Выясним, при каких условиях тело, покоящееся относительно некоторой инерциальной системы отсчета, останется в покое.

Если тело покоится, то его ускорение равно нулю. Тогда согласно второму закону Ньютона должна быть равна нулю и равнодействующая приложенных к телу сил. Поэтому первое условие равновесия можно сформулировать так:

Если тело находится в покое, то векторная сумма (равнодействующая) приложенных к нему сил равна нулю:

Заметим, что одного условия (1) еще недостаточно для того, чтобы тело покоилось, Например, если тело имело начальную скорость, то оно будет продолжать двигаться с той же скоростью. Кроме того, как мы увидим дальше, даже если векторная сумма сил, приложенных к покоящемуся телу, равна нулю, оно может начать вращаться.

В случаях, когда покоящееся в начальный момент тело может рассматриваться как материальная точка, первого условия равновесия достаточно, чтобы тело осталось в покое. Рассмотрим примеры.

Пусть груз массой m подвешен на трех тросах и покоится (рис. 35.1). Узел А, связывающий тросы, можно считать материальной точкой, которая находится в равновесии.

Следовательно, векторная сумма приложенных к узлу А сил натяжения нитей равна нулю (рис. 35.2):

Покажем два способа применения этого уравнения при решении задач.

Используем проекции векторов. Выберем оси координат и обозначим углы между тросами 1, 2 и вертикалью, как показано на рисунке 35.2.

1. Объясните, почему в данном случае справедливы следующие уравнения:

Ox: –T 1 sin α 1 + T 2 sin α 2 = 0,
Oy: T 1 cos α 1 + T 2 cos α 2 – T 3 = 0,
T 3 = mg.

Воспользуйтесь этой системой уравнений при выполнении следующих заданий.

2. Чему равна сила натяжения каждого троса, если m = 10 кг, α 1 = α 2 = 30º?

3. Известно, что T 1 = 15 Н, α 1 = 30º, α 2 = 45º. Чему равны: а) сила натяжения второго троса T 2 ? 5) масса груза m?

4. Пусть α 1 = α 2 . Чему равны эти углы, если сила натяжения каждого троса: а) равна весу груза? б) в 10 раз больше веса груза?

Итак, силы, действующие на подвесы, могут многократно превышать вес груза!

Воспользуемся тем, что три вектора, сумма которых равна нулю, «замыкаются» в треугольник (рис. 35.3). Рассмотрим пример.

5. Фонарь массой m подвешен на трех тросах (рис. 35.4). Обозначим модули сил натяжения тросов T 1 , T 2 , T 3 . Угол α ≠ 0.
а) Изобразите силы, действующие на узел A, и объясните, почему T 3 > mg и T 3 > T 2 .
б) Выразите T 3 через m, g и T 2 .
Подсказка. Векторы сил 1 , 2 и 3 образуют прямоугольный треугольник.

2. Второе условие равновесия тела (правило моментов)

Убедимся на опыте в том, что одного первого условия равновесия недостаточно для того, чтобы тело оставалось в покое.

Поставим опыт
Прикрепим к куску картона две нити и потянем за них в противоположные стороны с равными по модулю силами (рис. 35.5). Векторная сумма приложенных к картону сил равна нулю, но он не останется в покое, а начнет поворачиваться.

Условие равновесие тела, закрепленного на оси

Второе условие равновесия тела – обобщение условия равновесия тела, закрепленного на оси. Оно знакомо вам из курса физики основной школы. (Это условие является следствием закона сохранения энергии в механике.) Напомним его.

Пусть на тело, закрепленное на оси О, действуют силы 1 и 2 (рис. 35.6). Тело может находиться в равновесии только при условии, что

F 1 l 1 = F 2 l 2 (2)

Здесь l 1 и l 2 – плечи сил, то расстояния от оси вращения О до линии действия сил 1 и 2 .

Чтобы найти плечо силы, надо линию действия силы и опустить перпендикуляр из оси вращения на эту линию. Его длина и есть плечо силы.

6. Перенесите в тетрадь рисунок 35.7. Одной клетке соответствует 1 м. Чему равны плечи сил 1 , 2 , 3 , 4 ?

Вращающее действие силы характеризуют моментом силы. Модуль момента силы равен произведению модуля силы на ее плечо. Момент силы считают положительным, если сила стремится вращать тело против часовой стрелки, и отрицательным – если по часовой стрелке. (Таким образом, знак момента силы, вращающей тело в какую-то сторону, совпадает со знакомым вам из школьного курса математики знаком угла поворота в ту же сторону на единичной окружности.)

Например, моменты изображенных на рисунке 35.8 сил относительно точки О таковы:

M 1 = F 1 l 1 ; M 2 = –F 2 l 2 .

Момент силы измеряется в ньютонах * метрах (Н * м).

7. Чему равны моменты изображенных на рисунке 35.7 сил относительно точки О? Одной клетке соответствует расстояние 1 м, а также сила 1 Н.

Перепишем соотношение (2), используя моменты сил:
M 1 + M 2 = 0. (3)
Это соотношение называют правилом моментов.

Если на покоящееся тело, закрепленное на оси, действуют несколько сил, то оно останется в покое только при условии, что алгебраическая сумма моментов всех этих сил равна нулю:

M 1 + M 2 + … + M n = 0.

Заметим, что одного этого условия недостаточно для того, чтобы тело покоилось. Если алгебраическая сумма моментов приложенных к телу сил равна нулю, но в начальный момент тело вращается, то оно будет продолжать вращаться с той же угловой скоростью.

Чтобы убедиться в этом, раскрутите велосипедное колесо приподнятого велосипеда или юлу. После этого они будут вращаться довольно долго: тормозить их будет только небольшая сила трения. Да и наша Земля миллиарды лет вращается вокруг своей оси, хотя вокруг оси никакие силы Землю не вращают!

Условие равновесия тела, не закрепленного на оси

Учтем теперь силу, действующую на закрепленное на оси тело со стороны оси. Так, рассмотренное выше тело (рис. 35.6) на самом деле находится в равновесии под действием трех сил: 1 , 2 и 3 (рис. 35.9, а).

А теперь заметим, что покоящееся тело не вращается вокруг любой оси.

Поэтому второе условие равновесия для тела, не закрепленного на оси, можно сформулировать так:

чтобы тело оставалось в покое, необходимо, чтобы алгебраическая сумма моментов всех приложенных к телу сил относительно любой оси была равна нулю:

M 1 + M 2 + … + M n = 0. (4)

(Мы считаем, что все приложенные к телу силы лежат в одной плоскости.)

Например, кусок картона, покоящийся под действием сил 1 , 2 и 3 (рис. 35.9, б), можно закрепить иглой в произвольной точке О 1 . Тело «не заметит» новой оси вращения O 1: оно как было, так и останется в покое.

При решении задач ось, относительно которой находят моменты сил, часто проводят через точку приложения силы или сил, которые не заданы в условии: тогда их моменты относительно этой оси равны нулю. Например, в следующем задании в качестве такой оси удобно взять нижний конец стержня.

Заметим, что одного второго условия равновесия также недостаточно для того, чтобы тело осталось в покое.

Покоящееся в начальный момент тело останется в покое только в том случае, если равны нулю и равнодействующая приложенных к телу сил, и алгебраическая сумма моментов этих сил относительно любой оси. (Строго говоря, для этого необходимо еще, чтобы равновесие было устойчивым (см. § 36).)

8. Верхний конец покоящегося легкого стержня длиной L удерживается горизонтальным тросом (рис. 35.10). Нижний конец стержня закреплен в шарнире (стержень может вращаться вокруг нижнего конца). Угол между стержнем и вертикалью равен α. К середине стержня подвешен груз массой m. Трением в шарнире можно пренебречь. Изобразите на чертеже вес груза m и силу натяжения троса , которые действуют на стержень. Чему равны:
а) плечо и момент силы тяжести относительно точки O?
б) плечо и момент силы относительно точки O?
в) модуль силы ?

Как можно переносить точку приложения силы?

Перенесем точку приложения сил из A в B вдоль линии действия силы (рис. 35.11).

При этом:
- не изменится векторная сумма действующих на тело сил;
- не изменится момент этой силы относительно любой оси, потому что не изменилось плечо l этой силы.

Итак, точку приложения силы можно переносить вдоль линии ее действия, не нарушая равновесия тела.

9. Объясните, почему тело может находиться в покое под действием трех непараллельных сил только при условии, что линии их действия пересекаются в одной точке (рис. 35.12).

Обратите внимание: точка пересечения линий действия этих сил может находиться (и часто находится!) вне тела.

10. Вернемся к заданию 8 (рис. 35.10).
а) Найдите точку пересечения линий действия веса груза и силы натяжения троса.
б) Найдите графически направление силы, действующей на стержень со стороны шарнира.
в) Куда надо перенести точку крепления горизонтально направленного троса, чтобы сила, действующая на стержень со стороны шарнира, была направлена вдоль стержня?

3. Центр тяжести

Центром тяжести называют точку приложения силы тяжести. Будем обозначать центр тяжести буквой С. Центр тяжести однородного тела правильной геометрической формы совпадает с его геометрическим центром.

Например, центр тяжести однородного:

• диска совпадает с центром диска (рис. 35.13, а);
• прямоугольника (в частности, квадрата) совпадает с точкой пересечения диагоналей (рис. 35.13, б);
• прямоугольного параллелепипеда (в частности, куба) совпадает с точкой пересечения диагоналей, соединяющих противоположные вершины;
• тонкого стержня совпадает с его серединой (рис. 35.13, в).

Для тел произвольной формы положение центра тяжести находят опытным путем:

если тело, подвешенное в одной точке, находится в равновесии, то его центр тяжести лежит на одной вертикали с точкой подвеса (рис. 35.13, г).

Действительно, если центр тяжести и точка подвеса не будут на одной вертикали, то алгебраическая сумма моментов силы тяжести и силы, действующей со стороны подвеса, не будет равна нулю (например, относительно центра тяжести).

Алгебраическая сумма моментов сил тяжести, действующих на все части тела, относительно центра тяжести тела равна нулю. (Иначе его невозможно было бы подвесить в одной точке.)

Это используют при расчете положения центра тяжести.

11. На концах легкого стержня длиной l укреплены шарики массой m1 и m2. На каком расстоянии от первого шарика находится центр тяжести этой системы?

12. Горизонтально расположенная однородная балка длиной 1 м и массой 100 кг висит на двух вертикальных тросах. Синий трос укреплен на расстоянии 20 см от левого конца балки, а зеленый – на расстоянии 30 см от ее правого конца. Изобразите на чертеже действующие на балку силы и их плечи относительно центра тяжести балки. Чему равны:
а) плечи сил? б) силы натяжения тросов?

Дополнительные вопросы и задания

13. На одинаковой высоте на расстоянии 1 м друг от друга закреплены концы нерастяжимого троса длиной 2 м. Какой максимальной массы груз можно подвесить к середине троса, чтобы сила натяжения троса не превышала 100 Н?

14. Фонарь подвешен на двух тросах. Силы натяжения тросов равны 10 Н и 20 Н, а угол между тросами равен 120º. Чему равна масса m фонаря?
Подсказка. Если сумма трех векторов равна нулю, то они образуют треугольник.

15. К куску картона, закрепленному на оси О, в точках А 1 и А 2 прикладывают силы 1 и 2 (рис. 35.14). Известно, что ОА 1 = 15 см, ОА 2 = 20 см, F 1 = 20 Н, F 2 = 30 Н, α = 60º, β = 30º.

а) Чему равны плечи сил 1 и 2 ?
б) Чему равны моменты этих сил (с учетом знака)?
в) Может ли картон остаться в покое? А если нет, то в какую сторону он начнет вращаться?

16. Два человека несут цилиндрическую трубу массой 30 кг и длиной 4 м. Первый держит трубу на расстоянии 1,2 м от конца. На каком расстоянии от другого конца держит трубу второй чело, век, если нагрузка на его плечо составляет 100 Н?

17. Легкий стержень длиной 1 м закреплен на горизонтальной оси. Если к левому концу стержня подвесить некоторый груз, а к правому – гирю массой 1 кг, то стержень будет находиться в равновесии. А если тот же груз подвесить к правому концу стержня, то стержень будет находиться в равновесии, если к его левому концу подвешена гиря массой 16 кг.
а) Чему равна масса груза?
б) На каком расстоянии от центра стержня находится ось?

Статикой называется раздел механики, изучающий условия равновесия тел.

Из второго закона Ньютона следует, что если геометрическая сумма всех внешних сил, приложенных к телу, равна нулю, то тело находится в состоянии покоя или совершает равномерное прямолинейное движение. В этом случае принято говорить, что силы, приложенные к телу, уравновешивают друг друга. При вычислении равнодействующей все силы, действующие на тело, можно прикладывать к центру масс .

Чтобы невращающееся тело находилось в равновесии, необходимо, чтобы равнодействующая всех сил, приложенных к телу, была равна нулю .

На рис. 1.14.1 дан пример равновесия твердого тела под действием трех сил. Точка пересечения O линий действия сил и не совпадает с точкой приложения силы тяжести (центр масс C ), но при равновесии эти точки обязательно находятся на одной вертикали. При вычислении равнодействующей все силы приводятся к одной точке.

Если тело может вращаться относительно некоторой оси, то для его равновесия недостаточно равенства нулю равнодействующей всех сил .

Вращающее действие силы зависит не только от ее величины, но и от расстояния между линией действия силы и осью вращения.

Длина перпендикуляра, проведенного от оси вращения до линии действия силы, называется плечом силы .

Произведение модуля силы на плечо d называется моментом силы M . Положительными считаются моменты тех сил, которые стремятся повернуть тело против часовой стрелки (рис. 1.14.2).

Правило моментов : тело, имеющее неподвижную ось вращения, находится в равновесии, если алгебраическая сумма моментов всех приложенных к телу сил относительно этой оси равна нулю:

В Международной системе единиц (СИ) моменты сил измеряются в Н ьютон - метрах (Н∙м ) .

В общем случае, когда тело может двигаться поступательно и вращаться, для равновесия необходимо выполнение обоих условий: равенство нулю равнодействующей силы и равенство нулю суммы всех моментов сил.

здесь скриншот игры про равновесие

Катящееся по горизонтальной поверхности колесо - пример безразличного равновесия (рис. 1.14.3). Если колесо остановить в любой точке, оно окажется в равновесном состоянии. Наряду с безразличным равновесием в механике различают состояния устойчивого и неустойчивого равновесия.

Состояние равновесия называется устойчивым, если при малых отклонениях тела от этого состояния возникают силы или моменты сил, стремящиеся возвратить тело в равновесное состояние.

При малом отклонении тела из состояния неустойчивого равновесия возникают силы или моменты сил, стремящиеся удалить тело от положения равновесия.

Шар, лежащий на плоской горизонтальной поверхности, находится в состоянии безразличного равновесия. Шар, находящийся в верхней точке сферического выступа, - пример неустойчивого равновесия. Наконец, шар на дне сферического углубления находится в состоянии устойчивого равновесия (рис. 1.14.4).

Для тела, имеющего неподвижную ось вращения, возможны все три вида равновесия. Безразличное равновесие возникает, когда ось вращения проходит через центр масс. При устойчивом и неустойчивом равновесии центр масс находится на вертикальной прямой, проходящей через ось вращения. При этом, если центр масс находится ниже оси вращения, состояние равновесия оказывается устойчивым. Если же центр масс расположен выше оси - состояние равновесия неустойчиво (рис. 1.14.5).

Особым случаем является равновесие тела на опоре. В этом случае упругая сила опоры приложена не к одной точке, а распределена по основанию тела. Тело находится в равновесии, если вертикальная линия, проведенная через центр масс тела, проходит через площадь опоры , т. е. внутри контура, образованного линиями, соединяющими точки опоры. Если же эта линия не пересекает площадь опоры, то тело опрокидывается. Интересным примером равновесия тела на опоре является падающая башня в итальянском городе Пиза (рис. 1.14.6), которую по преданию использовал Галилей при изучении законов свободного падения тел. Башня имеет форму цилиндра высотой 55 м и радиусом 7 м. Вершина башни отклонена от вертикали на 4,5 м.

Вертикальная линия, проведенная через центр масс башни, пересекает основание приблизительно в 2,3 м от его центра. Таким образом, башня находится в состоянии равновесия. Равновесие нарушится и башня упадет, когда отклонение ее вершины от вертикали достигнет 14 м. По-видимому, это произойдет очень нескоро.

В предыдущем параграфе были выяснены условия равновесия тела при отсутствии вращения. Но как обеспечивается отсутствие вращения тела, т. е. его равновесие, когда на него действуют силы?

Чтобы ответить на этот вопрос, рассмотрим тело, которое не может совершать поступательного движения, но может поворачиваться или вращаться. Чтобы сделать невозможным поступательное движение тела, его достаточно закрепить в одной точке так, как можно, например, закрепить доску на стене, прибив ее одним гвоздем; поступательное движение такой «пригвожденной» доски становится невозможным, но доска может поворачиваться вокруг гвоздя, который служит ей осью поворота.

Выясним, при каких условиях покоящееся тело с закрепленной осью не будет поворачиваться под действием приложенных к нему сил. Представим себе некоторое тело, к которому в разных точках приложены две силы: (рис. 163, а). Чтобы найти равнодействующую этих сил, перенесем точки их приложения в точку А (рис. 163, б), в которой пересекаются линии действия обеих сил. Построив параллелограмм на силах получим их равнодействующую

Теперь предположим, что в какой-то точке О на линии, вдоль которой направлена равнодействующая проходит закрепленная ось, перпендикулярная плоскости чертежа. Мы можем себе, например, представить, что в точке О сквозь тело проходит гвоздь, вбитый в неподвижную стену. Тело в этом случае будет находиться в покое, потому что равнодействующая уравновешивается силой реакции (упругости) со стороны закрепленной оси (гвоздя): обе они направлены вдоль одной и той же прямой, равны по абсолютной величине и противоположны по направлению.

Предположим теперь, что одна из сил, например перестала действовать, так что тело подвергается действию только одной силы (рис. 163, в). Из рисунка видно, что эта сила заставит тело вращаться вокруг оси О по часовой стрелке. Если, наоборот, устранить

силу то оставшаяся сила вызовет вращение против часовой стрелки (рис. 163, г). Значит, каждая из сил обладает вращающим действием, причем эти действия характеризуются противоположными направлениями. Но когда обе силы действуют совместно, их вращающие действия взаимно друг друга компенсируют: вместе они поворота не вызывают. Поэтому следует считать, что, хотя силы сами по себе различны как по величине, так и по направлению, их вращающие действия одинаковы, но противоположны по направлению.

Попытаемся найти величину, которая характеризует вращающее действие силы. Мы пока знаем только, что она должна иметь одинаковые численные значения для обеих сил:

Обратимся к рисунку Силы неодинаковы по абсолютным значениям: больше Зато расстояние от точки О (оси) до линии действия силы меньше расстояния от оси до линии действия силы Таким образом, но

Быть может, равны между собой произведения

Если это так, то можно будет сказать, что величина, равная произведению силы на длину перпендикуляра, опущенного с закрепленной оси на линию действия силы, как раз и характеризует вращающее действие силы.

Нетрудно доказать, что равенство

действительно выполняется. Для этого проведем на рисунке 163, д вспомогательные прямые ОС и ОВ, параллельные силам подобия треугольников АВО и следует, что

Отсюда, учитывая, что АВ = ОС, получаем:

Рассмотрим теперь треугольники ОВК и Эти треугольники подобны, как прямоугольные с равными углами при вершинах С и В (они дополняют равные углы АСО и АВО до 180°). Из их подобия следует, что

Сравнивая пропорции (1) и (2), получаем:

Сделанное выше предположение оправдалось.

Приведенное довольно длинное геометрическое рассуждение позволило нам найти величину, которая одинакова для обеих сил и характеризует вращающее действие силы. Такой величиной является произведение силы на расстояние от линии ее. действия до оси вращения. Величина эта носит несколько странное название - момент силы или вращающий момент относительно оси, проходящей через точку О.

Момент силы. Условие равновесия тела, имеющего ось вращения

Моментом силы называют величину, способную вызывать и изменять вращение тела. При этом выделяют момент силы относительно точки (центра) и относительно оси.

Рис. 4.2

Момент силы относительно неподвижной точки О представляет собой вектор определяемый векторным произведением радиуса-вектора проведенного из точки О в точку N приложения силы, на силу рис. 4.2:

где модуль момента силы М =Fr sina=F ×l (l ¾плечо силы, то есть, кратчайшее расстояние между линией действия силы и точкой О ). Направлен вектор перпендикулярно плоскости, проходящей через центр О и силу в сторону, откуда поворот, вызываемый силой, виден против хода часовой стрелки.

Пример. Пусть точечный груз массой m подвешенный на нерастяжимой и невесомой нити длиной R к гвоздю, вбитому в потолок, совершает колебания около положения равновесия, рис. 4.3.

Рис. 4.3

Для рассматриваемого момента времени, когда груз возвращается в положение равновесия, вектор момента силы совпадает по направлению с вектором угловой скорости его модуль равен M 0 =mgl =mgR sina; момент силы натяжения нити Т всегда равен нулю, так как плечо этой силы равно нулю.

Момент силы относительно неподвижной оси z является алгебраической величиной, равной проекции на эту ось вектора момента силы, определенного относительно произвольной точки О на оси z , рис. 4.4.

Рис. 4.4

Для решения обычных школьных задач достаточно рассмотрения момента силы относительно оси z , перпендикулярной плоскости, в которой лежат векторы и рис. 4.5.

Направление оси при этом выбирают таким образом, чтобы момент был положительным, если он вызывает вращение по часовой стрелке.

Рис. 4.5

На любое тело могут действовать моменты различных сил, однако, для его равновесия, при наличии неподвижной оси вращения z , необходимо, чтобы алгебраическая сумма моментов всех сил, действующих на тело, относительно этой оси была равна нулю

или, формулируя более простым языком, моменты всех сил M z , вращающих тело по часовой стрелке, должны быть равны моментам всех сил, вращающих его против часовой стрелки. При этом тело будет либо покоиться, либо равномерно вращаться вокруг оси.

Если у тела отсутствует закрепленная ось вращения, для его равновесия необходимо и достаточно выполнение условий (4.1) и (4.6) относительно любой возможной оси.

Условия равновесия часто используются для измерения неизвестных сил путем их сравнения с известными силами. Например, величину различных сил (гравитационных, электростатических, магнитных) измеряют, сравнивая их с силой упругости. В частности силу тяжести, действующую на тело, можно определить по показаниям пружинного динамометра.

Важной задачей статики является определение центра тяжести тела или системы тел.Центром тяжести является точка приложения равнодействующей всех сил тяжести, действующих на тело при любом его положении в пространстве (обычно находится путем пересечения линий подвеса тела). Сумма моментов всех элементарных сил тяжести относительно любой оси, которая проходит через центр тяжести, равна нулю.

У однородного тела центр тяжести находится на оси симметрии и пересечении осей симметрии, при этом он может оказаться вне самого тела (например, у кольца).

Пример. Два человека, массой m 1 = 60 кг и m 2 = 100 кг находятся в равновесии на разных концах горизонтально расположенной однородной прямоугольной доски, длиной l = 3 м и массой m 3 = 30 кг, имеющей одинаковую толщину и расположенной на поваленномдереве, рис. 4.6. На каком расстоянии х от правого края доски находится центр тяжести системы, состоящей из доски и двух человек или, иными словами, точка касания доски с деревом?

Рис. 4.6

Решение. Согласно условию (4.2) равнодействующая сил тяжести по модулю равна модулю вектора т. е.m 1 g +m 2 g +m 3 g =N . Данное выражение полезно для общих рассуждений и правильного построения рисунка, но для решения задачи вполне достаточно воспользоваться условием (4.6).