Силы, действующие на любую точку механической системы, делятся на внутренние и внешние.

Fi – внутренняя сила

Fe – внешняя сила

Внутренними называются силы, с которыми точки, входящие в систему, действуют друг на друга.

Внешними называются силы, которые прикладываются к точкам извне, то есть от других точек или тел, не входящих в систему. Разделение сил на внутренние и внешние условное.

mg – внешняя сила

Fтр – внутренняя сила

Механическая система. Силы внешние и внутренние.

Механической системой материальных точек или тел называется такая их совокупность, в которой положение или движение каждой точки (или тела) зависит от положения и движения всех остальных.

Материальное абсолютно твердое тело мы также будем рассматривать как систему материальных точек, образующих это тело и связанных между собой так, что расстояния между ними не изменяются, все время остаются постоянными.

Классическим примером механической системы является солнечная система, в которой все тела связаны силами взаимного притяжения. Другим примером механической системы может служить любая машина или механизм, в которых все тела связаны шарнирами, стержнями, тросами, ремнями и т.п. (т.е. различными геометрическими связями). В этом случае на тела системы действуют силы взаимного давления или натяжения, передаваемые через связи.

Совокупность тел, между которыми нет никаких сил взаимодействия (например, группа летящих в воздухе самолетов), механическую систему не образует.

В соответствии со сказанным, силы, действующие на точки или тела системы, можно разделить на внешние и внутренние.

Внешними называются силы, действующие на точки системы со стороны точек или тел, не входящих в состав данной системы.

Внутренними называются силы, действующие на точки системы со стороны других точек или тел этой же системы. Будем обозначать внешние силы символом - , а внутренние - .

Как внешние, так и внутренние силы могут быть в свою очередь или активными, или реакциями связей.

Реакции связей или просто – реакции, это силы которые ограничивают движение точек системы (их координаты, скорость и др.). В статике это были силы заменяющие связи. В динамике для них вводится более общее определение.

Активными или задаваемыми силами называются все остальные силы, все кроме реакций.

Необходимость этой классификации сил выяснится в следующих главах.

Разделение сил на внешние и внутренние является условным и зависит от того, движение какой системы тел мы рассматриваем. Например, если рассматривать движение всей солнечной системы в целом, то сила притяжения Земли к Солнцу будет внутренней; при изучении же движения Земли по её орбите вокруг Солнца та же сила будет рассматриваться как внешняя.

Внутренние силы обладают следующими свойствами:

1. Геометрическая сумма (главный вектор) всех внутренних силF12 и F21 системы равняется нулю. В самом деле, по третьему закону динамики любые две точки системы (рис.31) действуют друг на друга с равными по модулю и противоположно направленными силами и, сумма которых равна нулю. Так как аналогичный результат имеет место для любой пары точек системы, то

2. Сумма моментов (главный момент) всех внутренних сил системы относительно любого центра или оси равняется нулю. Действительно, если взять произвольный центр О, то из рис.18 видно, что . Аналогичный результат получится при вычислении моментов относительно оси. Следовательно, и для всей системы будет:

Из доказанных свойств не следует однако, что внутренние силы взаимно уравновешиваются и не влияют на движение системы, так как эти силы приложены к разным материальным точкам или телам и могут вызывать взаимные перемещения этих точек или тел. Уравновешенными внутренние силы будут тогда, когда рассматриваемая система представляет собою абсолютно твердое тело.

30Теорема о движении центра масс.

Масса системы равняется алгебраической сумме масс всех точек или тел системыВ однородном поле тяжести, для которого, вес любой частицы тела пропорционален ее массе. Поэтому распределение масс в теле можно определить по положению его центра тяжести – геометрической точки С, координаты которой называют центром масс или центром инерции механической системы

Теорема о движении центра масс механической системы : центр масс механической системы движется как материальная точка, масса которой равняется массе системы, и к которой приложены все внешние силы, действующие на систему

Выводы:

Механическую систему или твердое тело можно рассматривать как материальную точку в зависимости от характера ее движения, а не от ее размеров.

Внутренние силы не учитываются теоремой о движении центра масс.

Теорема о движении центра масс не характеризует вращательное движение механической системы, а только поступательное

Закон о сохранении движения центра масс системы:

1. Если сумма внешних сил (главный вектор) постоянно равен нулю, то центр масс механической системы находится в покое или движется равномерно и прямолинейно.

2. Если сумма проекций всех внешних сил на какую-нибудь ось равняется нулю, то проекция скорости центра масс системы на эту же ось величина постоянная.

Уравнение и выражает теорему о движении центра масс системы : произведение массы системы на ускорение ее центра масс равно геометрической сумме всех действующих на систему внешних сил. Сравнивая с уравнением движения материальной точки, получаем другое выражение теоремы: центр масс системы движется как материальная точка, масса которой равна массе всей системы и к которой приложены все внешние силы, действующие на систему.

Если выражение (2) поместить в (3) , с учётом того что, получим:

(4’) – выражает теорему о движении центра масс системы: центр масс системы движется как материальная точка, на которую действуют все силы системы.

Выводы:

1. Внутренние силы не оказывают влияния на движение центра масс системы.

2. Если , движение центра масс системы происходит с постоянной скоростью.

3. , то движение центра масс системы в проекции на ось происходит с постоянной скоростью.

Эти уравнения представляют собою дифференциальные уравнения движения центра масс в проекциях на оси декартовой системы координат.

Значение доказанной теоремы состоит в следующем.

1) Теорема дает обоснование методам динамики точки. Из уравнений видно, что решения, которые мы получаем, рассматривая данное тело как материальную точку, определяют закон движения центра масс этого тела, т.е. имеют вполне конкретный смысл.

В частности, если тело движется поступательно, то его движение полностью определяется движением центра масс. Таким образом, поступательно движущееся тело можно всегда рассматривать как материальную точку с массой, равной массе тела. В остальных случаях тело можно рассматривать как материальную точку лишь тогда, когда практически для определения положения тела достаточно знать положение его центра масс.

2) Теорема позволяет при определении закона движения центра масс любой системы исключать из рассмотрения все наперед неизвестные внутренние силы. В этом состоит ее практическая ценность.

Так движение автомобиля по горизонтальной плоскости может происходить только под действием внешних сил, сил трения, действующих на колеса со стороны дороги. И торможение автомобиля тоже возможно только этими силами, а не трением между тормозными колодками и тормозным барабаном. Если дорога гладкая, то как бы не затормаживали колеса, они будут скользить и не остановят автомобиль.

Или после взрыва летящего снаряда (под действием внутренних сил) части, осколки его, разлетятся так, что центр масс их будет двигаться по прежней траектории.

Теоремой о движении центра масс механической системы следует пользоваться для решения задач механики, в которых требуется:

По силам, приложенным к механической системе (чаще всего к твердому телу), определить закон движения центра масс;

По заданному закону движения тел, входящих в механическую систему, найти реакции внешних связей;

По заданному взаимному движению тел, входящих в механическую систему, определить закон движения этих тел относительно некоторой неподвижной системы отсчета.

С помощью этой теоремы можно составить одно из уравнений движения механической системы с несколькими степенями свободы.

При решении задач часто используются следствия из теоремы о движении центра масс механической системы.

Следствие 1. Если главный вектор внешних сил, приложенных к механической системе, равен нулю, то центр масс системы находится в покое или движется равномерно и прямолинейно. Так как ускорение центра масс равно нулю, .

Следствие 2. Если проекция главного вектора внешних сил на какую-нибудь ось равна нулю, то центр масс системы или не изменяет своего положения относительно данной оси, или движется относительно нее равномерно.

Например, если на тело начнут действовать две силы, образующие пару сил (рис.38), то центр масс С его будет двигаться по прежней траектории. А само тело будет вращаться вокруг центра масс. И неважно, где приложена пара сил.

Деформация, прочность и жесткость. Сопротивление материалов представляет собой часть механики, в которой рассматриваются вопросы расчета элементов конструкций на прочность, жесткость и устойчивость.

Сопротивление материалов опирается на знания теоретической механики. Но если объектом теоретической механики является абсолютно твердое тело, то в сопротивлении материалов рассматриваются деформируемые твердые тела.

На практике реальные части машин и сооружений подвергаются воздействию разного рода сил. Под действием этих сил происходит деформация тел, т.е. изменение взаимного расположения частиц материала. Если силы достаточно велики, возможно разрушение тела.

Способность тела воспринимать нагрузки без разрушения и больших деформаций называют соответственно прочностью и жесткостью.

Некоторые состояния равновесия тел и конструкций оказываются неустойчивыми, т.е. такими, при которых незначительные механические воздействия, как правило, случайного характера, могут привести к существенным отклонениям от этих состояний. Если же отклонения также невелики, то такие состояния равновесия называют устойчивыми.

Внешние силы. К внешним силам, действующим на конструкцию, относятся активные силы (нагрузки) и реакции внешних связей. Различают несколько видов нагрузок.

Сосредоточенная сила, приложенная в точке. Ее вводят вместо реальных сил, действующих на небольшой участок поверхности элемента конструкции, размерами которого можно пренебречь.

Распределенные силы. Например, силы давления жидкости на дно сосуда относятся к распределенным по поверхности нагрузкам и измеряются в единицах а силы веса - к нагрузке, распределенной по объему и измеряемой в . В ряде случаев вводят нагрузку, распределенную по линии, интенсивность которой измеряется в

Одним из вариантов нагрузок является сосредоточенный момент (пара сил).

Внутренние силы в стержне. Наиболее распространенным элементом конструкций является стержень, поэтому в сопротивлении материалов ему уделяют главное внимание.

Продольная ось и поперечное сечение - основные геометрические элементы стержня. Принимается, что поперечные сечения стержня

перпендикулярны продольной оси, а продольная ось проходит через центры тяжести поперечных сечений.

Внутренними силами стержня называют силы взаимодействия между его отдельными частями, возникающие под действием внешних сил (предполагается, что в отсутствие внешних сил внутренние силы равны нулю).

Рассмотрим стержень, находящийся в равновесии под действием некоторой системы внешних сил (рис. 1, а). Мысленно проведем произвольное поперечное сечение, которое делит стержень на две части Л и П. На правую часть П стержня со стороны левой части Л действует система распределенных по поверхности поперечного сечения сил - внутренних сил по отношению к стержню в целом. Эту систему сил можно привести к главному вектору и главному моменту М, взяв центр тяжести сечения - точку О - в качестве центра приведения.

Внутренние силовые факторы. Выберем систему координат, расположив оси х, у в поперечном сечении, а ось перпендикулярно ему, и разложим и М на составляющие по этим осям: (рис. 1, б).

Эти шесть величин называются внутренними силовыми факторами стержня (или внутренними усилиями) в рассматриваемом сечении. Каждое из этих усилий имеет свое название, соответствующее его направлению или определенному виду деформации стержня, который вызывается этим усилием. Силы называются поперечными (перерезывающими) силами, а -нормальной (продольной) силой. Моменты называются изгибающими моментами, а крутящим моментом.

> Внутренние и внешние силы

Изучите внутренние и внешние силы системы. Рассмотрите влияние работы внутренних и внешних сил на линейный импульс системы, упругие и неупругие соударения.

Чистые внешние силы (не являющиеся нулем) изменяют общий импульс системы, а внутренние – нет.

Задача обучения

• Отметить воздействие внешних и внутренних сил на линейный импульс и столкновения.

Основные пункты

• Внешние силы создаются источником, расположенным вне системы.
• Внутренние силы находятся в пределах системы.
• Чтобы понимать, что считать внутренними, а что внешними силами, механическая система обязана располагать четкими границами.

Термины

• Упругое соударение – эластичное столкновение с сохранением кинетической энергии.
• Неупругое соударение – не эластичное столкновение без сохранения кинетической энергии.

Линейный импульс и столкновения

В изолированной системе, состоящей из частиц:

Где Второй закон Ньютона говорит о том, что полный импульс всей системы обязан быть стабильным при отсутствии чистых внешних сил. Они могут менять общий импульс, если их сумма не приравнивается к нулю. Но внутренние лишены такого влияния. Чтобы проанализировать механическую систему, необходимо четко разделить внутренние и внешние силы.

Сохранение полного импульса системы (пренебрегается потеря от силы трения)

Внешние силы создаются источником, расположенным за пределами системы, а внутренние – внутренними силами. Давайте упростим. У вас есть две хоккейные шайбы, скользящие по поверхности без трения. Уберем также из расчетов сопротивление воздуха. Они столкнулись при t = 0.

Начнем с перечисления присутствующих сил: сила тяжести, нормальная (между льдом и шайбами) и трение в период столкновения.

Как определить систему? Обычно нас интересует перемещение шайб. Тогда примем за факт, что располагаем исключительно двумя шайбами. За их пределами все становится внешней системой. Тогда внешними силами выступит сила тяжести и нормальная, а трение – внутренняя. Внешние компенсируют друг друга, так что мы их вычеркиваем. Получается, что суммарный импульс двух шайб выступает сохраненной величиной.

Стоит напомнить, что мы не рассматривали характер удара между шайбами. Даже не касаясь внутренних сил, удалось определить, что полный импульс системы выступает сохраняющейся величиной. Это работает в упругом и неупругом соударении.

Не забывайте: если учитывать Землю, то сила тяжести и нормальная станут внутренними.

ВНЕШНИЕ И ВНУТРЕННИЕ СИЛЫ . В механике внешними силами по отношению к данной системе материальных точек (т. е. такой совокупности материальных точек, в которой движение каждой точки зависит от положений или движений всех остальных точек) называются те силы, которые представляют собой действие на эту систему других тел (других систем материальных точек), не включенных нами в состав данной системы. Внутренними силами являются силы взаимодействия между отдельными материальными точками данной системы. Подразделение сил на внешние и внутренние является совершенно условным: при изменении заданного состава системы некоторые силы, ранее бывшие внешними, могут стать внутренними, и обратно. Так, например, при рассмотрении движения системы, состоящей из земли и ее спутника луны, силы взаимодействия между этими телами будут внутренними силами для этой системы, а силы притяжения солнца, остальных планет, их спутников и всех звезд будут внешними силами по отношению к указанной системе. Но если изменить состав системы и рассматривать движение солнца и всех планет как движение одной общей системы, то внешними силами будут только силы притяжений, оказываемых звездами; все же силы взаимодействия между планетами, их спутниками и солнцем становятся для этой системы силами внутренними.

Точно так же, если при движении паровоза выделим поршень парового цилиндра как отдельную систему материальных точек, подлежащую нашему рассмотрению, то давление пара на поршень по отношению к нему явится внешней силой, и то же давление пара будет одной из внутренних сил, если будем рассматривать движение всего паровоза в целом; в этом случае внешними силами по отношению ко всему паровозу, принятому за одну систему, будут: трение между рельсами и колесами паровоза, сила тяжести паровоза, реакция рельсов и сопротивление воздуха; внутренними силами будут все силы взаимодействия между частями паровоза, например, силы взаимодействия между паром и поршнем цилиндра, между ползуном и его параллелями, между шатуном и пальцем кривошипа, и т. п. Как видим, по существу нет различия между внешними и внутренними силами, относительное же различие между ними определяется лишь в зависимости от того, какие тела мы включаем в рассматриваемую систему и какие считаем не входящими в состав системы. Однако указанное относительное различие сил имеет весьма существенное значение при исследовании движения данной системы; по третьему закону Ньютона (о равенстве действия и противодействия), внутренние силы взаимодействия между каждыми двумя материальными точками системы равны по величине и направлены по одной и той же прямой в противоположные стороны; благодаря этому при разрешении различных вопросов о движении системы материальных точек возможно исключить все внутренние силы из уравнений движения системы и тем самым сделать возможным самое исследование о движении всей системы. Этот метод исключения внутренних, в большинстве случаев неизвестных, сил связи имеет существенное значение при выводах различных законов механики системы.

Внешние силы - это такие силы, которые действуют только на поверхность предмета, но не проникают внутрь его. К этим силам относятся все силы, развиваемые материальным объектом.

Внутренние силы - это такие силы, которые действуют сразу на все атомы передвигаемого предмета независимо от того, где они находятся: на поверхности или в середине предмета. К этим силам относятся силы инерции и силы поля: гравитационного, электрического, магнитного. И происходит это потому, что поле и носитель инерции физвакуум свободно проникают внутрь любого тела.

В механике внешними силами по отношению к данной системе материальных точек (т. е. такой совокупности материальных точек, в которой движение каждой точки зависит от положений или движений всех остальных точек) называются те силы, к-рые представляют собою действие на эту систему других тел (других систем материальных точек), не включенных нами в состав данной системы.

Внутренними силами являются силы взаимодействия между отдельными материальными точками данной системы. Подразделение сил на внешние и внутренние является совершенно условным: при изменении заданного состава системы некоторые силы, ранее бывшие внешними, могут стать внутренними, и обратно. Так, например, при рассмотрении

PRIMER движения системы, состоящей из земли и ее спутника луны, силы взаимодействия между этими телами будут внутренними силами для этой системы, а силы притяжения солнца, остальных планет, их спутников и всех звезд будут внешними силами по отношению к указанной системе. Но если изменить состав системы и рассматривать движение солнца и всех планет как движениеодной общей системы, то внешн. силами будут только силы притяжений, оказываемых

Если нагруженное тело находится в равновесии, то внутренние силы равны по значению внешним силам и противоположны им по направлению. Очевидно, что они препятствуют развитию деформации.Работа внутренних сил (U), с учетом их направления по отношению к деформации, всегда является отрицательной.

Работа внешних сил равна взятой с обратным знаком работе внутренних сил :

Пусть элемент стержня длиной испытывает растяжение (рис. 15.3, а).

Действие отброшенных частей стержня на рассматриваемый элемент заменим продольными силами N. Эти усилия показаны на рисунке штриховыми линиями. По отношению к элементу они являются как бы внешними. Вызываемое ими удлинение элемента равно: .

Действие рассматриваемого элемента на отброшенные части показано на рисунке сплошными линиями. Элементарная работа внутренних продольных сил, постепенно увеличивающихся, и противодействующих развитию удлинения, согласно теореме Клапейрона, выразится формулой: .

ЭЛЕМЕНТАРНАЯ РАБОТА ВНУТРЕННИХ ПОПЕРЕЧНЫХ СИЛ () ПРИ ЧИСТОМ СДВИГЕ (РИС. 15.3, Б)

При чистом сдвиге касательные напряжения равномерно распределены по всему сечению и определяются по формуле: .

Абсолютный сдвиг правого сечения элемента по отношению к левому сечению, с учетом закона Гука, равен: ,

тогда .

При поперечном изгибе касательные напряжения распределены по сечению неравномерно. В этом случае выражение для элементарной работы внутренних перерезывающих сил может быть представлено в виде: , где k – коэффициент, зависящий от формы поперечного сечения стержня. Например, для прямоугольного поперечного сечения .

ЭЛЕМЕНТАРНАЯ РАБОТА ВНУТРЕННИХ УСИЛИЙ ПРИ КРУЧЕНИИ

Поворот правого сечения элемента по отношению к левому сечению, происходящий под действием внешних по отношению к нему крутящих моментов (), показанных (см. рис. 15.3, в) штриховыми линиями, равен: .

Тогда работа внутренних крутящих моментов (они на рисунке не показаны) на этом угле поворота определяется по формуле: .

Пусть теперь элемент стержня испытывает изгиб. И пусть его правое поперечное сечение повернется на угол поворота по отношению к левому сечению (см. рис. 15.3, г).

Тогда внутренние изгибающие моменты, показанные (см. рис. 15.3, г) сплошными линиями, совершат на этом угле поворота работу:

.

При одновременном растяжении, кручении и прямом поперечном изгибе стержня (с учетом того, что работа каждого из внутренних усилий на перемещениях, вызываемых остальными усилиями, равна нулю) получим следующее выражение для элементарной работы внутренних сил упругости:

Интегрируя выражение по всей длине стержня, окончательно получим формулу работы внутренних сил .