Точки Лагранжа - это области в системе двух космических тел с большой массой, в которых третье тело с небольшой массой, может быть неподвижным на протяжении долгого периода времени относительно этих тел.

В астрономической науке точки Лагранжа называют еще точками либрации (либрация от лат. librātiō - раскачивание) или L-точками. Впервые они были обнаружены в 1772 году известным французским математиком Жозефом Луи Лагранжем.

Точки Лагранжа наиболее часто упоминаются при решении ограниченной задачи трех тел. В этой задаче три тела имеют круговые орбиты, но масса одного из них меньше массы любого из двух других объектов. Два крупных тела в этой системе обращаются вокруг общего центра масс, имея постоянную угловую скорость. В области вокруг этих тел находится пять точек, в которых тело, масса которого меньше массы любого из двух крупных объектов, может оставаться неподвижным. Это происходит за счет того, что силы гравитации, которые действуют на это тело, компенсируются центробежными силами. Эти пять точек и называются точками Лагранжа.

Точки Лагранжа лежат в плоскости орбит массивных тел. В современной астрономии они обозначаются латинской буквой «L». Также в зависимости от своего места расположения каждая из пяти точек имеет свой порядковый номер, который обозначается числовым индексом от 1 до 5. Первый три точки Лагранжа называют коллинеарными, остальные две - троянскими или треугольными.

Расположение ближайших точек Лагранжа и примеры точек

В независимости от типа массивных небесных тел, точки Лагранжа всегда будут иметь одинаковое местоположение в пространстве между ними. Первая точка Лагранжа находится между двумя массивными объектами, ближе к тому, который имеет меньшую массу. Вторая точка Лагранжа находится за менее массивным телом. Третья точка Лагранжа находится на значительном расстоянии за телом, обладающим большей массой. Точное место расположения этих трех точек рассчитывается при помощи специальных математических формул индивидуально для каждой космической двойной системы, учитывая ее физические характеристики.

Если говорить о ближайших к нам точкам Лагранжа, то первая точка Лагранжа в системе Солнце-Земля будет находиться на расстоянии полтора миллиона километров от нашей планеты. В этой точке притяжение Солнца будет на два процента сильнее, чем на орбите нашей планеты, в то время как уменьшение необходимой центростремительной силы будет в два раза меньше. Оба этих эффекта в данной точке будут уравновешены гравитационным притяжением Земли.

Первая точка Лагранжа в системе Земля-Солнце является удобным наблюдательным пунктом за главной звездой нашей планетарной системы - Солнцем. Именно здесь ученые-астрономы стремятся разместить космические обсерватории для наблюдения за этой звездой. Так, к примеру, в 1978 году вблизи этой точки расположился космический аппарат ISEE-3, предназначенный для наблюдения за Солнцем. В последующие годы в район этой точки были запущены космические аппараты , DSCOVR, WIND и ACE.

Вторая и третья точки Лагранжа

Гайя, телескоп, расположившийся во второй точке Лагранжа

Вторая точка Лагранжа находится в двойной системе массивных объектов за телом, обладающим меньшей массой. Применение этой точки в современной астрономической науке сводится к размещению в ее районе космических обсерваторий и телескопов. В данный момент в этой точке находятся такие космические аппараты, как «Гершель», «Планк», WMAP и . В 2018 году туда должен отправиться еще один космический аппарат - «Джемс Уэбб».

Третья точка Лагранжа находится в двойной системе на значительном расстоянии за более массивным объектом. Если говорить о системе Солнце-Земля, то такая точка будет находиться за Солнцем, на расстоянии чуть большем, чем то, на котором находится орбита нашей планеты. Связано это с тем, что, несмотря на свои малые размеры, Земля все же оказывает незначительное гравитационное влияние на Солнце. Спутники, размещенные в этой области космоса, могут передавать на Землю точную информацию о Солнце, появлении новых «пятен» на звезде, а также передавать данные о космической погоде.

Четвертая и пятая точки Лагранжа

Четвертая и пятая точки Лагранжа называются треугольными. Если в системе, состоящей из двух массивных космических объектов, вращающихся вокруг общего центра масс, на основе линии, соединяющей эти объекты, мысленно начертить два равносторонних треугольника, вершины которого будут соответствовать положению двух массивных тел, то четвертая и пятая точки Лагранжа будут находиться в месте третьих вершин данных треугольников. То есть, они будут находиться в плоскости орбиты второго массивного объекта в 60 градусах сзади и впереди него.

Треугольные точки Лагранжа также называют еще и «троянскими». Второе название точек происходит от троянских астероидов Юпитера, которые являются ярчайшим наглядным проявлением четвертой и пятой точек Лагранжа в нашей Солнечной системе.

В данный момент четвертая и пятая точки Лагранжа в двойной системе Солнце-Земля никак не используются. В 2010 году в четвертой точке Лагранжа этой системы ученые обнаружили достаточно крупный астероид. В пятой точке Лагранжа на данном этапе никаких крупных космических объектов не наблюдается, однако последние данные говорят нам о том, что там находится большое скопление межпланетной пыли.

1. В 2009 году два космических аппарата STEREO пролетели через четвертую и пятую точки Лагранжа.
2. Точки Лагранжа часто используются в научно-фантастических произведениях. Часто в этих областях пространства, вокруг двойных систем, писатели-фантасты помещают свои вымышленные космические станции, мусорные свалки, астероиды и даже другие планеты.
3. В 2018 году во второй точке Лагранжа в двойной системе Солнце-Земля ученые планируют поместить космический телескоп «Джеймс Уэбб». Этот телескоп должен заменить действующий космический телескоп « », который находится в этой точке. В 2024 году ученые планируют поместить в этой точке еще один телескоп «PLATO».
4. Первая точка Лагранжа в системе Луна-Земля могла бы стать отличным местом для размещения пилотируемой орбитальной станции, которая могла бы значительно уменьшить затрату ресурсов, необходимых для того, чтобы добраться с Земли на Луну.
5. Два космических телескопа «Планк» и « », которые были запущены в космос в 2009 году, в данный момент находятся во второй точке Лагранжа в системе Солнце-Земля.

Точки Лагранжа получили свое название в честь известного математика восемнадцатого века, который описал понятие Проблемы трех тел в своем труде 1772 года. Еще эти поинты называют лагранжевыми точками, а также точками либрации.

Но что такое точка Лагранжа с научной, не исторической точки зрения?

Лагранжевая точка — это некое место в пространстве, где объединенные силы тяжести двух довольно больших тел, к примеру, Земли и Солнца, Земли и Луны, равны центробежной силе, ощущаемой куда более маленьким третьим телом. В результате взаимодействия всех этих тел создается точка равновесия, где космический летательный аппарат может припарковаться и вести свои наблюдения.

Мы знаем о пяти таких точках. Три из них расположены вдоль линии, которая соединяет два больших объекта. Если брать соединение Земли с Солнцем, то первая точка L1 лежит как раз между ними. Расстояние от Земли до нее составляет один миллион миль. С этой точки всегда открыт вид на Солнце. Она на сегодня полностью захвачена «глазами» SOHO — обсерватории Солнца и Гелиосферы, а также обсерватории Климата глубокого Космоса.

Есть еще L2, которая находится в миллионе миль от Земли, как и ее сестра. Однако в противоположном от Солнца направлении. В данной точке с Землей, Солнце и Луной позади нее космический корабль может получить идеальное видение глубокого космоса.

Сегодня ученые измеряют в этой области космическое фоновое излучение, которое возникло в результате Большого взрыва. Планируется в 2018 переместить в этот регион и космический телескоп Джеймса Вебба.

Другая точка Лагранжа — L3 — находится в противоположном от Земли направлении. Она всегда лежит за Солнцем и скрыта на веки вечные. Кстати, большое число научной фантастики рассказывало миру о некой тайной планете Х, как раз находящейся в данной точке. Появился даже голливудский фильм Человек с планеты Х.

Однако стоит заметить, что все три точки нестабильны. У них неустойчивое равновесие. Иными словами, если космический корабль дрейфовал бы в сторону или от Земли, то он неминуемо упал бы либо на Солнце, либо на нашу планету. То есть он был бы в роли тележки, находящейся на острие очень крутого холма. Так что кораблям придется постоянно вносить корректировки, чтобы не случилось трагедии.

Хорошо, что есть более стабильные точки — L4, L5. Их стабильность сравнивается с мячом в большой миске. Расположены эти точки вдоль земной орбиты на шестьдесят градусов позади и впереди нашего дома. Таким образом образуется два равносторонних треугольника, у которых в виде вершин выступают большие массы, к примеру, Земля или Солнце.

Поскольку эти точки стабильны, в их области постоянно накапливаются космическая пыль с астероидами. Причем астероиды называются троянскими, так как названы следующими именами: Агамемнон, Ахилл, Гектор. Находятся они между Солнцем и Юпитером. Как говорят в NASA, существуют тысячи подобных астероидов, к которым относится и известный троянец 2010 TK7.

Считается, что L4, L5 — великолепно подходят для организации там колоний. Особенно из-за того, что они довольно близко к Земному шару.

Привлекательность точек Лагранжа

Вдали от солнечного тепла корабли в точках Лагранжа L1 и 2 могут быть настолько чувствительны, чтобы использовать инфракрасные лучи, исходящие от астероидов. Причем в данном случае не понадобилось бы охлаждение корпуса. Эти инфракрасные сигналы можно применять как направляющие направлений, избегая пути к Солнцу. Также у этих точек довольно высокая пропускная способность. Скорость связи гораздо более высокая, чем при использовании Ка- диапазона. Ведь если корабль находится на гелиоцентрической орбите (вокруг Солнца), то его слишком большая удаленность от Земли плохо скажется на скорости передачи данных.

Что это за «точки», чем они привлекательны в космических проектах и есть ли практика их использования? С этими вопросами редколлегия портала «Планета Королева» обратилась к доктору технических наук Юрию Петровичу Улыбышеву.

Проводит интервью Волков Олег Николаевич, заместитель руководителя проекта «Великое начало».

Волков О.Н.: В гостях интернет портала «Планета Королева заместитель руководителя научно-технического центра ракетно-космической корпорации «Энергия», начальник отдела космической баллистики, доктор технических наук Юрий Петрович Улыбышев. Юрий Петрович, добрый день!

.: Добрый день.

В.: Существование на околоземной орбите пилотируемых комплексов это не диковинка. Это обычное, привычное дело. В последнее время в международном космическом сообществе проявляется интерес к другим космическим проектам, в которых предполагается размещать космические комплексы, в том числе, и пилотируемые в, так называемых, точках Лагранжа. Среди них проект посещаемых космических станций, проект станций, размещаемых для поиска опасных астероидов и слежения Луны.

Что такое точки Лагранжа? В чем их существо с точки зрения небесной механики? Какова история теоретических исследований по данному вопросу? Каковы основные результаты исследований?

У. : В нашей солнечной системе имеется большое количество природных эффектов, связанных с движением Земли, Луны, планет. К ним относятся и, так называемые, точки Лагранжа. В научной литературе их чаще даже называют точками либрации. Чтобы объяснить физическую суть этого явления, для начала рассмотрим простую систему. Есть Земля, и вокруг нее по круговой орбите летает Луна. Ничего больше в природе нет. Это, так называемая, ограниченная задача трех тел. И вот в этой задаче мы рассмотрим космический аппарат и его возможное движение.

Самое первое, что приходит на ум рассмотреть: а что будет, если космический аппарат находится на линии, соединяющей Землю и Луну. Если мы будем двигаться по этой линии, то у нас есть два гравитационных ускорения: притяжение Земли, притяжение Луны, и плюс есть центростремительное ускорение за счет того, что эта линия постоянно вращается. Очевидно, что в какой-то точке все эти три ускорения вследствие того, что они разнонаправлены и лежат на одной линии, могут обнулиться, т.е. это будет точка равновесия. Вот такую точку и называют точкой Лагранжа, либо либрационной точкой. На самом деле таких точек пять: три из них находятся на вращающейся линии, соединяющей Землю и Луну, их называют коллинеарными точками либрации. Первая, которую мы с вами разобрали, обозначают L 1, вторая находится за Луной - L 2, и третья коллинеарная точка - L 3 находится с обратной стороны Земли по отношению к Луне. Т.е. на этой линии, но в противоположном направлении. Это первые три точки.

Есть еще две точки, которые находятся с двух сторон вне этой линии. Их называют треугольными точками либрации. Все эти точки показаны на этом рисунке (Рис.1). Вот такая идеализированная картинка.

Рис.1.

Теперь, если мы поместим в любую из этих точек космический аппарат, то в рамках вот такой простой системы он всегда там и останется. Если мы чуть – чуть отклонимся от этих точек, то в их окрестности могут существовать периодические орбиты, их называют еще гало-орбитами (см. Рис.2), и космический аппарат сможет двигаться вокруг этой точки по вот таким своеобразным орбитам. Если говорить о точках либрации L 1, L 2 системы Земля – Луна, то период движения по этим орбитам будет порядка 12 - 14 суток, и они могу быть выбраны совершенно разным образом.

Рис.2.

На самом деле, если мы вернемся к реальной жизни и рассмотрим вот эту задачу уже в точной постановке, то все окажется гораздо сложнее. Т.е. космический аппарат не может находиться очень долго, больше, скажем, одного периода, в движении по такой вот орбите, не может оставаться на ней, за счет того, что:

Во-первых, орбита Луны вокруг Земли не является круговой – она имеет небольшую эллиптичность;

Кроме того, на космический аппарат будет действовать притяжение Солнца, давление солнечного света.

В итоге космический аппарат не сможет оставаться на такой орбите. Поэтому, с точки зрения реализации космического полета по подобным орбитам, необходимо выведение космического аппарата на соответствующую гало-орбиту и затем периодическое проведение маневров по ее поддержанию.

По меркам межпланетных полетов затраты топлива на поддержание для таких орбит достаточно малы, не больше 50 – 80 м/сек в год. Для сравнения могу сказать, поддержание орбиты геостационарного спутника в год это тоже 50 м/сек. Там мы удерживаем геостационарный спутник около неподвижной точки - эта задача гораздо проще. Здесь мы должны удерживать космический аппарат в окрестности вот такой гало-орбиты. В принципе, практически эта задача реализуема. Более того, она реализуема с использованием двигателей малой тяги, и каждый маневр это доля метра или единицы м/сек. Отсюда напрашивается возможность использования орбит в окрестности этих точек для космических полетов, в том числе, пилотируемых.

Теперь, с точки зрения, а почему они выгодны, и чем они интересны, именно, для практической космонавтики?

Если вы все помните, американский проект « APOLLO », в котором использовалась окололунная орбита, с которой спускался аппарат, приземлялся на поверхность Луны, через некоторое время возвращался на окололунную орбиту и затем летел к Земле. Окололунные орбиты представляют определенный интерес, но они не всегда удобны для пилотируемой космонавтики. У нас могут быть различные нештатные ситуации, кроме того естественно желание изучать Луну не только в окрестности какого-то района, а вообще изучать всю Луну. В итоге оказывается, что использование окололунных орбит связано с рядом ограничений. Ограничения накладываются на даты старта, на даты возврата с окололунной орбиты. Параметры окололунных орбит могут зависеть от располагаемой энергетики. Скажем, полярные районы могут быть недоступны. Но самый главный, наверное, аргумент в пользу космических станций в окрестностях точек либрации заключается в том, что:

Первое, мы можем стартовать с Земли в любой момент времени;

Если станция находится в точке либрации, и космонавты должны лететь на Луну, они могут из точки либрации, вернее с гало-орбиты, лететь в любую точку на поверхности Луны;

Теперь, когда экипаж прилетел: с точки зрения пилотируемой космонавтики, очень важно обеспечение возможности быстрого возврата экипажа в случае каких-то нештатных ситуаций, болезней членов экипажа и т.п. Если мы говорим про окололунную орбиту, нам может понадобиться ожидание, допустим, времени старта 2 недели, а здесь мы можем стартовать в любой момент времени – с Луны до станции в точку либрации и затем к Земле, либо, в принципе, сразу к Земле. Такие преимущества достаточно явным образом видны.

Имеются варианты использования: L1 или L2. Есть определенные различия. Как вы знаете, Луна повернута к нам всегда одной и той же стороной, т.е. период ее собственного вращения равен периоду ее движения вокруг Земли. В итоге, обратная сторона Луны никогда не видна с Земли. В этом случае можно выбрать гало-орбиту такую, что она всегда будет находиться на линии видимости с Землей и иметь возможность осуществления связи, наблюдений и еще каких-то экспериментов, связанных с обратной стороной Луны. Таким образом, космические станции, размещенные в точке либо в точке L1, либо в точке L2, для пилотируемой космонавтики могут иметь определенные преимущества. Кроме того, интересным является то, что между гало-орбитами точек L1 или L2 можно осуществить, так называемый, низкоэнергетический перелет, буквально, 10 м/сек, и мы перелетим с одной гало-орбиты на другую.

В.: Юрий Петрович, у меня вопрос: точка L1 находится на линии между Луной и Землей, и, как я понимаю, с точки зрения обеспечения связи между космической станцией и Землей, более удобна. Вы говорили, что L2, точка, которая находится за Луной, тоже представляет интерес для практической космонавтики. А как обеспечить связь с Землей, если станция будет находиться в точке L2?

У .: Любая станция, находясь на орбите в окрестностях точки L1, имеет возможность непрерывной связи с Землей, любая гало-орбита. Для точки L2 несколько сложнее. Это связано с тем, что космическая станция при движении по гало-орбите может оказаться по отношению к Земле, как бы, в тени Луны, и связь тогда невозможна. Но можно построить такую гало-орбиту, которая всегда будет иметь возможность связи с Землей. Это специально выбранная орбита.

В.: Это несложно сделать?

У. : Да, можно сделать, и, так как ничто не удается сделать бесплатно, потребуется несколько большего расхода топлива. Скажем, вместо 50 м/сек будет 100 м/сек. Наверное, это не самый критичный вопрос.

В.: Еще один уточняющий вопрос. Вы говорили, что энергетически легко перелететь из точки L1 в точку L2, и обратно. Правильно я понимаю, что не имеет смысла создавать две станции в районе Луны, а достаточно иметь одну станцию, которая энергетически легко переходит в другую точку?

У. : Да, кстати говоря, наши партнеры по международной космической станции предлагают один из вариантов для обсуждения развития проекта МКС в виде космической станции с возможностью перелета от точки L1 в точку L2, и обратно. Это вполне реализуемо и обозримо по времени перелета (скажем, 2 недели) и может быть использовано для пилотируемой космонавтики.

Еще я хотел сказать, что на практике полеты по гало-орбитам в настоящее время были реализованы американцами по проекту ARTEMIS . Это примерно 2-3 года назад. Там два космических аппарата летали в окрестностях точек L1 и L2 с поддержанием соответствующих орбит. Один аппарат совершил перелет из точки L2 в точку L1. Вся эта технология на практике реализована. Конечно, хотелось, чтобы это сделали мы.

В.: Ну, у нас еще все впереди. Юрий Петрович, следующий вопрос. Как я понял из Ваших рассуждений, любая космическая система, состоящая из двух планет, имеет точки Лагранжа, или точки либрации. Существуют такие точки для системы Солнце – Земля, и в чем привлекательность этих точек?

У. : Да, конечно, совершенно правильно. В системе Земля – Солнце имеются тоже точки либрации. Их тоже пять. В отличие от окололунных точек либрации полет в тех точках может быть привлекателен уже для совсем других задач. Если говорить конкретно, то наибольший интерес представляют точки L1 и L2. Т.е. точка L1 по направлению от Земли к Солнцу, а точка L2 в противоположном направлении на линии, соединяющей Землю и Солнце.

Так вот, первый полет в точку L1 в системе Солнце - Земля был осуществлен в 1978 году. С тех пор было реализовано несколько космических миссий. Основной лейтмотив таких проектов был связан с наблюдением за Солнцем: за солнечным ветром, за солнечной активностью, в том числе. Есть системы, которые используют предупреждение о каких-то активных процессах на Солнце, влияющих на Землю: на наш климат, на самочувствие людей и т.д. Это то, что касается точки L1. Она в первую очередь интересна человечеству возможностью наблюдения за Солнцем, за его активностью и за процессами, которые проходят на Солнце.

Теперь точка L2. Точка L2 тоже интересна и, в первую очередь, для астрофизики. И связано это с тем, что космический аппарат, размещенный в окрестностях этой точки, может использовать, например, радиотелескоп, который будет экранирован от излучения со стороны Солнца. Он будет направлен противоположно от Земли и Солнца и может позволить проводить более чисто астрофизические наблюдения. Они не зашумлены Солнцем, ни какими-то отраженными излучениями со стороны Земли. И еще интересно, т.к. мы движемся вокруг Солнца, за 365 дней делаем полный оборот, то подобным радиотелескопом можно рассмотреть любое направление вселенной. Такие проекты тоже есть. Вот сейчас у нас в Физическом институте Российской Академии Наук разрабатывается такой проект «Миллиметрон». В этой точке тоже ряд миссий был реализован, и космические аппараты летают.

В.: Юрий Петрович, с точки зрения поиска опасных астероидов, которые могут угрожать Земле, в какой точке надо размещать космические аппараты, чтобы они следили за опасными астероидами?

У. : Вообще-то, такого прямого, очевидного ответа на этот вопрос, мне кажется, нет. Почему? Потому что движущиеся астероиды по отношению к солнечной системе, как бы, группируются в ряд семейств, у них совершенно разные орбиты и, по моему мнению, можно в окололунной точке поместить аппарат для одного типа астероидов. То, что касается точек либрации системы Солнце - Земля, также можно посмотреть. Но такого очевидного, прямого ответа: «такая-то точка в такой-то системе» - мне кажется, трудно дать. Но, в принципе, точки либрации могут быть привлекательны для защиты Земли.

В.: Правильно я понимаю, солнечная система имеет еще много интересных мест, не только Земля – Луна, Земля – Солнце. А какие еще интересные места солнечной системы можно использовать в космических проектах?

У. : Дело в том, что в солнечной системе в том виде, в каком она существует, помимо эффекта, связанного с точками либрации, существует еще ряд таких эффектов, связанный с взаимным движением тел в солнечной системе: и Земли, и планет, и т.д. У нас в России я, к сожалению, не знаю работ на эту тему, а вот, в первую очередь, американцы и европейцы выявили, что в солнечной системе существуют, так называемые, низкоэнергетические перелеты (причем, эти исследования - достаточно сложные и в математическом плане работы, и в плане вычислительном – они требуют больших вычислительных суперкомпьютеров).

Вот, к примеру, возвращаемся к точке L1 системы Земля - Луна. По отношению к этой точке можно построить (это привлекательно для автоматических аппаратов) перелеты по всей солнечной системе, давая небольшие, по меркам межпланетных полетов, импульсы порядка нескольких сотен м/сек. И тогда этот космический аппарат начнет медленное движение. При этом можно построить траекторию таким образом, что она обойдет ряд планет.

В отличие от прямых межпланетных перелетов это будет длительный процесс. Поэтому, для пилотируемой космонавтики он не очень подходит. А для автоматических аппаратов он очень может быть очень привлекательным.

Вот на картинке (Рис.3) показана иллюстрация этих перелетов. Траектории, как бы, зацепляются друг за друга. Переход с гало-орбиты с L1 в L2. Он сто ит достаточно немного. Вот там - то же самое. Мы как бы скользим по этому тоннелю, и в месте зацепления или близком к зацеплению с другим тоннелем мы даем небольшой маневр и перелетаем, идем к другой планете. Вообще, очень интересное направление. Оно называется « Superhighway » (по крайней мере, американцы используют такой термин).

Рис.3.
(рисунок из зарубежных публикаций)

Практическая реализация частично была сделана американцами в рамках проекта GENESIS . Сейчас они тоже в этом направлении работают. Мне кажется, это одно из наиболее перспективных таких направлений в развитии космонавтики. Потому что все-таки с теми двигателями, «движителями», которые у нас имеются в настоящее время, я имею в виду двигатели большой тяги и двигатели электрореактивные (которые пока имеют очень маленькую тягу и требуют большую энергию), мы сдвинуться в плане освоения солнечной системы или дальнейшего изучения сильно не можем. А вот такие многолетние или даже десятилетние задачи перелета могут быть для исследований очень интересны. Так же, как Вояджер. Он летал, кажется, с 1978 года или 1982 (с 1977 года – ред.) , сейчас ушел за пределы солнечной системы. Это направление очень сложно. Во-первых, сложно в математическом плане. Кроме того, здесь анализ и расчеты по механике перелетов требуют высоких ресурсов компьютеров, т.е. на персональном компьютере это сомнительно обсчитать, нужно использовать суперкомпьютеры.

В.: Юрий Петрович, можно систему низкоэнергетичных переходов использовать для организации космического солнечного патруля – постоянной системы мониторинга солнечной системы с имеющимися ограничениями по топливу, которые у нас есть?

У. : Даже между Землей и Луной, а также, допустим, между Землей и Марсом, Землей и Венерой существуют, так называемые квазипериодические траектории. Подобно тому, как мы разбирали гало-орбиту, которая в идеальной задаче без возмущения существует, но, когда мы накладываем реальные возмущения, мы вынуждены корректировать каким-то образом орбиту. Эти квазипериодические орбиты требуют тоже небольших, по меркам межпланетных полетов, когда характеристические скорости – это сотни м/сек. С точки зрения космического патруля для наблюдения за астероидами они могут быть привлекательны. Единственный минус в том, что они слабо подходят для нынешней пилотируемой космонавтики из-за большой длительности перелетов. А с точки зрения энергии, и даже с теми двигателями, которые сейчас в нашем столетии есть, можно сделать достаточно интересные проекты.

В.: Правильно я понимаю, точки либрации системы Земля - Луна, Вы предполагаете для пилотируемых объектов, а точки, о которых Вы говорили раньше, для автоматов?

У. : Еще я хотел бы добавить один момент, космическая станция в L1 или в L2 может служить для запуска небольших космических аппаратов (американцы называют такой подход « Gate Way » - «Мост во вселенную»). Аппарат может с использованием низкоэнергетических перелетов как-то периодически двигаться вокруг Земли на очень больших расстояниях, либо осуществлять перелет к другим планетам или даже облет нескольких планет.

В.: Если немного пофантазировать, то в дальнейшем Луна будет являться источником космического топлива, и на точку либрации системы Земля - Луна будет поступать лунное топливо, то можно заправлять космические аппараты космическим топливом и посылать космические патрули по всей солнечной системе.

Юрий Петрович, Вы рассказывали об интересных явлениях. Их исследовали американская сторона ( NASA ), а в нашей стране занимаются этими проектами?

У. : Проектами, связанными с точками либрации системы Земля – Луна, насколько я знаю, наверное, не занимаются. Вот проектами, связанными с точками либрации системы Солнце – Земля, занимаются. У нас большой опыт в этом направлении имеют Институт прикладной математики Российской Академии Наук имени Келдыша, Институт космических исследований, некоторые ВУЗы в России пытаются заниматься подобными проблемами. Но такого систематического подхода, большой программы, потому что программа должна начинаться с подготовки кадров, причем кадров с очень высокой квалификацией, нет. В традиционных курсах по космической баллистике, по небесной механике сама механика движения космических аппаратов в окрестности точек либрации, низкоэнергетические перелеты, практически отсутствует.

Я должен отметить, во времена Советского Союза подобными программами занимались более – менее активно, и специалисты были, как я уже упоминал, в Институте прикладной математики, ИКИ, ФИАН. Сейчас многие из них находится в таком возрасте… А большое количестве молодежи, которая занималась бы этими проблемами, проглядывается весьма слабо.

Я упомянул американцев не в том плане, чтобы их похвалить. Дело в том, что в США этими проблемами занимаются очень крупные подразделения. В первую очередь, в лаборатории JPL NASA большой коллектив работает, и они осуществили, наверное, большинство американских проектов межпланетной космонавтики. Во многих американских университетах, в других центрах, в NASA , работает большое количество специалистов с хорошей подготовкой, с хорошим компьютерным оснащением. Они идут по этой проблеме, в этом направлении очень широким фронтом.

У нас, к сожалению, это как-то скомкано. Если бы такая программа в России и появилась бы, представляла в целом большой интерес, то на развертывание этих работ, могло бы уйти достаточно длительное время, начиная с подготовки кадров и кончая исследованиями, расчетами, разработкой соответствующих космических аппаратов.

В.: Юрий Петрович, а какие ВУЗы готовят специалистов по небесной механике в нашей стране?

У. : Насколько я знаю, в МГУ, в Петербургском университете есть кафедра небесной механики. Там такие специалисты есть. Сколько их, я затрудняюсь ответить.

В.: Потому что, чтобы начать реализовывать практическую сторону вопроса, надо сначала стать глубоким специалистом, а для этого надо иметь соответствующую специальность.

У. : И иметь очень хорошую математическую подготовку.

В.: Хорошо. А можете сейчас привести список литературы, который помог бы тем людям, которые не имеют сейчас специальной математической подготовки?

У. : На русском языке, насколько я знаю, посвященная точкам либрации, есть одна монография Маркеева. Если память мне не изменяет, она называется так «Точки либрации в небесной механике и космодинамике». Она, примерно, в 1978 году выходила. Есть справочник под редакцией Дубошина «Справочник по небесной механике и астродинамике». Он выдержал 2 издания. Насколько я помню, в нем тоже такие вопросы есть. Остальное можно почерпнуть, во-первых, на сайте Института прикладной математики есть электронная библиотека и свои препринты (отдельно изданные статьи) по этому направлению. Они печатают в свободном доступе в Интернете. С помощью поисковой системы можно найти соответствующие препринты и их посмотреть. Очень много доступного с Интернете материала на английском языке.

В.: Спасибо за увлекательный рассказ. Я надеюсь, эта тема будет интересна для наших пользователей интернет ресурса. Спасибо Вам огромное!

В системе вращения двух космических тел определенной массы существуют точки в пространстве, поместив в которые любой объект небольшой массы, можно зафиксировать его в стационарном положении относительно этих двух тел вращения. Эти точки получили название точек Лагранжа. В статье пойдет речь о том, как они используются человеком.

Что представляют собой точки Лагранжа?

Для понимания этого вопроса следует обратиться к решению проблемы трех вращающихся тел, два из которых имеют такую массу, что масса третьего тела пренебрежимо мала по сравнению с ними. В таком случае можно найти положения в пространстве, в которых гравитационные поля обоих массивных тел будут компенсировать центростремительную силу всей вращающейся системы. Эти положения и будут точками Лагранжа. Поместив в них тело малой массы, можно наблюдать, как его расстояния до каждого из двух массивных тел не изменяются сколь угодно долго. Здесь можно привести аналогию с геостационарной орбитой, находясь на которой, спутник всегда расположен над одной точкой земной поверхности.

Необходимо пояснить, что тело, которое находится в точке Лагранжа (ее также называют свободной точкой или точкой L), относительно внешнего наблюдателя совершает движение вокруг каждого из двух тел с большой массой, но это движение в совокупности с движением двух оставшихся тел системы имеет такой характер, что относительно каждого из них третье тело находится в покое.

Сколько этих точек и где они находятся?

Для системы вращающихся двух тел с абсолютно любой массой существует всего пять точек L, которые принято обозначать L1, L2, L3, L4 и L5. Все эти точки расположены в плоскости вращения рассматриваемых тел. Первые три точки находятся на линии, соединяющей центры масс двух тел таким образом, что L1 расположена между телами, а L2 и L3 за каждым из тел. Точки L4 и L5 расположены так, что если соединить каждую из них с центрами масс двух тел системы, то получатся два одинаковых треугольника в пространстве. Ниже на рисунке показаны все точки Лагранжа Земля-Солнце.

Синие и красные стрелки на рисунке показывают направление действия результирующей силы при приближении к соответствующей свободной точке. Из рисунка можно видеть, что области точек L4 и L5 являются намного большими, чем зоны точек L1, L2 и L3.

Историческая справка

Впервые существование свободных точек в системе трех вращающихся тел доказал итальяно-французский математик в 1772 году. Для этого ученому пришлось ввести некоторые гипотезы и разработать собственную механику, отличную от механики Ньютона.

Лагранж вычислил точки L, которые были названы в честь его имени, для идеальных круговых орбит вращения. В действительности же орбиты являются эллиптическими. Последний факт приводит к тому, что уже не существуют точки Лагранжа, а существуют области, в которых третье тело малой массы совершает круговое движение подобно движению каждого из двух массивных тел.

Свободная точка L1

Существование точки Лагранжа L1 легко доказать, применяя следующие рассуждения: возьмем для примера Солнце и Землю, согласно третьему закону Кеплера, чем ближе тело находится к своей звезде, тем короче его период вращения вокруг этой звезды (квадрат периода вращения тела прямо пропорционален кубу среднего расстояния от тела до звезды). Это означает, что любое тело, которое расположено между Землей и Солнцем, будет вращаться вокруг звезды быстрее, чем наша планета.

Однако не учитывает влияние гравитации второго тела, то есть Земли. Если принять во внимание этот факт, то можно предположить, что чем ближе к Земле находится третье тело малой массы, тем сильнее будет противодействие земной гравитации солнечной. В итоге найдется такая точка, где земная гравитация замедлит скорость вращения третьего тела вокруг Солнца таким образом, что периоды вращения планеты и тела сравняются. Это и будет свободная точка L1. Расстояние до точки Лагранжа L1 от Земли равно 1/100 от радиуса орбиты планеты вокруг звезды и составляет 1,5 млн км.

Как используют область L1? Это идеальное место, где можно наблюдать за солнечной радиацией, поскольку здесь никогда не бывает солнечных затмений. В настоящее время в области L1 расположены несколько спутников, которые занимаются изучением солнечного ветра. Одним из них является европейский искусственный спутник SOHO.

Что касается этой точки Лагранжа Земля-Луна, то находится она приблизительно в 60 000 км от Луны, и используется в качестве "перевалочного" пункта во время миссий космических кораблей и спутников на Луну и обратно.

Свободная точка L2

Рассуждая аналогично предыдущему случаю, можно сделать вывод, что в системе двух тел вращения за пределами орбиты тела с меньшей массой должна существовать область, где падение центробежной силы компенсируется гравитацией этого тела, что приводит к выравниванию периодов вращения тела с меньшей массой и третьего тела вокруг тела с большей массой. Эта область является свободной точкой L2.

Если рассматривать систему Солнце-Земля, то до этой точки Лагранжа расстояние от планеты будет точно такое же, как и до точки L1, то есть 1,5 млн км, только расположена L2 за Землей и дальше от Солнца. Поскольку в области L2 отсутствует влияние солнечной радиации благодаря земной защите, то ее используют для наблюдений за Вселенной, располагая здесь разные спутники и телескопы.

В системе Земля-Луна точка L2 расположена за естественным спутником Земли на расстоянии от него в 60 000 км. В лунной L2 находятся спутники, которые используются для наблюдений за обратной стороной Луны.

Свободные точки L3, L4 и L5

Точка L3 в системе Солнце-Земля находится за звездой, поэтому с Земли ее нельзя наблюдать. Точка не используется никак, поскольку она является нестабильной из-за влияния гравитации других планет, например, Венеры.

Точки L4 и L5 являются самыми стабильными областями Лагранжа, поэтому практически около каждой планеты в них находятся астероиды или космическая пыль. Например, в этих точках Лагранжа Луны существует только космическая пыль, а в L4 и L5 Юпитера расположены троянские астероиды.

Другие применения свободных точек

Помимо установки спутников и наблюдения за космосом, точки Лагранжа Земли и других планет можно использовать и для космических путешествий. Из теории следует, что перемещения через точки Лагранжа разных планет являются энергетически выгодными и требуют небольших затрат энергий.

Еще одним интересным примером использования точки L1 Земли стал физический проект одного украинского школьника. Он предложил расположить в этой области облако астероидной пыли, которое будет защищать Землю от губительного солнечного ветра. Таким образом, точку можно использовать для воздействия на климат всей голубой планеты.

Б. В. Булюбаш ,
, МГТУ им. Р.Е.Алексеева, г. Нижний Новгород

Точки Лагранжа

Около 400 лет назад в распоряжении астрономов оказался новый инструмент для изучения мира планет и звёзд – телескоп Галилео Галилея. Прошло совсем немного времени, и к нему добавились открытые Исааком Ньютоном закон всемирного тяготения и три закона механики. Но только после смерти Ньютона были разработаны математические методы, позволившие эффективно использовать открытые им законы и производить точный расчёт траекторий небесных тел. Авторами этих методов стали французские математики. Ключевыми фигурами были Пьер Симон Лаплас (1749–1827) и Жозеф Луи Лагранж (1736–1813). В значительной степени именно их усилиями была создана новая наука – небесная механика. Именно так назвал её Лаплас, для которого небесная механика стала обоснованием философии детерминизма. В частности, широкую известность приобрёл образ описанного Лапласом вымышленного существа, которое, зная скорости и координаты всех частиц во Вселенной, могло однозначно предсказать её состояние в любой будущий момент времени. Это существо – «демон Лапласа» – олицетворяло главную идею философии детерминизма. А звёздный час новой науки наступил 23 сентября 1846 г., с открытием восьмой планеты Солнечной системы – Нептуна. Немецкий астроном Иоганн Галле (1812–1910) обнаружил Нептун именно там, где тот и должен был находиться согласно расчётам, выполненным французским математиком Урбеном Леверье (1811–1877).

Одним из выдающихся достижений небесной механики стало открытие Лагранжем в 1772 г. так называемых точек либрации. Согласно Лагранжу, в системе двух тел имеется в общей сложности пять точек (называемых обычно точками Лагранжа ), в которых сумма сил, действующих на помещённое в точку третье тело (масса которого существенно меньше масс двух других), равна нулю. Естественно, речь идёт о вращающейся системе отсчёта, в которой на тело, помимо сил тяготения, будет также действовать центробежная сила инерции. В точке Лагранжа, таким образом, тело будет находиться в состоянии равновесия. В системе Солнце–Земля точки Лагранжа расположены следующим образом. На прямой, соединяющей Солнце и Землю, расположены три точки из пяти. Точка L 3 расположена на противоположной относительно Солнца стороне земной орбиты. Точка L 2 расположена по ту же сторону от Солнца, что и Земля, но в ней, в отличие от L 3 , Солнце закрыто Землёй. А точка L 1 находится на прямой, соединяющей L 2 и L 3 , но между Землёй и Солнцем. Точки L 2 и L 1 отделяет от Земли одинаковое расстояние – 1,5 млн км. В силу своих особенностей точки Лагранжа привлекают внимание писателей-фантастов. Так, в книге Артура Кларка и Стивена Бакстера «Солнечная буря» именно в точке Лагранжа L 1 космические строители возводят огромный экран, призванный загородить Землю от сверхмощной солнечной бури.

Оставшиеся две точки – L 4 и L 5 – находятся на орбите Земли, одна – перед Землёй, другая – позади. Две эти точки весьма существенно отличаются от остальных, поскольку равновесие оказавшихся в них небесных тел будет устойчивым. Именно по­этому среди астрономов столь популярна гипотеза о том, что в окрестностях точек L 4 и L 5 могут находиться остатки газопылевого облака эпохи формирования планет Солнечной системы, завершившейся 4,5 млрд лет назад.

После того как Солнечную систему начали исследовать автоматические межпланетные станции, интерес к точкам Лагранжа резко возрос. Так, в окрестности точки L 1 проводят исследования солнечного ветра космические аппараты NASA: SOHO (Solar and Heliospheric Observatory) и Wind (в пер. с англ. – ветер ).

Ещё один аппарат NASA – зонд WMAP (Wilkinson Microwave Anisotropy Probe) – находится в окрестности точки L 2 и исследует реликтовое излучение. По направлению к L 2 движутся космические телескопы «Планк» и «Гершель»; в скором будущем к ним присоединится телескоп «Вебб», который должен сменить знаменитый космический долгожитель телескоп «Хаббл». Что же касается точек L 4 и L 5 , то 26–27 сентября 2009 г. зонды-близнецы STEREO-A и STEREO-B передали на Землю многочисленные изображения активных процессов на поверхности Солнца. Первоначальные планы проекта STEREO были недавно существенно расширены, и в настоящее время зонды предполагается также использовать для изучения окрестности точек Лагранжа на предмет наличия там астероидов. Главная цель такого исследования – проверка компьютерных моделей, предсказывающих наличие астероидов в «устойчивых» точках Лагранжа.

В связи с этим следует сказать, что во второй половине XX в., когда появилась возможность численно решать на компьютере сложные уравнения небесной механики, образ стабильной и предсказуемой Солнечной системы (а вместе с ним и философия детерминизма) окончательно ушёл в прошлое. Компьютерное моделирование показало, что из неизбежной неточности в численных значениях скоростей и координат планет в данный момент времени следуют весьма существенные различия в моделях эволюции Солнечной системы. Так, согласно одному из сценариев, Солнечная система через сотни миллионов лет может даже лишиться одной из своих планет.

При этом компьютерные модели предоставляют уникальную возможность реконструировать события, происходившие в удалённую от нас эпоху молодости Солнечной системы. Так, широкую известность получила модель математика Э. Бельбруно и астрофизика Р. Готта (Принстонский университет), согласно которой в одной из точек Лагранжа (L 4 или L 5) в далёком прошлом сформировалась планета Тея (Teia ). Гравитационное воздействие со стороны остальных планет вынудило Тею в некоторый момент покинуть точку Лагранжа, выйти на траекторию движения к Земле и в итоге столкнуться с ней. Модель Готта и Бельбруно наполняет деталями гипотезу, которую разделяют многие астрономы. Согласно ей, Луна состоит из вещества, образовавшегося около 4 млрд лет назад после со­ударения с Землёй космического объекта размером с Марс. У этой гипотезы есть, однако, уязвимое место: вопрос о том, где именно мог образоваться такой объект. Если местом его рождения были удалённые от Земли участки Солнечной системы, то тогда его энергия была бы очень большой и результатом соударения с Землёй стало бы не создание Луны, но разрушение Земли. А следовательно, подобный объект должен был образоваться недалеко от Земли, и окрестности одной из точек Лагранжа вполне для этого подходят.

Но раз события могли так развиваться в прошлом, что запрещает им вновь произойти в будущем? Не вырастет ли, другими словами, в окрестностях точек Лагранжа ещё одна Тея? Проф. П. Вейгерт (Университет Зап. Онтарио, Канада) считает, что это невозможно, поскольку в Солнечной системе в настоящее время пылевых частиц для формирования таких объектов явно недостаточно, а 4 млрд лет назад, когда планеты образовывались из частиц газопылевых облаков, ситуация была принципиально иной. По мнению же Р. Готта, в окрестностях точек Лагранжа вполне могут быть обнаружены астероиды – остатки «строительного вещества» планеты Теи. Такие астероиды могут стать для Земли заметным фактором риска. Действительно, гравитационное воздействие со стороны других планет (и в первую очередь Венеры) может оказаться достаточным для того, чтобы астероид покинул окрестность точки Лагранжа, а в этом случае он вполне может выйти на траекторию столкновения с Землёй. У гипотезы Готта имеется предыстория: ещё в 1906 г. М. Вольфом (Германия, 1863–1932) в точках Лагранжа системы Солнце–Юпитер были обнаружены астероиды, первые за пределами пояса астероидов между Марсом и Юпитером. Впоследствии в окрестности точек Лагранжа системы Солнце–Юпитер их было обнаружено более тысячи. Не столь успешными оказались попытки найти астероиды вблизи других планет Солнечной системы. По-видимому, их всё же нет около Сатурна, и только лишь в последнем десятилетии они были обнаружены недалеко от Нептуна. По этой причине, вполне естественно, вопрос о наличии или отсутствии астероидов в точках Лагранжа системы Земля–Солнце чрезвычайно волнует современных астрономов.

П. Вейгерт с помощью телескопа на Мауна-Кеа (Гавайи, США) уже пытался в начале 90-х гг. ХХ в. отыскать эти астероиды. Его наблюдения отличались скрупулёзностью, однако успеха не принесли. Сравнительно недавно стартовали программы автоматического поиска астероидов, в частности, Линкольновский проект поиска близких к Земле астероидов (Lincoln Near Earth Asteroid Research project) . Однако и они пока результата не дали.

Предполагается, что зонды STEREO выведут подобные поиски на принципиально иной уровень точности. Пролёт зондами окрестностей точек Лагранжа был запланирован в самом начале проекта, а после включения в проект программы поиска астероидов обсуждалась даже возможность навсегда оставить их в окрестности этих точек.

Расчёты, однако, показали, что остановка зондов потребовала бы слишком большого расхода топлива. Учитывая это обстоятельство, руководители проекта STEREO остановились на варианте медленного пролёта данных областей пространства. На это уйдут месяцы. На борту зондов размещены гелиосферные регистраторы, и именно с их помощью будут искать астероиды. Даже в этом случае задача остаётся весьма сложной, поскольку на будущих снимках астероиды будут всего лишь точками, перемещающимися на фоне тысяч звёзд. Руководители проекта STEREO рассчитывают на активную помощь в поисках со стороны астрономов-любителей, которые будут просматривать полученные снимки в Интернете.

Эксперты весьма обеспокоены проблемой безопасности передвижения зондов в окрестности точек Лагранжа. Действительно, столкновение с «пылинками» (которые могут оказаться весьма значительными по своим размерам) может зонды повредить. В своём полёте зонды STEREO уже неоднократно сталкивались с частичками пыли – от разов до нескольких тысяч за сутки.

Главная интрига предстоящих наблюдений состоит в полной неопределённости вопроса о том, сколько астероидов должны «увидеть» зонды STEREO (если увидят вообще). Новые компьютерные модели не сделали ситуацию более предсказуемой: из них следует, что гравитационное воздействие Венеры может не только «вытаскивать» астероиды из точек Лагранжа, но и способствовать перемещению астероидов в эти точки. Общее количество астероидов в окрестности точек Лагранжа не очень велико («речь не идёт о сотнях»), и их линейные размеры на два порядка меньше размеров астероидов из пояса между Марсом и Юпитером. Подтвердятся ли его прогнозы? Ждать осталось совсем немного…

По материалам статьи (пер. с англ.)
S. Clark. Living in weightlessness //New Scientist. 21 February 2009