользоваться отношением среднего темпа прироста к коэффициенту колеблемости, что дает показатель, близкий к с - показателю устойчивости. Этот показатель более пригоден для экспоненциального тренда. О показателях устойчивости нелинейных трендов и об общих проблемах устойчивости экономических и социальных процессов можно подробнее прочесть в рекомендуемой к данной главе литературе .

Тренд (от англ. trend - тенденция ) - это долговременная тенденция изменения исследуемого временного ряда. Тренды могут быть описаны различными уравнениями - линейными, логарифмическими, степенными и так далее. Фактический тип тренда устанавливают на основе подбора его функциональной модели статистическими методами либо сглаживанием исходного временного ряда.

Тренд в экономике - это направление преимущественного движения показателей. Обычно рассматривается в рамках технического анализа, где подразумевают направленность движения цен или значений индексов. Чарльз Доу отмечал, что при восходящем тренде последующий пик на графике должен быть выше предыдущих, при нисходящем тренде последующие спады на графике должны быть ниже предыдущих.

Различают следующие их виды: Повышательный (восходящий , бычий ) - рынок растет; Понижательный (нисходящий , медвежий ) - рынок падает; Флэт (горизонтальный , боковой ) - тренд отсутствует - движение наблюдается в горизонтальном диапазоне. Выделяют тренды восходящий (бычий), нисходящий (медвежий) и боковой (флэт). На графике часто рисуют линию тренда, которая на восходящем тренде соединяет две или более впадины цены (линия находится под графиком, визуально его поддерживая и поддталкивая вверх), а на нисходящем тренде соединяет два или более пика цены (линия находится над графиком, визуально его ограничивая и придавливая вниз). Трендовые линии являются линиями поддержки (для восходящего тренда) и сопротивления (для нисходящего тренда). Понятия «бычий» и «медвежий» используются по аналогии с понятиями . Типы тренда Основной (первичный ) - длится 1-3 года. Вторичный (промежуточный , среднесрочный ) - от 3-х недель до 3-6 месяцев. Незначительный (краткосрочный ) - меньше трех недель. Методы оценки тренда Параметрические Рассматривают временной ряд как гладкую функцию от t: Xt = f(t),t = 1…n;. При этом сначала выявляют один либо несколько допустимых типов функций f(t); затем различными методами (например, МНК) оценивают параметры этих функций, после чего на основе проверки критериев адекватности выбирают окончательную модель тренда. Важное значение для практических приложений имеют линеаризуемые тренды, то есть тренды, приводимые к линейному виду относительно параметров использованием тех или иных алгебраических преобразований. Непараметрические Это разные методы сглаживания исходного временного ряда - скользящие средние (простая, взвешенная), экспоненциальное сглаживание. Эти методы применяются как для оценки тренда, так и для прогнозирования. Они полезны в случае, когда для оценки тренда не удается подобрать подходящую функцию. Линии тренда Трендовые линии широко используются в техническом анализе. На данный момент существует множество методов их построения и интерпретации. Линия тренда - это прямая линия, соединяющая как минимум два пика цен на графике движения курса валюты (актива). Также нужно отметить, что в пределах развития основного тренда идущего по одной линии, может формироваться множество второстепенных трендов, формирующихся по дополнительным трендовым линиям. Трендовые линии могут пробиваться ценной также как уровни поддержки и сопротивления. Показывая этим окончания текущего тренда. Существует три вида линий тренда: 1.Восходящая - строится по минимумам волн восходящего тренда и выступает в роли линии поддержки. На рисунке показана восходящая линия тренда и нижние точки, по которым она была построена 2.Нисходящая - строится по вершинам волн медвежьего тренда и выступающая в роли линии сопротивления. На рисунке показана нисходящая линия тренда и верхние точки, по которым она была построена 3.Горизонтальная - соединяет равные по значению максимумы или минимумы, которые зачастую поочередно меняют один одного. Такая линия рисуется при горизонтальном движении - флэте. Выступает одновременно в роли горизонтальны линий поддержки и сопротивления. На рисунке показаны горизонтальные линии тренда и верхние/нижние точки, по которым они были построены Линии тренда классифицируются по степени важности при помощи четырех показателей: Временной масштаб . Чем на более высоком временном масштабе строиться линия тренда, тем более важной она является. Т.е линия тренда построенная на дневном графике показывает более продолжительный и устойчивый тренд, чем линия тренда построенная на часовом графике. Длительность . Чем длиннее трендовая линия, тем она более надежна. Потому что показывает настроение трейдеров на более длительном промежутке времени. Число касаний . Чем больше раз цена коснулась линии тренда, тем устойчивей считается этот тренд. Трендовая линия от которой цена отскочила три и более раз, считается более устойчивой к пробитию, чем линия которая имеет два отскока. Угол наклона . Чем больше угол наклона между линией тренда и горизонталью от которой она строиться, тем сильнее тренд определяющийся этой линией. Если линия идет под большим углом - это говорит нам о сильном импульсном движении. Если линии формируется полога, значит тренд слабый формирующий как правило коррекционную волну. Трендовая линия является актуальной до тех пор, пока цена не пробивает ее в противоположную текущему тренду сторону. Показывая тем самым окончание текущего тренда.