Которого равен заданному векторному полю.

Формально, если v - векторное поле, векторным потенциалом называется векторное поле A такое, что

Если A является векторным потенциалом для поля v , то из тождества

Для любого соленоидального векторного поля, удовлетворяющего определённым условиям, существует векторный потенциал. В частности, его существование зависит от области, на которой определено поле - в случае многосвязной области потенциал вихревого поля обычно не существует.

Теорема

Неоднозначность выбора потенциала

Векторный потенциал соленоидального векторного поля определяется неоднозначно. Если A является векторным потенциалом для v , также им является

где m - любая непрерывно дифференцируемая скалярная функция. Это является следствием того факта, что ротор градиента равен нулю.

В электродинамике это даёт неоднозначность при определении потенциалов электромагнитного поля и решается наложением на потенциал дополнительного условия калибровки .

Векторный потенциал в физике

Уравнения Максвелла

Подобно тому, как скалярный потенциал связан с понятием энергии , векторный потенциал обнаруживает тесную связь с понятием импульса . Так, в случае быстрого отключения магнитного поля частица, находившаяся в нём, получает дополнительный импульс qA.

См. также

• Вектор Герца

Примечания

Wikimedia Foundation . 2010 .

Смотреть что такое "Векторный потенциал" в других словарях:

Потенциал, определяющий вихревую часть векторного ноля. В электродинамике поле магн. индукции В является строго вихревым; для этого поля вводят векторный потенциал А(В = rot A) … Естествознание. Энциклопедический словарь

векторный потенциал - — [Я.Н.Лугинский, М.С.Фези Жилинская, Ю.С.Кабиров. Англо русский словарь по электротехнике и электроэнергетике, Москва, 1999 г.] Тематики электротехника, основные понятия EN vector potential … Справочник технического переводчика

векторный потенциал - вихревой потенциал скорости; отрасл. векторный потенциал Векторная функция А, ротор которой равен скорости вихревого движения жидкости … Политехнический терминологический толковый словарь

векторный потенциал - vektorinis potencialas statusas T sritis Standartizacija ir metrologija apibrėžtis Vektorinis dydis A, kurio rotorius lygus magnetinio srauto tankiui, t. y. B = rot A. atitikmenys: angl. magnetic vector potential vok. Vektorpotential, n rus.… … Penkiakalbis aiškinamasis metrologijos terminų žodynas

В этой главе мы продолжим разговор о магнитостатике, т. е. о постоянных магнитных полях и постоянных токах. Магнитное поле и электрические токи связаны нашими основными уравнениями:

На этот раз нам нужно решить эти уравнения математически самым общим образом, а не ссылаться на какую-нибудь особую симметрию или на интуицию. В электростатике мы нашли прямой способ вычисления поля, когда известны положения всех электрических зарядов: скалярный потенциал дается просто интегралом по зарядам, как в уравнении (4.25) на стр. 77. Если затем нужно знать электрическое поле, то его получают дифференцированием . Мы покажем сейчас, что для нахождения поля существует аналогичная процедура, если известна плотность тока всех движущихся зарядов.

В электростатике, как мы видели (из-за того, что от везде равен нулю), всегда можно представить в виде градиента от скалярного поля . А вот от не везде равен нулю, поэтому представить его в виде градиента, вообще говоря, невозможно. Однако дивергенция везде равна нулю, а это значит, что мы можем представить в виде ротора от другого векторного поля. Ибо, как мы видели в гл. 2, § 8, дивергенция ротора всегда равна нулю. Следовательно, мы всегда можем выразить через поле, которое мы обозначим :

Или, расписывая компоненты:

(14.4)

Запись гарантирует выполнение (14.1), потому что обязательно

Поле называется векторным потенциалом.

Вспомним, что скалярный потенциал оказывается не полностью определенным. Если мы нашли для некоторой задачи потенциал , то всегда можно найти столь же хороший другой потенциал , добавив постоянную:

Новый потенциал дает те же электрические поля, потому что градиент есть нуль; и отвечают одной и той же картине.

Точно так же у нас может быть несколько векторных потенциалов , приводящих к одним и тем же магнитным полям. Опять-таки, поскольку получается из дифференцированием, то прибавление к константы не меняет физики дела. Но для свобода больше. Мы можем добавить к любое поле, которое есть градиент от некоторого скалярного поля, не меняя при этом физики. Это можно показать следующим образом. Пусть у нас есть , которое в какой-то реальной задаче дает правильное поле . Спрашивается, при каких условиях другой векторный потенциал , будучи подставлен в (14.3), дает то же самое поле . Значит, и имеют одинаковый ротор

Но если ротор вектора есть нуль, то вектор должен быть градиентом некоторого скалярного поля, скажем , так что . Это означает, что если есть векторный потенциал, отвечающий данной задаче, то при любом

также будет векторным потенциалом, в одинаковой степени удовлетворяющим данной задаче и приводящим к тому же полю .

Обычно бывает удобно уменьшить «свободу» , накладывая на него произвольно некоторое другое условие (почти таким же образом мы считали удобным - довольно часто - выбирать потенциал равным нулю на больших расстояниях). Мы можем, например, ограничить , наложив на него такое условие, чтобы дивергенция чему-нибудь равнялась. Мы всегда можем это сделать, не задевая . Так получается потому, что, хотя и имеют одинаковый ротор и дают одно и то же , они вовсе не обязаны иметь одинаковую дивергенцию. В самом деле, , и, подбирая соответствующее , можно придать любое значение.

Чему следует приравнять ? Выбор должен обеспечить наибольшее математическое удобство и зависит от нашей задачи. Для магнитостатики мы сделаем простой выбор

(Потом, когда мы перейдем к электродинамике, мы изменим наш выбор.) Итак, наше полное определение в данный момент есть и .

Чтобы привыкнуть к векторному потенциалу, посмотрим сначала, чему он равен для однородного магнитного поля . Выбирая ось в направлении , мы должны иметь

Рассматривая эти уравнения, мы видим, что одно из возможных решений есть

Или с тем же успехом можно взять

Еще одно решение есть комбинация первых двух

(14.8)

Ясно, что для каждого поля векторный потенциал не единственный; существует много возможностей.

Третье решение [уравнение (14.8)] обладает рядом интересных свойств. Поскольку компонента пропорциональна , а компонента пропорциональна , то вектор должен быть перпендикулярен вектору, проведенному от оси , который мы обозначим (штрих означает, что это не вектор расстояния от начала). Кроме того, величина пропорциональна и, следовательно, пропорциональна . Поэтому (для однородного поля) может быть записано просто

Векторный потенциал равен по величине и вращается вокруг оси , как показано на фиг. 14.1. Если, например, поле есть поле внутри соленоида вдоль его оси, то векторный потенциал циркулирует точно таким же образом, как и токи в соленоиде. вдоль любой замкнутой петли, то поток будет в точности равен

Если выбрать начало отсчета в центре петли, так что можно считать направленным по касательной и функцией только от , то циркуляция будет равна

Как и раньше, получаем

В только что разобранном примере мы вычисляем векторный потенциал из магнитного поля, обычно поступают наоборот. В сложных задачах всегда проще найти векторный потенциал, а затем уже из него найти магнитное поле. Сейчас мы покажем, как это можно сделать.

Рассмотрим магнитное поле стационарного тока. Пусть плотность тока зависит только от координат и отлична от нуля в конечной области пространства. Поскольку стационарный ток не имеет источников, то

и линии плотности стационарного тока замкнуты. Электрическое поле такого статического распределения заряда определяется формулами § 27.

Магнитное поле стационарного тока согласно (25.03) удовлетворяет уравнениям

Последнее равенство показывает, что магнитное поле является вихревым. Поэтому можно положить

Вектор А называется векторным потенциалом магнитного поля. В случае стационарного поля А зависит только от координат точки.

Векторный потенциал однозначно определяет напряженность магнитного поля. Магнитное поле определяет векторный потенциал с точностью до градиента некоторого скаляра. Действительно, векторный потенциал А, равный

где некоторый скаляр, определяет то же самое поле:

Векторный потенциал можно сделать однозначным, если наложить на него добавочное условие

называемое условием калибровки. Условие калибровки всегда может быть выполнено: если то всегда можно подобрать функцию такую, что

Для определения векторного потенциала подставим В из (34.03) в первое уравнение (34.02). Тогда

В силу условия калибровки (34.05)

Это уравнение определяет векторный потенциал по заданному распределению тока. Оно аналогично уравнению Пуассона (27.01) для скалярного потенциала. Так как функция Грина для оператора Лапласа определена в § 27, то решение (34.06) можно написать сразу

Убедимся, что условие калибровки (34.05) удовлетворяется. Обозначим через V оператор, взятый по координатам точки наблюдения а через V - оператор, взятый по координатам точки источника Заметим, что в применении к функциям от

Одно из основных уравнений магнитостатики имеет вид:

Решение этого уравнения может быть определено как:

где вектор $\overrightarrow{A\ }$ называют векторным потенциалом магнитного поля. Из векторного анализа хорошо известно тождество:

Многозначность векторного потенциала

Поле, в котором известен вектор индукции ($\overrightarrow{B}$) может быть описано несколькими векторными потенциалами. Покажем, что если потенциал $\overrightarrow{A\ }$описывает поле с индукцией $\overrightarrow{B}$, то и другой потенциал $\overrightarrow{A"}$, в виде:

при любом $\varkappa$, описывает то же самое поле. Проведем операцию rot уравнения (4), получим:

так как $rot\left(grad\varkappa \right)\equiv 0.$

Многозначность векторного потенциала магнитного поля эквивалентна неоднозначности скалярного потенциала электростатического поля. Разница состоит в том, что потенциал в электростатике определяется с точностью до произвольной постоянной, тогда как векторный потенциал магнитостатического поля, определятся с точностью до произвольной функции определённого класса. Произвольность в выборе векторного потенциала показывает, что векторный потенциал имеет вспомогательное значение. Он не может быть измерен в эксперименте.

Калибровка векторного потенциала

В магнитостатике в качестве калибровочного условия для векторного потенциала используют уравнение:

Уравнение (6) называют условием калибровки потенциала.

Уравнение для векторного потенциала

Запишем теорему о циркуляции вектора $\overrightarrow{B}$ в дифференциальной форме:

где $\overrightarrow{j}$ -- вектор плотности тока, ${\mu }_0$ -- магнитная постоянная. Подставим (2) в уравнение циркуляции (7), получим:

Преобразуем выражение $rotrot\overrightarrow{A}$ согласно известному из векторного анализа соотношению:

$graddiv\overrightarrow{A}=0\ (из\ условия\ калибровки\ (6)\),$ следовательно, уравнение (8) приобретет вид:

В координатном представлении уравнение (10) запишется в форме:

В системе уравнений (11) мы получили, что каждая компонента векторного потенциала подчиняется уравнению Пуассона. Следовательно, можно предположить, что решение уравнений (11) можно записать в виде:

где $r$ -- радиус вектор, который проведен из элемента тока в точку наблюдения. В векторной форме (12) запишем как:

Для тока в прямолинейном проводнике (линейного тока), можно записать, что векторный потенциал равен:

где $L_i$- контуры токов, $I_i$- силы токов в контурах.

Если найден векторный потенциал, то используя его определение можно отыскать соответствующую ему индукцию магнитного поля. Введение векторного потенциала существенно облегчает изучение магнитного поля постоянных токов.

Пример 1

Задание: Найдите вектор-потенциал магнитного поля, которое создается прямолинейным током проводника длинны L. Сила тока в проводнике I.

Пусть начало координат находится в середине, рассматриваемого участка с током (рис.1).

Магнитное поле прямолинейного проводника с током обладает цилиндрической симметрией, следовательно. Координаты точки в данной плоскости характеризуются расстоянием r от оси Y и координатой y. В качестве основы для решения задачи используем выражение:

\[\overrightarrow{A}=\frac{{\mu }_0}{4\pi }\int\limits_L{\frac{I}{r}}d\overrightarrow{l}=\frac{{\mu }_0}{4\pi }\sum\limits_i{I_i}\int\limits_{L_i}{\frac{d\overrightarrow{l}}{r}}\left(1.1\right).\]

Из (1.1) следует, что не равна нулю только компонента $A_y\ne 0$. ($A_x=0{,A}_z=0$) так как ток течет только по оси Y. В таком случае запишем:

\[{A=A}_y=\frac{\mu_0I}{4 \pi}\int\limits^{\frac{L}{2}}_{-\frac{L}{2}}{\frac{dy"}{\sqrt{{\left(y-y"\right)}^2+r^2}}}=\frac{\mu_0I}{4 \pi}ln\left(\frac{-y+\frac{L}{2}+\sqrt{{\left(y-\frac{L}{2}\right)}^2+r^2}}{-\left(y+\frac{L}{2}\right)+\sqrt{{\left(y+\frac{L}{2}\right)}^2+r^2}}\right)(1.2).\]

Для бесконечно длинного проводника векторный магнитный потенциал равен:

Ответ: A=$\frac{{\mu }_0I}{4\pi }ln\left(\frac{-y+\frac{L}{2}+\sqrt{{\left(y-\frac{L}{2}\right)}^2+r^2}}{-\left(y+\frac{L}{2}\right)+\sqrt{{\left(y+\frac{L}{2}\right)}^2+r^2}}\right).$

Пример 2

Задание: Используя результат решения задачи «Пример 1». Найдите индукцию магнитного поля, которое создается прямолинейным током проводника длинны L. Сила тока в проводнике I. (рис.1).

Из симметрии магнитного поля данного проводника с током индукцию достаточно вычислить в точках плоскости XY. Будем вычислять ее по формуле:

\[\overrightarrow{B}=rot\overrightarrow{A\ }\left(2.1\right),\]

где из предыдущей задачи имеем:

Удобнее индукцию, опять таки из соображений симметрии поля, записать в цилиндрических координатах. При этом будем иметь, что не равна нулю только проекция $B_{\varphi }$, где $\varphi $ -- угол цилиндрической системы координат. При этом можно записать, что:

На рис. 1 на плоскости XY $компонента\ B_{\varphi }$ направлена перпендикулярно плоскости в против оси Z. Подставим (2.2) в (2.3), получим:

Для бесконечного прямолинейного проводника имеем:

Ответ: B=$B_{\varphi }=\frac{{\mu }_0I}{4\pi }\left\{\frac{-y+\frac{L}{2}}{\sqrt{{\left(y-\frac{L}{2}\right)}^2+r^2}}+\frac{y+\frac{L}{2}}{\sqrt{{\left(y+\frac{L}{2}\right)}^2+r^2}}\right\}.$