В этой статье мы начнем изучать рациональные числа . Здесь мы дадим определения рациональных чисел, дадим необходимые пояснения и приведем примеры рациональных чисел. После этого остановимся на том, как определить, является ли данное число рациональным или нет.

Навигация по странице.

Определение и примеры рациональных чисел

В этом пункте мы дадим несколько определений рациональных чисел. Несмотря на различия в формулировках, все эти определения имеют единый смысл: рациональные числа объединяют целые числа и дробные числа , подобно тому, как целые числа объединяют натуральные числа , противоположные им числа и число нуль. Иными словами, рациональные числа обобщают целые и дробные числа.

Начнем с определения рациональных чисел , которое воспринимается наиболее естественно.

Из озвученного определения следует, что рациональным числом является:

• Любое натуральное число n . Действительно, можно представить любое натуральное число в виде обыкновенной дроби , например, 3=3/1 .
• Любое целое число, в частности, число нуль. В самом деле, любое целое число можно записать в виде либо положительной обыкновенной дроби, либо в виде отрицательной обыкновенной дроби, либо как нуль. Например, 26=26/1 , .
• Любая обыкновенная дробь (положительная или отрицательная). Это напрямую утверждается приведенным определением рациональных чисел.
• Любое смешанное число . Действительно, всегда можно представить смешанное число в виде неправильной обыкновенной дроби. Например, и .
• Любая конечная десятичная дробь или бесконечная периодическая дробь . Это так в силу того, что указанные десятичные дроби переводятся в обыкновенные дроби. К примеру, , а 0,(3)=1/3 .

Также понятно, что любая бесконечная непериодическая десятичная дробь НЕ является рациональным числом, так как она не может быть представлена в виде обыкновенной дроби.

Теперь мы можем с легкостью привести примеры рациональных чисел . Числа 4 , 903 , 100 321 – это рациональные числа, так как они натуральные. Целые числа 58 , −72 , 0 , −833 333 333 тоже являются примерами рациональных чисел. Обыкновенные дроби 4/9 , 99/3 , - это тоже примеры рациональных чисел. Рациональными числами являются и числа .

Из приведенных примеров видно, что существуют и положительные и отрицательные рациональные числа, а рациональное число нуль не является ни положительным, ни отрицательным.

Озвученное выше определение рациональных чисел можно сформулировать более краткой форме.

Определение.

Рациональными числами называют числа, которые можно записать в виде дроби z/n , где z – целое число, а n – натуральное число.

Докажем, что данное определение рациональных чисел равносильно предыдущему определению. Мы знаем, что можно рассматривать черту дроби как знак деления , тогда из свойств деления целых чисел и правил деления целых чисел следует справедливость следующих равенств и . Таким образом, , что и является доказательством.

Приведем примеры рациональных чисел, основываясь на данном определении. Числа −5 , 0 , 3 , и являются рациональными числами, так как они могут быть записаны в виде дробей с целым числителем и натуральным знаменателем вида и соответственно.

Определение рациональных чисел можно дать и в следующей формулировке.

Определение.

Рациональные числа – это числа, которые могут быть записаны в виде конечной или бесконечной периодической десятичной дроби.

Это определение также равносильно первому определению, так как всякой обыкновенной дроби соответствует конечная или периодическая десятичная дробь и обратно, а любому целому числу можно сопоставить десятичную дробь с нулями после запятой.

Например, числа 5 , 0 , −13 , представляют собой примеры рациональных чисел, так как их можно записать в виде следующих десятичных дробей 5,0 , 0,0 , −13,0 , 0,8 и −7,(18) .

Закончим теорию этого пункта следующими утверждениями:

• целые и дробные числа (положительные и отрицательные) составляют множество рациональных чисел;
• каждое рациональное число может быть представлено в виде дроби с целым числителем и натуральным знаменателем, а каждая такая дробь представляет собой некоторое рациональное число;
• каждое рациональное число может быть представлено в виде конечной или бесконечной периодической десятичной дроби, а каждая такая дробь представляет собой некоторое рациональное число.

Является ли данное число рациональным?

В предыдущем пункте мы выяснили, что любое натуральное число, любое целое число, любая обыкновенная дробь, любое смешанное число, любая конечная десятичная дробь, а также любая периодическая десятичная дробь является рациональным числом. Это знание нам позволяет «узнавать» рациональные числа из множества написанных чисел.

Но как быть, если число задано в виде некоторого , или как , и т.п., как ответить на вопрос, является ли данное число рациональным? Во многих случаях ответить на него очень сложно. Укажем некоторые направления ходу мысли.

Если число задано в виде числового выражения, которое содержит лишь рациональные числа и знаки арифметических действий (+, −, · и:), то значение этого выражения представляет собой рациональное число. Это следует из того, как определены действия с рациональными числами . Например, выполнив все действия в выражении , мы получаем рациональное число 18 .

Иногда, после упрощения выражений и более сложного вида, появляется возможность определить, рационально ли заданное число.

Пойдем дальше. Число 2 является рациональным числом, так как любое натуральное число является рациональным. А как насчет числа ? Является ли оно рациональным? Оказывается, что нет, - не является рациональным числом, это иррациональное число (доказательство этого факта методом от противного приведено в учебнике по алгебре за 8 класс, указанном ниже в списке литературы). Также доказано, что квадратный корень из натурального числа является рациональным числом только в тех случаях, когда под корнем находится число, являющееся полным квадратом некоторого натурального числа. Например, и - рациональные числа, так как 81=9 2 и 1 024=32 2 , а числа и не являются рациональными, так как числа 7 и 199 не являются полными квадратами натуральных чисел.

А число рационально или нет? В данном случае несложно заметить, что , следовательно, данное число – рациональное. А является ли число рациональным? Доказано, что корень k-ой степени из целого числа является рациональным числом только тогда, когда число под знаком корня является k-ой степенью некоторого целого числа. Поэтому не является рациональным числом, так как не существует целого числа, пятая степень которого равна 121 .

Метод от противного позволяет доказывать, что логарифмы некоторых чисел по некоторым основаниям не являются рациональными числами. Для примера докажем, что - не рациональное число.

Предположим противное, то есть, допустим, что - рациональное число и его можно записать в виде обыкновенной дроби m/n . Тогда и дают следующие равенства: . Последнее равенство невозможно, так как в левой его части находится нечетное число 5 n , а в правой части – четное число 2 m . Следовательно, наше предположение неверно, таким образом, не является рациональным числом.

В заключение стоит особо отметить, что при выяснении рациональности или иррациональности чисел следует воздержаться от скоропостижных выводов.

Например, не стоит сразу утверждать, что произведение иррациональных чисел π и e является иррациональным числом, это «как бы очевидно», но не доказано. При этом возникает вопрос: «А с чего бы произведению быть рациональным числом»? А почему бы и нет, ведь можно привести пример иррациональных чисел, произведение которых дает рациональное число: .

Также неизвестно, являются ли числа и многие другие числа рациональными или не являются таковыми. Например, существуют иррациональные числа, иррациональная степень которых является рациональным числом. Для иллюстрации приведем степень вида , основание данной степени и показатель степени не являются рациональными числами, но , а 3 – рациональное число.

Список литературы.

• Математика. 6 класс: учеб. для общеобразоват. учреждений / [Н. Я. Виленкин и др.]. - 22-е изд., испр. - М.: Мнемозина, 2008. - 288 с.: ил. ISBN 978-5-346-00897-2.
• Алгебра: учеб. для 8 кл. общеобразоват. учреждений / [Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова]; под ред. С. А. Теляковского. - 16-е изд. - М. : Просвещение, 2008. - 271 с. : ил. - ISBN 978-5-09-019243-9.
• Гусев В. А., Мордкович А. Г. Математика (пособие для поступающих в техникумы): Учеб. пособие.- М.; Высш. шк., 1984.-351 с., ил.

В этой главе мы даем обзор основных свойств (аксиом) действительных чисел. Это уместно, потому что среди этих свойств имеются такие, с которыми мы не имели дела в арифметике и школьном курсе алгебры, где рассматриваются операции над постоянными числами. Между тем эти свойства обнаруживаются при рассмотрении переменных чисел, или, как говорят по традиции, переменных величин.

При изучении функций приходится привлекать свойства чисел во всей их полноте, помимо тех свойств, с которыми мы хорошо знакомы из школьной математики.

Рациональные числа будем записывать в виде где целые, .

В практических вычислениях вполне достаточно оперировать только рациональными числами. Однако числа нужны еще для целей измерения геометрических и физических величин (длин отрезков, площадей, объемов, температур и т.д.). Мы здесь имеем в виду не практическое приближенное измерение этих величин, а точное (теоретическое) выражение их числами. Для этих целей рациональных чисел уже недостаточно. Рассмотрим, например, отрезок, представляющий собой гипотенузу прямоугольного треугольника с равными катетами длины единица. Если допустить, что длина этого отрезка выражается положительной рациональной дробью которую будем считать несократимой, то площадь построенного на нем квадрата равна а площадь каждого из квадратов, построенных на катетах, равна 1. Тогда в силу теоремы Пифагора получим равенство Правая его часть есть целое число, делящееся на 2, но тогда левая должна быть четной, а вместе с ней и Отсюда следует, что левая часть делится на 4, но тогда делится на 2, откуда также делится на 2. Итак, имеют общий множитель 2, что противоречит предположению, что дробь взята несократимой. Таким образом, имеются отрезки, длины которых не выражаются рациональными числами. Их называют несоизмеримыми с единицей. Чтобы

выразить их длины, появилась необходимость в новых числах, называемых иррациональными. Так возникло число выражающее длину гипотенузы рассмотренного треугольника.

Существуют различные способы введения иррациональных чисел. Покажем, как можно ввести их при помощи бесконечных десятичных дробей.

Зададим произвольное положительное рациональное число Превратим его по известным правилам арифметики в десятичную дробь. В результате получим

где целое неотрицательное число, а цифры. Будем писать

и называть десятичную дробь в правой части (3) десятичным разложением числа

Легко показать, что десятичное разложение положительного рационального числа не зависит от способа задания последнего, иначе говоря, при замене в соответственно где получается в точности то же десятичное разложение Будем считать, что дробь несократимая.

Хорошо известно, что если знаменатель дроби имеет вид где - неотрицательные целые числа, то ее десятичное разложение есть конечная десятичная дробь:

которая, в частности, может оказаться натуральным числом Если формально приписать справа к этой десятичной дроби бесконечно много нулей, то она превращается в бесконечную десятичную дробь:

Мы называем ее периодической десятичной дробью с периодом 0, потому что в ней цифра периодически повторяется.

Пользуются также и другим представлением конечной десятичной дроби (4) в виде периодической десятичной дроби с периодом 9:

хотя оно и не возникает в процессе (2).

Пусть теперь знаменатель положительной дроби не имеет вид Тогда процесс (2) бесконечный - на любом его шаге возникает положительный остаток. Каждый остаток меньше и потому после того, как цифры числа снесены, среди первых остатков окажется по крайней мере два равных между собой. Но как только возникает остаток, который уже был прежде, процесс становится повторяющимся - периодическим. Поэтому десятичное разложение произвольного положительного рационального числа имеет вид

Разложения (5) или (6) можно рассматривать как частные случаи (7). Разложение вида (7) называется положительной десятичной периодической дробью с периодом, представляющим собой группу цифр

Ниже приводятся частные примеры положительных бесконечных десятичных периодических дробей:

В первом примере периодом является цифра во втором - группа цифр 142857, в четвертом - группа цифр

У положительной десятичной дроби хотя бы одно из чисел не равно нулю.

Итак, каждому положительному рациональному числу при помощи процесса (2) ставится в соответствие положительная десятичная периодическая дробь с периодом, отличным от 9.

При других вычислениях могут получаться десятичные дроби с периодом 9, но при желании их затем можно записать через соответствующие им конечные десятичные дроби, или, что все равно, десятичные дроби с периодом 0.

Верно и обратное утверждение: каждая положительная десятичная периодическая дробь, если она не имеет периода 9, может быть получена при помощи процесса (2) из некоторой обыкновенной положительной дроби (единственной).

Например, если дробь подвергнуть процессу (2), то получим десятичную периодическую дробь Обратно, эта последняя превращается в исходную дробь:

Отрицательному рациональному числу приводят в соответствие бесконечное десятичное разложение положительного числа взятое со знаком

Итак, имеется взаимно однозначное соответствие между не равными нулю рациональными числами и бесконечными десятичными не равными нулю периодическими дробями. Каждому не равному нулю рациональному числу соответствует при помощи указанного выше процесса одно и только одно его десятичное бесконечное периодическое разложение, не имеющее периода 9. Обратно, любое такое разложение соответствует при помощи указанного процесса некоторому не равному нулю рациональному числу (единственному).

Числу нуль (оно тоже рациональное) естественно привести в соответствие разложение

Кроме периодических десятичных дробей существуют непериодические, например

Вот еще пример: если извлекать корень квадратный из 2 по известному правилу, то получим определенную бесконечную непериодическую десятичную дробь Она определена в том смысле, что любому натуральному числу к соответствует определенная цифра разряда числа однозначно вычисляемая согласно правилу извлечения квадратного корня.

Математический анализ дает много путей вычисления числа с любой наперед заданной точностью. Это приводит к вполне определенному бесконечному десятичному разложению которое, как оказывается, не является периодическим.

Дадим теперь определение иррационального числа, пока чисто формальное. Иррациональным числом называется произвольная бесконечная непериодическая дробь

где целое неотрицательное число, а цифры, знак же равенства выражает, что мы обозначили правую часть (8) через . Впрочем, удобно говорить, что правая часть (8) есть десятичное разложение числа а.

Рациональные и иррациональные числа называются действительными (или вещественными) числами.

Из сказанного следует, что всякое не равное нулю действительное число может быть записано в виде бесконечной десятичной дроби (8). Если оно рационально, то его десятичное разложение есть бесконечная десятичная периодическая дробь. В противном случае согласно нашему определению выражение (8) само определяет иррациональное число. Первые три группы содержат известные свойства, которыми мы руководствуемся при арифметических вычислениях и решениях неравенств. Группа IV составляет одно свойство (Архимеда). Наконец, группа V также состоит из одного свойства: существования предела у неубывающей ограниченной последовательности. В сущности, для дальнейшего нам будет важно только знать, что действительные числа (десятичные дроби) суть объекты, для которых определены понятие и проверить, что они удовлетворяют аксиомам Такими символами как раз и могут служить бесконечные десятичные дроби.

Понятия числа являются первичным и основным в математике. Это понятие прошло длительный путь исторического развития. Множество натуральных чисел

появилось в связи со счетом предметов. Затем под влиянием потребностей практики и развития самой математики были введены целые числа

и рациональные числа

Где .

Для однозначности записи рационального числа будем считать, что дробь не сократима, если не будет делаться оговорки на этот счет.

Введение рациональных чисел, однако, полностью не решило важной практической задачи об измерении отрезков. Ведь существует отрезок, длина которого не является рациональным числом. Примером может служить диагональ квадрата, сторона которого равна единице.

В связи с этим возникла необходимость введения, кроме рациональных чисел, и других чисел – иррациональных. Произвольные числа – рациональные или иррациональные - называются действительными или вещественными. Множество действительных чисел обозначают через . Существуют различные способы введения (определения) действительных чисел. Мы остановимся на способе представления их в виде бесконечных десятичных дробей

. (1)

Здесь - целое неотрицательное число, при - десятичные цифры. Таким образом, может принимать только одно из значений . Знак часто в этих записях опускают.

Чтобы представить не равное нулю рациональное число в виде десятичной дроби, производим процесс деления на по известному способу, которому нас учили в школе:

(2)

Заметим, что если этот способ применить к другой записи дроби , то получим тот же результат.

Полагаем

(3)

и правую часть (3) называем десятичным разложением числа .

Если знаменатель дроби имеет вид , где , - целые неотрицательные числа, то процесс (2) заканчивается после конечного числа шагов и получается конечная десятичная дробь

. (4)

Конечную десятичную дробь мы будем записывать также в виде бесконечной дроби:

Но пользуются также и другой записью:

хотя она не возникает из процесса (2).

Итак, имеют место равенства

Дроби и могут служить примерами периодических дробей. Первая из них после цифры имеет период 0, а вторая после цифры имеет период 9.

Пусть теперь знаменатель несократимой дроби не имеет вид . Тогда процесс (2) бесконечный – на любом шаге возникает положительный остаток. Каждый остаток меньше , и потому (после того, как цифры числа снесены) уже среди первых остатков, по крайней мере, два, равные между собой. Но, как только возникает остаток, который уже был прежде, процесс становится повторяющимся – периодическим. Поэтому, десятичное разложение произвольного рационального числа имеет вид

(6)

Разложения (5) и (5´) можно рассматривать как частные случаи (6).

(7)

Разложение вида (6) называется бесконечной десятичной периодической дробью.

Итак, каждое не равное нулю рациональное число можно разложить с помощью процесса (2), а в случае (4) и процесса (5) – в бесконечную периодическую дробь с периодом, отличным от 9. При этом можно доказать, что разным рациональным числам соответствуют разные бесконечные десятичные разложения. Но и обратно: любая бесконечная периодическая дробь (6), с периодом, отличным от 9, порождается при помощи указанных процессов (2), (5) некоторым рациональным числом, которое вычисляется по формуле

Здесь мы позволили себе через и обозначить целое число, записанное соответственно цифрами и .

Например,

Кроме периодических десятичных дробей, существуют непериодические, например ; .

Вот еще пример: если извлекать корень квадратный из 2 по известному правилу, то получим определенную бесконечную непериодическую десятичную дробь . Она определена в том смысле, что любому натуральному числу соответствует определенная цифра , стоящая на -м месте после запятой и однозначно вычисляемая согласно правилу извлечения квадратного корня.

Математический анализ дает много путей вычисления числа с любой наперед заданной точностью. Это приводит к вполне определенному бесконечному десятичному разложению , которое, как оказывается, не является смешенной периодической десятичной дробью.

Дадим теперь определение иррационального числа, пока чисто формальное. Иррациональным числом называется произвольная бесконечная непериодическая дробь

(8)

где - целое неотрицательное число, а - цифры, знак же равенства «=» выражает, что мы обозначили правую часть (8) через . Впрочем, удобно говорить, что правая часть (8) есть десятичное разложение числа .

Рациональные и иррациональные числа называются действительными (или вещественными) числами.

Из сказанного следует, что всякое не равное нулю действительное число может быть записано в виде бесконечной десятичной дроби (8). Если оно рациональное, то его десятичное разложение есть бесконечная периодическая десятичная дробь. В противном случае, согласно нашему определению, выражение (8) само определяет иррациональное число.

Не равная нулю десятичная дробь может быть конечной, но она не определяет нового рационального числа: в силу соглашений, выраженных равенствами (5), (5´), она может быть заменена указанными в этих равенствах бесконечными периодическими дробями.

Число , где не все равны нулю, положительно или отрицательно в зависимости от того, будет ли в (8) фигурировать или ; при этом, как обычно, будем опускать.

Число 0 тоже может быть записано бесконечной десятичной дробью одного из следующих видов:

Действительные числа определены пока формально, надо еще определить арифметические операции над ними, ввести понятие и проверить, что эти операции и понятие согласуются с уже имеющимися соответствующими операциями и понятием для рациональных чисел, а также удовлетворяют свойствам, которые мы предъявляем к числам.