ОГЭ -9, 2016 г.
Математика, 9 класс
Основной государственный экзамен по МАТЕМАТИКЕ
Тренировочный вариант № 95
Инструкция по выполнению работы
Работа состоит из трёх модулей: «Алгебра», «Геометрия», «Реальная математика».
Всего в работе 26 заданий. Модуль «Алгебра» содержит 11 заданий: в части 1 —
восемь заданий; в части 2 — три задания. Модуль «Геометрия» содержит восемь
заданий: в части 1 — пять заданий; в части 2 — три задания. Модуль «Реальная
математика» содержит семь заданий: все задания этого модуля — в части 1.
На выполнение экзаменационной работы по математике отводится 3 часа 55 минут
(235 минут).
Ответы к заданиям 2, 3, 8, 14 записываются в виде одной цифры, которая
соответствует номеру правильного ответа. Эту цифру запишите в поле ответа в тексте
работы.
Для остальных заданий части 1 ответом является число или последовательность
цифр, которые нужно записать в поле ответа в тексте работы. Если в ответе получена
обыкновенная дробь, обратите её в десятичную. В случае записи неверного ответа на
задания части 1 зачеркните его и запишите рядом новый.
Решения заданий части 2 и ответы к ним запишите на отдельном листе или бланке.
Задания можно выполнять в любом порядке, начиная с любого модуля. Текст задания
переписывать не надо, необходимо только указать его номер.
Сначала выполняйте задания части 1. Начать советуем с того модуля, задания
которого вызывают у Вас меньше затруднений, затем переходите к другим модулям.
Для экономии времени пропускайте задание, которое не удаётся выполнить сразу, и
переходите к следующему. Если у Вас останется время, Вы сможете вернуться к
пропущенным заданиям.
Все необходимые вычисления, преобразования и т.д. выполняйте в черновике.
Записи в черновике не учитываются при оценивании работы. Если задание содержит
рисунок, то на нём непосредственно в тексте работы можно выполнять необходимые
Вам построения. Рекомендуем внимательно читать условие и проводить проверку
полученного ответа.
При выполнении работы Вы можете воспользоваться справочными материалами.
Баллы, полученные за верно выполненные задания, суммируются. Для успешного
прохождения итоговой аттестации необходимо набрать в сумме не менее 8 баллов, из
них не менее 3 баллов в модуле «Алгебра», не менее 2 баллов в модуле «Геометрия»
и не менее 2 баллов в модуле «Реальная математика». За каждое правильно
выполненное задание части 1 выставляется 1 балл. В каждом модуле части 2 задания
оцениваются в 2 балла.
Желаем успеха!
Alexlarin.net 2016
▪ Для заданий с выбором ответа из четырёх предложенных вариантов выберите
один верный
▪ В бланке ответов №1 поставьте знак «×» в клеточку, номер которой
соответствует номеру выбранного Вами ответа.
▪ Для заданий с кратким ответом полученный результат сначала запишите на
листе с текстом работы после слова «Ответ». Если получена обыкновенная
дробь, обратите её в десятичную
▪ Перенесите ответ в бланк ответов №1 справа от номера соответствующего
задания, начиная с первой клеточки. Каждый символ (цифру, знак минус, запятую
или точку с запятой) пишите в отдельной клеточке в соответствии с
приведёнными в бланке образцами. Единицы измерений указывать не нужно.
▪ Если при решении задания найдено несколько корней, запишите их (в любом
порядке) в бланк ответов № 1, разделив точкой с запятой(;).
Ответом к заданиям является последовательность цифр. Перенесите цифры в
бланк № 1 без пробелов, запятых и других символов.
Модуль «Алгебра» .
Найдите значение выражения 25 5 125 5
2 51
2. Одна из точек, отмеченных на координатной прямой, соответствует числу
2
. Какая
7
Это точка?
Варианты ответа
1.
Ответ: ___________________________.
ОГЭ -9, 2016 г.
Математика, 9 класс
3. Найдите значение выражения 2 3 2 8 6
A25 =− 0,9.
Ответ: ___________________________.
Ответ: ___________________________.
4. При каком значении b значение выражения 1,2b - 7,1
На 4 меньше значения
Выражения 3,8b+2,1?
Ответ: ___________________________.
Дана арифметическая прогрессия (an), для которой a10 =− 2,4,
Найдите разность прогрессии.
Варианты ответа
Тренировочный вариант № 95
Установите соответствие между графиками функций и формулами, которые их
Mn
1
Найдите значение выражения 2
:
m mn
M
1
, при m , n 5 1
4
m mn
Ответ: ___________________________.
На каком рисунке изображено множество решений системы неравенств
3x
5 0,5,
2
7 5 x 2 x 2,5
1)
ГРАФИКИ
А)
Система не имеет решений
3)
4)
Ответ: ___________________________.
Модуль «Геометрия» .
9. В треугольнике ABC AC=BC. Внешний угол
ФОРМУЛЫ
При вершине B равен 152. Найдите угол C.
Ответ дайте в градусах.
Ответ:___________________________.
10. Высота AH ромба ABCD делит сторону CD на отрезки DH=21 и CH=8. Найдите
высоту ромба.
Ответ: ___________________________.
Alexlarin.net 2016
Разрешается свободное копирование, распространение и использование в образовательных некоммерческих целях
ОГЭ -9, 2016 г.
Математика, 9 класс
Тренировочный вариант № 95
11. Площадь прямоугольного треугольника равна 1058 3 . Один из острых углов
15. На рисунке изображён график изменения атмосферного давления в городе Энске
Равен 30°. Найдите длину катета, лежащего напротив этого угла.
За три дня. По горизонтали указаны дни недели и время, по вертикали — значения
атмосферного давления в миллиметрах ртутного столба. Укажите значение
атмосферного давления во вторник в 18 часов. Ответ дайте в мм рт. ст.
Ответ: ___________________________.
12. В треугольнике ABC угол А равен 90°, AC=12, sinAВС = 0,8. Найдите BC.
Ответ: ___________________________.
13. Какие из следующих утверждений верны?
1. Если один из углов параллелограмма равен 60, то противоположный ему угол
равен 120.
2. Площадь ромба равна произведению двух его смежных сторон на синус угла между
ними.
3. Если один из углов, прилежащих к стороне параллелограмма, равен 50, то другой
угол, прилежащий к той же стороне, равен 50.
Ответ: ___________________________.
Ответ: ___________________________.
16. В начале учебного года в школе было 650 учащихся, а к концу года их стало 689.
На сколько процентов увеличилось за учебный год число учащихся?
Модуль «Реальная математика» .
Ответ: ___________________________.
В таблице даны результаты забега мальчиков 8 класса на дистанцию 60 м. Зачет
выставляется при условии, что показан результат не хуже 10,5 с.
Номер дорожки I
Время (в с)
17. На каком расстоянии (в метрах) от фонаря стоит человек ростом 1,6 м, если длина
его тени равна 8 м, высота фонаря 5 м?
10,6 9,7 10,1 11,4
Укажите номера дорожек, по которым бежали мальчики, получившие зачет.
Варианты ответа
1.
Только II
Ответ: ___________________________.
Alexlarin.net 2016
II, III
Ответ: ___________________________.
Разрешается свободное копирование, распространение и использование в образовательных некоммерческих целях
ОГЭ -9, 2016 г.
Математика, 9 класс
Тренировочный вариант № 95
18.. Какая из следующих круговых диаграмм показывает распределение площадей
океанов в Мировом Океане, если Тихий Океан занимает около 48% всего Мирового
Океана, Атлантический - 26%, Индийский - 21% и Северный Ледовитый - 5%?
Часть 2
При выполнении заданий 21-26 используйте бланк ответов №2. Сначала
укажите номер задания, а затем запишите его решение и ответ. Пишите чётко
и разборчиво. Обращаем Ваше внимание на то, что записи в черновике не будут
учитываться при оценивании работы.
Модуль «Алгебра» .
21. Решите неравенство x 3 5 x 3
2
Из 22 кг свежих грибов получается 2,5 кг сухих грибов, содержащих 12% воды.
Каков процент воды в свежих грибах?
23. При каких значениях р уравнение х2 4 х 2 р имеет ровно три решения?
Модуль «Геометрия» .
24. В прямоугольном треугольнике биссектриса острого угла делит противоположный
катет на отрезки длиной 4 и 5 см. Найдите площадь треугольника.
25. На стороне BC квадрата ABCD взята точка K. Докажите, что площадь треугольника
Ответ: ___________________________.
AKD равна половине площади квадрата.
Игральную кость бросают дважды. Найдите вероятность того, что сумма двух
Выпавших чисел равна 6 или 9.
26. Правильный треугольник разбит на три части одинакового периметра прямыми,
перпендикулярными одной из его сторон. Найдите отношение площадей этих
частей.
Ответ: ___________________________.
20. Период колебания математического маятника (в секундах) приближённо можно
вычислить по формуле
T 2 l , где l — длина нити в метрах. Пользуясь этой
Формулой, найдите длину нити маятника (в метрах), период колебаний которого
составляет 12 секунд.
Ответ: ___________________________.
Alexlarin.net 2016
Разрешается свободное копирование, распространение и использование в образовательных некоммерческих целях
Работа состоит из 5 вариантов , взятых из открытого банка заданий Общее время экзамена - 235 минут.Тест по теме: "Буквенные выражения".Творческая группа: Математика в школе: ОГЭ (9 класс ).Оксана Николаевна, благодарю Вас за 5 вариантов пробного ОГЭ 9 класс .
metodisty.ru/m/files/view.. · 1Кб 2015-11-24 16:55:47
Основной государственный экзамен ОГЭ (ГИА -9 ) по математике - демонстрационные варианты ОГЭ 2015 и др. скачать ; материалы и тесты для подготовки к сдаче ОГЭ по математике . Экзамен, билеты по математике (алгебра, геометрия) 9 кл.
alleng.net/edu · 4Кб 2015-01-14 15:39:47
В настоящее время государственная итоговая аттестация в новой форме проводится во всех регионах России, поэтому предлагаемое пособие будет полезным для учащихся, готовящихся к ГИА по математике , а также для учителей, осуществляющих эту подготовку.
https://www.mathsolution.ru/books · 1Кб 2014-10-01 08:47:41
ГИА По математике в 9 классе . Типовые задания. Учебно-тренировочные тесты для подготовки к ОГЭ.Предлагаемые тренировочные варианты в формате ОГЭ могут использоваться по принципу разбора варианта в классе и оставления парного варианта ...
xn--d1ababeji4aplhbqk6k.xn--p1ai/publ/matematika.. · 6Кб 2015-12-25 11:08:09
ОГЭ -9 , 2016 г. Математика , 9 класс . Тренировочный вариант № 71. Государственная (Итоговая ) аттестация по МАТЕМАТИКЕ . Тренировочный вариант № 71. Инструкция по выполнению работы Общее время экзамена - 235 минут.
komarovana.ucoz.ru/avatar/gia · 2Кб 2015-10-02 03:14:45
Тесты ОГЭ (ГИА ) разработаны на основе демонстрационного варианта ОГЭ 2015 года.Тренировочные тесты могут незначительно различаться между собой по уровню сложностиВ данном разделе представлены тесты ОГЭ (по старому ГИА ) по математике для организации...
samopodgotovka.com/index.php/matematika.. · 1Кб 2014-08-30 12:46:29
Демонстрационные варианты ОГЭ по математике для 9 класса .В демонстрационный вариант ОГЭ по математике 2018 года по сравнению с демонстрационным вариантом 2017 года были внесены следующие изменения: из демонстрационного варианта исключен модуль...
https://www.resolventa.ru/demo · 2Кб 2009-06-14 04:00:00
ОГЭ Математика ОГЭ по математике Подготовка к ОГЭ по математике Варианты ОГЭ по математике .Тренировочные варианты 181-185 ОГЭ от Alexlarin с решениями.ГИА -2015 Варианты 1427_34_58_41. ОГЭ математика 2018.ОГЭ Математика 9 класс Липецка вариант №1744.
https://onlyege.ru/ege/oge-matematika · 5Кб 2017-01-05 00:20:57
Представляем вашему вниманию 6 вариантов тренировочных работ по математике в форме ГВЭ ГИА 9 классы .Методические материалы семинара от 28 апреля 2016 года.Пробные варианты тестов ЕГЭ и ГИА онлайн. Ссылка для заполнения таблицы участников ПГ...
Задание 2. Тренировочный вариант ЕГЭ № 241 Ларина.
На рисунке жирными точками показана цена цинка на момент закрытия биржевых торгов во все рабочие дни с 5 по 18 февраля 2008 года. По горизонтали указываются числа месяца, по вертикали – цена тонны цинка в долларах США. Для наглядности жирные точки на рисунке соединены линией. Определите по рисунку наименьшую цену цинка на момент закрытия торгов в период с 6 по 15 февраля (в долларах США за тонну).
Ответ: 2330.
7 числа 2330.
Задание 3. Тренировочный вариант ЕГЭ № 241 Ларина.
Найдите площадь треугольника, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см × 1 см (см. рисунок). Ответ дайте в квадратных сантиметрах.
Ответ: 1.
Выберем сторону, и проведем к ней высоту, тогда: $$S=\frac{1}{2}*a*h=\frac{1}{2}*1*2=1$$
Задание 4. Тренировочный вариант ЕГЭ № 241 Ларина.
Автоматическая линия изготавливает батарейки. Вероятность того, что готовая батарейка неисправна, равна 0,04. Перед упаковкой каждая батарейка проходит систему контроля. Вероятность того, что система забракует неисправную батарейку, равна 0,95. Вероятность того, что система по ошибке забракует исправную батарейку, равна 0,01. Найти вероятность того, что случайно выбранная изготовленная батарейка будет забракована системой контроля.
Ответ: 0,0476.Вероятность быть исправленной 1-0,04=0,96.
Вероятность быть при этом быть заблокированной 0,96*0,01=0,0096.
Вероятность заблокировать неисправную 0,04*0,95=0,038.
Общая вероятность:0,038+0,0096=0,0476
Задание 5. Тренировочный вариант ЕГЭ № 241 Ларина.
Решите уравнение $$\sqrt{3-2x}=x$$ . Если уравнение имеет более одного корня, в ответе укажите меньший из ниx
Ответ: 1.$$\sqrt{3-2x}=x$$
ОДЗ: $$\left\{\begin{matrix}3-2x\geq 0\\x\geq 0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$$$ \left\{\begin{matrix}x\leq 1,5\\x\geq 0\end{matrix}\right.$$
$$(\sqrt{3-2x})^{2}=x^{2}\Leftrightarrow$$
$$3-2x=x^{2}$$
$$x^{2}+2x-3=0$$
$$\left [\begin{matrix}x_{1}+x_{2} =-2& & \\x_{1}*x_{2}=-3\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$$$ \left [\begin{matrix}x_{1}=-3\\x_{2}=1\end{matrix}\right.x_{1}\notin$$ ОДЗ, следовательно, корнем будет 1
Задание 6. Тренировочный вариант ЕГЭ № 241 Ларина.
Острые углы прямоугольного треугольника равны 84 и 6. Найдите угол между высотой и биссектрисой, проведенными из вершины прямого угла. Ответ дайте в градусах.
Ответ: 39.
$$\angle MCB=\frac{90}{2}=45.$$ $$\Delta CHB: \angle HCB=90-\angle HBC=6$$ $$\angle MCH=\angle MCB-\angle HCB=39$$
Задание 7. Тренировочный вариант ЕГЭ № 241 Ларина.
На рисунке изображены график функции y=f(x)
и касательная к этому графику, проведенная в точке с абсциссой x 0 . Найдите значение производной функции f(x)
в точке x 0 .
Значение производной есть тангенс угла между касательной, проведенной в заданную точку и осью Ох. Достроим $$\Delta ABC$$ : $$tg\angle ABC=\frac{AC}{CB}=\frac{2}{1}=2$$. Так как функция убывает, то значение производной будет отрицательное, то есть -2
Задание 8. Тренировочный вариант ЕГЭ № 241 Ларина.
Площадь боковой поверхности конуса равна 16 см 2 . Радиус основания конуса уменьшили в 4 раза, а образующую увеличили в 2 раза. Найдите площадь боковой поверхности получившегося конуса. Ответ дайте в см 2
Ответ: 8.$$S=\pi *R*l$$- площадь боковой поверхности конуса.
Пусть $$R_{1}$$ и $$l_{1}$$ - радиус и образующая начального конуса, тогда $$S_{1} =\pi*R_{1}*L_{1}$$, и $$R_{2}=\frac{R_{1}}{4}$$; $$L_{2}=2L_{1}$$, где $$R_{2}$$ и $$L_{2}$$ –нового.
$$S_{2}=\pi *R_{2}*l_{2}=\pi *\frac{R_{1}}{4}*2*L_{1}=$$$$\frac{1}{2}*\pi *R_{1}*L_{1}=\frac{1}{2}*S_{1}=\frac{1}{2}*16=8$$
Задание 10. Тренировочный вариант ЕГЭ № 241 Ларина.
Небольшой мячик бросают под острым углом $$\alpha$$ к плоской горизонтальной поверхности земли. Максимальная высота полета мячика, выраженная в метрах, определяется формулой $$H=\frac{v_{0} ^{2}}{4g}(1-\cos 2\alpha)$$ , где $$v_{0}=26$$ м/с ‐ начальная скорость мячика, а g ‐ускорение свободного падения (считайте g = 10). При каком наименьшем значении угла $$\alpha$$ (в градусах) мячик пролетит над стеной высотой 15,9 м на расстоянии 1 м?
Ответ: 45.$$H=\frac{v_{o}^{2}}{4*g}*(1-\cos2\alpha)\Rightarrow$$ $$1-\cos2\alpha =\frac{4 *H*g}{v_{o}^{2}}\Rightarrow$$ $$\cos2\alpha =1-\frac{4*H*g}{v_{o}^{2}}$$.
$$\cos2\alpha =1-\frac{4*16,9*10}{26^{2}}=1-1=0$$
$$2\alpha =90\Rightarrow \alpha =45$$.
Задание 11. Тренировочный вариант ЕГЭ № 241 Ларина.
Брюки дороже рубашки на 30% и дешевле пиджака на 22%. На сколько процентов рубашка дешевле пиджака?
Ответ: 40.Пусть x-стоимость брюк,y - рубашки,z - пиджака:
Выразим стоимость рубашки через стоимость брюк:
1)y-100%
x-130%
$$y=\frac{100x}{130}$$.
Выразим стоимость пиджака через стоимость брюк:
2) z-100%
x-78%
$$z=\frac{100x}{78}$$
Выразим стоимость рубашки через стоимость пиджака:
3) $$\frac{100x}{78}-100$$%
$$\frac{100x}{130}-a$$%
$$A=\frac{\frac{100x}{130}*100}{\frac{100x}{78}}=$$$$\frac{100x*78}{130x}=60$$%
Следовательно, так как стоимость рубашки составляет 60% от стоимость пиджака, то рубашка дешевле на 40%.
Задание 12. Тренировочный вариант ЕГЭ № 241 Ларина.
Найдите наименьшее значение функции $$y=\frac{2}{3}x\sqrt{x}-12x+11$$ на отрезке
Ответ: -565.$$y=\frac{2}{3}*x\sqrt{x}-12x+11=\frac{2}{3}x^{\frac{3}{2}}-12x+11$$
Найдем значение производной:
$$y"=\frac{2}{3}*\frac{3}{2}*x^{\frac{1}{2}}-12=0$$
Найдем точки экстремума:
$$\sqrt{x}-12=0\Rightarrow x=144$$ - точка минимума (при х=9 y"<0, а при x=169 y">0)
Найдем наименьшее значение на данном промежутке:
$$y(144)=\frac{2}{3}*144*\sqrt{144}-12*144+11=1152-1728+11=-565$$
Задание 13. Тренировочный вариант ЕГЭ № 241 Ларина.
а) Решите уравнение $$(1+tg^{2} x)\cos(\frac{\pi}{2}+2x)=\frac{2}{\sqrt{3}}$$
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $$[-\frac{3\pi}{2};\pi]$$
Ответ: a)$$-\frac{\pi }{6}+\pi *n, n\in Z$$ б)$$-\frac{7\pi }{6};-\frac{\pi }{6};\frac{5\pi }{6}$$.а)$$(1+tg^{2}x)*\cos(\frac{\pi }{2}+2x)=\frac{2}{\sqrt{3}}$$
Найдем ограничения по х:
$$\cos x\neq 0\Leftrightarrow x+\frac{\pi }{2}+\pi *n, n\in Z$$
Учтем, что $$1+tg^{2}x=\frac{1}{\cos^{2}x}$$ и $$\cos(\frac{\pi }{2}+2x)=-\sin 2x$$
$$\frac{1}{\cos^{2}x}*(-\sin 2x)=\frac{2}{\sqrt{3}}$$
Воспользуемся формулой синуса двойного угла:
$$\frac{-2*\sin x*\cos x}{cos^{2}x}=\frac{2}{\sqrt{3}}$$ $$-tgx=\frac{1}{3}$$
$$tg x=-\frac{\sqrt{3}}{3}$$ $$x=-\frac{\pi }{6}+\pi *n, n\in Z$$
б)Отметим полученные корни в общем виде на окружности, а так же интервал, данный по условию (он включает в себя полностью всю окружность (синий цвет) и сектор во второй четверти (красный цвет))
Найдем корни, которые попадут в данный промежуток:
$$-\pi -\frac{\pi }{6}=-\frac{7\pi }{6}$$
$$0-\frac{\pi }{6}=-\frac{\pi }{6}$$
$$\pi -\frac{\pi }{6}=\frac{5\pi }{6}.$$
Задание 14. Тренировочный вариант ЕГЭ № 241 Ларина.
В правильной треугольной призме ABCA 1 B 1 C 1 сторона основания $$AB=6\sqrt{3}$$ . На ребре BC отмечена точка М так, что BC:MC=3:1, а на ребре AC отмечена точка N так, что AN:NC=2:1. Точка К середина ребра АВ.
а) Доказать что ОК параллельна плоскости MNC 1 , где О‐центр вписанной окружности треугольника A 1 B 1 C 1 .
б) Найти угол между прямой ОК и плоскостью основания, если площадь треугольника MNC 1 равна $$6\sqrt{3}$$
Ответ: 60.
А) 1) $$\Delta A_{1}B_{1}C_{1}\Rightarrow C_{1}O:OL=2:1$$
2) $$BC:MC=3:1\Rightarrow BM:MC= 2:1$$, и $$AN: NC= 2: 1 \Rightarrow \Delta CNM\sim \Delta ABC$$ и $$NM\left | \right |AB$$ и $$CH:HK=1:2$$
3) $$C_{1}L=CK, C_{1}L\left | \right | CK$$ и $$KH=\frac{2}{3}CK$$ и $$OC_{1}=\frac{2}{3}C_{1}L \Rightarrow$$
$$C_{2}O=KH$$ и $$KOC_{1}H$$- параллелограмм $$\Rightarrow KO \left | \right | C_{1}H \Rightarrow KO \left | \right | NMC_{1}$$
Б) 1) $$KO \left | \right | C_{1}H \Rightarrow$$ угол между KO и $$(C_{1}NM)$$ равен углу между $$C_{1}H$$ и $$(C_{1}NM)$$
2) из $$\Delta ABC: CK=CB*\sin60=6\sqrt{3}*\frac{\sqrt{3}}{2}=9$$.
$$CH=\frac{1}{3}CK=3$$.
3) $$NM=\frac{1}{3}AB=2\sqrt{3}; C_{1}H\perp HM\Rightarrow C_{1}H=\frac{2S_{C_{1}MN}}{NM}=\frac{2*6\sqrt{3}}{2\sqrt{3}}=6$$.
4) $$\cos \angle C_{1}HC=\frac{HC}{HC_{1}}=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$$. Тогда $$\angle C_{1}HC=60^{\circ}$$
Задание 15. Тренировочный вариант ЕГЭ № 241 Ларина.
Решите неравенство: $$\frac{\log_{9} x-\log_{18} x}{\log_{18} (2-x)-\log_{36} (2-x)}=\log_{36} 9$$
Ответ: $$x\in (0;1)\cup (1;2)$$.$$\frac{\log_{9}x-\log_{18}x}{\log_{18}(2-x)-\log_{36}(2-x)}\leq \log_{36} 9$$
$$\left\{\begin{matrix}x> 0 & \\2-x> 0 \\ \log_{18} (2-x)-\log_{36}(2-x)\neq 0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}x> 0 \\x< 2 \\2-x\neq 1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}x> 0 & \\x< 2\\x\neq 1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow x\in (0; 1)\cup (1;2)$$
Рассмотрим промежутки по отдельности и воспользуемся свойствами логарифмических функций:
При $$x\in (0; 1) : (a)\log_{9}x-\log_{18}x< 0$$, $$(b)\log_{18}(2-x)-\log_{36}(2-x)> 0\Rightarrow$$ $$(f)\frac{\log_{9}x-\log_{18}x}{\log_{18}(2-x)-\log_{36}(2-x)}< 0$$.
Аналогично $$x\in (1;2) (a) > 0; (b) < 0\Rightarrow f< 0$$, но $$\log_{36}9 >0$$ при всех х из полученных промежутков, следовательно, неравенство выполняется в обоих случаях и $$\Rightarrow x\in (0;1)\cup (1;2)$$.
Задание 16. Тренировочный вариант ЕГЭ № 241 Ларина.
В четырехугольнике ABCD диагонали AC и BD пересекаются в точке K. Точки L и M являются соответственно серединами сторон BC и AD . Отрезок LM содержит точку K . Четырехугольник ABCD таков, что в него можно вписать окружность.
а) Докажите, что четырехугольник ABCD трапеция.
б) Найдите радиус этой окружности, если AB = 3 , $$AC=\sqrt{13}$$ и LK:KM=1:3
Ответ: 1,5.
А) 1)Пусть BC не параллельна AD. Построим $$a \left | \right |AD ;a\cap AD=P$$; $$MK\cap BP=L_{1}$$ и $$BL_{1}=L_{1}P$$ (свойство трапеции)
2) $$BL=LC; BL_{1}=L_{1}P\Rightarrow LL_{1}$$-средняя линия. $$\Delta BCP$$ и $$LL_{1}\left | \right |PC$$ и $$LM\left | \right |AC$$, но $$LM\cap AC=K\Rightarrow BC\left | \right |AP ABCD$$-трапеция.
б) 1) $$\Delta BCK\sim \Delta AKD\Rightarrow \frac{LK}{KM}=\frac{BC}{AD}=\frac{1}{3}$$ Пусть BC=x; AD=3x.
2)Т.к. окружность можно вписать,то $$AD+BC=AB+CD\Rightarrow CD=4x-3$$
3) Из C проведем $$CQ\left | \right |AB(CQ\cap AD=Q)$$, $$CQ=AB=3 BC=AQ=x\Rightarrow QD=2x$$.
4)Из $$\Delta ADC$$: $$\cos\angle D=\frac{3x^{2}+(4x-3)^{2}-13}{2*3x(4x-3)}$$
Из $$\Delta QDC$$: $$\cos\angle D=\frac{(2x)^{2}+(4x-3)^{2}-9}{2*2x*(4x-3)}$$
$$\frac{9x^{2}+(4x-3)^{2}-13}{2*3x(4x-3)}=$$$$\frac{4x^{2}+(4x-3)-9}{2*2x(4x-3)}\Leftrightarrow$$$$\frac{25x^{2}-24x-4}{3}=\frac{20x^{2}-24x}{2}\Leftrightarrow$$$$25x^{2}-24x-4=30x^{2}-36x\Leftrightarrow$$$$5x^{2}-12x+4=0\Leftrightarrow$$$$\left [\begin{matrix}x_{1}=2 & & \\x_{2}=0,4 & &\end{matrix}\right.$$
Т. К. 4x-3> 0, то $$x_{2}$$ не подходит $$\Rightarrow x=2$$, тогда BC=2 QD=4 CD=5.
5) Из $$\Delta QCD: QC^{2}+QD^{2}=3^{2}+4^{2}=25=CD^{2}\Rightarrow \Delta QCD$$- прямоугольный $$QC\perp AP\Rightarrow r=\frac{1}{2}*QC=1,5$$.
Задание 17. Тренировочный вариант ЕГЭ № 241 Ларина.
Алексей решил взять кредит в банке 100 тысяч рублей на 4 месяца под 5% в месяц. Существуют две схемы выплаты кредита. По первой схеме банк в конце каждого месяца начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на 5%), затем Алексей переводит в банк фиксированную сумму и в результате выплачивает весь долг четырьмя равными платежами. По второй схеме тоже сумма долга в конце каждого месяца увеличивается на 5%, а затем уменьшается на сумму, уплаченную Алексеем. Суммы, выплачиваемые в конце каждого месяца, подбираются так, чтобы в результате сумма долга каждый месяц уменьшалась равномерно, то есть на одну и ту же величину. Какую схему выгоднее выбрать Алексею? Сколько рублей будет составлять эта выгода?
Ответ: 2ую; 305 .Для равных платежей:
Пусть $$S=100000$$ (руб.) − сумма, взятая в кредит;
$$n=4$$ − количество месяцев;
$$p=5$$% − банковский процент, тогда $$k=1,05=\frac{21}{20}$$− коэффициент, на который в конце каждого месяца умножается оставшаяся сумма долга;
x (руб.) − ежемесячный платёж.
Все преобразования с суммами долга занесём в таблицу:
По условию задачи через 4 месяца долг выплачен полностью, то есть:
$$(((Sk-x)k-x)k-x)k-x=0\Leftrightarrow$$$$Sk^{4}-x(k^{3}+k^{2}+k+1)=0$$
Учтем, что $$k^{n-1}+k^{n-2}+...+k+1=\frac{k^{n}-1}{k-1}$$. Получим;
$$Sk^{4}-x*\frac{k^{4}-1}{k-1}=0\Rightarrow$$$$x=\frac{Sk^{4}(k-1)}{k^{4}-1}=$$$$\frac{10^{5}*(\frac{21}{20})^{4}*(\frac{21}{20}-1)}{(\frac{21}{20})^{4}-1}=$$$$\frac{10^{5}*21^{4}}{20(21^{4}-20^{4})}$$
Вся сумма равна 4 платежам, то есть $$4*\frac{10^{5}*21^{4}}{20(21^{4}-20^{4})}\approx 112805$$ рублей
Для равномерного погашения долга:
По условию задачи каждый месяц долг уменьшается на одну и ту же сумму, равную 1000000:4 = 25000 (тыс. рублей), тогда оставшиеся суммы долга равны: 1000000; 75000; 50000 и 25000 (руб.) на начало каждого месяца кредитования соответственно. Каждый месяц Алексей выплачивает четверть суммы, взятой в кредит (фиксированная часть выплаты) + проценты, начисленные на оставшуюся на этот месяц сумму долга. Вся выплаченная банку сумма в этом случае составит: S 2 = 100000 + 0,05 ∙ (100000 + 75000 + 50000 + 25000) = 100000 + 0,05 ∙ 250000 = = 100000 + 12500 = 112500 (руб.)
Так как 112805>112500, то выгоднее вторая схема, на 112805-112500=305 рублей (приближенное значение с учетом расчетов)
1)$$y\leq 0$$ $$f(y)=2a -a ^{2}+8y-y+2a =7y+4a -a ^{2}$$ - синий цвет
2)$$y\in (0 ; 2a)$$ $$f(y)=2a -a ^{2}-8y-y+2a =-9y+4a -a ^{2}$$ - зеленый цвет
3) $$y> 2a$$ $$f(y)=2a -a ^{2}-8y+y-2a =-7y-a ^{2}$$ - красный цвет
Как видим максимальное значение в координате $$y=0$$: $$f_{max}=f(0)=2a =a ^{2}+\left | -2a \right |$$
б)Пусть $$2a < 0$$
1)$$y\leq 2a$$ $$f(y)=2a -a ^{2}+8y-y+2a =7y+4a -a ^{2}$$
2)$$y\in (2a; 0)$$ $$f(y)=2a -a ^{2}+8y+y-2a =9y-a ^{2}$$
3)$$y\geq 2a$$ $$f(y)=2a -a ^{2}-8y+y-2a =-7y-a ^{2}$$
Схематичное изображение графика:
И тут максимальное значение в координате $$y=0$$: $$f_{max}=f(0)$$. То есть, независимо от значения $$a$$ максимальное значение при $$y=0$$.
Тогда, чтобы были решения $$g_{min}\leq f_{max}$$ (графическая интерпритация):
$$4\leq 2a -a ^{2}+\left | -2a \right |\Leftrightarrow$$$$a ^{2}-2a -\left |- 2a \right | +4\leq 0$$
Расскроем модуль:
1)$$-2a \geq 0\Rightarrow a \leq 0$$. Тогда $$a ^{2}-2a +2a +4\leq 0\Rightarrow a ^{2}+4\leq 0\Rightarrow$$ решений нет
Ответ: да; 11; $$\frac{6}{13}$$..Пусть x–число мальчиков собакой, y- с кошкой, z-с кошкой и собакой.
Тогда общее кол-во мальчиков:
$$S_{1}=x+y-z$$
Тогда общее количество девочек:
$$S_{2}=21-x-y+z$$
Пусть у всех девочек есть кошка и собака, тогда общее количество детей с собаками:
$$x+21-x-y+z$$ и согласно условию:
$$x\leq \frac{1}{4}(x+21-x-y+z)=\frac{21}{4}-\frac{1}{4}y+\frac{1}{4}$$
детей с кошками $$y+21-x-y+z$$, и согласно условию:
$$y\leq \frac{5}{11}(y+21-x-y+z)=\frac{5*21}{11}-\frac{5}{11}x+\frac{5}{11}z$$
Сложим оба неравенства:
$$x+y\leq \frac{21}{4}+\frac{105}{11}+\frac{1}{4}z+\frac{5}{11}z-\frac{1}{4}y-\frac{5}{11}x|*44$$
$$44x+44y\leq 21*11+105*4+11z+20z-11y-20x$$
$$64x+55y\leq 651+31z$$
$$y\leq \frac{651+31z-64x}{55}(1).$$
Чем больше z, тем меньше x+y-z , тогда пусть z=0 , следовательно, $$y\leq \frac{651-64x}{55} , x,y \in N$$ пусть x=3 , тогда $$y\leq \frac{651-3*64}{55}\Rightarrow y\leq 8,34(54)$$,пусть y=8
Проверим полученные значения:
Всего собак: $$a=x+21-x-y=21-y=13$$
Всего кошек: $$b=y+21-x-y=21-x=21-3=18$$
Проверяем условие:
$$x\leq \frac{1}{4}a=\frac{1}{4}*13=\frac{13}{4}$$
$$3\leq \frac{13}{4}$$- верно
$$y\leq \frac{5}{11}b=\frac{5}{11}*18=\frac{90}{11};$$
$$9\leq \frac{90}{11}$$-верно
Из неравенства 1:
$$x\in \left [ 0; 10 \right ]; y\in (0 ;11]$$
Можно проверить все $$x\in N$$ при $$x\in $$ и найти y с учетом выполнения(1), но $$max(x+y)=11.$$
b) Пусть d –всего девочек,$$m_{1}$$ -число мальчиков с собаками,$$m_{2}$$ - с кошками, тогда доля девочек $$\frac{d}{m_{1}+m_{2}+d}\rightarrow min (2)$$
C учетом условия задания:
$$\left\{\begin{matrix}m_{1}\leq \frac{1}{4}(m_{2}+d) & & \\ m_{2}\leq \frac{5}{11}(m_{2}+d)& & \end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$$$ \left\{\begin{matrix}\frac{3}{4}*m_{1}\leq \frac{1}{4}*d & & \\ \frac{6}{11}*m_{2}\leq \frac{5}{11}*d& & \end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$$$ \left\{\begin{matrix}3m_{1}\leq d & & \\6m_{2}\leq 5d & & \end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$$$ \left\{\begin{matrix}\frac{m_{1}}{d}=\frac{1}{3} & & \\ \frac{m_{2}}{d}=\frac{5}{6}& & \end{matrix}\right.$$
Сложим оба неравенства:
$$\frac{m_{1}}{d}+\frac{m_{2}}{d}\leq \frac{7}{6}\Leftrightarrow$$$$ \frac{m_{1}+m_{2}}{d}\leq \frac{7}{6}$$
Рассмотрим выражение(2)
$$\frac{d}{m_{1}+m_{2}+d}=(\frac{1}{m_{1}+\frac{m_{2}}{2}+d})=(\frac{1}{\frac{m_{1}+m_{2}}{d}+1});$$
Чем больше $$\frac{m_{1}+m_{2}}{d}$$, тем меньше доля: $$\frac{1}{\frac{7}{6}+1}=\frac{6}{13}$$
Ответ: да; 11; $$\frac{6}{13}$$.
Работа состоит из трёх модулей: «Алгебра», «Геометрия», «Реальная математика». Всего в работе 26 заданий. Модуль «Алгебра» содержит 11 заданий: в части 1 - восемь заданий; в части 2 - три задания. Модуль «Геометрия» содержит восемь заданий: в части 1 - пять заданий; в части 2 - три задания. Модуль «Реальная математика» содержит семь заданий: все задания этого модуля - в части 1.
На выполнение экзаменационной работы по математике отводится 3 часа 55 минут (235 минут).
Ответы к заданиям 2, 3, 8, 14 записываются в виде одной цифры, которая соответствует номеру правильного ответа. Эту цифру запишите в поле ответа в тексте работы.
Для остальных заданий части 1 ответом является число или последовательность цифр, которые нужно записать в поле ответа в тексте работы. Если в ответе получена обыкновенная дробь, обратите её в десятичную. В случае записи неверного ответа на задания части 1 зачеркните его и запишите рядом новый.
При выполнении работы Вы можете воспользоваться справочными материалами.
Баллы, полученные за верно выполненные задания, суммируются. Для успешного прохождения итоговой аттестации необходимо набрать в сумме не менее 8 баллов, из них не менее 3 баллов в модуле «Алгебра», не менее 2 баллов в модуле «Геометрия» и не менее 2 баллов в модуле «Реальная математика». За каждое правильно выполненное задание части 1 выставляется 1 балл. В каждом модуле части 2 задания оцениваются в 2 балла.
