Точки экстремума функции на графике. Что такое экстремумы функции: критические точки максимума и минимума

Функции, вовсе необязательно знать о наличии первой и второй производной и понимать их физический смысл. Для начала нужно уяснить следующее:

экстремумы функции максимизируют или, наоборот, минимизируют значение функции в сколь угодно малой окрестности;
в точке экстремума не должно быть разрыва функции.

А теперь то же самое, только простым языком. Посмотрите на кончик стержня шариковой ручки. Если ручку расположить вертикально, пишущим концом вверх, то самая середина шарика будет экстремумом — наивысшей точкой. В этом случае говорят о максимуме. Теперь, если повернуть ручку пишущим концом вниз, то на середке шарика уже будет минимум функции. С помощью рисунка, приведенного здесь же, можно представить перечисленные манипуляции для канцелярского карандаша. Итак, экстремумы функции — это всегда критические точки: ее максимумы или минимумы. Прилегающий участок графика может быть сколь угодно острым или плавным, но он должен существовать с обеих сторон, только в этом случае точка является экстремумом. Если график присутствует лишь с одной стороны, точка эта экстремумом являться не будет даже в том случае, если с одной ее стороны условия экстремума выполняются. Теперь изучим экстремумы функции с научной точки зрения. Дабы точка могла считаться экстремумом, необходимо и достаточно, чтобы:

первая производная равнялась нулю или не существовала в точке;
первая производная меняла свой знак в этой точке.

Условие трактуется несколько иначе с точки зрения производных более высокого порядка: для функции, дифференцируемой в точке, достаточно, чтобы существовала производная нечетного порядка, неравная нулю, при том, что все производные более низшего порядка должны существовать и быть равными нулю. Это максимально простое толкование теорем из учебников Но для самых обычных людей стоит пояснить этот момент примером. За основу берется обыкновенная парабола. Сразу оговоримся, в нулевой точке у нее имеется минимум. Совсем немного математики:

первая производная (X 2) | = 2X, для нулевой точки 2Х = 0;
вторая производная (2Х) | = 2, для нулевой точки 2 = 2.

Таким нехитрым образом проиллюстрированы условия, определяющие экстремумы функции и для производных первого порядка, и для производных высшего порядка. Можно к этому добавить, что вторая производная как раз является той самой производной нечетного порядка, неравной нулю, о которой говорилось чуть выше. Когда речь заходит про экстремумы функции двух переменных, то условия должны выполняться для обоих аргументов. Когда происходит обобщение, то в ход идут частные производные. То есть необходимо для наличия экстремума в точке, чтобы обе производные первого порядка равнялись нулю, либо хотя бы одна из них не существовала. Для достаточности наличия экстремума исследуется выражение, представляющее собой разность произведения производных второго порядка и квадрата смешанной производной второго порядка функции. Если это выражение больше нуля, значит, экстремум имеет место быть, а если присутствует равенство нулю, то вопрос остается открытым, и нужно проводить дополнительные исследования.

Чтобы определить характер функции и говорить о ее поведении, необходимо находить промежутки возрастания и убывания. Этот процесс получил название исследования функции и построения графика. Точка экстремума используется при нахождении наибольшего и наименьшего значения функции, так как в них происходит возрастание или убывание функции из интервала.

Данная статья раскрывает определения, формулируем достаточный признак возрастания и убывания на интервале и условие существования экстремума. Это применимо к решению примеров и задач. Следует повторить раздел дифференцирования функций, потому как при решении необходимо будет использовать нахождение производной.

Yandex.RTB R-A-339285-1 Определение 1

Функция y = f (x) будет возрастать на интервале x , когда при любых x 1 ∈ X и x 2 ∈ X , x 2 > x 1 неравенство f (x 2) > f (x 1) будет выполнимо. Иначе говоря, большему значению аргумента соответствует большее значение функции.

Определение 2

Функция y = f (x) считается убывающей на интервале x , когда при любых x 1 ∈ X , x 2 ∈ X , x 2 > x 1 равенство f (x 2) > f (x 1) считается выполнимым. Иначе говоря, большему значению функции соответствует меньшее значение аргумента. Рассмотрим рисунок, приведенный ниже.

Замечание: Когда функция определенная и непрерывная в концах интервала возрастания и убывания, то есть (a ; b) , где х = а, х = b , точки включены в промежуток возрастания и убывания. Определению это не противоречит, значит, имеет место быть на промежутке x .

Основные свойства элементарных функций типа y = sin x – определенность и непрерывность при действительных значениях аргументах. Отсюда получаем, что возрастание синуса происходит на интервале - π 2 ; π 2 , тогда возрастание на отрезке имеет вид - π 2 ; π 2 .

Определение 3

Точка х 0 называется точкой максимума для функции y = f (x) , когда для всех значений x неравенство f (x 0) ≥ f (x) является справедливым. Максимум функции – это значение функции в точке, причем обозначается y m a x .

Точка х 0 называется точкой минимума для функции y = f (x) , когда для всех значений x неравенство f (x 0) ≤ f (x) является справедливым. Минимум функции – это значение функции в точке, причем имеет обозначение вида y m i n .

Окрестностями точки х 0 считаются точки экстремума, а значение функции, которое соответствует точкам экстремума. Рассмотрим рисунок, приведенный ниже.

Экстремумы функции с набольшим и с наименьшим значением функции. Рассмотрим рисунок, приведенный ниже.

Первый рисунок говорит о том, что необходимо найти наибольшее значение функции из отрезка [ a ; b ] . Оно находится при помощи точек максимума и равняется максимальному значению функции, а второй рисунок больше походит на поиск точки максимума при х = b .

Достаточные условия возрастания и убывания функции

Чтобы найти максимумы и минимумы функции, необходимо применять признаки экстремума в том случае, когда функция удовлетворяет этим условиям. Самым часто используемым считается первый признак.

Первое достаточное условие экстремума

Определение 4

Пусть задана функция y = f (x) , которая дифференцируема в ε окрестности точки x 0 , причем имеет непрерывность в заданной точке x 0 . Отсюда получаем, что

когда f " (x) > 0 с x ∈ (x 0 - ε ; x 0) и f " (x) < 0 при x ∈ (x 0 ; x 0 + ε) , тогда x 0 является точкой максимума;
когда f " (x) < 0 с x ∈ (x 0 - ε ; x 0) и f " (x) > 0 при x ∈ (x 0 ; x 0 + ε) , тогда x 0 является точкой минимума.

Иначе говоря, получим их условия постановки знака:

когда функция непрерывна в точке x 0 , тогда имеет производную с меняющимся знаком, то есть с + на - , значит, точка называется максимумом;
когда функция непрерывна в точке x 0 , тогда имеет производную с меняющимся знаком с - на + , значит, точка называется минимумом.

Чтобы верно определить точки максимума и минимума функции, необходимо следовать алгоритму их нахождения:

найти область определения;
найти производную функции на этой области;
определить нули и точки, где функция не существует;
определение знака производной на интервалах;
выбрать точки, где функция меняет знак.

Рассмотрим алгоритм на примере решения нескольких примеров на нахождение экстремумов функции.

Пример 1

Найти точки максимума и минимума заданной функции y = 2 (x + 1) 2 x - 2 .

Решение

Область определения данной функции – это все действительные числа кроме х = 2 . Для начала найдем производную функции и получим:

y " = 2 x + 1 2 x - 2 " = 2 · x + 1 2 " · (x - 2) - (x + 1) 2 · (x - 2) " (x - 2) 2 = = 2 · 2 · (x + 1) · (x + 1) " · (x - 2) - (x + 1) 2 · 1 (x - 2) 2 = 2 · 2 · (x + 1) · (x - 2) - (x + 2) 2 (x - 2) 2 = = 2 · (x + 1) · (x - 5) (x - 2) 2

Отсюда видим, что нули функции – это х = - 1 , х = 5 , х = 2 , то есть каждую скобку необходимо приравнять к нулю. Отметим на числовой оси и получим:

Теперь определим знаки производной из каждого интервала. Необходимо выбрать точку, входящую в интервал, подставить в выражение. Например, точки х = - 2 , х = 0 , х = 3 , х = 6 .

Получаем, что

y " (- 2) = 2 · (x + 1) · (x - 5) (x - 2) 2 x = - 2 = 2 · (- 2 + 1) · (- 2 - 5) (- 2 - 2) 2 = 2 · 7 16 = 7 8 > 0 , значит, интервал - ∞ ; - 1 имеет положительную производную. Аналогичным образом получаем, что

y " (0) = 2 · (0 + 1) · 0 - 5 0 - 2 2 = 2 · - 5 4 = - 5 2 < 0 y " (3) = 2 · (3 + 1) · (3 - 5) (3 - 2) 2 = 2 · - 8 1 = - 16 < 0 y " (6) = 2 · (6 + 1) · (6 - 5) (6 - 2) 2 = 2 · 7 16 = 7 8 > 0

Так как второй интервал получился меньше нуля, значит, производная на отрезке будет отрицательной. Третий с минусом, четвертый с плюсом. Для определения непрерывности необходимо обратить внимание на знак производной, если он меняется, тогда это точка экстремума.

Получим, что в точке х = - 1 функция будет непрерывна, значит, производная изменит знак с + на - . По первому признаку имеем, что х = - 1 является точкой максимума, значит получаем

y m a x = y (- 1) = 2 · (x + 1) 2 x - 2 x = - 1 = 2 · (- 1 + 1) 2 - 1 - 2 = 0

Точка х = 5 указывает на то, что функция является непрерывной, а производная поменяет знак с – на +. Значит, х=-1 является точкой минимума, причем ее нахождение имеет вид

y m i n = y (5) = 2 · (x + 1) 2 x - 2 x = 5 = 2 · (5 + 1) 2 5 - 2 = 24

Графическое изображение

Ответ: y m a x = y (- 1) = 0 , y m i n = y (5) = 24 .

Стоит обратить внимание на то, что использование первого достаточного признака экстремума не требует дифференцируемости функции с точке x 0 , этим и упрощает вычисление.

Пример 2

Найти точки максимума и минимума функции y = 1 6 x 3 = 2 x 2 + 22 3 x - 8 .

Решение.

Область определения функции – это все действительные числа. Это можно записать в виде системы уравнений вида:

1 6 x 3 - 2 x 2 - 22 3 x - 8 , x < 0 1 6 x 3 - 2 x 2 + 22 3 x - 8 , x ≥ 0

После чего необходимо найти производную:

y " = 1 6 x 3 - 2 x 2 - 22 3 x - 8 " , x < 0 1 6 x 3 - 2 x 2 + 22 3 x - 8 " , x > 0 y " = - 1 2 x 2 - 4 x - 22 3 , x < 0 1 2 x 2 - 4 x + 22 3 , x > 0

Точка х = 0 не имеет производной, потому как значения односторонних пределов разные. Получим, что:

lim y " x → 0 - 0 = lim y x → 0 - 0 - 1 2 x 2 - 4 x - 22 3 = - 1 2 · (0 - 0) 2 - 4 · (0 - 0) - 22 3 = - 22 3 lim y " x → 0 + 0 = lim y x → 0 - 0 1 2 x 2 - 4 x + 22 3 = 1 2 · (0 + 0) 2 - 4 · (0 + 0) + 22 3 = + 22 3

Отсюда следует, что функция непрерывна в точке х = 0 , тогда вычисляем

lim y x → 0 - 0 = lim x → 0 - 0 - 1 6 x 3 - 2 x 2 - 22 3 x - 8 = = - 1 6 · (0 - 0) 3 - 2 · (0 - 0) 2 - 22 3 · (0 - 0) - 8 = - 8 lim y x → 0 + 0 = lim x → 0 - 0 1 6 x 3 - 2 x 2 + 22 3 x - 8 = = 1 6 · (0 + 0) 3 - 2 · (0 + 0) 2 + 22 3 · (0 + 0) - 8 = - 8 y (0) = 1 6 x 3 - 2 x 2 + 22 3 x - 8 x = 0 = 1 6 · 0 3 - 2 · 0 2 + 22 3 · 0 - 8 = - 8

Необходимо произвести вычисления для нахождения значения аргумента, когда производная становится равной нулю:

1 2 x 2 - 4 x - 22 3 , x < 0 D = (- 4) 2 - 4 · - 1 2 · - 22 3 = 4 3 x 1 = 4 + 4 3 2 · - 1 2 = - 4 - 2 3 3 < 0 x 2 = 4 - 4 3 2 · - 1 2 = - 4 + 2 3 3 < 0

1 2 x 2 - 4 x + 22 3 , x > 0 D = (- 4) 2 - 4 · 1 2 · 22 3 = 4 3 x 3 = 4 + 4 3 2 · 1 2 = 4 + 2 3 3 > 0 x 4 = 4 - 4 3 2 · 1 2 = 4 - 2 3 3 > 0

Все полученные точки нужно отметить на прямой для определения знака каждого интервала. Поэтому необходимо вычислить производную в произвольных точках у каждого интервала. Например, у нас можно взять точки со значениями x = - 6 , x = - 4 , x = - 1 , x = 1 , x = 4 , x = 6 . Получим, что

y " (- 6) = - 1 2 x 2 - 4 x - 22 3 x = - 6 = - 1 2 · - 6 2 - 4 · (- 6) - 22 3 = - 4 3 < 0 y " (- 4) = - 1 2 x 2 - 4 x - 22 3 x = - 4 = - 1 2 · (- 4) 2 - 4 · (- 4) - 22 3 = 2 3 > 0 y " (- 1) = - 1 2 x 2 - 4 x - 22 3 x = - 1 = - 1 2 · (- 1) 2 - 4 · (- 1) - 22 3 = 23 6 < 0 y " (1) = 1 2 x 2 - 4 x + 22 3 x = 1 = 1 2 · 1 2 - 4 · 1 + 22 3 = 23 6 > 0 y " (4) = 1 2 x 2 - 4 x + 22 3 x = 4 = 1 2 · 4 2 - 4 · 4 + 22 3 = - 2 3 < 0 y " (6) = 1 2 x 2 - 4 x + 22 3 x = 6 = 1 2 · 6 2 - 4 · 6 + 22 3 = 4 3 > 0

Изображение на прямой имеет вид

Значит, приходим к тому, что необходимо прибегнуть к первому признаку экстремума. Вычислим и получим, что

x = - 4 - 2 3 3 , x = 0 , x = 4 + 2 3 3 , тогда отсюда точки максимума имеют значени x = - 4 + 2 3 3 , x = 4 - 2 3 3

Перейдем к вычислению минимумов:

y m i n = y - 4 - 2 3 3 = 1 6 x 3 - 2 2 + 22 3 x - 8 x = - 4 - 2 3 3 = - 8 27 3 y m i n = y (0) = 1 6 x 3 - 2 2 + 22 3 x - 8 x = 0 = - 8 y m i n = y 4 + 2 3 3 = 1 6 x 3 - 2 2 + 22 3 x - 8 x = 4 + 2 3 3 = - 8 27 3

Произведем вычисления максимумов функции. Получим, что

y m a x = y - 4 + 2 3 3 = 1 6 x 3 - 2 2 + 22 3 x - 8 x = - 4 + 2 3 3 = 8 27 3 y m a x = y 4 - 2 3 3 = 1 6 x 3 - 2 2 + 22 3 x - 8 x = 4 - 2 3 3 = 8 27 3

Графическое изображение

Ответ:

y m i n = y - 4 - 2 3 3 = - 8 27 3 y m i n = y (0) = - 8 y m i n = y 4 + 2 3 3 = - 8 27 3 y m a x = y - 4 + 2 3 3 = 8 27 3 y m a x = y 4 - 2 3 3 = 8 27 3

Если задана функция f " (x 0) = 0 , тогда при ее f "" (x 0) > 0 получаем, что x 0 является точкой минимума, если f "" (x 0) < 0 , то точкой максимума. Признак связан с нахождением производной в точке x 0 .

Пример 3

Найти максимумы и минимумы функции y = 8 x x + 1 .

Решение

Для начала находим область определения. Получаем, что

D (y) : x ≥ 0 x ≠ - 1 ⇔ x ≥ 0

Необходимо продифференцировать функцию, после чего получим

y " = 8 x x + 1 " = 8 · x " · (x + 1) - x · (x + 1) " (x + 1) 2 = = 8 · 1 2 x · (x + 1) - x · 1 (x + 1) 2 = 4 · x + 1 - 2 x (x + 1) 2 · x = 4 · - x + 1 (x + 1) 2 · x

При х = 1 производная становится равной нулю, значит, точка является возможным экстремумом. Для уточнения необходимо найти вторую производную и вычислить значение при х = 1 . Получаем:

y "" = 4 · - x + 1 (x + 1) 2 · x " = = 4 · (- x + 1) " · (x + 1) 2 · x - (- x + 1) · x + 1 2 · x " (x + 1) 4 · x = = 4 · (- 1) · (x + 1) 2 · x - (- x + 1) · x + 1 2 " · x + (x + 1) 2 · x " (x + 1) 4 · x = = 4 · - (x + 1) 2 x - (- x + 1) · 2 x + 1 (x + 1) " x + (x + 1) 2 2 x (x + 1) 4 · x = = - (x + 1) 2 x - (- x + 1) · x + 1 · 2 x + x + 1 2 x (x + 1) 4 · x = = 2 · 3 x 2 - 6 x - 1 x + 1 3 · x 3 ⇒ y "" (1) = 2 · 3 · 1 2 - 6 · 1 - 1 (1 + 1) 3 · (1) 3 = 2 · - 4 8 = - 1 < 0

Значит, использовав 2 достаточное условие экстремума, получаем, что х = 1 является точкой максимума. Иначе запись имеет вид y m a x = y (1) = 8 1 1 + 1 = 4 .

Графическое изображение

Ответ: y m a x = y (1) = 4 ..

Определение 5

Функция y = f (x) имеет ее производную до n -го порядка в ε окрестности заданной точки x 0 и производную до n + 1 -го порядка в точке x 0 . Тогда f " (x 0) = f "" (x 0) = f " " " (x 0) = . . . = f n (x 0) = 0 .

Отсюда следует, что когда n является четным числом, то x 0 считается точкой перегиба, когда n является нечетным числом, то x 0 точка экстремума, причем f (n + 1) (x 0) > 0 , тогда x 0 является точкой минимума, f (n + 1) (x 0) < 0 , тогда x 0 является точкой максимума.

Пример 4

Найти точки максимума и минимума функции y y = 1 16 (x + 1) 3 (x - 3) 4 .

Решение

Исходная функция – целая рациональная, отсюда следует, что область определения – все действительные числа. Необходимо продифференцировать функцию. Получим, что

y " = 1 16 x + 1 3 " (x - 3) 4 + (x + 1) 3 x - 3 4 " = = 1 16 (3 (x + 1) 2 (x - 3) 4 + (x + 1) 3 4 (x - 3) 3) = = 1 16 (x + 1) 2 (x - 3) 3 (3 x - 9 + 4 x + 4) = 1 16 (x + 1) 2 (x - 3) 3 (7 x - 5)

Данная производная обратится в ноль при x 1 = - 1 , x 2 = 5 7 , x 3 = 3 . То есть точки могут быть точками возможного экстремума. Необходимо применить третье достаточное условие экстремума. Нахождение второй производной позволяет в точности определить наличие максимума и минимума функции. Вычисление второй производной производится в точках ее возможного экстремума. Получаем, что

y "" = 1 16 x + 1 2 (x - 3) 3 (7 x - 5) " = 1 8 (x + 1) (x - 3) 2 (21 x 2 - 30 x - 3) y "" (- 1) = 0 y "" 5 7 = - 36864 2401 < 0 y "" (3) = 0

Значит, что x 2 = 5 7 является точкой максимума. Применив 3 достаточный признак, получаем, что при n = 1 и f (n + 1) 5 7 < 0 .

Необходимо определить характер точек x 1 = - 1 , x 3 = 3 . Для этого необходимо найти третью производную, вычислить значения в этих точках. Получаем, что

y " " " = 1 8 (x + 1) (x - 3) 2 (21 x 2 - 30 x - 3) " = = 1 8 (x - 3) (105 x 3 - 225 x 2 - 45 x + 93) y " " " (- 1) = 96 ≠ 0 y " " " (3) = 0

Значит, x 1 = - 1 является точкой перегиба функции, так как при n = 2 и f (n + 1) (- 1) ≠ 0 . Необходимо исследовать точку x 3 = 3 . Для этого находим 4 производную и производим вычисления в этой точке:

y (4) = 1 8 (x - 3) (105 x 3 - 225 x 2 - 45 x + 93) " = = 1 2 (105 x 3 - 405 x 2 + 315 x + 57) y (4) (3) = 96 > 0

Из выше решенного делаем вывод, что x 3 = 3 является точкой минимума функции.

Графическое изображение

Ответ: x 2 = 5 7 является точкой максимума, x 3 = 3 - точкой минимума заданной функции.

Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter

С помощью данного сервиса можно найти наибольшее и наименьшее значение функции одной переменной f(x) с оформлением решения в Word . Если же задана функция f(x,y) , следовательно, необходимо найти экстремум функции двух переменных . Также можно найти интервалы возрастания и убывания функции .

Правила ввода функций :

Необходимое условие экстремума функции одной переменной

Уравнение f" 0 (x *) = 0 - это необходимое условие экстремума функции одной переменной, т.е. в точке x * первая производная функции должна обращаться в нуль. Оно выделяет стационарные точки x с, в которых функция не возрастает и не убывает.

Достаточное условие экстремума функции одной переменной

Пусть f 0 (x) дважды дифференцируемая по x , принадлежащему множеству D . Если в точке x * выполняется условие:

F" 0 (x *) = 0
f"" 0 (x *) > 0

То точка x * является точкой локального (глобального) минимума функции.

Если в точке x * выполняется условие:

F" 0 (x *) = 0
f"" 0 (x *) < 0

То точка x * - локальный (глобальный) максимум.

Пример №1 . Найти наибольшее и наименьшее значения функции: на отрезке .
Решение.

Критическая точка одна x 1 = 2 (f’(x)=0). Эта точка принадлежит отрезку . (Точка x=0 не является критической, так как 0∉).
Вычисляем значения функции на концах отрезка и в критической точке.
f(1)=9, f(2)= 5 / 2 , f(3)=3 8 / 81
Ответ: f min = 5 / 2 при x=2; f max =9 при x=1

Пример №2 . С помощью производных высших порядков найти экстремум функции y=x-2sin(x) .
Решение.
Находим производную функции: y’=1-2cos(x) . Найдем критические точки: 1-cos(x)=2, cos(x)=½, x=± π / 3 +2πk, k∈Z. Находим y’’=2sin(x), вычисляем , значит x= π / 3 +2πk, k∈Z – точки минимума функции; , значит x=- π / 3 +2πk, k∈Z – точки максимума функции.

Пример №3 . Исследовать на экстремум фцнкцию в окрестностях точки x=0.
Решение. Здесь необходимо найти экстремумы функции. Если экстремум x=0 , то выяснить его тип (минимум или максимум). Если среди найденных точек нет x = 0, то вычислить значение функции f(x=0).
Следует обратить внимание, что когда производная с каждой стороны от данной точки не меняет своего знака, не исчерпываются возможные ситуации даже для дифференцируемых функций: может случиться, что для сколь угодно малой окрестности по одну из сторон от точки x 0 или по обе стороны производная меняет знак. В этих точках приходится применять другие методы для исследования функций на экстремум.

Прежде, чем научиться находить экстремумы функции, необходимо понять, что же такое экстремум. Самое общее определение экстремума гласит, что это употребляемое в математике наименьшее или наибольшее значение функции на определенном множестве числовой линии или графике. В том месте, где находится минимум, появляется экстремум минимума, а там, где максимум – экстремум максимума. Также в такой дисциплине, как математический анализ, выделяют локальные экстремумы функции. Теперь давайте рассмотрим, как найти экстремумы.

Экстремумы в математике относятся к важнейшим характеристикам функции, они показывают её самое большое и самое маленькое значение. Находятся экстремумы преимущественно в критических точках находимых функций. Стоит отметить, что именно в точке экстремума функция кардинально меняет своё направление. Если просчитать производную от точки экстремума, то она, согласно определению, должна быть равна нулю или же вовсе будет отсутствовать. Таким образом, чтобы узнать, как найти экстремум функции, необходимо выполнить две последовательные задачи:

найти производную для той функции, которую необходимо определить заданием;
найти корни уравнения.

Последовательность нахождения экстремума

Оформите в письменном виде функцию f(x), которая задана. Найдите её производную первого порядка f "(x). То выражение, которое получится, приравняйте к нулю.
Теперь вам предстоит решить то уравнение, которое получилось. Результирующие решения и будут корнями уравнения, а также критическими точками определяемой функции.
Теперь определяем, какими именно критическими точками (максимума или минимума) являются найденные корни. Следующим этапом, после того, как мы узнали, как находить точки экстремума функции, является нахождение второй производной от искомой функции f " (x). Необходимо будет подставить в конкретное неравенство значения найденных критических точек и затем посчитать, что получится. Если произойдет так, что вторая производная окажется больше нуля в критической точке, то ею и будет являться точка минимума, а в противном случае – это будет точка максимума.
Остаётся посчитать значение начальной функции в необходимых точках максимума и минимума функции. Чтобы это сделать, подставляем полученные значения в функцию и рассчитываем. Однако стоит отметить, что, если критическая точка оказалась максимумом, то и экстремум будет максимальным, а если минимумом, то минимальным по аналогии.

Алгоритм нахождения экстремума

Чтобы обобщить полученные знания, составим краткий алгоритм того, как находить точки экстремума.

Находим область определения заданной функции и её интервалы, которые точно определяют, на каких промежутках функция непрерывна.
Находим производную от функции f "(x).
Вычисляем критические точки уравнения y = f (x).
Анализируем изменения направления функции f (x), а также знак производной f "(x) там, где критические точки разделяют область определения данной функции.
Теперь определяем, является ли каждая точка на графике максимумом или минимумом.
Находим значения функции в тех точках, которые являются экстремумами.
Фиксируем результат данного исследования – экстремумы и промежутки монотонности. Вот и все. Теперь мы рассмотрели, как можно найти экстремум на любом промежутке. Если вам необходимо найти экстремум на определенном промежутке функции, то делается это аналогичным образом, только обязательно учитываются границы производимого исследования.

Итак, мы рассмотрели, как найти точки экстремума функции. При помощи несложных вычислений, а также знаний о нахождении производных, можно найти любой экстремум и вычислить его, а также графически его обозначить. Нахождение экстремумов является одним из важнейших разделов математики, как в школе, так и в Высшем учебном заведении, поэтому, если вы научитесь правильно их определять, то учиться станет намного проще и интереснее.

Точка экстремума функции - это точка области определения функции , в которой значение функции принимает минимальное или максимальное значение. Значения функции в этих точках называются экстремумами (минимумом и максимумом) функции .

Определение . Точка x 1 области определения функции f (x ) называется точкой максимума функции , если значение функции в этой точке больше значений функции в достаточно близких к ней точках, расположенных справа и слева от неё (то есть выполняется неравенство f (x 0 ) > f (x 0 + Δx ) x 1 максимум.

Определение . Точка x 2 области определения функции f (x ) называется точкой минимума функции , если значение функции в этой точке меньше значений функции в достаточно близких к ней точках, расположенных справа и слева от неё (то есть выполняется неравенство f (x 0 ) < f (x 0 + Δx ) ). В этом случае говорят, что функция имеет в точке x 2 минимум.

Допустим, точка x 1 - точка максимума функции f (x ) . Тогда в интервале до x 1 функция возрастает , поэтому производная функции больше нуля (f "(x ) > 0 ), а в интервале после x 1 функция убывает, следовательно, и производная функции меньше нуля (f "(x ) < 0 ). Тогда в точке x 1

Допустим также, что точка x 2 - точка минимума функции f (x ) . Тогда в интервале до x 2 функция убывает, а производная функции меньше нуля (f "(x ) < 0 ), а в интервале после x 2 функция возрастает, а производная функции больше нуля (f "(x ) > 0 ). В этом случае также в точке x 2 производная функции равна нулю или не существует.

Теорема Ферма (необходимый признак существования экстремума функции) . Если точка x 0 - точка экстремума функции f (x ) , то в этой точке производная функции равна нулю (f "(x ) = 0 ) или не существует.

Определение . Точки, в которых производная функции равна нулю или не существует, называются критическими точками .

Пример 1. Рассмотрим функцию .

В точке x = 0 производная функции равна нулю, следовательно, точка x = 0 является критической точкой. Однако, как видно на графике функции, она возрастает во всей области определения, поэтому точка x = 0 не является точкой экстремума этой функции.

Таким образом, условия о том, что производная функции в точке равна нулю или не существует, являются необходимыми условиями экстремума, но не достаточными, поскольку можно привести и другие примеры функций, для которых эти условия выполняются, но экстремума в соответствующей точке функция не имеет. Поэтому нужно располагать достаточными признаками , позволяющими судить, имеется ли в конкретной критической точке экстремум и какой именно - максимум или минимум.

Теорема (первый достаточный признак существования экстремума функции). Критическая точка x 0 f (x ) , если при переходе через эту точку производная функции меняет знак, причём, если знак меняется с "плюса" на "минус", то точкой максимума, а если с "минуса" на "плюс", то точкой минимума.

Если же вблизи точки x 0 , слева и справа от неё, производная сохраняет знак, то это означает, что функция либо только убывает, либо только возрастает в некоторой окрестности точки x 0 . В этом случае в точке x 0 экстремума нет.

Итак, чтобы определить точки экстремума функции, требуется выполнить следующее :

Найти производную функции.
Приравнять производную нулю и определить критические точки.
Мысленно или на бумаге отметить критические точки на числовой оси и определить знаки производной функции в полученных интервалах. Если знак производной меняется с "плюса" на "минус", то критическая точка является точкой максимума, а если с "минуса" на "плюс", то точкой минимума.
Вычислить значение функции в точках экстремума.

Пример 2. Найти экстремумы функции .

Решение. Найдём производную функции:

Приравняем производную нулю, чтобы найти критические точки:

Так как для любых значений "икса" знаменатель не равен нулю, то приравняем нулю числитель:

Получили одну критическую точку x = 3 . Определим знак производной в интервалах, разграниченных этой точкой:

в интервале от минус бесконечности до 3 - знак минус, то есть функция убывает,

в интервале от 3 до плюс бесконечности - знак плюс, то есть функция возрастает.

То есть, точка x = 3 является точкой минимума.

Найдём значение функции в точке минимума:

Таким образом, точка экстремума функции найдена: (3; 0) , причём она является точкой минимума.

Теорема (второй достаточный признак существования экстремума функции). Критическая точка x 0 является точкой экстремума функции f (x ) , если вторая производная функции в этой точке не равна нулю (f ""(x ) ≠ 0 ), причём, если вторая производная больше нуля (f ""(x ) > 0 ), то точкой максимума, а если вторая производная меньше нуля (f ""(x ) < 0 ), то точкой минимума.

Замечание 1. Если в точке x 0 обращаются в нуль и первая, и вторая производные, то в этой точке нельзя судить о наличии экстремума на основании второго достаточного признака. В этом случае нужно воспользоваться первым достаточным признаком экстремума функции.

Замечание 2. Второй достаточный признак экстремума функции неприменим и тогда, когда в стационарной точке первая производная не существует (тогда не существует и вторая производная). В этом случае также нужно вопользоваться первым достаточным признаком экстремума функции.

Локальный характер экстремумов функции

Из приведённых определений следует, что экстремум функции имеет локальный характер - это наибольшее и наименьшее значение функции по сравнению с близлежайшими значениями.

Предположим, вы рассматриваете свои заработки в отрезке времени протяжённостью в один год. Если в мае вы заработали 45 000 рублей, а в апреле 42 000 рублей и в июне 39 000 рублей, то майский заработок - максимум функции заработка по сравнению с близлежайшими значениями. Но в октябре вы заработали 71 000 рублей, в сентябре 75 000 рублей, а в ноябре 74 000 рублей, поэтому октябрьский заработок - минимум функции заработка по сравнению с близлежашими значениями. И вы легко видите, что максимум среди значений апреля-мая-июня меньше минимума сентября-октября-ноября.

Говоря обобщённо, на промежутке функция может иметь несколько экстремумов, причём может оказаться, что какой-либо минимум функции больше какого-либо максимума. Так, для функции изображённой на рисунке выше, .

То есть не следует думать, что максимум и минимум функции являются, соответственно, её наибольшим и наименьшим значениями на всём рассматриваемом отрезке. В точке максимума функция имеет наибольшее значение лишь по сравнению с теми значениями, которые она имеет во всех точках, достаточно близких к точке максимума, а в точке минимума - наименьшее значение лишь по сравнению с теми значениями, которые она имеет во всех точках, достаточно близких к точке минимума.

Поэтому можно уточнить приведённое выше понятие точек экстремума функции и называть точки минимума точками локального минимума, а точки максимума - точками локального максимума.

Ищем экстремумы функции вместе

Пример 3.

Решение.Функция определена и непрерывна на всей числовой прямой. Её производная существует также на всей числовой прямой. Поэтому в данном случае критическими точками служат лишь те, в которых , т.е. , откуда и . Критическими точками и разбивают всю область определения функции на три интервала монотонности: . Выберем в каждой из них по одной контрольной точке и найдём знак производной в этой точке.

Для интервала контрольной точкой может служить : находим . Взяв в интервале точку , получим , а взяв в интервале точку , имеем . Итак, в интервалах и , а в интервале . Согласно первому достаточному признаку экстремума, в точке экстремума нет (так как производная сохраняет знак в интервале ), а в точке функция имеет минимум (поскольку производная при переходе через эту точку меняет знак с минуса на плюс). Найдём соответствующие значения функции: , а . В интервале функция убывает, так как в этом интервале , а в интервале возрастает, так как в этом интервале .

Чтобы уточнить построение графика, найдём точки пересечения его с осями координат. При получим уравнение , корни которого и , т. е. найдены две точки (0; 0) и (4; 0) графика функции. Используя все полученные сведения, строим график (см. в начале примера).

Пример 4. Найти экстремумы функции и построить её график.

Областью определения функции является вся числовая прямая, кроме точки , т.е. .

Для сокращения исследования можно воспользоваться тем, что данная функция чётная, так как . Поэтому её график симметричен относительно оси Oy и исследование можно выполнить только для интервала .

Находим производную и критические точки функции:

1) ;

2) ,

но функция терпит разрыв в этой точке, поэтому она не может быть точкой экстремума.

Таким образом, заданная функция имеет две критические точки: и . Учитывая чётность функции, проверим по второму достаточному признаку экстремума только точку . Для этого найдём вторую производную и определим её знак при : получим . Так как и , то является точкой минимума функции, при этом .

Чтобы составить более полное представление о графике функции, выясним её поведение на границах области определения:

(здесь символом обозначено стремление x к нулю справа, причём x остаётся положительным; аналогично означает стремление x к нулю слева, причём x остаётся отрицательным). Таким образом, если , то . Далее, находим