• Определители и их свойства.
• Вычисление определителей.
• В данной лекции рассматриваются основные положения...

Подробнее о программе

• Определители и их свойства. В данной лекции рассматривается понятие определителя матрицы и связанные с этим понятием определения. Вводится понятие линейной комбинации строк и транспонированной матрицы. Приведены примеры решения задач, а также упражнения для самостоятельного решения
• Вычисление определителей. В данной лекции рассматриваются примеры вычисления определителей. Приведены определения минора, алгебраического дополнения и определителя Вандермонда. Рассмотрены примеры решения задач и приведены упражнения для самостоятельного решения
• Линейные преобразования линейных пространств столбцов. Данная лекция посвящена линейным преобразованиям линейных пространств столбцов, задаваемых прямоугольной матрицей. Рассмотрены основные определения, приведены доказательства базовых теорем и упражнения для самостоятельного рассмотрения
• Линейное пространство M_m,n (K) прямоугольных матриц размера mxn. В данной лекции рассматриваются основные положения и определения алгебры матриц. Рассматривается способ умножения матриц, приведены примеры, доказаны основные теоремы. Также представлены задачи для самостоятельного решения
• Многочлены от матриц, теорема Гамильтона-Кэли. Обратная матрица. В данной лекции основное внимание уделено понятию многочленов от матриц, а также рассмотрена теорема Гамильтона-Кэли. Приведены основные понятия, в частности, очень важное определение обратной матрицы. Приведены примеры решения задач, доказаны основные теоремы, а также предоставлены задачи для самостоятельного рассмотрения
• Свойства линейного пространства. В данной лекции рассматриваются линейные пространства. Рассмотрены основные свойства линейных пространств, основные зависимости и возможные действия в них. Приведено также очень важное понятие базиса, доказаны основные теоремы и предоставлены задачи для самостоятельного решения
• Единственность главного ступенчатого вида матрицы. В данной лекции речь идет о единственности главного ступенчатого вида матрицы. Приведены примеры ступенчатых матриц, рассмотрено понятие изоморфизма линейных пространств, доказана обратимость матрицы перехода. Также приведены доказательства основных теорем и предоставлены задачи для самостоятельного решения
• Линейные подпространства линейных пространств. В данной лекции рассматриваются линейные подпространства линейных пространств, приведены определения их суммы и их пересечения, рассмотрено понятие линейной оболочки элементов линейного пространства. Приведены доказательства основных теорем и задачи для самостоятельного рассмотрения
• Проективная размерность подпространств и проективная геометрия. Теорема о ранге матрицы. В данной лекции рассматриваются базовые понятия проективной геометрии. Приведено очень важное определение ранга матрицы, определена размерность пространства решений однородной системы линейных уравнений. Приведены также доказательства основных теорем, а также предоставлены задачи для самостоятельного решения
• Собственные числа и собственные векторы матрицы. В данной лекции рассматриваются понятия собственных чисел и собственных векторов матрицы. Приведены основные определения, доказаны основные теоремы. Также приведены примеры решения задач и предоставлены задачи для самостоятельного решения
• Экзамен

	Преподаватель/ассистент	понедельник	вторник	среда	четверг	пятница
1	Дмитрий Игоревич Пионтковский		18:30–20, ауд. 507			15:10–16:30, Шаболовка 26, ауд. 5413
2	Всеволод Леонидович Чернышев				16:40–18:00, ауд. 308
3	Роман Сергеевич Авдеев	15:40–17:40, ауд. 623		15:40–17:40, ауд. 623 (с 17 мая)
4	Полина Юрьевна Котенкова					9:00–10:30, ауд. 511
5	Сергей Александрович Гайфуллин				15:00–17:00, ауд. 607
6	Станислав Николаевич Федотов			13:40–17:00, ауд. 607
7	Полина Белопашенцева					16:40–18:00, ауд.??
8	Георгий Шумкин					13:40–15.00, ауд. 618
9	Руслан Хайдуров		13:40–22:00, ауд. ??
10	Вадим Гринберг		16:40–18:10, ауд. ??			16:40–18:10, ауд. 308
11	Павел Ковалёв		16:40–18:00
12	Наталья Бакайкина			15:00–16:30
13	Александр Чернявский	15:00–16:30, ауд. 313
14	Валерия Старичкова				13:40–15:00

Формы контроля знаний студентов

• Контрольная работа
• Большие домашние задания
• Устная сдача задач из листков
• Активность и работа на семинарах
• Коллоквиум
• Экзамен

Информация для пилотного потока

Краткое содержание лекций

Лекция 1 (6.09.2016). Геометрия n -мерного арифметического пространства.

Лекция 2 (13.09.2016). Матрицы и основные операции над ними.

Лекция 3 (20.09.2016). Элементарные преобразования строк матриц. Решение системы линейных уравнений методом Гаусса.

Лекция 4 (27.09.2016). Существование и единственность канонического вида матрицы. Обратная матрица.

Лекция 5 (4.10.2016). Обратимость невырожденных матриц. Линейное пространство. Подпространства, линейные оболочки.

Лекция 6 (11.10.2016). Линейная зависимость. Базис и размерность линейного пространства.

Лекция 7 (18.10.2016). Столбцовый и строчный ранг матрицы, теорема об их равенстве. Размерность пространства решений однородной системы линейных уравнений, фундаментальная система решений.

Лекция 8 (1.11.2016). Теорема Кронекера-Капелли. Размерность линейного многообразия. Сумма и пересечение подпространств, связь между их размерностями.

Лекция 9 (8.11.2016). Координаты вектора в заданном базисе. Изоморфизм. Теорема о том, что все пространства одной конечной размерности изоморфны друг другу.

Лекция 10 (15.11.2016). Матрица перехода между двумя базисами. Формула замены координат. Определитель матрицы порядка 2, ориентированная площадь. Подстановки. Знак подстановки. Определитель квадратной матрицы.

Лекция 11 (22.11.2016). Определитель треугольной матрицы. Определитель как полилинейная функция строк. Умножение подстановок. Изменение знака подстановки при умножении на транспозицию. Поведение определителя при элементарных преобразованиях строк матрицы.

Лекция 12 (29.11.2016). Определитель как единственная полилинейная кососимметрическая функция строк матрицы, равная 1 на единичной матрице. Определитель произведения матриц. Определитель с углом нулей. Формула разложения определителя по строке. Знак произведения подстановок и знак обратной подстановки. Определитель транспонированной матрицы.

Лекция 13 (6.12.2016). Приложения определителей: формулы Крамера решения определенной системы линейных уравнений; формула обратной матрицы; определение ранга матрицы через миноры (ранг Фробениуса).

Лекция 14 (13.12.2016). Комплексные числа.

Лекция 15 (10.01.2017). Поле. Примеры полей. Линейные пространства над полем. Комплексификация и овеществление. Линейное отображение и линейный оператор: определение и геометрические примеры.

Лекция 16 (17.01.2017). Новые примеры линейных отображений. Множество линейных отображений Hom(U,V) как линейное пространство. Линейные функционалы и двойственное пространство. Понятие двойственного базиса, размерность двойственного пространства. Идея теории категорий, категория линейных пространств. Контравариантные и ковариантные функторы. Матрица линейного отображения: эквивалентность двух определений. Размерность линейного пространства Hom(U,V).

Лекция 17 (25.01.2017). Матрица композиции линейных отображений. Матрица изоморфизма. Замена координат и матрица линейного отображения. Замена координат в двойственном пространстве, понятие ковектора. Ядро и образ линейного отображения, их связи с матрицей линейного отображения. Короткая точная последовательность. Ранг, определитель и след линейного оператора.

Лекция 18 (31.01.2017). Инвариантные пространства линейного оператора, инвариантность его ядра и образа. Прямая сумма нескольких подпространств. Матрица линейного оператора в базисе, часть которого порождает инвариантное подпространство или прямую сумму таких подпространств. Одномерные инвариантные подпространства, собственные векторы и собственные значения. Характеристический многочлен линейного оператора. Определитель, след и характеристический многочлен как инварианты линейного оператора.

Лекция 19 (7.02.2017). Характеристический многочлен как инвариант линейного оператора. Алгебраически замкнутое поле. Кратности и количество корней многочлена над алгебраически замкнутым полем. Формулы Виета. Связь определителя и следа комплексного оператора с собственными значениями. Диагонализуемые операторы (операторы простой структуры). Оператор дифференцирования многочленов как пример не диагонализуемого оператора.

Лекция 20 (14.02.2017). Корневые векторы и корневые подпространства. Теорема о разложении пространства в прямую сумму корневых подпространств.

Лекция 21 (21.02.2017). Теорема о приведении матрицы линейного оператора к верхнетреугольному виду. Формулировка теоремы о жордановой форме линейного оператора в конечномерном пространстве над алгебраически замкнутым полем. Единственность жордановой формы.

Лекция 22 (28.02.2017). Существование аннулирующего многочлена линейного оператора над произвольным полем. Теорема Гамильтона--Кэли. Минимальный многочлен комплексного линейного оператора.

Евклидово пространство. Матрица Грама. Ортогональный и ортонормированный базис.

Лекция 23 (7.3.2017). Связь матриц Грама различных базисов. Существование и единственность проекции и ортогональной составляющей вектора относительно подпространства. Существование и метод построения ортонормированного базиса в конечномерном евклидовом пространстве. Объем k-мерного параллепипеда в n-мерном евклидовом пространстве, его связь с определителем матрицы Грама. Ориентированный объем n-мерного параллепипеда в n-мерном евклидовом пространстве.

Лекция 24 (15.3.2017). Эрмитово пространство, его сходство и различие с евклидовым пространством. Сопряженные линейные операторы в пространстве со скалярным произведением. Самосопряженный (эрмитов) оператор. Нормальный оператор, его основное свойство.

Лекция 25 (22.3.2017). Ортогональные и унитарные операторы. Ортогональные и унитарные матрицы. Канонический вид унитарного оператора и ортогонального оператора.

Лекция 26 (4.4.2017). Мультипликативные разложения матриц. LU разложение. Положительно определенный самосопряженный оператор. SU разложение (полярное разложение). Сингулярные числа матрицы. Сингулярное разложение (SVD). QR разложение.

Лекция 27 (11.4.2017). Билинейные формы. Матрица билинейной формы, ее поведение при замене координат. Квадратичные формы. Положительно и отрицательно определенные квадратичные формы. Канонический и нормальный вид квадратичной формы.

Лекция 28 (18.4.2017). Методы приведения действительных квадратичных форм к каноническому виду (метод Лагранжа, приведение к главным осям, метод Якоби). Критерий Сильвестра.

Лекция 29 (25.4.2017). Закон инерции действительных квадратичных форм.

Лекция 30 (16.5.2017). Начала аналитической геометрии: линейные многообразия, способы задания плоскостей и прямых в трехмерном пространстве, задачи взаимного расположения плоскостей и прямых.

Лекция 31 (23.5.2017). Векторное и смешанное произведение в трехмерном пространстве, их применение в метрических задачах. Векторное и смешанное произведение в многомерных пространствах. Аффинные преобразования и движения n-мерного действительного пространства, теорема об их разложении в сумму параллельного переноса и линейного (в случае движения -- ортогонального) оператора.

Лекция 32 (30.5.2017). Канонический вид квадрики в n-мерном действительном пространстве. Классификация квадрик на плоскости. Конические сечения.

Следующую лекцию предполагается посвятить поверхностям второго порядка в трехмерном пространстве.

Порядок формирования итоговой оценки для пилотного потока

2-й модуль

где O к/р — оценка за контрольную работу по итогам первого модуля, O д/з — оценка за индивидуальные домашние задания, O л — оценка за сдачу задач из листков, О колл — оценка за коллоквиум и O сем — оценка за работу на семинарах.

4-й модуль

Накопленная оценка вычисляется по следующей формуле:

O накопленная = 0,2 * O к/р + 0,1 * O д/з + 0,3 * O л + 0,4 * О колл + 0,1 * O сем,

где O к/р — оценка за контрольную работу по итогам третьего модуля, O д/з — оценка за индивидуальные домашние задания, O л — оценка за сдачу задач из листков, О колл — оценка за коллоквиум и O сем — оценка за работу на семинарах.

Итоговая оценка будет выражаться через (не округленную) накопленную оценку и оценку за экзамен следующим образом:

O итоговая = 0,8 * O накопленная + 0,2 * О экз.

Способ округления итоговой оценки: результат между 3 и 4 округляется до 3, во всех остальных случаях оценка заменяется ближайшим целым числом из интервала от 1 до 10.

Информация для основного потока

Порядок формирования итоговой оценки

2-й модуль

Формула для накопленной оценки:

O накопленная = 0,2 * O к/р + 0,2 * O д/з + 0,2 * O л + 0,4 * О колл + 0,1 * O сем,

где O к/р — оценка за контрольную работу, O д/з — оценка за большие домашние задания, O л — оценка за сдачу задач из листков, О колл — оценка за коллоквиум и O сем — оценка за работу на семинарах.

Итоговая оценка выражалась через накопленную оценку и оценку за экзамен следующим образом:

O итоговая = 0,75 * O накопленная + 0,25 * О экз.

В этой формуле используется неокруглённое значение накопленной оценки.

Способ округления итоговой оценки: результат между 3 и 4 округляется до 3, во всех остальных случаях округление арифметическое.

4-й модуль

Формулы для вычисления накопленной и итоговой оценок, а также правила их округления такие же, как во 2-м модуле.

Краткое содержание лекций

1-2 модули

Лекция 1 (5.09.2016). Системы линейных уравнений. Совместные и несовместные системы линейных уравнений. Эквивалентные системы линейных уравнений. Расширенная матрица системы линейных уравнений. Элементарные преобразования системы линейных уравнений и соответствующие преобразования строк её расширенной матрицы. Сохранение множества решений системы линейных уравнений при элементарных преобразованиях.

Лекция 2 (12.09.2016). Ступенчатые матрицы. Улучшенный ступенчатый (канонический) вид матрицы. Приведение матрицы к ступенчатому виду элементарными преобразованиями строк. Приведение ступенчатой матрицы к улучшенному ступенчатому виду элементарными преобразованиями строк. Метод Гаусса решения систем линейных уравнений. Главные и свободные неизвестные. Общее решение системы линейных уравнений. Однородные системы линейных уравнений. Существование ненулевого решения у однородной системы линейных уравнений, у которой число неизвестных больше, чем число уравнений.

Лекция 3 (19.09.2016). Матрицы. Равенство матриц. Операции сложения и умножения на скаляр для матриц, свойства этих операций. Пространство R^n, его отождествление с матрицами-столбцами высоты n. Транспонирование матриц, его простейшие свойства. Умножение матриц, примеры. Матричная форма записи системы линейных уравнений.

Лекция 4 (26.09.2016). Основные свойства умножения матриц. Некоммутативность умножения матриц. Диагонали квадратной матрицы. Диагональные матрицы. Умножение на диагональную матрицу. Единичная матрица. Матричные единицы. Умножение на матричную единицу. Реализация элементарных преобразований строк матрицы при помощи умножения слева на подходящую матрицу.

Лекция 5 (3.10.2016). След квадратной матрицы и его свойства. Перестановки и подстановки. Инверсии. Знак и чётность подстановки. Произведение подстановок. Ассоциативность произведения подстановок. Тождественная подстановка. Обратная подстановка. Знак обратной подстановки. Транспозиции, элементарные транспозиции. Изменение знака подстановки при умножении справа на элементарную транспозицию.

Лекция 6 (10.10.2016). Изменение знака подстановки при умножении справа на произвольную транспозицию. Разложение подстановки в произведение транспозиций, а также в произведение элементарных транспозиций. Теорема о знаке произведения подстановок. Определитель квадратной матрицы. Определители порядков 2 и 3. Определитель транспонированной матрицы. Определитель матрицы со строкой (столбцом) нулей. Поведение определителя при умножении строки (столбца) на число и при разложении строки (столбца) в сумму двух строк (столбцов).

Лекция 7 (17.10.2016). Поведение определителя при перестановке двух строк (столбцов). Определитель матрицы, содержащей две одинаковых строки (два одинаковых столбца). Поведение определителя при прибавлении к строке (столбцу) другой, умноженной на число. Верхнетреугольные и нижнетреугольные матрицы, их определители. Определитель с углом нулей. Определитель произведения матриц.

Лекция 8 (31.10.2016). Дополнительные миноры и алгебраические дополнения к элементам квадратной матрицы. Разложение определителя по строке (столбцу). Лемма о фальшивом разложении определителя. Обратная матрица, её единственность. Невырожденные матрицы. Определитель обратной матрицы. Присоединённая матрица. Критерий обратимости квадратной матрицы, явная формула для обратной матрицы. Следствия из критерия обратимости. Матричные уравнения вида AX=B и XA=B, где A -- невырожденная квадратная матрица; единственность решения, нахождение решения при помощи элементарных преобразований. Вычисление обратной матрицы при помощи элементарных преобразований.

Лекция 9 (7.11.2016). Формулы Крамера. Понятие поля. Простейшие примеры. Построение поля комплексных чисел. Алгебраическая форма комплексного числа, его действительная и мнимая части. Комплексное сопряжение. Геометрическая модель комплексных чисел, интерпретация сложения и сопряжения в этой модели. Модуль комплексного числа, его свойства.

Лекция 10 (14.11.2016). Аргумент комплексного числа. Тригонометрическая форма комплексного числа. Умножение, деление и возведение в степень комплексных чисел в тригонометрической форме. Формула Муавра. Извлечение корней из комплексных чисел. Основная теорема алгебры комплексных чисел (без доказательства). Теорема Безу. Кратность корня многочлена. Теорема о том, что всякий многочлен степени n с комплексными коэффициентами имеет ровно n корней с учётом кратностей.

Лекция 11 (21.11.2016). Векторные пространства, простейшие следствия из аксиом. Подпространства векторных пространств. Свойство множества решений однородной системы линейных уравнений. Линейная комбинация конечного набора векторов. Линейная оболочка подмножества векторного пространства и её свойство. Конечномерные и бесконечномерные векторные пространства.

Лекция 12 (28.11.2016). Линейно зависимые и линейно независимые системы векторов. Критерий линейной зависимости конечного набора векторов. Основная лемма о линейной зависимости. Базис векторного пространства, координаты вектора в базисе. Базис как линейно независимая порождающая система. Существование базиса у конечномерного векторного пространства. Независимость числа элементов в базисе векторного пространства от выбора базиса. Размерность конечномерного векторного пространства. Лемма о добавлении вектора к конечной линейной независимой системе.

Лекция 13 (5.12.2016). Эквивалентные условия, определяющие конечномерное векторное пространство размерности n. Дополнение до базиса произвольной линейно независимой системы векторов конечномерного векторного пространства. Размерность подпространства конечномерного векторного пространства. Фундаментальная система решений однородной системы линейных уравнений. Метод построения фундаментальной системы решений. Ранг системы векторов. Связь ранга системы векторов с размерностью её линейной оболочки. Ранг матрицы: столбцовый и строковый. Сохранение линейных зависимостей между столбцами матрицы при элементарных преобразованиях строк.

Лекция 14 (12.12.2016). Инвариантность столбцового и строкового рангов матрицы при элементарных преобразованиях строк и столбцов. Столбцовый и строковый ранги матрицы, имеющей улучшенный ступенчатый вид. Равенство столбцового и строкового рангов матрицы. Связь ранга квадратной матрицы с её определителем. Подматрицы. Связь рангов матрицы и её подматрицы. Миноры. Теорема о ранге матрицы. Теорема Кронекера-Капелли. Критерий существования единственного решения у совместной системы линейных уравнений в терминах ранга её матрицы коэффициентов. Критерий существования единственного решения у системы линейных уравнений с квадратной матрицей коэффициентов в терминах её определителя. Размерность пространства решений однородной системы линейных уравнений в терминах ранга её матрицы коэффициентов.

3-4 модули

Лекция 15 (19.12.2016). Сумма двух подпространств векторного пространства. Связь размерностей двух подпространств с размерностями их суммы и пересечения. Сумма нескольких подпространств векторного пространства. Линейно независимые подпространства, пять эквивалентных условий. Разложение векторного пространства в прямую сумму нескольких подпространств. Описание всех базисов конечномерного векторного пространства в терминах одного базиса и матриц координат. Матрица перехода от одного базиса конечномерного векторного пространства к другому.

Лекция 16 (16.01.2017). Формула преобразования координат вектора при замене базиса. Линейные отображения векторных пространств. Примеры. Изоморфизм векторных пространств. Отображение, обратное к изоморфизму. Изоморфные векторные пространства. Композиция двух линейных отображений, композиция двух изоморфизмов. Отношение изоморфности на множестве всех векторных пространств. Классы изоморфизма векторных пространств. Критерий изоморфности двух конечномерных векторных пространств.

Лекция 17 (23.01.2017). Задание линейного отображения путём задания образов векторов фиксированного базиса. Матрица линейного отображения. Примеры. Связь координат вектора и его образа при линейном отображении. Формула изменения матрицы линейного отображения между векторными пространствами V и W при замене их базисов. Операции сложения и умножения на скаляр на множестве всех линейных отображений между двумя векторными пространствами. Матрица суммы двух линейных отображений и произведения линейного отображения на скаляр. Изоморфизм между пространством Hom(V,W) и пространством (m x n)-матриц, где n = dim V, m = dim W. Матрица композиции двух линейных отображений.

Лекция 18 (30.01.2017). Ядро и образ линейного отображения; утверждение о том, что они являются подпространствами в соответствующих векторных пространствах. Критерий инъективности линейного отображения в терминах его ядра. Характеризация изоморфизмов в терминах их ядер и образов. Связь размерности образа линейного отображения с рангом его матрицы. Оценки на ранг произведения двух матриц. Свойство образов векторов, дополняющих базис ядра до базиса всего пространства. Теорема о связи размерностей ядра и образа линейного отображения. Приведение матрицы линейного отображения к диагональному виду с единицами и нулями на диагонали. Линейные функции на векторном пространстве. Примеры.

Лекция 19 (6.02.2017). Двойственное (сопряжённое) векторное пространство, его размерность в конечномерном случае. Двойственный базис. Утверждение о том, что всякий базис сопряжённого пространства двойствен некоторому базису исходного пространства. Утверждение о том, что всякое подпространство в F^n является множеством решений некоторой однородной системы линейных уравнений. Билинейные функции (формы) на векторном пространстве. Примеры. Матрица билинейной формы по отношению к фиксированному базису. Существование и единственность билинейной формы с заданной матрицей. Формула изменения матрицы билинейной формы при переходе к другому базису.

Лекция 20 (13.02.2017). Ранг билинейной формы. Симметричные билинейные формы. Критерий симметричности билинейной формы в терминах её матрицы в каком-либо базисе. Квадратичные формы. Соответствие между симметричными билинейными формами и квадратичными формами. Симметризация билинейной формы и поляризация квадратичной формы. Канонический вид квадратичной формы. Теорема о приведении квадратичной формы к каноническому виду. Метод Лагранжа.

Лекция 21 (20.02.2017). Угловые миноры матрицы квадратичной формы. Метод Якоби приведения квадратичной формы к каноническому виду. Нормальный вид квадратичной формы над полем R. Приведение квадратичной формы над R к нормальному виду. Положительный и отрицательный индексы инерции квадратичной формы над R. Закон инерции. Положительно определённые, отрицательно определённые, неотрицательно определённые, неположительно определённые, неопределённые квадратичные формы над R. Примеры.

Лекция 22 (27.02.2017). Следствие метода Якоби: вычисление отрицательного индекса инерции квадратичной формы над R. Критерий Сильвестра положительной определённости квадратичной формы. Критерий отрицательной определённости квадратичной формы. Евклидово пространство. Скалярное произведение. Длина вектора евклидова пространства. Неравенство Коши-Буняковского. Угол между ненулевыми векторами евклидова пространства. Матрица Грама системы векторов евклидова пространства. Определитель матрицы Грама: неотрицательность, критерий положительности. Ортогональное дополнение подмножества евклидова пространства. Размерность ортогонального дополнения подпространства, ортогональное дополнение к ортогональному дополнению подпространства. Разложение евклидова пространства в прямую сумму подпространства и его ортогонального дополнения. Ортогональная проекция вектора на подпространство, ортогональная составляющая вектора относительно подпространства.

Лекция 23 (6.03.2017). Явная формула для ортогональной проекции вектора на подпространство в R^n, заданное своим базисом. Ортогональные и ортонормированные системы векторов евклидова пространства, ортогональные и ортонормированные базисы. Теорема о существовании ортонормированного базиса. Описание всех ортонормированных базисов в терминах одного ортонормированного базиса и матриц перехода. Ортогональные матрицы и их свойства. Формула для ортогональной проекции вектора на подпространство в терминах его ортогонального базиса. Метод ортогонализации Грама-Шмидта. Теорема Пифагора в евклидовом пространстве.

Лекция 24 (13.03.2017). Расстояние между векторами евклидова пространства. Неравенство треугольника. Расстояние между двумя подмножествами евклидова пространства. Теорема о расстоянии от вектора до подпространства. Метод наименьших квадратов для несовместных систем линейных уравнений: постановка задачи и её решение. Единственность псевдорешения и явная формула для него в случае линейной независимости столбцов матрицы коэффициентов. Формула для расстояния от вектора до подпространства в терминах матриц Грама. k-мерный параллелепипед. Объём k-мерного параллелепипеда в евклидовом пространстве. Вычисление объёма k-мерного параллелепипеда при помощи определителя матрицы Грама задающих его векторов. Формула для объёма n-мерного параллелепипеда в n-мерном евклидовом пространстве в терминах координат задающих его векторов в ортонормированном базисе. Отношение одинаковой ориентированности на множестве базисов евклидова пространства.

Лекция 25 (20.03.2017). Ориентация в евклидовом пространстве. Ориентированный объём n-мерного параллелепипеда в n-мерном евклидовом пространстве. Трёхмерное евклидово пространство. Смешанное произведение векторов, его выражение в координатах, критерий компланарности трёх векторов. Векторное произведение, критерий коллинеарности двух векторов. Связь векторного произведения со смешанным произведением. Антикоммутативность и билинейность векторного произведения. Двойное векторное произведение, тождество Якоби. Выражение векторного произведения в координатах. Связь множества решений системы линейных уравнений с множеством решений соответствующей однородной системы.

Лекция 26 (5.04.2017). Линейные многообразия в R^n. Характеризация линейных многообразий как сдвигов подпространств. Критерий равенства двух линейных многообразий. Направляющее подпространство и размерность линейного многообразия. Понятия репера и аффинной системы координат на линейном многообразии. Теорема о плоскости, проходящей через любые k+1 точек в R^n, следствия для двух и трёх точек. Случаи взаимного расположения двух линейных многообразий: совпадают, одно содержится в другом, параллельны, скрещиваются. Прямые в R^2: различные способы задания, уравнение прямой, проходящей через две различные точки. Плоскости в R^3: различные способы задания, уравнение плоскости, проходящей через три точки, не лежащие на одной прямой. Прямые в R^3: различные способы задания, уравнение прямой, проходящей через две различные точки.

Лекция 27 (12.04.2017). Взаимное расположение двух плоскостей, двух прямых, прямой и плоскости, трёх плоскостей в R^3. Расстояние от точки до прямой, от точки до плоскости, между двумя скрещивающимися прямыми в R^3. Угол между двумя прямыми, между прямой и плоскостью, между двумя плоскостями. Линейные операторы (линейные преобразования). Матрица линейного оператора в фиксированном базисе. Следствия общих фактов о линейных отображениях: существование и единственность линейного оператора с данной матрицей в фиксированном базисе, связь координат вектора и его образа, формула изменения матрицы линейного оператора при замене базиса. Инвариантность определителя и следа матрицы линейного оператора относительно замены базиса. Подобные матрицы, отношение подобия на множестве квадратных матриц фиксированного порядка. Критерий обратимости линейного оператора в терминах его ядра, образа и определителя.

Лекция 28 (19.04.2017). Подпространства, инвариантные относительно линейного оператора. Примеры. Ограничение линейного оператора на инвариантное подпространство. Вид матрицы линейного оператора в базисе, часть которого порождает инвариантное подпространство. Собственные векторы, собственные значения и спектр линейного оператора. Примеры. Диагонализуемые линейные операторы. Критерий диагонализуемости линейного оператора в терминах существования базиса из собственных векторов. Собственное подпространство, отвечающее фиксированному собственному значению линейного оператора. Характеристический многочлен линейного оператора. Связь спектра линейного оператора с его характеристическим многочленом. Существование собственного вектора для линейного оператора в комплексном векторном пространстве.

Лекция 29 (26.04.2017). Алгебраическая и геометрическая кратности собственного значения линейного оператора, связь между ними. Линейная независимость собственных подпространств линейного оператора, отвечающих попарно различным собственным значениям. Диагонализуемость линейного оператора, у которого число корней характеристического многочлена равно размерности пространства. Критерий диагонализуемости линейного оператора в терминах его характеристического многочлена, а также алгебраической и геометрической кратностей его собственных значений. Существование одномерного или двумерного инвариантного подпространства у линейного оператора в действительном векторном пространстве.

Лекция 30 (10.05.2017). Билинейные функции, связанные с линейным оператором в евклидовом пространстве. Сопряжённый оператор, его существование и единственность. Самосопряжённые (симметрические) операторы. Самосопряжённость оператора ортогонального проектирования на подпространство. Инвариантность ортогонального дополнения к подпространству, инвариантному относительно самосопряжённого оператора. Существование собственного вектора у самосопряжённого оператора. Теорема о существовании у самосопряжённого оператора ортонормированного базиса из собственных векторов. Попарная ортогональность собственных подпространств самосопряжённого оператора. Приведение квадратичной формы в евклидовом пространстве к главным осям. Ортогональные линейные операторы, пять эквивалентных условий.

Лекция 31 (17.05.2017). Описание ортогональных операторов в одномерном и двумерном евклидовых пространствах. Инвариантность ортогонального дополнения к подпространству, инвариантному относительно ортогонального оператора. Теорема о каноническом виде ортогонального оператора. Классификация ортогональных операторов в трёхмерном евклидовом пространстве. Теорема о сингулярных базисах для линейного отображения евклидовых пространств. Сингулярное разложение матрицы и её сингулярные значения.

Лекция 32 (24.05.2017). Квадратичная форма, связанная с линейным отображением евклидовых пространств, и её свойства. Алгоритм нахождения сингулярного разложения матрицы. Усечённое сингулярное разложение матрицы. Представление матрицы в виде суммы компонент ранга 1, связанное с её сингулярным разложением. Фробениусова норма матрицы. Теорема о низкоранговом приближении (без доказательства).

Лекция 33 (31.05.2017). Движения евклидова пространства. Теорема о разложении движения в композицию ортогонального преобразования и параллельного переноса. Прямоугольные декартовы системы координат в евклидовом пространстве. Формулы замены координат при переходе от одной прямоугольной декартовой системы координат к другой. Квадрики (гиперповерхности 2-го порядка) в R^n. Теорема о каноническом виде уравнения квадрики в евклидовом пространстве. Метрическая классификация кривых 2-го порядка в R^2. Метрическая классификация поверхностей 2-го порядка в R^3 (начало).

Лекция 34 (7.06.2017). Метрическая классификация поверхностей 2-го порядка в R^3. Эллипс, гипербола, парабола: основные геометрические свойства (фокусы, директрисы, эксцентриситет, оптическое свойство). Теорема о жордановой нормальной форме линейного оператора (формулировка). Корневые подпространства линейного оператора. Теорема о разложении векторного пространства в прямую сумму корневых подпространств линейного оператора (формулировка).

Лекция 35 (14.06.2017). Схема доказательства теоремы о жордановой нормальной форме линейного оператора: сведение к случаю нильпотентного оператора, конструкция жорданова базиса для нильпотентного оператора и формулы для числа жордановых клеток заданного размера. Обзор теории полуторалинейных форм и эрмитовых пространств.

Листки с задачами

Правила сдачи и оценивания задач из листков:

• каждый пункт в листке считается отдельной задачей
• сдача задачи возможна только при наличии её решения в письменном виде
• результатом сдачи одной задачи может быть 0 или 1

Сроки сдачи листка 4:

других ограничений нет

Лабораторные работы

Для каждой лабораторной работы файл с условием представляет собой IPython ноутбук. Выполнять работу нужно прямо в нём . При этом, пожалуйста, не затирайте условий задач. Задание должно быть выполнено на языке Python.

Готовые лабораторные нужно сдавать в систему AnyTask . Инвайты для регистрации на курс:

163	164	165	166	167	168
erCwXX3	FjduzdE	078wQmj	d8Lfn5Y	5JCnwSR	HNJ3zEn

Краткое руководство по работе с системой прилагается .

Для того чтобы начать работать с IPython (Jupyter) ноутбуками, рекомендуется скачать Анаконду (теоретически можно и без неё справиться, но лучше не ищите себе сложностей).

Все вопросы по лабораторным работам можно задавать Станиславу Николаевичу Федотову. Пишите на почту: [email protected]

Внимание: тема письма должна начинаться с [ФКН - лабораторная N] , где N — номер лабораторной работы.

Без этого письмо с некоторой вероятностью может остаться без ответа.

Лабораторная работа 1 (2-й модуль)

Срок:

Лабораторная работа 2 (3-й модуль)

Лабораторная работа 3 (4-й модуль)

Файл с условием и остальные файлы лежат .

Контрольные работы

2-й модуль

На контрольной было разрешено иметь с собой только ручку, бумагу и электронное устройство с единственной функцией "калькулятор".

• Решение систем линейных уравнений
• Действия с матрицами
• Подстановки
• Определители 2-го и 3-го порядка
• Определители произвольного порядка: определение
• Вычисление определителей произвольного порядка

4-й модуль

Разрешения на контрольной: иметь с собой только ручку, бумагу и электронное устройство с единственной функцией "калькулятор".

Ниже приводится список задач, рекомендуемых к прорешиванию для подготовки к контрольной. Задачи в списке рассортированы по темам, номера с пометкой "П" даны по задачнику Проскурякова, номера с пометкой "К" — по задачнику Кострикина, номера с пометкой "КК" — по задачнику Ким–Крицкова.

• Сумма и пересечение двух подпространств векторного пространства: П 1317, 1318, 1320--1322; К 35.14, 35.15

• Линейные отображения и их матрицы: П 1434--1438, 1441--1444, 1445, 1446, 1449, 1450; К 39.15, 39.16

• Нахождение базиса ядра и базиса образа линейного отображения: К 39.5; задача 2(б) из ИДЗ-4

• Билинейные функции, квадратичные формы и их матрицы: К 37.6, 37.8, 37.10

• Приведение квадратичной формы к каноническому и нормальному виду: П 1175--1186; К 38.18(а--г)

• Исследование квадратичных форм на положительную определённость: П 1212--1216; К 38.11(а--г)

• Метод ортогонализации Грама-Шмидта: П 1357--1363; К 43.7(а--г), 43.15(а--в)

• Ортогональная проекция вектора на подпространство: П 1370--1372; К 43.19(а--в)

• Расстояние от точки до линейного многообразия: П 1374; К 43.21(а--г), 51.7

• Уравнения прямых и плоскостей в трёхмерном пространстве: КК 26.28--26.37, 26.39--26.47, 26.50, 27.34, 27.39--27.42, 31.1--31.3, 31.5--31.8, 31.21--31.25, 31.27--31.32

• Взаимное расположение прямых и/или плоскостей в трёхмерном пространстве: КК 27.29, 27.32, 27.38, 31.13--31.15, 31.18, 31.19

• Метрические задачи в трёхмерном пространстве: КК 32.28--32.31, 32.34, 32.35, 32.37, 32.38--32.40

• Изменение матрицы линейного оператора при переходе к другому базису: П 1452--1454; К 39.19--39.21

• Собственные векторы и собственные значения линейных операторов: П 1465--1474; К 40.15

• Диагонализуемость линейных операторов: П 1479--1483; К 40.16

Коллоквиумы

Формат проведения коллоквиумов

Этап 1. Студент вытягивает пять бумажек из списка определений/формулировок, ему даётся 10 минут на их написание, после чего один из принимающих проверяет результат. Если результат не выше 3 (из 5), то коллоквиум завершается с оценкой 0. Если результат 4, то студент переходит на этап 2 с несгораемой оценкой 1. Если результат 5, то студент переходит на этап 2 с несгораемой оценкой 2.

Этап 2. Студент вытягивает билет с двумя вопросами из списка вопросов на доказательство, ему даётся 40 минут на подготовку, после чего начинается разговор с принимающим (как правило, другим). По результатам разговора выставляется окончательная оценка.

2-й модуль

4-й модуль

Экзамен 2-й модуль

Задачи для подготовки к экзамену (рассортированы по темам, номера с пометкой "П" даны по задачнику Проскурякова, номера с пометкой "К" — по задачнику Кострикина):

• Системы линейных уравнений: П 82–89, 567–581, 689–704, 712–720, 724–732; К 8.1, 8.2, 8.4
• Действия с матрицами: П 788–798, 801, 805, 822–825, 836–845, 861–870, 937; К 17.1–17.4, 18.1, 18.3, 18.8–18.11
• Подстановки: П 125, 128, 155, 170, 176, 177, 178, 184; К 3.1–3.4, 3.6, 3.7
• Определители: П 1–12, 43–60, 188–206, 212–214, 224– 232, 236–240, 257–269, 279, 316; К 9.1, 9.2, 10.1–10.4, 11.1–11.4, 12.1, 12.2, 13.1
• Комплексные числа: К 20.1, 20.2, 20.4, 20.11, 21.1, 21.2, 22.7
• Векторные пространства, линейная зависимость, базис, подпространства: П 639–644, 665–669, 672–676, 679–681, 1285–1293, 1297–1304, 1308, 1310, 1311, 1824–1828; К 34.1–34.4, 35.1–35.3, 35.11
• Ранг матрицы: П 612, 613, 619–622, К 7.1, 7.2

Экзамен 4-й модуль

Формат проведения: письменная работа

Разрешения: иметь с собой ручку и электронное устройство с единственной функцией "калькулятор"

Запреты: иметь при себе средства связи (при обнаружении такового производится удаление с экзамена с выставлением оценки 0)

Элементарными преобразованиями матрицы называются следующие ее преобразования:

I. Перестановка двух столбцов (строк) матрицы.

II. Умножение всех элементов одного столбца (строки) матрицы на одно и то же число, отличное от нуля.

III. Прибавление к элементам одного столбца (строки) соответствующих элементов другого столбца (строки), умноженных на одно и то же число.

Матрица B , полученная из исходной матрицы A конечным числом элементарных преобразований, называется эквивалентной . Это обозначается A\sim B .

Элементарные преобразования применяются для упрощения матриц, что будет в дальнейшем использоваться для решения разных задач.

Покажем, как при помощи элементарных преобразований можно привести матрицу к ступенчатому виду (рис. 1.4). Здесь высота каждой "ступеньки" составляет одну строку, символом 1 (единицей) обозначены единичные элементы матрицы, символом * - обозначены элементы с произвольными значениями, остальные элементы матрицы нулевые. К ступенчатому виду можно привести любую матрицу, причем достаточно использовать только элементарные преобразования строк матрицы .

\begin{gathered}\left(\!\!\begin{array}{*{20}{c}} 0&\cdots&0&1&\ast&\ast&\cdots&\ast&\ast&\ast&\cdots&\ast&\ast&\ast&\cdots&\ast\\ 0&\cdots&0&0&1&\ast&\cdots&\ast&\ast&\ast&\cdots&\ast&\ast&\ast&\cdots&\ast\\ 0&\cdots&0&0&0&0&\cdots&0&1&\ast&\cdots&\ast&\ast&\ast&\cdots&\ast\\ \vdots&\ddots&\vdots&\vdots&\vdots&\vdots&\cdots&\vdots&\vdots&\cdots&\ddots&\vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ \vdots&\ddots&\vdots&\vdots&\vdots&\vdots&\cdots&\vdots&\vdots&\cdots&\ddots&\vdots&\ast&\ast&\cdots&\ast\\ 0&\cdots&0&0&0&0&\cdots&0&0&0&\cdots&0&1&\ast&\cdots&\ast\\ 0&\cdots&0&0&0&0&\cdots&0&0&0&\cdots&0&0&0&\cdots&0\\ \vdots&\ddots&\vdots&\vdots&\vdots&\vdots&\cdots&\vdots&\vdots&\cdots&\ddots&\vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ 0&\cdots&0&0&0&0&\cdots&0&0&0&\cdots&0&0&0&\cdots&0 \end{array}\!\!\right)\\ \mathsf{Ris.~1.4}\end{gathered}

Алгоритм приведения матрицы к ступенчатому виду

Чтобы привести матрицу к ступенчатому виду (рис. 1.4), нужно выполнить следующие действия.

1. В первом столбце выбрать элемент, отличный от нуля (ведущий элемент ). Строку с ведущим элементом (ведущая строка ), если она не первая, переставить на место первой строки (преобразование I типа). Если в первом столбце нет ведущего (все элементы равны нулю), то исключаем этот столбец, и продолжаем поиск ведущего элемента в оставшейся части матрицы. Преобразования заканчиваются, если исключены все столбцы или в оставшейся части матрицы все элементы нулевые.

2. Разделить все элементы ведущей строки на ведущий элемент (преобразование II типа). Если ведущая строка последняя, то на этом преобразования следует закончить.

3. К каждой строке, расположенной ниже ведущей, прибавить ведущую строку, умноженную соответственно на такое число, чтобы элементы, стоящие под ведущим оказались равными нулю (преобразование III типа).

4. Исключив из рассмотрения строку и столбец, на пересечении которых стоит ведущий элемент, перейти к пункту 1, в котором все описанные действия применяются к оставшейся части матрицы.

Пример 1.29. Привести к ступенчатому виду матрицы

A=\begin{pmatrix}3&9\\2&4\end{pmatrix}\!,\quad B=\begin{pmatrix}0&2&3\\2&4&6\end{pmatrix}\!,\quad C=\begin{pmatrix}2&4\\3&5\\6&7\end{pmatrix}\!.

Решение. В первом столбце матрицы A выбираем ведущий элемент a_{11}=3\ne0 . Делим все элементы первой строки на a_{11}=3 (или, что то же 1 1. самое, умножаем на \tfrac{1}{a_{11}}=\tfrac{1}{3} ):

A=\begin{pmatrix}\boxed{3}&9\\2&4\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}1&3\\2&4\end{pmatrix}\!.

Прибавим ко второй строке первую, умноженную на (-2):

\begin{pmatrix}1&3\\2&4\end{pmatrix}\sim \begin{pmatrix}1&3\\0&-2\end{pmatrix}\!.

Первый столбец и первую строку исключаем из рассмотрения. В оставшейся части матрицы имеется один элемент (-2), который выбираем в качестве ведущего. Разделив последнюю строку на ведущий элемент, получаем матрицу ступенчатого вида

\begin{pmatrix}1&3\\0&\boxed{-2}\end{pmatrix}\sim \begin{pmatrix}1&3\\0&1\end{pmatrix}\!.

Преобразования закончены, так как ведущая строка последняя. Заметим, что получившаяся матрица является верхней треугольной.

В первом столбце матрицы B выбираем ведущий элемент b_{21}=2\ne0 . Меняем местами строки, ставя ведущую строку на место первой, и делим элементы ведущей строки на ведущий элемент 2:

B=\begin{pmatrix}0&2&3\\2&4&6\end{pmatrix}\sim \begin{pmatrix}\boxed{2}&4&6\\0&2&3\end{pmatrix}\sim \begin{pmatrix}1&2&3\\0&2&3\end{pmatrix}\!.

Пункт 3 алгоритма делать не надо, так как под ведущим элементом стоит нуль. Исключаем из рассмотрения первую строку и первый столбец. В оставшейся части ведущий элемент - число 2. Разделив ведущую строку (вторую) на 2, получаем ступенчатый вид:

B\sim \begin{pmatrix}1&2&3\\0&\boxed{2}&3\end{pmatrix}\sim \begin{pmatrix}1&2&3\\0&1&1,\!5\end{pmatrix}\!.

Преобразования закончены, так как ведущая строка последняя.

В первом столбце матрицы C выбираем ведущий элемент c_{11}=2\ne0 . Первая строка - ведущая. Делим ее элементы на c_{11}=2 . Получаем

C= \begin{pmatrix}\boxed{2}&4\\3&5\\6&7\end{pmatrix}\sim \begin{pmatrix}1&2\\3&5\\6&7\end{pmatrix}\!.

Ко второй и третьей строкам прибавим первую, умноженную на (-3) и на (-6) соответственно:

C\sim \begin{pmatrix}\boxed{1}&2\\3&5\\6&7\end{pmatrix}\sim \begin{pmatrix}1&2\\0&-1\\0&-5\end{pmatrix}\!.

Обратим внимание на то, что полученная матрица еще не является матрицей ступенчатого вида, так как вторую ступеньку образуют две строки (2-я и 3-я) матрицы. Исключив 1-ю строку и 1-й столбец, ищем в оставшейся части ведущий элемент. Это элемент (-1). Делим вторую строку на (-1), а затем к третьей строке прибавляем ведущую (вторую), умноженную на 5:

C\sim \begin{pmatrix}1&2\\0&\boxed{-1}\\0&-5\end{pmatrix}\sim \begin{pmatrix}1&2\\0&1\\0&-5\end{pmatrix}\sim \begin{pmatrix}1&2\\0&1\\0&0\end{pmatrix}\!.

Исключим из рассмотрения вторую строку и второй столбец. Поскольку исключены все столбцы, дальнейшие преобразования невозможны. Полученный вид - ступенчатый.

Замечания 1.8.

1. Говорят, что матрица имеет ступенчатый вид также и в случае, когда на месте ведущих элементов (обозначенных на рис. 1.4 единицей) стоят любые отличные от нуля числа.

2. Считается, что нулевая матрица имеет ступенчатый вид.

Пример 1.30. Привести к ступенчатому виду матрицу

A=\begin{pmatrix}0&1&1&1&1&1\\0&1&1&2&3&2\\0&2&2&1&2&1\\0&4&4&4&6&4\end{pmatrix}

Решение. Первый столбец матрицы A - нулевой. Исключаем его из рассмотрения и исследуем оставшуюся часть (последние 5 столбцов):

A=\begin{pmatrix}0\!&\vline\!\!&1&1&1&1&1\\0\!\!&\vline\!\!&1&1&2&3&2\\0\!\!&\vline\!\!&2&2&1&2&1\\0\!\!&\vline\!\!&4&4&4&6&4\end{pmatrix}

Берем в качестве ведущего элемент a_{12}=1 . Прибавляем ко второй строке первую, умноженную на (-1); к третьей строке - первую, умноженную на (-2); к четвертой строке - первую, умноженную на (-4). Тем самым "обнуляются" все элементы второго столбца, расположенные ниже ведущего элемента:

A\sim \begin{pmatrix}0&1&1&1&1&1\\ 0&0&0&1&2&1\\ 0&0&0&-1&0&-1\\ 0&0&0&0&2&0\end{pmatrix}\!.

Полученная матрица не имеет ступенчатого вида, так как одна из ступенек имеет высоту в три строки. Продолжаем преобразования. Первую строку и второй столбец исключаем из рассмотрения. Поскольку первый столбец в оставшейся части матрицы нулевой, исключаем его. Теперь оставшаяся часть матрицы - это матрица (размеров 3\times3 ), образованная элементами, расположенными в последних трех строках и трех столбцах полученной матрицы. В качестве ведущего элемента выбираем a_{24}=1 . К третьей строке прибавляем вторую. Получаем матрицу

A\sim \begin{pmatrix}0&1&1&1&1&1\\ 0&0&0&1&2&1\\ 0&0&0&0&2&0\\ 0&0&0&0&2&0\end{pmatrix}\!.

Вторую строку и четвертый столбец исключаем из рассмотрения. Берем элемент a_{35}=2 в качестве ведущего. Делим третью строку на число 2 (умножаем на 0,5):

A\sim \begin{pmatrix}0&1&1&1&1&1\\ 0&0&0&1&2&1\\ 0&0&0&0&1&0\\ 0&0&0&0&2&0\end{pmatrix}\!.

К четвертой строке прибавляем третью, умноженную на (-2):

A\sim \begin{pmatrix}0&1&1&1&1&1\\ 0&0&0&1&2&1\\ 0&0&0&0&2&0\\ 0&0&0&0&0&0\end{pmatrix}\!.

Третью строку и четвертый столбец исключаем из рассмотрения. Поскольку в оставшейся части матрицы все элементы (один) нулевые, преобразования закончены. Матрица приведена к ступенчатому виду (см. рис. 1.4).

Замечание 1.9. Продолжая выполнять элементарные преобразования над строками матрицы, можно упростить ступенчатый вид, а именно привести матрицу к упрощенному виду (рис. 1.5).

\begin{gathered}\left(\!\!\begin{array}{*{20}{c}} 0&\cdots&0&1&0&\ast&\cdots&\ast&0&\ast&\cdots&\ast&0&\ast&\cdots&\ast\\ 0&\cdots&0&0&1&\ast&\cdots&\ast&0&\ast&\cdots&\ast&0&\ast&\cdots&\ast\\ 0&\cdots&0&0&0&0&\cdots&0&1&\ast&\cdots&\ast&0&\ast&\cdots&\ast\\ \vdots&\ddots&\vdots&\vdots&\vdots&\vdots&\cdots&\vdots&\vdots&\cdots&\ddots&\vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ \vdots&\ddots&\vdots&\vdots&\vdots&\vdots&\cdots&\vdots&\vdots&\cdots&\ddots&\vdots&0&\ast&\cdots&\ast\\ 0&\cdots&0&0&0&0&\cdots&0&0&0&\cdots&0&1&\ast&\cdots&\ast\\ 0&\cdots&0&0&0&0&\cdots&0&0&0&\cdots&0&0&0&\cdots&0\\ \vdots&\ddots&\vdots&\vdots&\vdots&\vdots&\cdots&\vdots&\vdots&\cdots&\ddots&\vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ 0&\cdots&0&0&0&0&\cdots&0&0&0&\cdots&0&0&0&\cdots&0 \end{array}\!\!\right)\\ \mathsf{Ris.~1.5}\end{gathered}

Здесь символом 1 обозначены элементы матрицы, равные единице, символом * - обозначены элементы с произвольными значениями, остальные элементы матрицы нулевые. Заметим, что в каждом столбце с единицей остальные элементы равны нулю.

Пример 1.31. Привести к упрощенному виду матрицу

A=\begin{pmatrix}0&1&1&1&1&1\\ 0&0&0&1&2&1\\ 0&0&0&0&1&0\\ 0&0&0&0&0&0\end{pmatrix}\!.

Решение. Матрица имеет ступенчатый вид. Прибавим к первой строке третью, умноженную на (-1), а ко второй строке третью, умноженную на (-2):

A\sim\begin{pmatrix}0&1&1&1&0&1\\ 0&0&0&1&0&1\\ 0&0&0&0&1&0\\ 0&0&0&0&0&0\end{pmatrix}\!.

Теперь к первой строке прибавим вторую, умноженную на (-1). Получим матрицу упрощенного вида (см. рис. 1.5):

A\sim\begin{pmatrix}0&1&1&0&0&0\\ 0&0&0&1&0&1\\ 0&0&0&0&1&0\\ 0&0&0&0&0&0\end{pmatrix}\!.

Замечание 1.10. При помощи элементарных преобразований (строк и столбцов) любую матрицу можно привести к простейшему виду (рис. 1.6).

\begin{gathered} \begin{pmatrix} 1&\cdots&0&0&\cdots&0\\ \vdots&\ddots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ 0&\cdots&1&0&\cdots&0\\ 0&\cdots&0&0&\cdots&0\\ \vdots&\ddots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ 0&\cdots&0&0&\cdots&0 \end{pmatrix}_{m\times n}=\begin{pmatrix}E_r&O\\O&O\end{pmatrix}\!.\\ \mathsf{Ris.~~1.6}\end{gathered}

Левый верхний угол матрицы представляет собой единичную матрицу порядка r~(0\leqslant r\leqslant\min\{m,n\}) , а остальные элементы равны нулю. Считается, что нулевая матрица уже имеет простейший вид (при r=0 ).

Пример 1.32. Привести матрицу A=\begin{pmatrix}1&2&3\\ 2&4&5\end{pmatrix} к простейшему виду.

Решение. В качестве ведущего элемента возьмем a_{11}=1 . Ко второй строке прибавим первую, умноженную на (-2):

A\sim\begin{pmatrix}1&2&3\\ 0&0&-1\end{pmatrix}\!.

Ко второму столбцу прибавим первый, умноженный на (-2), а к третьему -первый, умноженный на (-3):

A\sim\begin{pmatrix}1&0&0\\ 0&0&-1\end{pmatrix}\!.

Умножим все элементы последнего столбца на (-1) и переставим его на место второго:

A\sim\begin{pmatrix}1&0&0\\ 0&1&0\end{pmatrix}\!.

Таким образом, исходная матрица A при помощи элементарных преобразований приведена к простейшему виду (см. рис. 1.6).

Свойства элементарных преобразований матриц

Подчеркнем следующие свойства элементарных преобразований матриц .

Теорема 1.1 о приведении матрицы к ступенчатому виду . Любую матрицу при помощи элементарных преобразований ее строк можно привести к ступенчатому (или даже упрощенному) виду.

Следствие (о приведении матрицы к простейшему виду). Любую матрицу при помощи элементарных преобразований ее строк и столбцов можно привести к простейшему виду.

Замечания 1.11

1. Преобразования, обратные к элементарным, являются элементарными . В самом деле, если в матрице поменяли местами два столбца (преобразование I типа), то исходную матрицу можно получить, еще раз поменяв местами эти столбцы. Если столбец матрицы умножили на число \lambda\ne0 (преобразование II типа), то для получения исходной матрицы надо этот столбец умножить на обратное число \tfrac{1}{\lambda}\ne0 . Если к i-му столбцу матрицы прибавили j-й столбец, умноженный на число \lambda , то для получения исходной матрицы достаточно к i-му столбцу матрицы прибавить j-й столбец, умноженный на противоположное число (-\lambda ).

2. В теореме 1.1 говорится о приведении матрицы к ступенчатому (упрощенному) виду при помощи элементарных преобразований только ее строк, не используя преобразования ее столбцов. Чтобы привести произвольную матрицу к простейшему виду (следствие теоремы 1.1), нужно использовать преобразования и строк, и столбцов матрицы.

3. Рассмотрим следующую модификацию пункта 3 метода Гаусса. Ведущий элемент, выбранный в п. 1 метода Гаусса, определяет ведущую строку и ведущий столбец матрицы (он находится на их пересечении). Делим все элементы ведущей строки на ведущий элемент (см. п.2 метода Гаусса). Прибавляя ведущую строку, умноженную на соответствующие числа, к остальным строкам матрицы (аналогично п.3 метода Гаусса), делаем равными нулю все элементы ведущего столбца, за исключением ведущего элемента. Затем, прибавляя полученный ведущий столбец, умноженный на соответствующие числа, к остальным столбцам матрицы, делаем равными нулю все элементы ведущей строки, за исключением ведущего элемента. При этом получаем ведущие строку и столбец, все элементы которых равны нулю, за исключением ведущего элемента, равного единице.

Модифицированный таким образом метод Гаусса называется методом Гаусса-Жордана . Его применение позволяет сразу получить простейший вид матрицы, минуя ее ступенчатый вид.

Лекция 11. Единственность главного ступенчатого вида. Совместность и решения систем

1. Единственность главного ступенчатого вида

Теперь докажем важную теорему о единственности главного ступенчатого вида.

Теорема 1. Пусть B и C главные ступенчатые матрицы, элементарными преобразованиями полученные из некоторой матрицы A. Тогда B= C.

Доказательство. Будем рассматривать матрицуA , как матрицуоднородной системыS . Однородная системаS 1 , отвечающая матрицеB , равносильна однородной системеS , а однородная системаS 2 , отвечающей матрицеC , также равносильнаS . Поэтому системыS 1 иS 2 равносильны. Предположим, чтоB =6 C , тогда найдется такоеi , что столбцы матрицыB с номерами 1; : : : ; i ¡ 1 равны соответствующим столбцам матрицыC , а i -й столбецB не равен i -му столбцуC .

Предположим сначала, что i = 1, т.е. у главных ступенчатых матрицB иC первые столбцы различны. Однако первый столбец главной ступенчатой матрицы или нулевой, или в нем на первом месте стоит 1, а остальные элементы нули. Так как первые столбцы у матрицB иC различны, то (например) уC первый столбец нулевой, а уB первый элемент первого столбца единица (а остальные элементы нули). Но тогда системаS 2 имеет решениеx 1 = 1,x 2 =x 3 =: : : =x n = 0, котороене является решением системыS 1 , что противоречит равносильности этих систем.

Пусть теперь i > 1. Рассмотрим три случая.

² i -й столбец главный и вB и вC . Тогда он имеет один и тот же номерk (как главный столбец) и вB и вC . Но у k -го главного столбца наk -м месте стоит единица, а остальные элементы нули. Значит эти столбцы вB и вC равны. Противоречие.

² i -й столбец главный вB и не главный вC . Пусть этот столбец, как главный столбец в матрицеB , имеет номерk . Тогда в матрицеC нашему столбцу предшествуетk ¡ 1 главный столбец.

Следовательно, в i -м столбце матрицыC может быть лишьk ¡ 1 ненулевой элементa 1 ; : : : ; a k¡ 1 . Пусть первыеk ¡ 1 главных столбцов имеют вB (и вC ) номераi 1 ; : : : ; i k¡ 1 . Рассмотрим решение системыS 2 :

xi 1 = ¡a1 ; xi 2 = ¡a2 ; : : : ; xi k¡ 1 = ¡ak¡ 1 ; xi = 1 ;

а неизвестные, с номерами отличными от i 1 ; : : : ; i k¡ 1 ; i , равны нулю. Тогда это решениене является решением k -го уравнения системыS 1 . Противоречие.

² i -й столбец не главный и вB и вC . Пустьi 1 ; : : : ; i k номера главных столбцов слева от i -го, и пусть элементы i -го столбца равны (¯ 1 ; : : : ; ¯ k ; 0; : : : ) в матрицеB и (° 1 ; : : : ; ° k ; 0: : : ) в матрицеC . Рассмотрим решение системыS 1 :

xi 1 = ¡¯1 ; : : : ; xi k = ¡¯k ; xi = 1 ;

а остальные неизвестные равны нулю. Пусть 1 6 j 6k . Подставим это решение в j -е уравнение системыS 2 . В этом уравнении коэффициенты при всех главных неизвестных, кромеx i j , равны нулю, коэффициент приx i j равен 1, а коэффициент приx i равен° j . Подстановка дает равенство¡¯ j +° j = 0. Таким образом, i -е столбцы вB иC равны. Противоречие.

Теорема доказана.

2. Совместность системы и число решений

Определение 1. Приведем матрицу системы к главному ступенчатому виду. Неизвестные, отвечающие главным столбцам, называютсяглавными неизвестными . Остальные неизвестные (если они есть) называютсясвободными неизвестными .

Теорема 2. Если в матрице неоднородной системы (приведенной к главному ступенчатому виду) последний столбец главный, то система несовместна. В противном случае система совместна. Если система совместна и каждая неизвестная главная, то система имеет единственное решение. В противном случае система имеет бесконечно много решений.

Доказательство. Если последний столбец главной ступенчатой матрицы главный, то строка, в которой стоит соответствующий главный элемент имеет вид 0; : : : ; 0; 1. Этой строке отвечает уравнение (преобразованной) системы 0¢ x 1 +¢ ¢ ¢ + 0¢ x n = 1. То-есть система не имеет решений.

Пусть теперь система либо однородна, либо неоднородна, но последний столбец главной ступенчатой матрицы не является главным. Имеется две возможности: либо все неизвестные главные, либо есть свободные неизвестные. В первом случае главный ступенчатый вид матрицы системы таков:

		¢ ¢¢ ¢¢ ¢		b 21					¢ ¢¢ ¢¢ ¢
B .. ... . ...			.. .	.. .			B .. ... . ...
B 0 0							B 0 0

т.е. система имеет единственное решение x 1 =b 1 ,x 2 =b 2 ,...,x n =b n (илиx 1 =¢ ¢ ¢ =x n = 0).

Пусть теперь система имеет свободные неизвестные. Приведем матрицу системы к главному ступенчатому виду B . Рассмотрим систему с матрицейB и перенесем свободные неизвестные в правую часть системы. Тогда система будет иметь следующий вид:

		c 1+ свободные неизвестные
		c 2+ свободные неизвестные
		c r+ свободные неизвестные

Здесь r число ненулевых строк матрицыB ,i 1 ; : : : ; i r номера главных столбцов, аc 1 ; : : : ; c r элементы последнего столбца матрицыB (если система неоднородна).

Теперь, выбрав значения свободных неизвестных, мы найдем и значения главных неизвестных, т.е. построим решение системы. Любое решение системы может быть получено выбором значений свободных неизвестных и каждый выбор таких значений дает решение системы. Так как имеется бесконечное количество способов задать значения свободных неизвестных, то, тем самым, система имеет бесконечное количество решений. Обратите внимание, что доказана совместность неоднородной системы, если последний столбец не главный. ¤

3. Формула общего решения

Итак, либо система не имеет решений, либо система имеет ровно одно решение, либо она имеет их бесконечно много. Как записать решения системы в последнем случае. Есть стандартный способ сделать это.

Сначала мы (используя главную ступенчатую матрицу) выразим главные неизвестные через свободные.

Пример. Матрица:

				x 2+ 2 x 3 3+			X 5 5
Главные неизвестные,	выраженные через свободные:
				x1 = 1 ¡ x3 ¡2 x5
				x2 = 2 ¡2 x3 ¡ x5
				x4 = 3 ¡ x5
				0x .. . 1
				Bx n C

вместо главных неизвестных напишем их выражения через свободные.

Продолжение примера.

0x 2

0 2¡ 2x 3

¡ x5 1

1 ¡ x 3

¡ x5

Bx 4 C

Теперь представим этот столбец в виде суммы столбцов:

0 x 1 1 0 1 1 0 ¡ 2 1 0 3 1 0 ¡ 2 1 B B x 2 C C B B 0 C C B B 1 C C B B 0 C C B B 0 C C B B x 3 C C = B B 0 C C + x 2 B B 0 C C + x 3 B B 1 C C + x 5 B B 0 C C : @ x 4 A @ ¡ 1 A @ 0 A @ 0 A @ 1 A

x 5 0 0 0 1

Продолжение примера.

0x 2 1

0 2¡ 2x 3

¡ x5

0¡ 2 1

0¡ 1 1

1 ¡ x3

¡ x5

Bx 4 C

C B3 C

Это и есть стандартная запись общего решения системы в случае бесконечного числа решений.

Такую форму записи общего решения системы мы будем называть векторной формой . Нетрудно видеть, что векторную форму можно строить прямо по главной ступенчатой матрице.

Алгоритм построения векторной формы. Рассмотрим совместную систему и приведем ее матрицу к главному ступенчатому виду A . Пусть главные столбцы (главные неизвестные) имеют номераi 1 ; : : : ; i r , а свободные неизвестные имеют номераj 1 ; : : : ; j s . И те и другие номера идут в порядке возрастания иr +s =n , гдеn количество неизвестных. В каждом столбце позиции с номерамиi 1 ; i 2 ; : : : мы будем называть главными позициями, а позиции с номерамиj 1 ; j 2 ; : : : свободными позициями. Нулевые строки матрицыA (если они есть) мы удалим.

Столбец неизвестных есть следующая сумма столбцов:

² столбец свободных членов, в котором на свободных позициях стоят нули, а на главных позициях расставлены элементы последнего столбца матрицы A в порядке возрастания номеров (если система однородна, то этот столбец состоит из одних нулей, и мы его исключаем из рассмотрения);

² второе слагаемое это столбец, умноженный на x j 1 , в котором на j 1 -м месте стоит 1, в остальных свободных позициях находятся нули, а в главных позициях размещены элементы j 1 -го столбцаA с обратным знаком в порядке возрастания номеров;

² третье слагаемое это столбец, умноженный на x j 2 , в котором на j 2 -м месте стоит 1, в остальных свободных позициях стоят нули, а в главных позициях размещены элементы j 2 -го столбцаA с обратным знаком в порядке возрастания номеров;

Пример. Пусть матрица неоднородной системы приведена к главному ступенчатому виду

½ x 4

0 ¢ ¢ x 2

0 ¢ ¢ x 3

1 ¢ x5

2 x 2

3 x 3

2 ¢ x5

Здесь x 1 иx 4 главные неизвестные,x 2 ,x 3 иx 5 свободные неизвестные. Главные позиции это первая и четвертая, свободные позиции это вторая третья и пятая. Решение в векторной форме записывается так:

Определение 2. Столбец свободных членов в векторной записи решения системы (в случае неоднородной системы) мы будем называть частным решением. Остальные столбцы мы будем называть базисными столбцами.

Замечание. Частное решение в самом деле является решением системы при нулевых значениях свободных неизвестных. Базисные столбцыне являются решениями неоднородной системы, ноявляются решениями, если система однородна.