Дата: 27.10.2016
Класс: 11Б
Тема урока Степень с иррациональным показателем.
Иррациональное выражение. Преобразования иррациональных выражений.
Цель урока:
Обобщение и систематизация знаний по данной теме
Задачи урока:
Повышение вычислительной культуры уч-ся;
Проверка уровня усвоения темы путем дифференцированного
опроса уч-ся;
Развитие интереса к предмету;
Воспитание навыков контроля и самоконтроля.
Ход урока.
I этап урока (1 минута)
Учитель сообщает учащимся тему урока, цель и задачи урока (слайд№2); поясняет, как во время урока будет использоваться раздаточный материал, который находится на рабочем месте каждого ученика, обращает внимание учащихся на лист самоконтроля, в который постепенно в ходе урока будут заноситься баллы, полученные за выполнение заданий разноуровневых тестов, выполнения заданий у доски, за активную работу на уроке.
Лист самоконтроля
Вопросытеории
Разноуровневая самостоятельная работа «Повышение вычислительной культуры»
Работа на уроке (оценка учителя)
Разноуровневый тест
«Обобщение понятия степени.»
Итог
Резуль
таты
са мо
оц ен ки
Учитель обращается к учащимся:
«В конце урока мы увидим результаты вашей самооценки. Древнегреческий поэт Нивей утверждал, что математику нельзя изучать, наблюдая, как это делает сосед.
Поэтому вы сегодня должны работать самостоятельно и объективно оценивать свои знания».
II этап урока (3 минуты)
Повторение теоретического материала по теме.
Учитель просит учащихся дать определение степени с натуральным показателем.
Звучит определение.
Определение. Степенью действительного числа а с натуральным показателем п называется произведение п множителей, каждый из которых равен а.
Учитель просит учащихся дать определение степени с целым показателем.
Звучит определение.
Определение. Если - целое отрицательное число, то , где 0 Учитель спрашивает: «Чему равна нулевая, первая степень любого действительного числа?» ; .
Учитель просит учащихся дать определение степени с рациональным
показателем. Звучит определение.
Определение. Степенью действительного числа а > 0 c рациональным показателем r = , где m - целое, n - натуральное, называется число:
Если, то.
Учитель: «Вспомните основные свойства степени».
Учащиеся перечисляют свойства степени:
Для любых действительных чисел т и п и для любых положительных а и в выполняются равенства:
1. 4.
2. 5.
Во время ответов на интерактивной доске учащиеся видят определения и свойства степени, и если надо вносят дополнения и исправления в ответы своих товарищей.
III этап урока (3 минуты)
Устная работа по решению простейших задач по теме « Основные свойства степени»
Работа с диском « Новые возможности для усвоения курса математики».
(Учебное электронное издание «Математика 5-11»/ Дрофа.)
Учитель предлагает учащимся применить только что сформулированные теоретические факты к решению упражнений:
Вычислите
2. Упростите
3) () 6)
3. Выполните действия
К компьютеру вызываются по очереди 3 ученика, они решают предложенные задачи устно, комментируя свой ответ, ссылаясь на теорию. Если задача решена правильно, то звучат аплодисменты, на экране и на доске появляется улыбающееся лицо, а если упражнение выполнено неверно, то лицо грустное, и тогда учитель предлагает взять подсказку. С помощью программы все учащиеся видят на интерактивной доске правильное решение.
IV этап урока (5 минут)
Вариант 1
Вычислите:
648
Уровень II
(2-)
7- 4
0,0640,49
0,28
Уровень III
0,3
Вариант 2
Вычислите:
4 64 | |||
Уровень II | |||
(-2) | |||
при а = | |||
125 16-36 | |||
Уровень III | |||
1,5 |
|||
Учащийся должен решить задания своего уровня сложности. Если у него остается ещё время, то он может набирать дополнительные баллы, решая задания другого уровня сложности. Сильные учащиеся, прорешав задания менее сложного уровня, смогут помочь своим товарищам из другой группы в случае необходимости. (По просьбе учителя они выступают в роли консультантов).
Проверка теста с помощью инструмента « Шторка» интерактивной доски.
V этап урока (15 минут)
Разноуровневый тест тематического контроля знаний
«Обобщение понятия степени».
У доски учащиеся группы III записывают и подробно объясняют решение варианта 7 и 8
Во время выполнения работы учитель, если необходимо, помогает учащимся группы III выполнять задания и контролирует решение задач на доске.
Учащиеся двух других групп и остальные учащиеся группы III решают в это время разноуровневый тест (1 и 2 вариант)
VI этап урока (7 минут)
Обсуждение решений задач представленных на доске.
На доске учащиеся решали пять задач. Учащиеся, выполнявшие задачи у доски, комментируют свои решения, а остальные вносят, при необходимости, коррективы.
VII этап урока (5 минут) Подведение итогов урока, комментарии по домашнему заданию. Учитель еще раз обращает внимание, на те типы заданий и те теоретические факты, которые вспоминали на уроке, говорит о необходимости выучить их. Отмечает наиболее успешную работу на уроке отдельных учащихся.
1). Подсчет баллов (слайд)
Каждое задание самостоятельной работы и теста, если
оно выполнено верно, оценивается в 1 балл.
Не забудьте прибавить оценки-баллы учителя за урок…
2). Заполнение листа самоконтроля (слайд)
«5» - 15 баллов
«4» - 10 баллов
«3» - 7баллов < 7 баллов
…мы надеемся, что ты очень старался,
просто сегодня – не твой день!..
Решения теста и самостоятельной работы учащиеся забирают с собой, чтобы дома сделать работу над ошибками, листы самоконтроля сдают учителю. Учитель после урока анализирует их и выставляет оценки, докладывая о результатах анализа на следующем уроке.
3). Домашнее задание:
Работа над ошибками в тестах.
Творческое задание для группы III : составить карточку с заданиями на применение свойств степеней для опроса на следующем уроке.
Выучить определение и свойства
Выполнить упражнения
Разноуровневая самостоятельная работа «Повышение вычислительной культуры»:
Вариант 1
Вычислите:
Уровень II | ||||
ЧАСТЬ II. ГЛАВА 6 Понятие о степени с иррациональным показателемПусть а- какое-нибудь положительное число и а - иррациональное. 384 Понятие о степени с иррациональным показателем. . теперь, окажется, что разность последовательностей (4) и (3) сходится В этой статье мы разберемся, что такое степень числа . Здесь мы дадим определения степени числа, при этом подробно рассмотрим все возможные показатели степени, начиная с натурального показателя, заканчивая иррациональным. В материале Вы найдете массу примеров степеней, покрывающих все возникающие тонкости. Навигация по странице. Степень с натуральным показателем, квадрат числа, куб числаДля начала дадим . Забегая вперед, скажем, что определение степени числа a с натуральным показателем n дается для a , которое будем называть основанием степени , и n , которое будем называть показателем степени . Также отметим, что степень с натуральным показателем определяется через произведение, так что для понимания нижеизложенного материала нужно иметь представление об умножении чисел. Определение.
Степень числа a
с натуральным показателем n
- это выражение вида a n
, значение которого равно произведению n
множителей, каждый из которых равен a
, то есть, . Сразу стоит сказать о правилах чтения степеней. Универсальный способ чтения записи a n таков: «a в степени n ». В некоторых случаях также допустимы такие варианты: «a в n -ой степени» и «n -ая степень числа a ». Для примера возьмем степень 8 12 , это «восемь в степени двенадцать», или «восемь в двенадцатой степени», или «двенадцатая степень восьми». Вторая степень числа, а также третья степень числа имеют свои названия. Вторую степень числа называют квадратом числа , например, 7 2 читается как «семь в квадрате» или «квадрат числа семь». Третья степень числа называется кубом числа , к примеру, 5 3 можно прочитать как «пять в кубе» или сказать «куб числа 5 ». Пришло время привести примеры степеней с натуральными показателями . Начнем со степени 5 7 , здесь 5 – основание степени, а 7 – показатель степени. Приведем еще пример: 4,32 является основанием, а натуральное число 9 – показателем степени (4,32) 9 . Обратите внимание, что в последнем примере основание степени 4,32 записано в скобках: чтобы избежать разночтений мы будем брать в скобки все основания степени, которые отличны от натуральных чисел. В качестве примера приведем следующие степени с натуральными показателями , их основания не являются натуральными числами, поэтому они записаны в скобках. Ну и для полной ясности в этом моменте покажем разницу, заключенную в записях вида (−2) 3 и −2 3 . Выражение (−2) 3 – это степень −2 с натуральным показателем 3, а выражение −2 3 (его можно записать как −(2 3) ) соответствует числу, значению степени 2 3 . Заметим, что встречается обозначение степени числа a с показателем n вида a^n . При этом, если n – многозначное натуральное число, то показатель степени берется в скобки. Например, 4^9 – это другая запись степени 4 9 . А вот еще примеры записи степеней при помощи символа «^ »: 14^(21) , (−2,1)^(155) . В дальнейшем мы преимущественно будем пользоваться обозначением степени вида a n . Одной из задач, обратной возведению в степень с натуральным показателем, является задача нахождения основания степени по известному значению степени и известному показателю. Эта задача приводит к . Известно, что множество рациональных чисел состоит из целых и дробных чисел, причем каждое дробное число может быть представлено в виде положительной или отрицательной обыкновенной дроби. Степень с целым показателем мы определили в предыдущем пункте, поэтому, чтобы закончить определение степени с рациональным показателем, нужно придать смысл степени числа a с дробным показателем m/n , где m – целое число, а n - натуральное. Сделаем это. Рассмотрим степень с дробным показателем вида . Чтобы сохраняло силу свойство степени в степени, должно выполняться равенство . Если учесть полученное равенство и то, как мы определили , то логично принять при условии, что при данных m , n и a выражение имеет смысл. Несложно проверить, что при справедливы все свойства степени с целым показателем (это сделано в разделе свойства степени с рациональным показателем). Приведенные рассуждения позволяют сделать следующий вывод : если при данных m , n и a выражение имеет смысл, то степенью числа a с дробным показателем m/n называют корень n -ой степени из a в степени m . Это утверждение вплотную подводит нас к определению степени с дробным показателем. Остается лишь расписать, при каких m , n и a имеет смысл выражение . В зависимости от ограничений, накладываемых на m , n и a существуют два основных подхода. Проще всего наложить ограничение на a , приняв a≥0 для положительных m и a>0 для отрицательных m (так как при m≤0 степень 0 m не определена). Тогда мы получаем следующее определение степени с дробным показателем. Определение. Степенью положительного числа a с дробным показателем m/n , где m – целое, а n – натуральное число, называется корень n -ой из числа a в степени m , то есть, . Также определяется дробная степень нуля с той лишь оговоркой, что показатель должен быть положительным. Определение.
Степень нуля с дробным положительным показателем m/n
, где m
– целое положительное, а n
– натуральное число, определяется как . Следует отметить, что при таком определении степени с дробным показателем существует один нюанс: при некоторых отрицательных a и некоторых m и n выражение имеет смысл, а мы отбросили эти случаи, введя условие a≥0 . Например, имеют смысл записи или , а данное выше определение заставляет нас говорить, что степени с дробным показателем вида не имеют смысла, так как основание не должно быть отрицательным. Другой подход к определению степени с дробным показателем m/n заключается в раздельном рассмотрении четных и нечетных показателях корня . Этот подход требует дополнительного условия: степень числа a , показателем которой является , считается степенью числа a , показателем которой является соответствующая несократимая дробь (важность этого условия поясним чуть ниже). То есть, если m/n – несократимая дробь, то для любого натурального числа k степень предварительно заменяется на . При четных n и положительных m выражение имеет смысл при любом неотрицательном a (корень четной степени из отрицательного числа не имеет смысла), при отрицательных m число a должно быть еще отличным от нуля (иначе будет деление на нуль). А при нечетных n и положительных m число a может быть любым (корень нечетной степени определен для любого действительного числа), а при отрицательных m число a должно быть отличным от нуля (чтобы не было деления на нуль). Приведенные рассуждения приводят нас к такому определению степени с дробным показателем. Определение. Пусть m/n – несократимая дробь, m – целое, а n – натуральное число. Для любой сократимой обыкновенной дроби степень заменяется на . Степень числа a с несократимым дробным показателем m/n - это для Поясним, зачем степень с сократимым дробным показателем предварительно заменяется степенью с несократимым показателем. Если бы мы просто определили степень как , и не оговорились о несократимости дроби m/n , то мы бы столкнулись с ситуациями, подобными следующей: так как 6/10=3/5 , то должно выполняться равенство , но , а . Степень с рациональным показателем, её свойства. Выражение а
n определено для всех а и n, кроме случая а=0 при n≤0. Напомним свойства таких степеней.
A m *a n =a m+n ;
a m:а n =a m-n (а≠0);
(а m) n = а mn ;
(ab) n = a n *b n ;
(b≠0);
а 1 =а; а 0 =1 (а≠0).
(a p) q =a pq
(1)
Степень с иррациональным показателем. Иррациональное число
можно представить в виде
предела последовательности рациональных чисел
:
.
Пусть . Тогда существуют степени с рациональным показателем . Можно доказать, что последовательность этих степеней является сходящейся. Предел этой последовательности называется степенью с основанием и иррациональным показателем : . Зафиксируем положительное число а и поставим в соответствие каждому числу . Тем самым получим числовую функцию f(x) = a x , определенную на множестве Q рациональных чисел и обладающую ранее перечисленными свойствами. При а=1 функция f(x) = a x постоянна, так как 1 x =1 для любого рационального х.
;
.
Показательная функция.
При a > 0, a = 1, определена функция y = a x , отличная от постоянной. Эта функция называется показательной функцией с основанием a .
y
= a
x
при a
> 1:
Графики показательных функций с основанием 0 < a < 1 и a > 1 изображены на рисунке. Основные свойства показательной функции y = a x при 0 < a < 1:
Степень с рациональным показателем, её свойства. Выражение а
n определено для всех а и n, кроме случая а=0 при n≤0. Напомним свойства таких степеней.
A m *a n =a m+n ;
a m:а n =a m-n (а≠0);
(а m) n = а mn ;
(ab) n = a n *b n ;
(b≠0);
а 1 =а; а 0 =1 (а≠0).
(a p) q =a pq
(1)
Степень с иррациональным показателем. Иррациональное число
можно представить в виде
предела последовательности рациональных чисел
:
.
Пусть . Тогда существуют степени с рациональным показателем . Можно доказать, что последовательность этих степеней является сходящейся. Предел этой последовательности называется степенью с основанием и иррациональным показателем : . Зафиксируем положительное число а и поставим в соответствие каждому числу . Тем самым получим числовую функцию f(x) = a x , определенную на множестве Q рациональных чисел и обладающую ранее перечисленными свойствами. При а=1 функция f(x) = a x постоянна, так как 1 x =1 для любого рационального х.
;
.
Показательная функция.
При a > 0, a = 1, определена функция y = a x , отличная от постоянной. Эта функция называется показательной функцией с основанием a .
y
= a
x
при a
> 1:
Графики показательных функций с основанием 0 < a < 1 и a > 1 изображены на рисунке. Основные свойства показательной функции y = a x при 0 < a < 1:
|