МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ 2. КЛАССИФИКАЦИЯ МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ ЭТАПЫ ПОСТРОЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ Методы научного познания. Место моделирования среди методов познания. Модели в науке и технике. Классификация математических моделей в зависимости: - от сложности объекта моделирования; - от оператора модели; - от параметров модели; - от методов реализации; - от целей моделирования. Классификация математических моделей технических объектов. Типовая схема проектирования технического объекта в САПР. Методология математического моделирования (вычислительный эксперимент)

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ МЕТОДЫ НАУЧНОГО ПОЗНАНИЯ. МЕСТО МОДЕЛИРОВАНИЯ СРЕДИ МЕТОДОВ ПОЗНАНИЯ. Метафизический Общенаучные Всеобщие МЕТОДЫ НАУЧНОГО ПОЗНАНИЯ Диалектический Частнонаучные Общие Эмпирические Теоретические Анализ Наблюдение Абстрагирование Синтез Эксперимент Идеализация Аналогия Измерение Формализация Моделирование Индукция Дедукция Изучением методов познания окружающего мира занимается методология. Основная задача методологии изучение происхождения, сущности, эффективности и других характеристик методов познания. Метод – совокупность приемов и операций практического и теоретического освоения действительности. Владеть методом – значит знать, каким образом, в какой последовательности нужно совершать те или иные действия для решения различных задач, и уметь реализовать эти знания на практике. Моделирование – метод познания окружающего мира, относящийся к общенаучным методам; он применяется как на эмпирическом, так и на теоретическом уровне познания.

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ КЛАССИФИКАЦИЯ МЕТОДОВ МОДЕЛИРОВАНИЯ. Физическое Аналоговое Материальное моделирование ОБЪЕКТ МОДЕЛИРОВАНИЯ Идеальное моделирование Интуитивное Научное Знаковое моделирование При физическом моделировании реальному объекту ставится в соответствие его (увеличенный или уменьшенный) материальный аналог, допускающий исследование в лабораторных условиях; свойства изучаемых процессов и явлений переносятся затем с модели на объект на основе теории подобия. Аналоговое моделирование - это моделирование, основанное на аналогии процессов и явлений, имеющих различную физическую природу, но одинаково описываемых формально (одними и теми же математическими соотношениями, логическими и структурными схемами). Интуитивное моделирование основано на интуитивном (не обоснованном с позиций формальной логики) представлении об объекте исследования, не поддающемся формализации или не нуждающемся в ней. Научное моделирование - это всегда логически обоснованное моделирование, использующее минимальное число предположений, принятых в качестве гипотез на основании наблюдений за объектом моделирования. Математическое моделирование - это идеальное научное знаковое формальное моделирование, при котором описание объекта осуществляется на языке математики, а исследование модели проводится с использованием тех или иных математических методов.

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ КЛАССИФИКАЦИЯ И ВЗАИМОСВЯЗЬ МОДЕЛЕЙ (УРОВНИ МОДЕЛИРОВАНИЯ) При наблюдении за объектом-оригиналом в голове исследователя формируется некий мысленный образ объекта, его идеальная модель, которую в научной литературе принято называть когнитивной (мысленной) моделью. ОБЪЕКТ МОДЕЛИРОВАНИЯ Когнитивная модель Представление когнитивной модели на естественном языке называется содержательной моделью. Содержательная модель Когнитивная модель Описательная Объяснительная Предсказательная Концептуальная модель Материальное моделирование Причинно. Логико. Структурносемантическая функциональная следственная Формальная модель Математическая Информационная Концептуальной моделью принято называть содержательную модель, при формулировке которой используются понятия и представления предметных областей знаний, занимающихся изучением объекта моделирования. В более широком смысле под концептуальной моделью понимают содержательную модель, базирующуюся на определенной концепции или точке зрения. Формальная модель является представлением концептуальной модели с помощью одного или нескольких формальных языков (например, языков математических теорий или алгоритмических языков). Математическая модель – совокупность математических соотношений, описывающих поведение и свойства объекта моделирования.

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ МОДЕЛИ В НАУКЕ И ТЕХНИКЕ В научной и технической литературе понятие модель чаще всего употребляется в следующем смысле: модель - аналог (чертеж, график, план, схема, описание) реального объекта; модель - образец (уменьшенный, увеличенный, в натуральную величину) будущего изделия. Под моделью понимают такой материальный или мысленно представляемый объект, который в процессе познания (изучения) замещает объект-оригинал, сохраняя основные важные для данного исследования черты оригинала. Процесс построения, исследования и использования модели называется моделированием. Свойства математических моделей: адекватность; полнота, замкнутость, внутренняя непротиворечивость; простота и наглядность; потенциальность (возможности модели с точки зрения получения новых знаний об объекте исследования); устойчивость (или робастность, грубость); точность; экономичность; универсальность. Если результаты моделирования удовлетворяют исследователя и могут служить основой для прогнозирования поведения или свойств исследуемого объекта, то говорят, что модель адекватна объекту. Другими словами, под адекватностью математической модели понимают правильное качественное и достаточное количественное описание тех характеристик объекта моделирования, которые важны в данном конкретном исследовании. Адекватность модели зависит от целей моделирования и принятых критериев.

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ УНИВЕРСАЛЬНОСТЬ МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ Одна и та же математическая модель находит подчас самые различные приложения. Например, с помощью модели, содержащей уравнение Пуассона можно изучать - установившееся течение (несжимаемой) жидкости; - стационарные тепловые поля; - распределение электрического потенциала; - механические напряжения при кручении стержней; - деформацию тонкой мембраны; - фильтрацию нефти в нефтеносном пласте или влаги в почве; - диффузию посторонней примеси в твердом теле, жидкости или газе; - распространение эпидемии в регионе. В каждой из перечисленных задач функции и приобретают свой содержательный смысл, однако их связь описывается общим для всех задач уравнением Пуассона. Если правая часть обращается в нуль, рассматриваемое уравнение называется уравнением Лапласа:

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ЗАЧЕМ НУЖНА МОДЕЛЬ? ЦЕЛИ МОДЕЛИРОВАНИЯ Модель нужна для того, чтобы: понять, как устроен конкретный объект: какова его структура, основные свойства, законы развития и взаимодействия с окружающей средой; научиться управлять объектом или процессом, находить оптимальные способы управления при заданных целях и критериях; прогнозировать прямые и косвенные последствия реализации заданных способов и форм воздействия на объект. Хорошо построенная модель, как правило, доступнее, информативнее и удобнее для исследователя, нежели реальный объект. Практическое использование математической модели (экспериментирование с моделью), аналогично проведению экспериментов с реальным объектом, но вместо физического (лабораторного, натурного) эксперимента с реальным объектом проводится вычислительный эксперимент с его моделью. Прямой натурный эксперимент часто дорог, трудоемок, опасен или попросту невозможен. Работа не с самим объектом, а с его моделью позволяет относительно быстро и без существенных затрат исследовать свойства и поведение объекта в любых мыслимых ситуациях. Эксперименты на моделях с применением ЭВМ позволяют разработать план натурных экспериментов, выяснить требуемые характеристики измерительной аппаратуры, наметить сроки проведения наблюдений, оценить стоимость эксперимента.

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ СТРУКТУРА МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ Математическая модель - это любой оператор, позволяющий по значениям входных параметров из области допустимых значений установить выходные значения параметров объекта моделирования: Здесь и - множества допустимых значений входных и выходных параметров для моделируемого объекта. В зависимости от природы, моделируемого объекта элементами множеств и могут являться любые математические объекты (числа, векторы, тензоры, функции, множества и т. п.). Оператор - это: – некоторая функция, связывающая входные и выходные значения, – отображение (оператор), представляющее символическую запись системы алгебраических, дифференциальных, интегро-дифференциальных или интегральных уравнений, – некоторый алгоритм (совокупность правил, таблиц), обеспечивающих определение выходных параметров по заданным исходным значениям.

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ КЛАССИФИКАЦИЯ МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ (в зависимости от сложности объекта моделирования) ОБЪЕКТ МОДЕЛИРОВАНИЯ Простой объект Имитационная модель Система Структурная модель Функциональная модель Структурно-функциональная модель · Объект моделирования - это некоторое материальное тело (конструкция, техническое устройство, агрегат, узел, деталь и т. п.), - физическое явление, - природный, технологический или социальный процесс. · Все объекты моделирования можно разделить на две группы: простые и объектысистемы. Объект является простым, если при моделировании не рассматривается его внутреннее строение, не выделяются составляющие его элементы или подпроцессы (например, материальная точка в классической механике – простой объект). · Система есть совокупность взаимосвязанных элементов, в определенном смысле обособленная от окружающей среды и взаимодействующая с ней как целое.

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ КЛАССИФИКАЦИЯ МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ (в зависимости от оператора модели) Линейный Нелинейный ОПЕРАТОР МОДЕЛИ Алгоритмический Сложный Простой Функция ОДУ РУ СЛАУ СОДУ ДУЧП ИДУ ОДУ – обыкновенное дифференциальное уравнение, РУ – разностное уравнение, СЛАУ – система линейных алгебраических уравнений, СОДУ – система обыкновенных дифференциальных уравнений, ДУЧП - дифференциальные уравнения в частных производных, ИДУ – интегро-дифференциальные уравнения.

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ КЛАССИФИКАЦИЯ МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ (в зависимости от параметров модели) Стохастические Случайные Интервальные Детерминированные Нечеткие Неопределенные ПАРАМЕТРЫ И ПЕРЕМЕННЫЕ МОДЕЛИРОВАНИЯ По отношению ко времени По отношению к размерности пространства Динамические Статические Стационарные Одномерные Нестационарные Двухмерные Трехмерные По составу параметров Дискретные Качественные Непрерывные Количественные Смешанные

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ КЛАССИФИКАЦИЯ МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ (в зависимости от методов реализации модели) МЕТОДЫ ИССЛЕДОВАНИЯ МОДЕЛИ Аналитические Алгоритмические Алгебраические Численные Приближенные Имитационные Метод исследования модели относят к аналитическим, если он позволяет получить выходные величины в виде аналитических выражений. При алгоритмическом подходе задается некоторый алгоритм, преобразующий (за конечное число шагов) входные данные в искомое решение. При численном подходе (МКР, МКЭ) производится дискретизация исходных математических соотношений, то есть переход от функций непрерывного аргумента к функциям дискретного аргумента. Полученное решение дискретной задачи принимается за приближенное решение исходной математической задачи. При имитационном подходе на отдельные элементы разбивается сам объект исследования. В этом случае система математических соотношений для объекта-системы в целом не записывается, а заменяется некоторым алгоритмом, моделирующим ее поведение и учитывающим взаимодействие друг с другом отдельных элементов системы. В качестве моделей отдельных элементов могут быть использованы как аналитические, так и численные модели.

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ КЛАССИФИКАЦИЯ МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ (в зависимости от целей моделирования) ЦЕЛИ МОДЕЛИРОВАНИЯ Дескриптивные Оптимизационные Управленческие Целью дескриптивных моделей (от лат. descriptio - описание) является построение законов изменения параметров модели. Эти модели описывают зависимость выходных величин от значений входных параметров. Поэтому дескриптивные модели являются реализацией описательных и объяснительных содержательных моделей на формальном уровне моделирования. Оптимизационные модели предназначены для определения оптимальных (с точки зрения некоторого критерия) параметров моделируемого объекта или же для поиска оптимального (наилучшего) режима управления некоторым процессом. Управленческие модели применяются для принятия эффективных управленческих решений в различных областях целенаправленной деятельности человека.

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ КЛАССИФИКАЦИЯ МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ ТЕХНИЧЕСКИХ ОБЪЕКТОВ ВИДЫ МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ (ММ) ТЕХНИЧЕСКИХ ОБЪЕКТОВ (ТО) По форме представления ММ По характеру отображаемых свойств ТО По степени абстрагирования По способу получения ММ По учету физических свойств ТО Инвариантные Функциональные Теоретические Динамические Алгоритмические Структурные ММ микроуровня (ММ с распределенными параметрами) Экспериментальные факторные Статические Аналитические Графические (схемные) Структурнофункциональные По способности прогнозирования результатов Детерминированные Вероятностные ММ макроуровня (ММ с сосредоточенными параметрами) Непрерывные ММ метауровня Линейные Дискретные Нелинейные

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ТИПОВАЯ СХЕМА ПРОЕКТИРОВАНИЯ ТЕХНИЧЕСКОГО ОБЪЕКТА В САПР Формирование ТЗ на объект проектирования уровня Проектирование системы на уровне Генерирование варианта структуры Уровень Корректировка ТЗ С Формирование математической модели Изменение структуры И Выбор исходных значений параметров Н ОПТИМИЗАЦИЯ ПАРАМЕТРОВ АНАЛИЗ Параметры оптимальны? Технические требования выполнены? Оформление технической документации Формирование ТЗ на подсистемы объекта Уровень Нет Т Изменение управляемых параметров Структурный синтез закончен? Е Нет З Да (СТРУКТУРНАЯ ОПТИМИЗАЦИЯ) Уровень

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ЭТАПЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ (ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫЙ ЭКСПЕРИМЕНТ) Анализ объекта моделирования, формулировка технического задания (ТЗ) на разработку модели (содержательная постановка задачи, расчетная схема) Концептуальная и математическая постановка задачи Качественный анализ и проверка корректности модели Выбор (разработка) и обоснование выбора метода решения задачи Аналитические методы Поиск решения Прочие методы Разработка алгоритма решения и исследование его свойств, реализация алгоритма в виде компьютерной программы Проверка адекватности модели Практическое использование построенной модели

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРИМЕР: ЗАДАЧА О БАСКЕТБОЛИСТЕ (содержательная постановка задачи) Разработать математическую модель, позволяющую описать полет баскетбольного мяча, брошенного игроком в баскетбольную корзину. Модель должна позволять: вычислять положение мяча в любой момент времени; определять точность попадания мяча в корзину после броска при различных начальных параметрах. Исходные данные: масса и радиус мяча; начальные координаты, начальная скорость и угол броска мяча; координаты центра и радиус корзины.

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРИМЕР: ЗАДАЧА О БАСКЕТБОЛИСТЕ (концептуальная постановка задачи) Примем следующие предположения и гипотезы: объектом моделирования является баскетбольный мяч радиуса R; движение баскетбольного мяча может быть описано в соответствии с законами классической механики Ньютона; мяч будем считать материальной точкой массой m, положение которой совпадает с центром масс мяча; движение происходит в поле сил тяжести с постоянным ускорением свободного падения g ; движение мяча происходит в одной плоскости, перпендикулярной поверхности Земли и проходящей через точку броска и центр корзины; пренебрегаем сопротивлением воздуха и возмущениями, вызванными собственным вращением мяча вокруг центра масс; параметры движения мяча: координаты (x и y) и скорость (ее проекции vx и vy). Концептуальная постановка задачи: определить закон движения материальной точки массой m под действием силы тяжести, если известны начальные координаты точки xo и yo, ее начальная скорость vo и угол бросания αo. Центр корзины имеет координаты xk и yk. Вычислить точность броска Δ=x(tk)-xk, где tk определяется из условий: tk>0, vy

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРИМЕР: ЗАДАЧА О БАСКЕТБОЛИСТЕ (математическая постановка задачи) Найти зависимости x(t), y(t) и vx(t) и vy(t) из решения системы дифференциальных уравнений: при следующих начальных условиях: Вычислить параметр Δ как где tk определить из условий Аналитическое решение:

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ? ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОПРОВЕРКИ. 1. Какое место занимает моделирование среди других методов познания окружающего мира? 2. Какие типы моделирования вы знаете? Дайте им краткую характеристику. 3. Какое содержание вкладывается в понятия модель и моделирование в научно-технических дисциплинах? 4. Какие типы моделей используются в изучаемых вами дисциплинах? В чем состоят цели моделирования? 5. Что такое математическая модель и математическое моделирование? Дайте определения, сформулируйте достоинства математических моделей и их свойства. Какие примеры математических моделей вам известны? 6. Какие классификационные признаки можно выделить, приступая к классификации математических моделей? Дайте классификацию моделей в зависимости от типа объекта моделирования. 7. В чем заключается сложность моделирования систем? Приведите пример технической системы и обоснуйте свой ответ на этом примере. 8. Какие типы математических моделей можно выделить по виду оператора модели? 9. Какие типы математических моделей можно выделить по виду параметров модели? 10. Приведите классификацию математических моделей в зависимости от методов реализации моделей. В чем достоинства и недостатки этих методов? 11. Перечислите этапы построения математической модели, дав при этом краткое описание каждого этапа. 12. Что вкладывается в понятие адекватности модели? Какие цели преследует проверка адекватности модели? Укажите причины возможной неадекватности. Как соотносятся понятия «истинности» и «адекватности» модели? Литература: , , , .

Первым этапом математического моделирования является постановка задачи, определение объекта и целей исследования , задание критериев(признаков) изучения объектов и управления ими. Неправильная или неполная постановка задачи может свести на нет результаты всех последующих этапов.

Вторым этапом моделирования является выбор типа математической модели , что является важнейшим моментом, определяющим направление всегоисследования. Обычно последовательно строится несколько моделей.Сравнение результатов их исследования с реальностью позволяет установитьнаилучшую из них. На этапе выбора типа атематической модели при помощианализа данных поискового эксперимента устанавливаются: линейность илинелинейность, динамичность или статичность, стационарность илинестационарность, а также степень детерминированности исследуемого объектаили процесса.Процесс выбора математической модели объекта заканчивается еепредварительным контролем , который также является первым шагом на путик исследованию модели. При этом осуществляются следующие видыконтроля (проверки): размерностей; порядков; характера зависимостей;экстремальных ситуаций; граничных условий; математической замкнутости;физического смысла; устойчивости модели.

Контроль размерностей сводится к проверке выполнения правила,согласно которому приравниваться и складываться могут только величиныодинаковой размерности.

Контроль порядков величин направлен на упрощение модели. При этом пределяются порядки складываемых величин и явно малозначительныеслагаемые отбрасываются.

Анализ характера зависимостей сводится к проверке направления искорости изменения одних величин при изменении других. Направления искорость, вытекающие из ММ, должны соответствовать физическому смыслузадачи.

Анализ экстремальных ситуаций сводится к проверке наглядного смысла решения при приближении параметров модели к нулю или бесконечности.

Контроль граничных условий состоит в том, что проверяетсясоответствие ММграничным условиям, вытекающим из смысла задачи. Приэтом проверяется, действительно ли граничные условия поставлены и учтеныпри построении искомой функции и что эта функция на самом делеудовлетворяет таким условиям.

Анализ математической замкнутости сводится к проверке того, что ММдает однозначное решение.

Анализ физического смысла сводится к проверке физическогосодержания промежуточных соотношений, используемых при построении ММ.

Проверка устойчивости модели состоит в проверке того, чтоварьирование исходных данных в рамках имеющихся данных о реальномобъекте не приведет к существенному изменению решения.

2. Понятие о вычислительном эксперименте

В настоящее время основным способом исследования ММ и проверки еекачественных показателей служит вычислительный эксперимент.

Вычислительным экспериментом называется методология и технологияисследований, основанные на применении прикладной математики и ЭВМ кактехнической базы при использовании ММ. Вычислительный экспериментосновывается на создании ММ изучаемых объектов, которые формируютсяс помощью некоторой особой математической структуры, способной отражатьсвойства объекта, проявляемые им в различных экспериментальных условиях, ивключает в себя следующие этапы.

1. Для исследуемого объекта строится модель, обычно сначала физическая,фиксирующая разделение всех действующих в рассматриваемом явлениифакторов на главные и второстепенные, которые на данном этапе исследованияотбрасываются; одновременно формулируются допущения и условияприменимости модели, границы, в которых будут справедливы полученныерезультаты; модель записывается в математических, терминах, как правило,в виде дифференциальных или интегро-дифференциальных уравнений;создание ММ проводится специалистами, хорошо знающими данную областьестествознания или техники, а также математиками, представляющими себевозможности решения математической задачи.

2. Разрабатывается метод решения сформулированной математическойзадачи. Эта задача представляется в виде совокупности алгебраическихформул, по которым должны вестись вычисления и условия, показывающиепоследовательность применения этих формул; набор этих формул и условийносит название вычислительного алгоритма . Вычислительный экспериментимеет многовариантный характер, так как решения поставленных задач частозависят от многочисленных входных параметров. Тем не менее, каждыйконкретный расчет в вычислительном эксперименте проводится прификсированных значениях всех параметров. Между тем в результате такогоэксперимента часто ставится задача определения оптимального наборапараметров. Поэтому при создании оптимальной установки приходитсяпроводить большое число расчетов однотипных вариантов задачи,отличающихся значением некоторых параметров. В связи с этим приорганизации вычислительного эксперимента можно использовать эффективные численные методы.

3. Разрабатываются алгоритм и программа решения задачи на ЭВМ.Программирование решений определяется теперь не только искусством иопытом исполнителя, а перерастает в самостоятельную науку со своимипринципиальными подходами.

4. Проведение расчетов на ЭВМ. Результат получается в виде некоторойцифровой информации, которую далее необходимо будет расшифровать.Точность информации определяется при вычислительном экспериментедостоверностью модели, положенной в основу эксперимента, правильностьюалгоритмов и программ (проводятся предварительные «тестовые» испытания).

5. Обработка результатов расчетов, их анализ и выводы. На этом этапемогут возникнуть необходимость уточнения ММ (усложнения или, наоборот,упрощения), предложения по созданию упрощенных инженерных способоврешения и формул, дающих возможности получить необходимую информациюболее простым способом.

Вычислительный эксперимент приобретает исключительное значение в техслучаях, когда натурные эксперименты и построение физической моделиоказываются невозможными. Особенно ярко можно проиллюстрироватьзначение вычислительного эксперимента при исследовании влияния городскойзастройки на параметры распространения радиосигнала. В связис интенсивным развитием систем мобильной связи данная задача в настоящеевремя является особенно актуальной. С целью снижения затрат при частотно-территориальном планировании производится оптимизация частотно-территориального плана с учетом таких факторов как рельеф местности,конфигурация городской застройки, атмосферные воздействия. Кроме этого,с учетом динамичности развития города необходимо постоянное уточнениесоответствующих моделей. То, что принято называть уровнем сигнала (средняянапряженность электромагнитного поля) представляет собой результатсложного взаимодействия физических процессов, протекающих прираспространении сигнала: прохождение сигнала сквозь здания и сооружения;воздействие на сигнал помех искусственного и естественного происхождения;атмосферная рефракция сигнала; отражения сигнала от зданий и от земнойповерхности; потери энергии сигнала в осадках и др. В данном случаеокружающую среду можно исследовать, строя соответствующую ММ, котораядолжна позволять предсказывать уровень сигнала при заданной конфигурациизастройки, рельефе местности, погодных условиях и т. п. Масштабы средыраспространения сигнала настолько грандиозны, что эксперимент даже в одномкаком-то регионе требует существенных затрат.

Таким образом, глобальный эксперимент по исследованиюраспространения сигнала возможен, но не натурный, а вычислительный,проводящий исследования не реальной системы (окружающей среды), а ее ММ.

В науке и технике известно немало областей, в которых вычислительныйэксперимент оказывается единственно возможным при исследовании сложныхсистем.

Пригодность ММ для решения задач исследования характеризуется тем,в какой степени она обладает так называемыми целевыми свойствами, основными из которых являются адекватность, устойчивость ичувствительность.

Лекция № 5 Основные этапы математического моделирования.

/ этап - постановка задачи исследования, решение которой должно быть получено посредством математического моделирова­ния. На этом этапе определяют объект изучения. Однако этого не­достаточно, ибо любой объект изучения, любой процесс неисчер­паемы в своих свойствах и отношениях (связях). Поэтому следует в соответствии с задачами исследования и конкретными условия­ми выделить из них наиболее существенные, исследование кото­рых должно привести к достижению поставленных целей.

II этап - разработка математической модели. Специалисты в области разработки математических моделей утверждают, что со­ставление математической модели - творческий процесс, кото­рый нельзя уложить в рамки конкретных рекомендаций. По их мнению, интуиция, знание дела и другие интеллектуальные каче­ства, которые, в сущности, не поддаются регулированию, играют важнейшую роль в процессе построения математической модели, и поэтому невозможно написать инструкцию или учебник по по­строению математических моделей. Более того, они считают, что если бы такой учебник был написан, то его появление скорее все­го приведет к ограничению творческих возможностей и не будет способствовать их развитию. Тем не менее анализ накопленного опыта позволил выявить определенные принципы построения ма­тематических моделей поршневых компрессоров*, которые изла­гаются в главе 9 настоящего пособия.

Определенный интерес представляют работы по автоматизации некоторых операций, связанных с разработкой математических моделей. Отметим, что успешные разработки автоматизированно­го составления математических моделей поршневых компрессо­ров возможны только после разработки структуры и основных принципов построения системы математических моделей из мо­дулей с последующим составлением и накоплением модульных математических моделей на всех уровнях иерархии.

III этап - выбор или разработка числового метода, реализующе­го разработанную математическую модель.

IVэтап - проверка математической модели на адекватность.

Уэтап - исследование на математической модели. Все вычисли­тельные эксперименты по заранее намеченному плану проводятся на разработанной математической модели.

VI этап -рассмотрение вопроса о переносе полученных на мате­матической модели данных на реальный объект изучения и об ис­пользовании полученной информации в практической деятельно­сти.

Пример последовательности математического моделирования. Процессы математического моделирования компрессора сложны и разнообразны и вряд ли могут быть представлены какой-то кон­кретной универсальной последовательностью действий, справед­ливой для всех случаев. Поэтому рассмотрим одну из возможных последовательностей работ по математическому моделированию рабочих процессов, протекающих в поршневом компрессоре, ко­торая используется в МГТУ им. Н. Э. Баумана (рис. 8.2).

Представленная на рис. 8.2 последовательность работ при мате­матическом моделировании, предусматривающая 12 стадий, явля­ется одновременно и типичной, и условной. Типичной она является, поскольку в ней представлены основные действия, выполня­емые при математическом моделировании рабочих процессов в поршневых компрессорах. Условность ее заключается в том, что в ряде случаев эта последовательность может быть сокращена или дополнена в зависимости от постановки задачи исследования и наличия информации на начальной стадии исследования.

Следует учитывать, что на практике часто вопросы, входящие в состав различных стадий, решаются одновременно и стадии быва­ет трудно разделить. Кроме того, при разработке и реализации ма­тематической модели, как правило, приходится возвращаться на­зад к уже пройденным стадиям и снова решать вопросы, относя­щиеся к ним. Причем такие циклы могут повторяться многократ­но. Например, в случаях, когда на стадии «Проверка адекватности» выявляется неадекватность математической модели поставленным при исследовании задачам, приходится возвра­щаться к стадии «Схематизация процесса» и по-новому произво­дить упрощение действительного процесса или возвращаться к стадии «Подбор и получение экспериментальных данных» и уточ­нять экспериментальную информацию.

Стадии 1, 2 и 3 соответствуют I этапу математического модели­рования, стадии 4, 5, 6 и 7 - II этапу, стадия 8 - III этапу, стадия 9 - IV этапу, стадия 10 - V этапу и стадии 11 и 12 - VI этапу.

Все стадии математического моделирования (см. рис. 8.2) име­ют большое значение для успешного моделирования. Однако при разработке математической модели наибольшее значение имеют мысленное представление физической сущности процесса, его схематизация, содержательное описание схематизированного про­цесса и возможность подбора необходимых экспериментальных данных из накопленного опыта.

Содержание основных стадий моделирования. Мысленное пред­ставление (стадия 2) физической сущности процесса включает в себя выделение контрольного объема (подробнее см. в главе 9), предусматривает четкое знание количественных и качественных характеристик процесса, ясное понимание составляющих процесс явлений, их взаимосвязей и взаимодействий, правильное опреде­ление главных, наиболее существенных факторов, оказывающих влияние на изучаемый процесс.

Цель исследования должна быть конкретной и четко сформу­лирована в письменном виде (стадия 3). Последнее позволяет из­бежать недоразумений и связанных с ними трудностей при обра­щении к цели исследования на любой последующей стадии моде­лирования.

При схематизации процесса (стадия 4) вводятся и обосновыва­ются допустимые с точки зрения исследователя упрощения, кото­рые позволяют описать основные явления формально, т. е. мате­матически.

Содержательное описание математической модели (Иногда содержательное описание математической модели называют концеп­туальной моделью) (стадия 5) представляет собой текстовое описание основных подходов, фи­зических принципов, допущений и предположений, которые образуют основу для создания модели. Предположения и обоснова­ния возможных аппроксимаций и усреднений данных, вводимых в математическую модель, также входят в содержательное описа­ние. На этой стадии определяют вид и форму представления на­чальных и граничных условий, перечень необходимых экспери­ментальных данных и вид их представления в математической мо­дели. На этой стадии экспериментальные данные могут быть представлены в виде таблиц или графиков. Читатель уже встречал­ся с содержательным описанием мысленной модели идеального компрессора в § 2.1.

Составление содержательного описания математической моде­ли очень полезно при исследованиях сложных объектов и процес­сов, так как позволяет более полно осмыслить математическую модель, на понятном языке согласовать модель с заказчиком и провести консультации со специалистами.

На стадии 6 необходимо закончить запись всех математических соотношений, представить все логические отношения в виде не­равенств, а также облечь в математическую форму остальные све­дения о процессе, включая экспериментальные данные, при этом такие данные аппроксимируются соответствующими функциями или полиномами, удобными для вычисления на ЭВМ.

Взаимодействие уравнений и экспериментальных данных. На од­ной из стадий моделирования (чаще всего это бывает на стадии не­посредственного написания математической модели) целесообраз­но рассмотреть схему взаимодействия отдельных частей математи­ческой модели, взаимосвязи между уравнениями, а также между уравнениями и экспериментальными данными (рис. 8.3 и 8.4).

Математики отличаются друг от друга тем, что говорят друг с другом и пишут на особом «математическом языке». Используя математический язык можно составлять математические модели реальных ситуации. В процессе решения задачи выделяются три этапа математического моделирования: 1) составление математической модели, 2) работа с математической моделью, 3) ответ на вопрос задачи. Рассмотрим некоторые примеры, в которых рассматриваются этапы математического моделирования.

Турист шел 2 ч пешком из пункта А в пункт В, затем в В он сел на катер, скорость которого в 4 раза больше скорости туриста как пешехода, и ехал на катере 1,5 ч до пункта С. В С он сел на автобус, скорость которого в 2 раза больше скорости катера, и ехал на нем 2 ч до пункта D. С какой скоростью ехал турист на автобусе если известно, что весь его путь от А до D составил 120 км?

Решение.

пусть х км/ч - скорость пешехода. За 2 ч он пройдет 2х км.

Из условия следует, что скорость катера 4х км/ч. За 1,5 ч катер пройдет путь 4хЧ1,5 км, т.е. 6х км.

Из условия следует, что скорость автобуса равна 2Ч4х км/ч, 8х км/ч. За 2 ч автобус пройдет 8хЧ2 км, т.е. 16х км.

Весь путь от А до D равен: 2х+6х+16х, что составляет, по условию, 120 км. Таким образом, 2х+6х+16х=120.

Это математическая модель задачи.

Второй этап. Работа с составленной моделью.

Сложив одночлены 2х, 6х, 16х, получим 24х. Значит, 24х=120, откуда находим х=5.

За х мы приняли скорость пешехода, она равна 5 км/ч. Скорость катера в 4 раза больше, т.е. 20 км/ч, а скорость автобуса еще в 2 раза больше, т.е. 40 км/ч.

Ответ : скорость автобуса 40 км/ч.

Пункты А, В и С расположены на шоссе друг на другом. Расстояние между А и В равно 16 км. Из В по направлению к С вышел пешеход. Через 2 ч после этого из А по направлению к С выехал велосипедист, скорость которого на 6 км/ч больше скорости пешехода. Через 4 ч после своего выезда велосипедист догнал пешехода в пункте С. Чему равно расстояние от В до С?

Решение.

Первый этап. Составление математической модели.

Пусть х км/ч - скорость пешехода, тогда (х+6) км/ч - скорость велосипедиста.

Расстояние от А до С велосипедист проехал за 4 ч, значит, это расстояние выражается формулой 4(х+6) км; иными словами, АС=4(х+6).

Расстояние от В до С пешеход прошел за 6 ч (ведь до выезда велосипедиста он уже был в пути 2 ч), следовательно, это расстояние выражается формулой 6х км, иными словами, ВС=6х.

По условию мы знаем, что пункты А, В и С следуют друг за другом, поэтому АС-ВС=АВ, т.е. АС-ВС=16. Это основа для составления математической модели задачи. Напомним, что АС=4(х+6), ВС=6х; следовательно,

Для решения уравнения придется, во-первых, умножить одночлен 4 на двучлен х+6, получим 4х+24. Во-вторых, придется из двучлена 4х+24 вычесть одночлен 6х:

4х+24-6х=24-2х.

После этих преобразований уравнение принимает более простой вид:

Третий этап. Ответ на вопрос задачи.

Мы получили, что х=4, значит, скорость пешехода 4 км/ч. Но нам нужно найти не это, в задаче требуется найти расстояние от В до С. Мы установили, что ВС=6х, значит, ВС=6Ч4=24.

Ответ : расстояние от В до С равно 24 км.

Лодка плыла по течению реки 3 ч 12 мин, а затем против течения 1,5 ч. Найти собственную скорость лодки, если известно, что скорость течения реки 2 км/ч, а всего лодкой пройден путь 41 км.

Решение.

Первый этап. Составление математической модели.

Пусть х км/ч - собственная скорость лодки, тогда по течению она плывет со скоростью (х+2) км/ч, а против течения - со скоростью (х_2) км/ч.

По течению реки лодка плыла 3ч 12 мин. Поскольку скорость выражена в км/ч, это время надо записать в часах. Имеем: 12 мин=12/60 ч=1/5 ч=0,2 ч. Значит, 3 ч 12 мин=3,2 ч. За это время со скоростью (х+2) км/ч лодкой пройден путь 3,2(х+2) км.

Против течения лодка плыла 1,5 ч. За это время со скоростью (х-2) км/ч лодкой пройден путь 1,5(х-2) км.

По условию весь ее путь составил 41 км. Так как он состоит из пути по течению и пути против течения, то получаем:

3,2(х+2)+1,5(х-2)=41.

Это уравнение - математическая модель задачи.

Второй этап. Работа с составленной математической моделью.

Как всегда, на этом этапе думаем только о том, как решить модель - уравнение, а не о том, откуда эта модель взялась. Выполним в левой части уравнения умножение одночлена 3,2 на двучлен х+2, одночлена 1,5 на двучлен х-2, а затем полученные многочлены сложим:

3,2х+6,4+1,5х-3=41;

Третий этап. Ответ на вопрос задачи.

Спрашивается, чему равна собственная скорость лодки, т.е. чему равен х? Но ответ на этот вопрос уже получен: х=8.

Ответ: собственная скорость лодки 8 км/ч.

В седьмом классе в понедельник не пришли в школу одна девочка и пять мальчиков. При этом число девочек в классе оказалось в 2 раза больше числа мальчиков. Во вторник не пришли один мальчик и девять девочек. При этом число мальчиков оказалось в 1,5 раза больше числа девочек. В среду на уроки пришли все ученики. Сколько школьников присутствовало на уроках в среду в седьмом классе?

Решение.

Первый этап. Составление математической модели.

Пусть х - число девочек, у - число мальчиков в седьмом классе.

В понедельник было (х-1) девочек, (у-5) мальчиков. При этом оказалось, что девочек вдвое больше, т.е.

во вторник было (х-9) девочек, (у-1) мальчиков. При этом оказалось, что мальчиков в 1,5 раза больше, т.е.

Математическая модель ситуации составлена:

Второй этап. Работа с составленной математической моделью.

Сначала упростим каждое уравнение системы.

Для первого уравнения имеем:

Для второго уравнения имеем:

Итак, получили следующую систему двух линейных уравнений с двумя переменными:

Решаем систему методом подстановки. Из первого уравнения системы находим: х=2у-9. Подставим этот результат вместо х во второе уравнение системы находим: х=2у-9. Подставим это результат вместо х во второе уравнение системы. Получим:

Так как х=2у-9, то х=2Ч13-9=17.

Итак, х=17, у=13 - решение системы.

Третий этап. Ответ на вопрос задачи.

Спрашивается, сколько школьников было в седьмом классе на уроках в среду, когда пришли все ученики. Поскольку х=17, у=13, т.е. в классе было 17 девочек и 13 мальчиков, делаем вывод: всего в классе 17+13=30 учеников.

Ответ : 30 учеников.

Математическое моделирование

1. Что такое математическое моделирование?

С середины XX в. в самых различных областях человеческой деятельности стали широко применять математические методы и ЭВМ. Возникли такие новые дисциплины, как «математическая экономика», «математическая химия», «математическая лингвистика» и т. д., изучающие математические модели соответствующих объектов и явлений, а также методы исследования этих моделей.

Математическая модель - это приближенное описание какого-либо класса явлений или объектов реального мира на языке математики. Основная цель моделирования - исследовать эти объекты и предсказать результаты будущих наблюдений. Однако моделирование - это еще и метод познания окружающего мира, дающий возможность управлять им.

Математическое моделирование и связанный с ним компьютерный эксперимент незаменимы в тех случаях, когда натурный эксперимент невозможен или затруднен по тем или иным причинам. Например, нельзя поставить натурный эксперимент в истории, чтобы проверить, «что было бы, если бы...» Невозможно проверить правильность той или иной космологической теории. В принципе возможно, но вряд ли разумно, поставить эксперимент по распространению какой-либо болезни, например чумы, или осуществить ядерный взрыв, чтобы изучить его последствия. Однако все это вполне можно сделать на компьютере, построив предварительно математические модели изучаемых явлений.

2. Основные этапы математического моделирования

1) Построение модели . На этом этапе задается некоторый «нематематический» объект - явление природы, конструкция, экономический план, производственный процесс и т. д. При этом, как правило, четкое описание ситуации затруднено. Сначала выявляются основные особенности явления и связи между ними на качественном уровне. Затем найденные качественные зависимости формулируются на языке математики, то есть строится математическая модель. Это самая трудная стадия моделирования.

2) Решение математической задачи, к которой приводит модель . На этом этапе большое внимание уделяется разработке алгоритмов и численных методов решения задачи на ЭВМ, при помощи которых результат может быть найден с необходимой точностью и за допустимое время.

3) Интерпретация полученных следствий из математической модели. Следствия, выведенные из модели на языке математики, интерпретируются на языке, принятом в данной области.

4) Проверка адекватности модели. На этом этапе выясняется, согласуются ли результаты эксперимента с теоретическими следствиями из модели в пределах определенной точности.

5) Модификация модели. На этом этапе происходит либо усложнение модели, чтобы она была более адекватной действительности, либо ее упрощение ради достижения практически приемлемого решения.

3. Классификация моделей

Классифицировать модели можно по разным критериям. Например, по характеру решаемых проблем модели могут быть разделены на функциональные и структурные. В первом случае все величины, характеризующие явление или объект, выражаются количественно. При этом одни из них рассматриваются как независимые переменные, а другие - как функции от этих величин. Математическая модель обычно представляет собой систему уравнений разного типа (дифференциальных, алгебраических и т. д.), устанавливающих количественные зависимости между рассматриваемыми величинами. Во втором случае модель характеризует структуру сложного объекта, состоящего из отдельных частей, между которыми существуют определенные связи. Как правило, эти связи не поддаются количественному измерению. Для построения таких моделей удобно использовать теорию графов. Граф - это математический объект, представляющий собой некоторое множество точек (вершин) на плоскости или в пространстве, некоторые из которых соединены линиями (ребрами).

По характеру исходных данных и результатов предсказания модели могут быть разделены на детерминистические и вероятностно-статистические. Модели первого типа дают определенные, однозначные предсказания. Модели второго типа основаны на статистической информации, а предсказания, полученные с их помощью, имеют вероятностный характер.

4. Примеры математических моделей

1) Задачи о движении снаряда.

Рассмотрим следующую задачу механики.

Снаряд пущен с Земли с начальной скоростью v 0 = 30 м/с под углом a = 45° к ее поверхности; требуется найти траекторию его движения и расстояние S между начальной и конечной точкой этой траектории.

Тогда, как это известно из школьного курса физики, движение снаряда описывается формулами:

где t - время, g = 10 м/с 2 - ускорение свободного падения. Эти формулы и дают математическую модель поставленной задачи. Выражая t через x из первого уравнения и подставляя во второе, получим уравнение траектории движения снаряда:

Эта кривая (парабола) пересекает ось x в двух точках: x 1 = 0 (начало траектории) и (место падения снаряда). Подставляя в полученные формулы заданные значения v0 и a, получим

ответ: y = x – 90x 2 , S = 90 м.

Отметим, что при построении этой модели использован ряд предположений: например, считается, что Земля плоская, а воздух и вращение Земли не влияют на движение снаряда.

2) Задача о баке с наименьшей площадью поверхности.

Требуется найти высоту h 0 и радиус r 0 жестяного бака объема V = 30 м 3 , имеющего форму закрытого кругового цилиндра, при которых площадь его поверхности S минимальна (в этом случае на его изготовление пойдет наименьшее количество жести).

Запишем следующие формулы для объема и площади поверхности цилиндра высоты h и радиуса r:

V = p r 2 h, S = 2p r(r + h).

Выражая h через r и V из первой формулы и подставляя полученное выражение во вторую, получим:

Таким образом, с математической точки зрения, задача сводится к определению такого значения r, при котором достигает своего минимума функция S(r). Найдем те значения r 0 , при которых производная

обращается в ноль:Можно проверить, что вторая производная функции S(r) меняет знак с минуса на плюс при переходе аргумента r через точку r 0 . Следовательно, в точке r0 функция S(r) имеет минимум. Соответствующее значение h 0 = 2r 0 . Подставляя в выражение для r 0 и h 0 заданное значение V, получим искомый радиус и высоту

3) Транспортная задача.

В городе имеются два склада муки и два хлебозавода. Ежедневно с первого склада вывозят 50 т муки, а со второго - 70 т на заводы, причем на первый - 40 т, а на второй - 80 т.

Обозначим через a ij стоимость перевозки 1 т муки с i-го склада на j-й завод (i, j = 1,2). Пусть

a 11 = 1,2 р., a 12 = 1,6 р., a 21 = 0,8 р., a 22 = 1 р.

Как нужно спланировать перевозки, чтобы их стоимость была минимальной?

Придадим задаче математическую формулировку. Обозначим через x 1 и x 2 количество муки, которое надо перевезти с первого склада на первый и второй заводы, а через x 3 и x 4 - со второго склада на первый и второй заводы соответственно. Тогда:

x 1 + x 2 = 50, x 3 + x 4 = 70, x 1 + x 3 = 40, x 2 + x 4 = 80. (1)

Общая стоимость всех перевозок определяется формулой

f = 1,2x 1 + 1,6x 2 + 0,8x 3 + x 4 .

С математической точки зрения, задача заключается в том, чтобы найти четыре числа x 1 , x 2 , x 3 и x 4 , удовлетворяющие всем заданным условиям и дающим минимум функции f. Решим систему уравнений (1) относительно xi (i = 1, 2, 3, 4) методом исключения неизвестных. Получим, что

x 1 = x 4 – 30, x 2 = 80 – x 4 , x 3 = 70 – x 4 , (2)

а x 4 не может быть определено однозначно. Так как x i і 0 (i = 1, 2, 3, 4), то из уравнений (2) следует, что 30Ј x 4 Ј 70. Подставляя выражение для x 1 , x 2 , x 3 в формулу для f, получим

f = 148 – 0,2x 4 .

Легко видеть, что минимум этой функции достигается при максимально возможном значении x 4 , то есть при x 4 = 70. Соответствующие значения других неизвестных определяются по формулам (2): x 1 = 40, x 2 = 10, x 3 = 0.

4) Задача о радиоактивном распаде.

Пусть N(0) - исходное количество атомов радиоактивного вещества, а N(t) - количество нераспавшихся атомов в момент времени t. Экспериментально установлено, что скорость изменения количества этих атомов N"(t) пропорциональна N(t), то есть N"(t)=–l N(t), l >0 - константа радиоактивности данного вещества. В школьном курсе математического анализа показано, что решение этого дифференциального уравнения имеет вид N(t) = N(0)e –l t . Время T, за которое число исходных атомов уменьшилось вдвое, называется периодом полураспада, и является важной характеристикой радиоактивности вещества. Для определения T надо положить в формуле Тогда Например, для радона l = 2,084 · 10 –6 , и следовательно, T = 3,15 сут.

5) Задача о коммивояжере.

Коммивояжеру, живущему в городе A 1 , надо посетить города A 2 , A 3 и A 4 , причем каждый город точно один раз, и затем вернуться обратно в A 1 . Известно, что все города попарно соединены между собой дорогами, причем длины дорог b ij между городами A i и A j (i, j = 1, 2, 3, 4) таковы:

b 12 = 30, b 14 = 20, b 23 = 50, b 24 = 40, b 13 = 70, b 34 = 60.

Надо определить порядок посещения городов, при котором длина соответствующего пути минимальна.

Изобразим каждый город точкой на плоскости и пометим ее соответствующей меткой Ai (i = 1, 2, 3, 4). Соединим эти точки отрезками прямых: они будут изображать дороги между городами. Для каждой «дороги» укажем ее протяженность в километрах (рис. 2). Получился граф - математический объект, состоящий из некоторого множества точек на плоскости (называемых вершинами) и некоторого множества линий, соединяющих эти точки (называемых ребрами). Более того, этот граф меченый, так как его вершинам и ребрам приписаны некоторые метки - числа (ребрам) или символы (вершинам). Циклом на графе называется последовательность вершин V 1 , V 2 , ..., V k , V 1 такая, что вершины V 1 , ..., V k - различны, а любая пара вершин V i , V i+1 (i = 1, ..., k – 1) и пара V 1 , V k соединены ребром. Таким образом, рассматриваемая задача заключается в отыскании такого цикла на графе, проходящего через все четыре вершины, для которого сумма всех весов ребер минимальна. Найдем перебором все различные циклы, проходящие через четыре вершины и начинающиеся в A 1:

1) A 1 , A 4 , A 3 , A 2 , A 1 ;
2) A 1 , A 3 , A 2 , A 4 , A 1 ;
3) A 1 , A 3 , A 4 , A 2 , A 1 .

Найдем теперь длины этих циклов (в км): L 1 = 160, L 2 = 180, L 3 = 200. Итак, маршрут наименьшей длины - это первый.

Заметим, что если в графе n вершин и все вершины попарно соединены между собой ребрами (такой граф называется полным), то число циклов, проходящих через все вершины, равно Следовательно, в нашем случае имеется ровно три цикла.

6) Задача о нахождении связи между структурой и свойствами веществ.

Рассмотрим несколько химических соединений, называемых нормальными алканами. Они состоят из n атомов углерода и n + 2 атомов водорода (n = 1, 2 ...), связанных между собой так, как показано на рисунке 3 для n = 3. Пусть известны экспериментальные значения температур кипения этих соединений:

y э (3) = – 42°, y э (4) = 0°, y э (5) = 28°, y э (6) = 69°.

Требуется найти приближенную зависимость между температурой кипения и числом n для этих соединений. Предположим, что эта зависимость имеет вид

y » a n + b,

где a , b - константы, подлежащие определению. Для нахождения a и b подставим в эту формулу последовательно n = 3, 4, 5, 6 и соответствующие значения температур кипения. Имеем:

– 42 » 3a + b, 0 » 4a + b, 28 » 5a + b, 69 » 6a + b.

Для определения наилучших a и b существует много разных методов. Воспользуемся наиболее простым из них. Выразим b через a из этих уравнений:

b » – 42 – 3a , b » – 4a , b » 28 – 5a , b » 69 – 6a .

Возьмем в качестве искомого b среднее арифметическое этих значений, то есть положим b » 16 – 4,5a . Подставим в исходную систему уравнений это значение b и, вычисляя a , получим для a следующие значения: a » 37, a » 28, a » 28, a » 36. Возьмем в качестве искомого a среднее значение этих чисел, то есть положим a » 34. Итак, искомое уравнение имеет вид

y » 34n – 139.

Проверим точность модели на исходных четырех соединениях, для чего вычислим температуры кипения по полученной формуле:

y р (3) = – 37°, y р (4) = – 3°, y р (5) = 31°, y р (6) = 65°.

Таким образом, ошибка расчетов данного свойства для этих соединений не превышает 5°. Используем полученное уравнение для расчета температуры кипения соединения с n = 7, не входящего в исходное множество, для чего подставим в это уравнение n = 7: y р (7) = 99°. Результат получился довольно точный: известно, что экспериментальное значение температуры кипения y э (7) = 98°.

7) Задача об определении надежности электрической цепи.

Здесь мы рассмотрим пример вероятностной модели. Сначала приведем некоторые сведения из теории вероятностей - математической дисциплины, изучающей закономерности случайных явлений, наблюдаемых при многократном повторении опыта. Назовем случайным событием A возможный исход некоторого опыта. События A 1 , ..., A k образуют полную группу, если в результате опыта обязательно происходит одно из них. События называются несовместными, если они не могут произойти одновременно в одном опыте. Пусть при n-кратном повторении опыта событие A произошло m раз. Частотой события A называется число W = . Очевидно, что значение W нельзя предсказать точно до проведения серии из n опытов. Однако природа случайных событий такова, что на практике иногда наблюдается следующий эффект: при увеличении числа опытов значение практически перестает быть случайным и стабилизируется около некоторого неслучайного числа P(A), называемого вероятностью события A. Для невозможного события (которое никогда не происходит в опыте) P(A)=0, а для достоверного события (которое всегда происходит в опыте) P(A)=1. Если события A 1 , ..., A k образуют полную группу несовместимых событий, то P(A 1)+...+P(A k)=1.

Пусть, например, опыт состоит в подбрасывании игральной кости и наблюдении числа выпавших очков X. Тогда можно ввести следующие случайные события A i ={X = i}, i = 1, ..., 6. Они образуют полную группу несовместных равновероятных событий, поэтому P(A i) = (i = 1, ..., 6).

Суммой событий A и B называется событие A + B, состоящее в том, что в опыте происходит хотя бы одно из них. Произведением событий A и B называется событие AB, состоящее в одновременном появлении этих событий. Для независимых событий A и B верны формулы

P(AB) = P(A) P(B), P(A + B) = P(A) + P(B).

8) Рассмотрим теперь следующую задачу . Предположим, что в электрическую цепь последовательно включены три элемента, работающие независимо друг от друга. Вероятности отказов 1-го, 2-го и 3-го элементов соответственно равны P 1 = 0,1, P 2 = 0,15, P 3 = 0,2. Будем считать цепь надежной, если вероятность того, что в цепи не будет тока, не более 0,4. Требуется определить, является ли данная цепь надежной.

Так как элементы включены последовательно, то тока в цепи не будет (событие A), если откажет хотя бы один из элементов. Пусть A i - событие, заключающееся в том, что i-й элемент работает (i = 1, 2, 3). Тогда P(A1) = 0,9, P(A2) = 0,85, P(A3) = 0,8. Очевидно, что A 1 A 2 A 3 - событие, заключающееся в том, что одновременно работают все три элемента, и

P(A 1 A 2 A 3) = P(A 1) P(A 2) P(A 3) = 0,612.

Тогда P(A) + P(A 1 A 2 A 3) = 1, поэтому P(A) = 0,388 < 0,4. Следовательно, цепь является надежной.

В заключение отметим, что приведенные примеры математических моделей (среди которых есть функциональные и структурные, детерминистические и вероятностные) носят иллюстративный характер и, очевидно, не исчерпывают всего разнообразия математических моделей, возникающих в естественных и гуманитарных науках.