Куб, шар, пирамида, цилиндр, конус - геометрические тела. Среди них выделяют многогранники. Многогранником называют геометрическое тело, поверхность которого состоит из конечного числа многоугольников. Каждый из этих многоугольников называется гранью многогранника, стороны и вершины этих многоугольников - соответственно ребрами и вершинами многогранника.

Двугранные углы между соседними гранями, т.е. гранями, име­ющими общую сторону - ребро многогранника - являются так­же и двугранными умами многогранника. Углы многоугольников - граней выпуклого многоугольника - являются плоскими умами многогранника. Кроме плоских и двугранных углов у выпуклого многогранника имеются еще и многогранные углы. Эти углы образу­ют грани, имеющие общую вершину.

Среди многогранников различают призмы и пирамиды.

Призма - это многогранник, поверхность которого состоит из двух равных многоугольников и параллелограммов, имеющих об­щие стороны с каждым из оснований.

Два равных многоугольника называются основаниями ггризмьг, а параллелограммы - ее боковыми гранями. Боковые грани образуют боковую поверхность призмы. Ребра, не лежащие в основаниях, называются боковыми ребрами призмы.

Призму называют п-угольной, если ее основаниями являются я-угольники. На рис. 24.6 изображена четырехугольная призма АВСDА"В"С"D".

Призму называют прямой, если ее боковыми гранями являются прямоугольники (рис. 24.7).

Призму называют правильной , если она прямая, а ее основа­ния - правильные многоугольники.

Четырехугольную призму называют параллелепипедом , если ее основания - параллелограммы.

Параллелепипед называют прямоугольным, если все его грани - прямоугольники.

Диагональ параллелепипеда - это отрезок, соединяющий его противоположные вершины. У параллелепипеда четыре диаго­нали.

Доказано, что диагонали параллелепи­педа пересекаются в одной точке и делятся этой точкой пополам. Диагонали прямо­угольного параллелепипеда равны.

Пирамида - это многогранник, по­верхность которого состоит из много­угольника - основания пирамиды, и треугольников, имеющих общую верши­ну, называемых боковыми гранями пи­рамиды. Общая вершина этих треуголь­ников называется вершиной пирамиды, ребра, выходящие из вер­шины, - боковыми ребрами пирамиды.

Перпендикуляр, опущенный из вершины пирамиды на основа­ние, а также длина этого перпендикуляра называется высотой пи­рамиды.

Простейшая пирамида - треугольная или тетраэдр (рис. 24.8). Особенность треугольной пирамиды состоит в том, что любую грань можно рассматривать как основание.

Пирамиду называют правильной, если в основании ее лежит правильный многоугольник, а все боковые ребра равны между собой.

Заметим, что следует различать правильный тетраэдр (т.е. тетра­эдр, у которого все ребра равны между собой) и правильную тре­угольную пирамиду (в ее основании лежит правильный треуголь­ник, а боковые ребра равны между собой, но их длина может от­личаться от длины стороны треугольника, который является ос­нованием призмы).

Различают выпуюше и невыпуклые многогранники. Определить вы­пуклый многогранник можно, если воспользоваться понятием вы­пуклого геометрического тела: многогранник называют выпуклым. если он является выпуклой фигурой, т.е. вместе с любыми двумя своими точками целиком содержит и соединяющий их отрезок.

Можно определить выпуклый многогранник иначе: многогран­ник называют выпуклым, если он полностью лежит по одну сторо­ну от каждого из ограничивающих его многоугольников.

Данные определения равносильны. Доказательство этого факта не приво­дим.

Все многогранники, которые до сих пор рассматривались, были выпуклыми (куб, параллелепипед, призма, пирамида и др.). Многогранник, изображенный на рис. 24.9, выпуклым не является.

Доказано, что в выпуклом многогран­нике все грани являются выпуклыми многоугольниками.

Рассмотрим несколько выпуклых многогранников (таблица 24.1)

Из этой таблицы следует, что для всех рассмотренных выпук­лых многогранников имеет место равенство В - Р + Г = 2. Оказа­лось, что оно справедливо и для любого выпуклого многогранни­ка. Впервые это свойство было доказано Л.Эйлером и получило название теоремы Эйлера.

Выпуклый многогранник называют правильным, если его гра­нями являются равные правильные многоугольники и в каждой вершине сходится одинаковое число граней.

Используя свойство выпуклого многогранного угла, можно до­казать, что различных видов правильных многогранников существу­ет не более пяти.

Действительно, если фан и многогранника - правильные тре­угольники, то в одной вершине их может сходиться 3, 4 и 5, так как 60" 3 < 360°, 60° - 4 < 360°, 60° 5 < 360°, но 60° 6 = 360°.

Если в каждой вершине многофанника сходится три правиль­ных треугольника, то получаем правшш/ый тетраэдр, что в пере­воде с феческого означает «четырехгранник» (рис. 24.10, а).

Если в каждой вершине многогранника сходится четыре пра­вильных треугольника, то получаем октаэдр (рис. 24.10, в). Его поверхность состоит из восьми правильных треугольников.

Если в каждой вершине многогранника сходится пято правиль­ных треугольников, то получаем икосаэдр (рис. 24.10, г). Его поверх­ность состоит из двадцати правильных треугольников.

Если грани многофанника - квадраты, то в одной вершине их может сходиться только три, так как 90° 3 < 360°, но 90° 4 = 360°. Этому условию удовлетворяет только куб. Куб имеет шесть фаней и поэтому называется также гексаэдром (рис. 24.10, б).

Если граани многофанника - правильные пятиугольники, то в одной вершине их может сходиться только фи, так как 108° 3 < 360°, пятиугольники и в каждой вершине сходится три грани, называется додекаэдром (рис. 24.10, д). Его поверхность состоит из двенадцати правильных пятиугольников.

Шестиугольными и более грани многогранника не могут быть, так как даже для шестиугольника 120° 3 = 360°.

В геометрии доказано, что в трехмерном евклидовом простран­стве существует ровно пять различных видов правильных много­гранников’.

Чтобы изготовить модель многогранника, нужно сделать его развертку (точнее развертку его поверхности).

Развертка многогранника - это фигура на плоскости, которая получается, если поверхность многогранника разрезать но некото рым ребрам и развернуть ее так, чтобы все многоугольники, вхо­дящие в эту поверхность, лежали в одной плоскости.

Отметим, что многогранник может иметь несколько различных разверток в зависимости от того, какие ребра мы разрезали. На рисунке 24.11 показаны фиг"уры, которые являются различными развертками правильной четырехугольной пирамиды, т.е. пирами­ды, в основании которой лежит квадрат, а все боковые ребра рав­ны между собой.

Чтобы фигура на плоскости была разверткой выпуклого много­гранника, она должна удовлетворять ряду требований, связанных с особенностями многогранника. Например, фигуры на рис. 24.12 не являются развертками правильной четырехугольной пирамиды: в фигуре, изображенной на рис. 24.12, а, в вершине М сходятся четыре грани, чего не может быть в правильной четырехугольной пирамиде; а в фигуре, изображенной на рис. 24.12, б, боковые ребра А В и ВС не равны.

Вообще, развертку многогранника можно получить путем раз­резания его поверхности не только по ребрам. Пример такой раз­вертки куба приведен на рис. 24.13. Поэтому более точно развертку многогранника можно определить как плоский многоугольник, из которого может быть сделана поверхность этого многогранника без перекрытий.

Тела вращения

Телом вращения называют тело, полученное в результате вра­щения некоторой фигуры (обычно плоской) вокруг прямой. Эту прямую называют осью вращения.

Цилиндр - эго тело, которое получается в результате вращения прямоугольника вокруг одной из его сторон. При этом указанная сто­рона является осью цилиндра. На рис. 24.14 изображен цилиндр с осью ОО’, полученный в результате вращения прямоугольника АА"О"О вокруг прямой ОО". Точки О и О" - центры оснований цилиндра.

Цилиндр, который получается в результате вращения прямо­угольника вокруг одной из его сторон, называют прямым круго­вым цилиндром, так как его основаниями являются два равных круга, расположенных в параллельных плоскостях так, что отре­зок, соединяющий центры кругов, перпендикулярен этим плос­костям. Боковую поверхность цилиндра образуют отрезки, равные стороне прямоугольника, параллельной оси цилиндра.

Разверткой боковой поверхности пря­мого кругового цилиндра, если ее раз­резать по образующей, является прямо­угольник, одна сторона которого равна длине образующей, а другая - длине ок­ружности основания.

Конус - это тело, которое получает­ся в результате вращения прямоугольного треугольника вокруг одного из катетов.

При этом указанный катет неподвижен и называется осью конуса. На рис. 24.15 изображен конус с осью SO, получен­ный в результате вращения прямоуголь­ного треугольника SOA с прямым уг­лом О вокруг катета S0. Точку S называют вершиной конуса, ОА - радиусом его основания.

Конус, который получается в результате вращения прямоуголь­ного треугольника вокруг одного из его катетов, называют пря­мым круговым конусом, гак как его основанием является круг, а вершина проектируется в центр этого круга. Боковую поверхность конуса образуют отрезки, равные гипотенузе треугольника, при вращении которого образуется конус.

Если боковую поверхность конуса разрезать по образующей, то ее можно «развернуть» на плоскость. Разверткой боковой поверх­ности прямого кругового конуса является круговой сектор с ради­усом, равным длине образующей.

При пересечении цилиндра, конуса или любого другого тела вращения плоскостью, содержагцей ось вращения, получается осевое сечение. Осевое сечение цилиндра - прямоугольник, осевое сече­ние конуса - равнобедренный треугольник.

Шар - это тело, которое получается в результате вращения полукруг а вокруг его диаметра. На рис. 24.16 изображен шар, получен­ный в результате вращения полукруга вокруг диаметра АА". Точку О называют центром шара, а радиус круга является радиусом шара.

Поверхность шара называют сферой. Сферу развернуть на плос­кость нельзя.

Любое сечение шара плоскостью есть круг. Радиус сечения шара будет наибольшим, если плоскость проходит через центр шара. Поэтому сечение шара плоскостью, проходящей через центр шара, называют большим кругом шара, а окружность, его ограничиваю­щая, - большой окружностью.

ИЗОБРАЖЕНИЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ТЕЛ НА ПЛОСКОСТИ

В отличие от плоских фигур геометрические тела невозможно точно изобразить, например, на листе бумаги. Однако с помощью чертежей на плоскости можно получить достаточно наглядное изоб­ражение пространственных фигур. Для этого используются специ­альные способы изображения таких фигур на плоскости. Одним из них является параллельное проектирование.

Пусть даны плоскость а и пересекающая се прямая а. Возьмем в пространстве произвольную точку Л", не принадлежащую пря­мой а, и проведем через X прямую а", параллельную прямой а (рис. 24.17). Прямая а" пересекает плоскость в некоторой точке X", которая называется параллельной проекцией точки X на плос­кость а.

Если точка А"лежит на прямой а, то се параллельной проекци­ей X" является точка, в которой прямая а пересекает плоскость а.

Если точка X принадлежит плоскости а, то точка X" совпадает с точкой X.

Таким образом, если заданы плоскость а и пересекающая ее прямая а. то каждой точке X пространства можно поставить в соот­ветствие единственную точку А" - параллельную проекцию точки X на плоскость а (при проектировании параллельно прямой а). Плос­кость а называется плоскостью проекций. О прямой а говорят, что она залает направление проектирования - ггри замене прямой а любой другой параллельной ей прямой результат проектирования не изменится. Все прямые, параллельные прямой а, задаюз одно и то же направ­ление проектирования и называются вместе с прямой а проектирующими прямыми.

Проекцией фигуры F называют мно­жество F‘ проекцией всех се точек. Ото­бражение, сопоставляющее каждой точ­ке X фигуры F "ее параллельную проек­цию - точку X" фигуры F", называется параллельным проектированием фигуры F (рис. 24.18).

Параллельной проекцией реального предмета является его тень, падающая на плоскую поверхность при солнечном освещении, поскольку солнечные лучи можно считать параллельными.

Параллельное проектирование обладает рядом свойств, знание которых необходимо при изображении геометрических тел на плоскости. Сформулируем основные, не приводя их доказательства.

Теорема 24.1. При параллельном проектировании для прямых, не параллельных направлению проектирования, и для лежащих на них отрезков выполняются следующие свойства:

1) проекция прямой есть прямая, а проекция отрезка - отрезок;

2) проекции параллельных прямых параллельны или совпадают;

3) отношение длин проекций отрезков, лежащих на одной прямой или на параллельных прямых, равно отношению длин самих отрезков.

Из этой теоремы вытекает следствие: при параллельном про­ектировании середина отрезка проектируется в середину его про­екции.

При изображении геометрических тел на плоскости необходи­мо следить за выполнением указанных свойств. В остальном оно может быть произвольным. Так, углы и отношения длин непарал­лельных отрезков могут изменяться произвольно, т.е., например, треугольник при параллельном проектировании изображается про­извольным треугольником. Но если треугольник равносторонний, то па проекции его медианы должны соединять вершину треуголь­ника с серединой противоположной стороны.

И еще одно требование необходимо соблюдать при изображе­нии пространственных тел на плоскости - способствовать созда­нию верного представления о них.

Изобразим, например, наклонную призму, основаниями кото­рой являются квадраты.

Построим сначала нижнее основание призмы (можно начинать и с верхнего). По правилам параллельного проектирования огго изобразится произвольным параллелограммом АВСD (рис. 24.19, а). Так как ребра призмы параллельны, строим параллельные пря­мые, проходящие через вершины построенного параллелограмма и откладываем на них равные отрезки АА", ВВ’, СС", DD", длина которых произвольна. Соединив последовательно точки А", В", С", D", получим четырехугольник А"В"С"D", изображающий верхнее основание призмы. Нетрудно доказать, что А"В"С"D" - паралле­лограмм, равный параллелограмму АВСD и, следовательно, мы имеем изображение призмы, основаниями которой являются рав­ные квадраты, а остальные грани - параллелограммы.

Если нужно изобразить прямую призму, основаниями которой являются квадраты, то показать, что боковые ребра этой призмы перпендикулярны основанию, можно так, как это сделано на рис. 24.19, б.

Кроме тог о, чертеж на рис. 24.19, б можно считать изображени­ем правильной призмы, так как ее основанием является квадрат - правильный четырехугольник, а также - прямоугольным парал­лелепипедом, поскольку все его грани - прямоугольники.

Выясним теперь, как изобразить на плоскости пирамиду.

Чтобы изобразить правильную пирамиду, сначала чертят пра­вильный многоугольник, лежащий в основании, и его центр - точку О. Затем проводят вертикальный отрезок OS, изображаю­щий высоту пирамиды. Заметим, что вертикальность отрезка OS обеспечивает большую наглядность рисунка. И наконец, точку S соединяют со всеми вершинами основания.

Изобразим, например, правильную пирамиду, основанием ко­торой является правильный шестиугольник.

Чтобы верно изобразить при параллельном проектировании правильный шестиугольник, надо обратить внимание на следующее. Пусть АВСDЕF - правильный шестиугольник. Тогда ВСЕF - прямоугольник (рис. 24.20) и, значит, при параллельном проектировании он изобра­зится произвольным параллелограммом В"С"Е"F". Так как диагональ АD проходит через точку О - центр многоугольника АВСDЕF и параллельна отрезкам. ВС и ЕF и АО= ОD, то при параллельном проектировании она изобразится произвольным от­резком А"D", проходящим через точку О" параллельно В"С" и Е"F" и, кроме того, А"О" = О"D".

Таким образом, последовательность построения основания ше­стиугольной пирамиды такова (рис. 24.21):

§ изображают произвольный параллелограмм В"С"Е"F" и его диагонали; отмечают точку их пересечения O";

§ через точку О" проводят прямую, параллельную В’С" (или Е"F’);

§ на построенной прямой выбирают произвольную точку А" и отмечают точку D" такую, что О"D" = А"О", и соединяют точку А" с точками В" и F ", а точку D" - с точками С" и Е".

Чтобы завершить построение пирамиды, проводят вертикаль­ный отрезок ОS (его длина выбирается произвольно) и соединя­ют точку S со всеми вершинами основания.

При параллельном проектировании шар изображается в виде круга того же радиуса. Чтобы сделать изображение шара более на­глядным, рисуют проекцию какой-нибудь большой окружности, плоскость которой не перпендикулярна плоскости проекции. Эта проекция будет эллипсом. Центр шара изобразится центром этого эллипса (рис. 24.22). Теперь можно найти соответствующие полюсы N и S при условии, что отрезок, их соединяющий, перпендикуля­рен плоскости экватора. Для этого через точку О проводим пря­мую, перпендикулярную АВ и отмечаем точку С - пересечение этой прямой с эллипсом; затем через точку С проводим касатель­ную к эллипсу, изображающему экватор. Доказано, что расстоя­ние СМ равно расстоянию от центра шара до каждого из полюсов. Поэтому, отложив отрезки ОN и OS, равные СМ, получим полю­сы N и S.

Рассмотрим один из приемов построения эллипса (он основан на преобразовании плоскости, которое называется сжатием): строят окружность с диаметром и проводят хорды, перпендикулярные диаметру (рис. 24.23). Половину каждой из хорд делят пополам и полученные точки соединяют плавной кривой. Эта кривая - эл­липс, большой осью которого является отрезок АВ, а центром - точка О.

Этот прием мЬжно использовать, изображая на плоскости пря­мой круговой цилиндр (рис. 24.24) и прямой круговой конус (рис. 24.25).

Прямой круговой конус изображают так. Сначала строят эл­липс - основание, затем находят центр основания - точку О и перпендикулярно проводят отрезок OS, который изображает вы­соту конуса. Из точки S проводят к эллипсу касательные (это дела­ют «на глаз», прикладывая линейку) и выделяют отрезки SС и SD этих прямых от точки S до точек касания С и D. Заметим, что отрезок СD не совпадает с диаметром основания конуса.

Опорный план–конспект по теме:

«Введение в стереометрию» 10 класс

Основные понятия: точка, прямая, плоскость, многогранник, грань многогранника, противоположные грани, смежные грани, боковые грани, основания, ребро многогранника, вершина многогранника, противоположные вершины, диагональ, полная поверхность, площадь полной поверхности, выпуклый многогранник, невыпуклый многогранник

Инструменты для построения: линейка без делений, циркуль, чертёжный угольник.

Стереометрия (от греческого «стереос» - пространственный) – раздел геометрии, в котором изучаются свойства не только плоских, но и пространственных геометрических фигур.

Основные фигуры (простейшие фигуры) в стереометрии являются точки, прямые и плоскости.

Аксиомы (утверждения принимаемые без доказательства)

1. В пространстве имеется бесконечно много плоскостей, и на каждой из них выполняется планиметрия, т. е. справедливы аксиомы планиметрии и следствия из них.

2. Признаки равенства и подобия треугольников, изученные в планиметрии справедливы и для треугольников, лежащих в разных плоскостях .

Основные правила изображения фигур

Отрезок изображается отрезком

Середина отрезка изображается серединой его изображения

Точка, делящая отрезок в отношении m : n изображается точкой, делящей его изображение в отношении m : n

Параллельные прямые (отрезки) изображаются параллельными прямыми (отрезками). Параллельность сохраняется

В качестве изображения любого треугольника можно принять произвольный треугольник

Многогранник – геометрическое тело, ограниченное конечным числом плоских многоугольников, любые два смежных из которых не лежат в одной плоскости. Многоугольники называются гранями , их стороны – ребрами многогранника, а их вершины – вершинами многогранника.

Полная поверхность - это фигура, образованная всеми гранями многогранника.

Площадь полной поверхности (S полн ) – сумма площадей всех граней.

Площадь боковой поверхности (S бок ) - сумма площадей боковых граней.

Основные понятия: куб, параллелепипед, прямой параллелепипед, прямоугольный параллелепипед, призма, прямая призма, правильная n -угольная призма, пирамида, правильная пирамида, тетраэдр

Куб – это многогранник, имеющий шесть граней, которые являются равными квадратами ­(рис. 1). Стороны квадратов называются ребрами куба. Вершины квадратов называются вершинами куба.
Параллелепипед – это многогранник, у которого шесть граней и каждая из них – параллелограмм (рис. 2). Противоположные грани – это грани, не имеющие общего ребра. Смежные грани – грани имеющие общее ребро. Противоположные вершины – это две вершины параллелепипеда, не принадлежащие одной грани. Диагональ – это отрезок, соединяющий противоположные вершины (рис. 3). Прямой параллелепипед – это параллелепипед, у которого боковые грани прямоугольники. Прямоугольный параллелепипед – это параллелепипед, у которого все грани прямоугольники (рис. 4).
Призма ( n -угольная) – это многогранник, у которого две грани равные n -угольники, а остальные n грани – параллелограммы (рис. 5). Равные n -угольники называются основаниями , а параллелограммы – боковыми гранями. Прямая призма – это такая призма, у которой боковые грани являются прямоугольниками (рис. 6). Правильная n -угольная призма – это такая призма, у которой боковые грани прямоугольники, а ее основания правильные n -угольники.
Пирамида ( n -угольная) – это многогранник, у которого одна грань - какой-нибудь n -угольник, а остальные n граней – треугольники с общей вершиной (рис. 7). Основание пирамиды называется n -угольник. Боковые грани это треугольники, имеющие общую вершину. Вершина пирамида – их общая вершина. Ребра пирамида – это стороны граней пирамиды. Боковые ребра пирамиды – это ребра, сходящиеся в вершине. Правильная пирамида – это такая пирамида, основание которой правильный n -угольник, а все боковые ребра равны между собой. Тетраэдр – это треугольная пирамида. Правильный тетраэдр – это треугольная пирамида, если все ее грани – правильные треугольники.

Получил широкую известность благодаря участию в сериале "Большая любовь". Однако актера также можно увидеть в еще нескольких известных проектах, таких как сериал "Секретные материалы", "Место преступления: Майами".

Интересно, что такой миловидный актер не употребляет никаких продуктов животного происхождения. Он - абсолютный вегетарианец.

Ранние годы и путь к актерству

Маленький Дуглас родился в Канаде, в провинции Онтарио. Мальчик появился в семье учительницы и продюсера низкобюджетных фильмов. Симпатяга Дуглас обрадовал родителей своим появлением 22 июня 1985 года. У парня есть два брата и сестра: Грегори, Андре и Саманта Смит. Грегори, как и Дуглас, является актером.

Братья родились в семье продюсера, и наверняка это определило их судьбу. С 11 лет маленький, но целеустремленный актер Дуглас Смит вплотную занялся актерским мастерством. Кстати, у парня есть опыт игры на сцене, например в комедии Шекспира "Двенадцатая ночь" в роли Мальволио.

Первым фильмом, в котором принял участие Дуглас, стал "Смертельный вызов" (1996), где он исполнил крохотную роль.

Фильмы

Дуглас Смит получил свою первую роль в большом кино в киноленте "Взрыв из прошлого" (1999), где ему удалось поработать с такими известными актерами, как и Брендан Фрейзер. Далее молодой и амбициозный актер не уставал много работать и хватался за разные проекты. Так он снимался и в кино, и в телесериалах, которые принесли ему особую популярность.

Сериалы, с участием актера Дугласа Смита:

В кинопортфолио Смита входит также ряд фильмов. Где-то он играет маленькие эпизодические роли, а некоторые фильмы достаточно популярны и на слуху у многих киноманов:

Личная жизнь

Если человек талантлив, то он имеет как минимум еще один талант. Актер Дуглас Смит участвует в группе Alaskan Summer, где, кстати, также трудится и девушка актера - Эштон Лансфорд. Похоже, у ребят все серьезно, ведь не каждый выдержит партнера круглые сутки - дома и на работе.

Кстати, парень сам пишет песни и исполняет их в своей группе.

Диагональ в многоугольнике (многограннике) — отрезок, соединяющий любые две несмежные вершины, то есть, вершины, не принадлежащие одной стороне многоугольника (одному ребру многогранника).

У многогранников различают диагонали граней (рассматриваемых как плоские многоугольники) и пространственные диагонали, выходящие за пределы граней. У многогранников, имеющих треугольные грани есть только пространственные диагонали.

Подсчет диагоналей

Диагоналей нет у треугольника на плоскости и у тетраэдра в пространстве, поскольку все вершины этих фигур попарно связаны сторонами (ребрами).

Количество диагоналей N у многоугольника легко вычислить по формуле:

N = n·(n - 3)/2,

где n — число вершин многоугольника. По этой формуле нетрудно найти, что

• у треугольника — 0 диагоналей
• у прямоугольника — 2 диагонали
• у пятиугольника — 5 диагоналей
• у шестиугольника — 9 диагоналей
• у восьмиугольника — 20 диагоналей
• у 12-угольника — 54 диагонали
• у 24-угольника — 252 диагонали

Количество диагоналей многогранника с числом вершин n легко подсчитать только для случая, когда в каждой вершине многогранника сходится одинаковое число ребер k . Тогда можно пользоваться формулой:

N = n · (n - k - 1)/2,

которая даем сумманое число пространственных и граневых диагоналей. Отсюда можно найти, что

• у тетраэдра (n=4, k=3) — 0 диагоналей
• у октаэдра (n=6, k=4) — 3 диагонали (все пространственные)
• у куба (n=8, k=3) — 16 диагоналей (12 граневых и 4 пространственных)
• у икосаэдра (n=12, k=5) — 36 диагоналей (все пространственные)
• у додекаэдра (n=20, k=3) — 160 диагоналей (25 граневых и 135 пространственных)

Если в разных вершинах многогранника сходится разное число ребер, подсчет заметно усложняется и должен проводится индивидуально для каждого случая.

Фигуры с равными диагоналями

На плоскости существует два правильных многоугольника, у которых все диагонали равны между собой. Это квадрат и правильный пятиугольник . У квадрата две одинаковых диагонали, пересекающихся в центре под прямым углом. У правильного пятиугольника пять одинаковых диагоналей, которые вместе образуют рисунок пятиконечной звезды (пентаграммы).

Единственный правильный многогранник, у которого все диагонали равны между собой — правильный восьмигранник октаэдр . У него три диагонали, которые попарно перпендикулярно пересекаются в центре. Все диагонали октаэдра — пространственные (диагоналей граней у октаэдра нет, т.к. у него треугольные грани).

Помимо октаэдра есть еще один правильный многогранник, у которого все пространственные диагонали равны между собой. Это куб (гексаэдр) . У куба четыре одинаковых пространственных диагонали, которые также пересекаются в центре. Угол между дигоналями куба состаляет либо arccos(1/3) ≈ 70,5° (для пары диагоналей, проведенных к смежным вершинам), либо arccos(-1/3) ≈ 109,5° (для пары диагоналей, проведенных к несмежным вершинам).

• ru.wikipedia.org — Википедия: Диагональ
• dic.academic.ru — иллюстрация разницы между граневой и пространственной диагоналями многогранника

Где ударение в словах: торты, тортов, тортом
Торт, торта, тортом (итал. torta) — сладкий кондитерский пирог, муж. род; множественное число — торты. Во всех падежах как в единственном, так и во множественном числе ударение в этом слове никуда не двигается, всегда на первой О: отрежьте мне кусок тОрта, этому тОрту чего-то не хватает, сбегай-ка в магазин за тОртом, в этой булочной все

Какие есть предложения с одним главным членом - подлежащим
В русском языке все простые предложения по характеру грамматической основы делятся на два типа: двусоставные, односоставные. 1. Двусоставные предложения — это предложения, в которых есть и подлежащее и сказуемое: Отговорила роща золотая березовым веселым языком. 2. Односоставные предложения — это предложения, в которых есть только

Что делать, если ребенок замерз
Почему ребенку нужно много гулять? Свежий воздух необходим для правильной работы всех жизненно важных систем организма, в том числе мозга, что особенно важно для развития ребенка. Свежий воздух очищает легкие от пыли и аллергенов, благодаря чему, улучшается функционирование слизистой носа и верхних дыхательных путей. Дополнительные затраты энергии во время прогулки

Как правильно наносить лак-основу на ногти
Виды пилочек. Как выбрать пилочку. Чтобы ногти выглядели здоровыми и не расслаивались, очень важно подобрать подходящую пилочку. Подбирать пилочку нужно в зависимости от структуры ногтей. Железные пилочки использовать не рекомендуется. Сама же основа пилочки должна быть резиновой или картонной. Если крепкие ногти, то можно воспользоваться инструментом песочного или сапфирового видов. Если ногти ломкие,

Где в интернете можно обратиться с заявлением, жалобой, предложением в Управление ГИБДД МВД по Кировской области
Обратиться с заявлением, жалобой, пердложением в органы Госавтоинспекции МВД России можно на официальном сайте gibdd.ru в разделе Прием обращений. Обратиться с заявлением, жалобой, пердложением в органы Госавтоинспекции субъектов Российской Федерации можно на официальных сайта данных ведомств. 01 Управление ГИБДД МВД по Республике Адыгея 02 Управление ГИБДД

Какие виды пельменей бывают и как их готовить
Классические пельмени Фаршговядина — 350 г свинина — 150 г лук — 1 шт. большая (или 2 средние) сливки — 50 г вода — 50 г соль, перец Сделать фарш из мяса, добавить натёртый репчатый лук, сливки, соль, перец и, добавляя воду, взбить хорошо весь фарш. Изготовление т

Что такое картушка
Картушка — подвижный диск или кольцо из немагнитного материала в магнитном компасе с равномерно нанесёнными по окружности делениями. Другими словами, картушка — это шкала, вращающаяся относительно неподвижного маркера. Компас с вращающейся шкалой в основном применяется на морском и речном флоте. На суше, как правило, используется другая конструкция

Где найти календарь на 2008 год
Ниже представлены ссылки на сайты с календарями на 2008 год:oboi2008.easytask.biz — календарь на 2008 год. Фото обои на рабочий стол. Художественные фотографии с наложенным календариком, отформатированные в размер 1024?768 и 1280?1024 darena.ru — самый простенький

Что такое Да Хун Пао
Да Хун Пао — «Большой Красный Халат», утёсный китайский чай, который производят на северо-западе провинции Фудцзянь, в горах Уи. По цвету высушенного листа чай бурый с бордовым и зелёным оттенками, имеет насыщенный, со сладким привкусом, вкус. При последующих заварках вкус, цвет и аромат чая изменяются: вначале

Как выбрать мандарины
Эти солнечные радостные фрукты появляются на рынках и в магазинах с поздней осени и несут с собой хорошее настроение, заряд бодрости, витаминов, а самое главное - ощущение праздника. Мандарины давно и прочно ассоциируются с зимними праздниками, Новым Годом и Рождеством. Аромат свежих фруктов вместе с запахом ёлки или сосновых лап насыщают дом ощущением праздника и ую

Многогранники

Многогранник - это такое тело, поверхность которого состоит из конечной количества плоских многоугольников. Многогранник называется выпуклым , если он лежит по одну сторону от плоскости каждого из плоских многоугольников на его поверхности. Общая часть такой плоскости и поверхности выпуклого многоугольника называется гранью .
На рисунке ниже слева изображен неопуклий многогранник; на рисунке справа - выпуклый.

Грани выпуклого многогранника являются плоскими выпуклыми многоугольниками. Стороны граней называются ребрами многогранника , а вершины граней - вершинами многогранника .

Призма

Призмой называется многогранник, который состоит из двух плоских многоугольников, лежащих в разных плоскостях и совмещаются параллельным переносом, и всех отрезков, соединяющих соответствующие точки этих многоугольников (см. рисунок). Многоугольники называются основами призмы , а отрезки, соединяющие соответствующие вершины, - боковыми ребрами призмы .

Обозначения: .
Боковая поверхность призмы состоит из параллелограммов. Каждый из них имеет две стороны, которые являются соответствующими сторонами основания, а две другие - смежными боковыми ребрами. Основания призмы равны и лежат в параллельных плоскостях. Боковые ребра призмы параллельные и равны. Высотой призмы называется расстояние между плоскостями ее оснований.
Отрезок, соединяющий две вершины призмы, не принадлежащие одной грани, называется диагональю призмы . (На рисунке - высота, и - диагонали.)
Диагональные сечения - это сечения призмы плоскостями, проходящими через два боковых ребра, не принадлежащих одной грани (см. рисунки).

Призма называется прямой , если ее боковые ребра перпендикулярны к основаниям. В противном случае призма называется наклонной .
Боковые грани прямой призмы - прямоугольники, высота прямой призмы равна боковому ребру, диагональные сечения являются прямоугольниками.
Боковой поверхностью призмы называется сумма площадей боковых граней. Полная поверхность призмы равна сумме боковой поверхности и площадей оснований.
Теорема 1. Боковая поверхность прямой призмы равна произведению периметра основания и высоты, то есть длины бокового ребра.
Перпендикулярным сечением призмы будем называть сечение плоскостью, перпендикулярной к боковому ребру призмы (а это означает, что эта плоскость является перпендикулярной всех боковых ребер призмы).
Теорема 2. Боковая поверхность наклонной призмы равен произведению длины бокового ребра и периметра перпендикулярного сечения.
На рисунке - перпендикулярное сечение.
S б = H ⋅ P осн;
S п = S б + 2S осн.
S б = l ⋅ P тэр;
S п = S б + 2S осн.

Очевидно, что эта теорема верна и в случае прямой призмы, ибо тогда перпендикулярное сечение будет сечением плоскостью, параллельной плоскостям оснований призмы.
Обратите внимание: если некоторый многоугольник является перпендикулярным сечением призмы, то его внутренние углы являются линейными углами двугранных углов между соответствующими боковыми гранями.
В случае прямой призмы линейными углами двугранных углов между боковыми гранями являются непосредственно углы основы.
Пример
На рисунке - прямая призма.

- линейный угол двугранного угла между гранями и .
Призма называется правильной , если:
в основе ее лежит правильный многоугольник;
призма является прямой.

Параллелепипед

Собой параллелепипед называется призма, в основании которой лежит параллелограмм.
Все грани параллелепипеда - параллелограммы.
Грани параллелепипеда, не имеющие общих вершин, называются противоположными .
Теорема 1. Противоположные грани параллелепипеда являются параллельными и равными.
Параллелепипед остается собой параллелепипед во всех случаях, когда за его основу считаем любую его грань (см. рисунок).
Теорема 2. Диагонали параллелепипеда пересекаются в одной точке и точкой пересечения делятся пополам.
Из этого следует, что точка пересечения диагоналей параллелепипеда есть его центром симметрии.
Обратите внимание: у прямого параллелепипеда четыре диагонали, попарно равны друг другу.
На рисунке ; .
Это следует из свойств наклонных, поскольку - уровне перпендикуляры к плоскости основания ABCD.

Если две диагонали прямого параллелепипеда выходящие из соседних вершин, то большая из них та, которая проектируется в большую диагональ основания, то есть такую диагональ параллелограмма, которая лежит против тупого угла. Итак, если на приведенном выше рисунке считать угол ABC тупой, получим , .
Прямой параллелепипед, в которого основой является прямоугольник, называется прямоугольным собой параллелепипед (см. рисунок).

Все грани прямоугольного параллелепипеда - прямоугольники, которые можно разбить на три пары равных между собой. Произвольную грань прямоугольного параллелепипеда можно считать его основой. Учитывая, что при параллельном проектировании произвольный параллелограмм может изображаться произвольным параллелограммом, изображение прямоугольного параллелепипеда никак не отличается от изображения любого прямого параллелепипеда.
Длины непараллельных ребер называются линейными размерами (измерениями) прямоугольного параллелепипеда.
Теорема 3. В прямоугольном параллелепипеде все диагонали равны. Квадрат диагонали равен сумме квадратов трех его измерений.
Все двугранные углы прямоугольного параллелепипеда являются прямыми.
Прямоугольный параллелепипед имеет три пары равных между собой диагональных сечений. Каждый из этих сечений является прямоугольником (см. рисунки).

Каждая пара сечений пересекаются по прямой, которая проходит через точки пересечения диагоналей противоположных граней. Отрезки между этими точками являются параллельными и равны одному из ребер прямоугольного параллелепипеда.
Прямоугольным является треугольник, который образуется диагональю прямоугольного параллелепипеда, диагональю боковой грани и стороной основания (см. рисунок). Например, .

Прямоугольный параллелепипед имеет центр симметрии - это точка пересечения его диагоналей.
Он также имеет три плоскости симметрии, проходящие через центр симметрии параллельно граням.
Прямоугольный параллелепипед, у которого все ребра равны, называется кубом .
Плоскость любого диагонального сечения куба является его плоскостью симметрии. Таким образом, куб имеет девять плоскостей симметрии.
На рисунке рассмотрим взаимное расположение некоторых элементов прямого параллелепипеда:

- угол между диагональю боковой грани и плоскостью основания ( - перпендикуляр, - наклонная, СD - проекция).
- угол между диагональю прямого параллелепипеда и плоскостью основания ( - перпендикуляр, - наклонная, АС - проекция).
- угол наклона диагонали боковой грани (AD - перпендикуляр, - наклонная, - проекция).
Пусть - прямой параллелепипед (см. рисунок), где ABCD - ромб. Проведем его сечение плоскостью, проходящей через диагональ основания BD и вершину .

В сечении получим равнобедренный треугольник .
- линейный угол двугранного угла между плоскостями основания и сечения. по свойству диагоналей ромба, - перпендикуляр, - наклонная, СО - проекция. По теореме о трех перпендикуляры: .

Пирамида

Пирамидой называется многогранник, который состоит из плоского многоугольника - основания пирамиды, точки, не лежащей в плоскости основания - вершины пирамиды, и всех отрезков, соединяющих вершину пирамиды с точками основания. Отрезки, соединяющие вершину пирамиды с вершинами основания, называются боковыми ребрами .
Высота пирамиды - перпендикуляр, опущенный из вершины пирамиды на плоскость основания.
Пирамида называетсяn -угольной , если ее основанием является n -угольник. Треугольная пирамида называется также тетраэдром . Боковая грань пирамиды - треугольник. Одной из его вершин является вершина пирамиды, а противоположной стороной - сторона основания пирамиды.
На рисунке SO - высота пирамиды. Тогда - угол между боковым ребром и плоскостью основания (SO - перпендикуляр, ЅА - наклонная, ОА - проекция).

Из основания высоты пирамиды (точки А ) проведем перпендикуляр на сторону основания (например, АЕ ). Основание этого перпендикуляра (точку F ) соединим с вершиной пирамиды (точка S ). По теореме о трех перпендикуляры: . (SO - перпендикуляр, SP - наклонная, OF - проекция, по построению.) Следовательно, - линейный угол двугранного угла между плоскостью боковой грани ASE и плоскостью основания.
Для решения задач о пирамиде очень важно выяснять, где размещена основа ее высоты.
1. Если выполняется хотя бы одно из следующих условий:
все боковые ребра пирамиды равны;
все боковые ребра наклонены к плоскости основания под одним и тем же углом;
все боковые ребра образуют одинаковые углы с высотой пирамиды;
все боковые ребра равноудалены от основания высоты, то основанием высоты пирамиды является центр окружности, описанной вокруг основания пирамиды.
Боковое ребро l , высота H и радиус R описанной вокруг основания окружности образуют прямоугольный треугольник:

В этом случае боковую поверхность можно найти по формуле , где l - длина бокового ребра, , ... - плоские углы при вершине.
2. Если выполняется хотя бы одно из следующих условий:
все боковые грани наклонены к плоскости основания под одним и тем же углом;
все боковые грани имеют одинаковые высоты;
высоты боковых граней образуют одинаковые углы с высотой пирамиды;
боковые грани равноудалены от основания высоты, - то основание высоты лежит в центре круга, вписанного в основание пирамиды.
На рисунке - прямоугольный , - радиус вписанной окружности в ABCDEF ;

- высота пирамиды, SP - высота боковой грани;
- линейный угол двугранного угла между боковой гранью и плоскостью основания;
О - центр вписанной в основание окружности, то есть точка пересечения биссектрис ABCDEF .
В этом случае .
3. Если боковое ребро перпендикулярно к плоскости основания, то это ребро является высотой пирамиды (см. рисунки).

В этом случае и - углы наклона боковых ребер ЅВ и ЅС соответственно к плоскости основания. является линейным углом двугранного угла между боковыми гранями SAC и SBA .
4. Если боковая грань перпендикулярна к плоскости основания (см. рисунок), то высотой пирамиды будет высота этой грани (по теореме «Если прямая, лежащая в одной из двух перпендикулярных плоскостей, перпендикулярна к прямой их пересечения, то она перпендикулярна ко второй плоскости»).
5. Если две боковые грани перпендикулярны к плоскости основания, то высотой пирамиды является их общее боковое ребро.

Расстояния от основания высоты пирамиды

Расстояние от основания высоты пирамиды до бокового ребра - перпендикуляр, опущенный из точки О на это ребро (см. рисунок). Обратите внимание: , но на рисунке не должен быть прямым: углы при параллельном проектировании не сохраняются.
OF - расстояние от основания высоты до бокового ребра SE ;
ON - расстояние от основания высоты до боковой грани ASB (о это расстояние подробнее смотри ниже).

, где - угол между ребром SE и плоскостью основания.

Расстояние от основания высоты до боковой грани

Пусть , тогда по теореме о трех перпендикуляры. Следовательно, AB перпендикулярна к плоскости SOK . Отсюда, если , то ON перпендикулярна к плоскости ASB .
.
Пирамида называется правильной , если ее основанием является правильный многоугольник, а основание высоты совпадает с центром многоугольника. Осью правильной пирамиды называется прямая, содержащая ее высоту. Боковые ребра правильной пирамиды равны, боковые грани - равные равнобедренные треугольники. Высота боковой грани, проведенная из вершины пирамиды, называется апофемою . Она является биссектрисой и медианой боковой грани, так и является равнобедренным треугольником.
Теорема. Боковая поверхность правильной пирамиды равна произведению півпериметра основания на апофему.
; ,
где Р - периметр основания, а - сторона основания, l - длина апофеми.
Правильная треугольная пирамида
В основании правильной треугольной пирамиды лежит равносторонний треугольник изображается произвольным треугольником (см. рисунок).

Центром является точка пересечения его биссектрис, которые одновременно являются высотами и медіанами. Медианы при параллельном проектировании изображаются медіанами. Поэтому строим две медианы основания. Точка их пересечения - основание высоты пирамиды. Изображаем высоту, а затем соединяем вершину пирамиды с вершинами основания. Получим боковые ребра.
На рисунке: - угол наклона бокового ребра к плоскости основания (одинаковый для всех ребер); - угол наклона боковой грани к плоскости основания (одинаковая для всех граней).
Пусть .
Тогда ; ; ;
; ; .
Следовательно, .
; .
Плоскость осевого сечения ASD является плоскостью симметрии правильной треугольной пирамиды.
Эта плоскость перпендикулярна к плоскости основания и плоскости грани BSC .
Интересно также отметить, что скрещивающиеся ребра пирамиды (SA и BC , SB и AC , SC и AB ) являются перпендикулярными. Если , то ON является расстоянием от основания высоты не только к анафеме, но и к боковой грани BSC .
.
Правильная четырехугольная пирамида
В основании правильной четырехугольной пирамиды лежит квадрат, который изображается произвольным параллелограммом. Его центром является точка пересечения диагоналей. Эта точка - основание высоты пирамиды.
Пусть сторона квадрата а (см. рисунок).
Тогда ;
;
;
;
.

Обратите внимание: , , то есть .
При параллельном проектировании параллельность сохраняется.
; .
Расстояние от основания высоты до боковой грани:
; .

Правильная шестиугольная пирамида
В основе правильной шестиугольной пирамиды лежит правильный шестиугольник (см. рисунок). Его центром является точка пересечения диагоналей. Эта точка - основание высоты пирамиды.
Тогда ;
Пусть сторона правильного шестиугольника а .
;
;

.
; .

Усеченная пирамида
Срезанной пирамидой называется многогранник, который останется, если от пирамиды отделить плоскостью, которая параллельна основе, пирамиду с той же вершиной.
Теорема. Плоскость, параллельная основании пирамиды и пересекающая ее, отсекает подобную пирамиду.
Обратите внимание: чтобы правильно изобразить срезанную пирамиду, надо начинать с изображения исходной полной пирамиды (см. рисунок).

Основания усеченной пирамиды - подобные многоугольники. Боковые грани - трапеции. - высота усеченной пирамиды, высота боковой грани - угол наклона бокового ребра к плоскости основания (любой), - угол наклона боковой грани к плоскости нижнего основания.
Правильная усеченная пирамида - это усеченная пирамида, которую достали из правильной пирамиды.
Ее боковые ребра равны и наклонены к плоскости основания под одним и тем же углом. Ее боковые грани равны рівнобічній трапеции и наклонены к плоскости нижнего основания под одним и тем же углом. Высоты боковых граней пирамиды называются апофемами .
Боковая поверхность правильной усеченной пирамиды равна произведению половину суммы периметров оснований и апофеми.
, где P н и P в - периметры соответствующих оснований, l - апофема.
На рисунках изображены фигуры, которые бывает очень полезным рассмотреть при решении задач на срезанную пирамиду.
;
.

;


- прямоугольная трапеция.
- высота усеченной пирамиды.
- высота боковой грани.

В случае, когда усеченная пирамида правильная, отрезки OD и являются радиусами описанной окружности, а OF и - радиусами вписанной окружности для нижней и верхней основы соответственно.

Правильные многогранники

Выпуклый многогранник называется правильным , если его грани являются правильными многогранниками с одним и тем же количеством сторон, а в каждой вершине многогранника совпадает одно и то же число ребер.
Существует пять типов правильных выпуклых многогранников: правильный тетраэдр, куб, октаэдр, додекаэдр, икосаэдр.
1. У правильного тетраэдра грани - правильные треугольники; в каждой вершине совпадает по три ребра. Тетраэдр - треугольная пирамида, все ребра которой равны.
2. У куба все грани - квадраты; в каждой вершине совпадает по три ребра. Куб - прямоугольный параллелепипед с равными ребрами.
3. У октаэдра грани - правильные треугольники. В каждой его вершине совпадает по четыре ребра.
4. В додекаедра грани - правильные п"ятикутники. В каждой его вершине совпадает по три ребра.
5. У икосаэдра грани - правильные треугольники. В каждой его вершине совпадает по пять ребер.
На рисунках приведены примеры правильных многогранников с названиями.