Теорема Вейерштрасса о пределе монотонной последовательности
Любая монотонная ограниченная последовательность {
x n }
имеет конечный предел, равный точной верней границе, sup {
x n }
для неубывающей и точной нижней границе, inf {
x n }
для невозрастающей последовательности.
Любая монотонная неограниченная последовательность имеет бесконечный предел, равный плюс бесконечности, для неубывающей и минус бесконечности, для невозрастающей последовательности.
Доказательство
1) неубывающей ограниченной последовательностью .
(1.1)
.
Поскольку последовательность ограничена, то она имеет точную верхнюю границу
.
Это означает, что:
- для всех n
,
(1.2) ;
(1.3) .
.
Здесь мы также использовали (1.3). Комбинируя с (1.2), находим:
при .
Поскольку ,
то
,
или
при .
Первая часть теоремы доказана.
2)
Пусть теперь последовательность является невозрастающей ограниченной последовательностью
:
(2.1)
для всех n
.
Поскольку последовательность ограничена, то она имеет точную нижнюю границу
.
Это означает следующее:
- для всех n
выполняются неравенства:
(2.2) ; - для любого положительного числа ,
существует такой номер ,
зависящий от ε
,
для которого
(2.3) .
.
Здесь мы также использовали (2.3). Учитывая (2.2), находим:
при .
Поскольку ,
то
,
или
при .
Это и означает, что число является пределом последовательности .
Вторая часть теоремы доказана.
Теперь рассмотрим неограниченные последовательности.
3)
Пусть последовательность является неограниченной неубывающей последовательностью
.
Поскольку последовательность неубывающая, то для всех n
выполняются неравенства:
(3.1)
.
Поскольку последовательность является неубывающей и неограниченной, то она неограниченна с правой стороны. Тогда для любого числа M
существует такой номер ,
зависящий от M
,
для которого
(3.2)
.
Поскольку последовательность неубывающая, то при имеем:
.
Здесь мы также использовали (3.2).
.
Это означает, что предел последовательности равен плюс бесконечности:
.
Третья часть теоремы доказана.
4) Наконец рассмотрим случай, когда является неограниченной невозрастающей последовательностью .
Аналогично предыдущему, поскольку последовательность невозрастающая, то
(4.1)
для всех n
.
Поскольку последовательность является невозрастающей и неограниченной, то она неограниченна с левой стороны. Тогда для любого числа M
существует такой номер ,
зависящий от M
,
для которого
(4.2)
.
Поскольку последовательность невозрастающая, то при имеем:
.
Итак, для любого числа M
существует такое натуральное число ,
зависящее от M
,
так что для всех номеров выполняются неравенства:
.
Это означает, что предел последовательности равен минус бесконечности:
.
Теорема доказана.
Пример решения задачи
Пользуясь теоремой Вейерштрасса, доказать сходимость последовательности:
,
,
. . . ,
,
. . .
После чего найти ее предел.
Представим последовательность в виде рекуррентных формул:
,
.
Докажем, что заданная последовательность ограничена сверху значением
(П1)
.
Доказательство выполняем методом математической индукции.
.
Пусть .
Тогда
.
Неравенство (П1) доказано.
Докажем, что последовательность монотонно возрастает.
;
(П2)
.
Поскольку ,
то знаменатель дроби и первый множитель в числителе положительные. В силу ограниченности членов последовательности неравенством (П1), второй множитель также положителен. Поэтому
.
То есть последовательность является строго возрастающей.
Поскольку последовательность возрастает и ограничена сверху, то она является ограниченной последовательностью. Поэтому, по теореме Вейерштрасса, она имеет предел.
Найдем этот предел. Обозначим его через a
:
.
Воспользуемся тем, что
.
Применим это к (П2), используя арифметические свойства пределов сходящихся последовательностей :
.
Условию удовлетворяет корень .
Если каждому натуральному числу n поставлено в соответствие некоторое действительное число x n , то говорят, что задана числовая последовательность
x 1 , x 2 , … x n , …
Число x 1 называют членом последовательности с номером 1 или первым членом последовательности , число x 2 - членом последовательности с номером 2 или вторым членом последовательности, и т.д. Число x n называют членом последовательности с номером n .
Существуют два способа задания числовых последовательностей – с помощью и с помощью рекуррентной формулы .
Задание последовательности с помощью формулы общего члена последовательности – это задание последовательности
x 1 , x 2 , … x n , …
с помощью формулы, выражающей зависимость члена x n от его номера n .
Пример 1 . Числовая последовательность
1, 4, 9, … n 2 , …
задана с помощью формулы общего члена
x n = n 2 , n = 1, 2, 3, …
Задание последовательности с помощью формулы, выражающей член последовательности x n через члены последовательности с предшествующими номерами, называют заданием последовательности с помощью рекуррентной формулы .
x 1 , x 2 , … x n , …
называют возрастающей последовательностью, больше предшествующего члена.
Другими словами, для всех n
x n + 1 > x n
Пример 3 . Последовательность натуральных чисел
1, 2, 3, … n , …
является возрастающей последовательностью .
Определение 2. Числовую последовательность
x 1 , x 2 , … x n , …
называют убывающей последовательностью, если каждый член этой последовательности меньше предшествующего члена.
Другими словами, для всех n = 1, 2, 3, … выполнено неравенство
x n + 1 < x n
Пример 4 . Последовательность
заданная формулой
является убывающей последовательностью .
Пример 5 . Числовая последовательность
1, - 1, 1, - 1, …
заданная формулой
x n = (- 1) n , n = 1, 2, 3, …
не является ни возрастающей, ни убывающей последовательностью.
Определение 3. Возрастающие и убывающие числовые последовательности называют монотонными последовательностями .
Ограниченные и неограниченные последовательности
Определение 4. Числовую последовательность
x 1 , x 2 , … x n , …
называют ограниченной сверху, если существует такое число M, что каждый член этой последовательности меньше числа M .
Другими словами, для всех n = 1, 2, 3, … выполнено неравенство
Определение 5. Числовую последовательность
x 1 , x 2 , … x n , …
называют ограниченной снизу, если существует такое число m, что каждый член этой последовательности больше числа m .
Другими словами, для всех n = 1, 2, 3, … выполнено неравенство
Определение 6. Числовую последовательность
x 1 , x 2 , … x n , …
называют ограниченной, если она ограничена и сверху, и снизу.
Другими словами, существуют такие числа M и m, что для всех n = 1, 2, 3, … выполнено неравенство
m < x n < M
Определение 7. Числовые последовательности, которые не являются ограниченными , называют неограниченными последовательностями .
Пример 6 . Числовая последовательность
1, 4, 9, … n 2 , …
заданная формулой
x n = n 2 , n = 1, 2, 3, … ,
ограничена снизу , например, числом 0. Однако эта последовательность неограничена сверху .
Пример 7 . Последовательность
заданная формулой
является ограниченной последовательностью , поскольку для всех n = 1, 2, 3, … выполнено неравенство
На нашем сайте можно также ознакомиться с разработанными преподавателями учебного центра «Резольвента» учебными материалами для подготовки к ЕГЭ и ОГЭ по математике .
Для школьников, желающих хорошо подготовиться и сдать ЕГЭ по математике или русскому языку на высокий балл, учебный центр «Резольвента» проводит
подготовительные курсы для школьников 10 и 11 классов |
Цель: Дать понятие, определение последовательности, конечной, бесконечной, различные способы задания последовательностей, их различие, научить применять при решении примеров.
Оборудование: Таблицы.
Ход занятия
I. Организационный момент.
II. Фронтальная проверка домашнего задания:
1) ученик на доске задачу № 2.636 (из II части “Сборника заданий для письменного экзамена в 9 кл.)
2) ученик. Построить график
3) фронтально со всем классом № 2.334 (а).
III. Объяснение нового материала.
Школьная лекция – это такая форма организации учебного процесса, которая ориентирует учащихся при изучении той или иной темы на главное и предполагает широкую демонстрацию личностного отношения учителя и учащихся к учебному материалу. Т.к. урок-лекция предусматривает крупноблочное изложение учителем материала, то речевое общение учителя и учащихся является главным в ее технологии. Слово учителя оказывает эмоциональное, эстетическое воздействие и создает определенное отношение к предмету. С помощью лекции осуществляется руководство различными видами деятельности учащихся на занятии, а через знания, умения и навыки формируется познание как основа учебной деятельности.
I. Выпишите в порядке возрастания двузначные числа, оканчивающиеся цифрой 3.
13; 23; 33;………….93.
Каждому порядковому номеру от 1 до 9 поставьте в соответствие определенное двузначное число:
1->13; 2->23;………9->93.
Между множеством первых девяти натуральных чисел и множеством двузначных чисел, оканчивающихся цифрой 3, установилось соответствие. Это соответствие является функцией.
Областью определения служит {1; 2; 3;……..9}
Множество значений {13; 23; 33;…….93}.
Если соответствие обозначить f, то
Эту последовательность можно задать с помощью пар.
(1;3) (2;5) (3;7) (4;9)
б) 1; 0; 1; 0; 1; 0
Таблица № 1
а) б)
II.
О.о.ф. {1; 2; 3; 4;…..}
М.з.ф. g(1) = ; | g(3) =; … | g(60) = |
Функция, заданная на множестве натуральных чисел, называется бесконечной последовательностью.
в) 2; 4; 6; 8; 10;……..
1 -> 2; 2 -> 4; ……. n -> 2n
f(1); f(2); f(3)… …..f(n)
- члены последовательности.
Замечание: следует различать понятие множества и понятие последовательности.
а) {10; 20; 30; 40}
Одно и то же множество.
{40; 30; 20; 10}
б) однако, последовательности 10; 20; 30; 40
Различны:
(1; 10) (2;20) (3;30) (4;40)
(1; 40) (2;30) (3;20) (4;10).
III. Рассмотрим последовательность:
1) 3; 5; 7; 9; 11;……. -> бесконечная, возрастающая
2) 10; 9; 8; 7; 6. -> конечная, убывающая.
а)
Последовательность называется возрастающей, если каждый член ее, начиная со второго, больше своего предыдущего.
б)
Дается определение убывающей последовательности.
Возрастающие или убывающие последовательности называются монотонными.
1; 0; 1; 0; 1; 0. - колеблющаяся;
5; 5; 5; 5; ….. - постоянная.
IV. Последовательности можно изобразить геометрически. Т.к. последовательности – это функция, областью определения которой служит множество N, то графиком, видимо, является множество точек плоскости (х; у).
Пример: -3; -2; -1; 0; 1; 2; 3.
(1; -3) (2;-2) (3; -1) (4; 0) (5;1) (6;2) (7;3)
Построим график этой последовательности
Рисунок 1.
Пример: Докажите, что последовательность, заданная в таком виде
99; 74; 49; 24; -1;……………
является убывающей.
V. Способы задания последовательностей.
Т.к. последовательность – это функция, определенная на множестве N, то существует пять способов задания последовательностей:
I. Табличный
II. Способ описания
III. Аналитический
IV. Графический
V. Рекуррентный
I. Табличный – очень неудобный. Составляем таблицу и по ней определяем, какой член? какое место он занимает……..
1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | |
1 | 4 | 9 | 16 | 25 | 36 | 49 | 64 | 81 | 100 | 121 | 144 | 169 |
II. Способ описания.
Пример: Последовательность такова, что каждый ее член записывается с помощью цифры 4, и число цифр равно номеру числа последовательности.
III. Аналитический способ (с помощью формулы).
Формула, выражающая каждый член последовательности через его номер n, называется формулой n члена последовательности.
например:
и ученики составляют эти последовательности, и наоборот: подберите формулу для членов последовательностей:
а) 1; ; ;………….. | |
б) ... | |
в) | |
г) | |
д) 1;-2;3;-4;5;-6;…………. |
IV. Графический способ – тоже не очень удобный, обычно им и не пользуются.
Монотонность последовательности
Монотонная последовательность - последовательность , удовлетворяющая одному из следующих условий:
Среди монотонных последовательностей выделяются строго монотонные последовательности, удовлетворяющие одному из следующих условий:
Иногда используется вариант терминологии, в котором термин «возрастающая последовательность» рассматривается в качестве синонима термина «неубывающая последовательность», а термин «убывающая последовательность» - в качестве синонима термина «невозрастающая последовательность». В таком случае возрастающие и убывающие последовательности из вышеприведённого определения называются «строго возрастающими» и «строго убывающими», соответственно.
Некоторые обобщения
Может оказаться, что вышеуказанные условия выполняются не для всех номеров , а лишь для номеров из некоторого диапазона
(здесь допускается обращение правой границы N + в бесконечность). В этом случае последовательность называется монотонной на промежутке I , а сам диапазон I называется промежутком монотонности последовательности.
Примеры
См. также
Wikimedia Foundation . 2010 .
Смотреть что такое "Монотонность последовательности" в других словарях:
Раздел математики, занимающийся изучением свойств различных функций. Теория функций распадается на две области: теорию функций действительного переменного и теорию функций комплексного переменного, различие между которыми настолько велико, что… … Энциклопедия Кольера
Тестирование псевдослучайных последовательностей совокупность методов определения меры близости заданной псевдослучайной последовательности к случайной. В качестве такой меры обычно выступает наличие равномерного распределения, большого… … Википедия
У этого термина существуют и другие значения, см. Мера. Мера множества неотрицательная величина, интуитивно интерпретируемая как размер (объем) множества. Собственно, мера это некоторая числовая функция, ставящая в соответствие каждому… … Википедия
Известный писатель. Род. в Орле в 1871 г.; отец его был землемер. Учился в Орловской гимназии и в университетах С. Петербургском и Московском, по юридическому факультету. Студентом сильно нуждался. Тогда же он написал первый свой рассказ "о… … Большая биографическая энциклопедия
Численные методы решения методы, заменяющие решение краевой задачи решением дискретной задачи (см. Линейная краевая задача;численные методы решения и Нелинейное уравнение;численные методы решения). Во многих случаях, особенно при рассмотрении… … Математическая энциклопедия
Манускрипт Войнича написан с помощью неизвестной системы письма Рукопись Войнича (англ. Voyni … Википедия
Написан с помощью неизвестной системы письма Рукопись Войнича (англ. Voynich Manuscript) таинственная книга, написанная около 500 лет назад неизвестным автором, на неизвестном языке, с использованием неизвестного алфавита. Рукопись Войнича… … Википедия
Сиджизмондо д’Индия (итал. Sigismondo d India, ок. 1582, Палермо? до 19 апреля 1629, Модена) итальянский композитор. Содержание 1 Биография 2 Творчество … Википедия
Модернизация - (Modernization) Модернизация это процесс изменения чего либо в соответствии с требованиями современности, переход к более совершенным условиям, с помощью ввода разных новых обновлений Теория модернизации, типы модернизации, органическая… … Энциклопедия инвестора
Одно из основных математических понятий, смысл которого с развитием математики подвергался ряду обобщений. I. Ещё в «Началах» Евклида (3 в. до н. э.) были отчётливо сформулированы свойства В., называемых теперь, для отличия от… … Большая советская энциклопедия
Определение
1. Последовательностьназываетсяубывающей
(невозрастающей
),
если для всех
выполняется неравенство
.
Определение
2. Последовательность
называетсявозрастающей
(неубывающей
),
если для всех
выполняется неравенство
.
Определение 3. Убывающие, невозрастающие, возрастающие и неубывающие последовательности называютсямонотонными последовательностями, убывающие и возрастающие последовательности называют такжестрого монотонными последовательностями.
Очевидно, что неубывающая последовательность ограничена снизу, невозрастающая последовательность ограничена сверху. Поэтому всякая монотонная последовательность заведомо ограничена с одной стороны.
Пример
1. Последовательность
возрастает,не
убывает,
убывает,
не возрастает,
– немонотонная последовательность.
Для монотонных последовательностей важную роль играет следующая
Теорема 1. Если неубывающая (невозрастающая) последовательность ограничена сверху (снизу), то она сходится.
Доказательство
. Пусть последовательность
не убывает и ограничена сверху, т.е.
и множество
ограничено сверху. По теореме 1 § 2
существует
.
Докажем, что
.
Возьмем
произвольно. Посколькуа
– точная
верхняя граница, существует номерN
такой, что
.
Так как последовательность неубывающая,
то для всех
имеем,
т.е.
,
поэтому
для всех
,
а это и означает, что
.
Для невозрастающей последовательности, ограниченной снизу, доказательство проводится аналогично (студенты могут доказать это утверждение дома самостоятельно ). Теорема доказана.
Замечание . Теорему 1 можно сформулировать иначе.
Теорема 2. Для того чтобы монотонная последовательность сходилась, необходимо и достаточно, чтобы она была ограничена.
Достаточность установлена в теореме 1, необходимость – в теореме 2 § 5.
Условие монотонности не является
необходимым для сходимости
последовательности, так как сходящаяся
последовательность не обязательно
монотонна. Например, последовательность
не монотонная, однако сходится к нулю.
Следствие
. Если последовательность
возрастает (убывает) и ограничена сверху
(снизу), то
(
).
Действительно, по теореме 1
(
).
Определение
4. Еслии
при
,
то последовательностьназываетсястягивающейся системой
вложенных отрезков
.
Теорема 3 (принцип вложенных отрезков). У всякой стягивающейся системы вложенных отрезков существует, и притом единственная, точкас , принадлежащая всем отрезкам этой системы.
Доказательство
. Докажем, что точкас
существует. Поскольку
,
то
и, следовательно, последовательность
не убывает, а последовательность
не возрастает. При этом
и
ограничены, так как.
Тогда по теореме 1 существуют
и
,
но так как
,
то
=
.
Найденная точкас
принадлежит всем
отрезкам системы, так как по следствию
теоремы 1
,
,
т.е.
для всех значенийn
.
Покажем теперь, что точка с
–
единственная. Предположим, что таких
точек две:с
иd
и пусть для определенности
.
Тогда отрезок
принадлежит всем отрезкам
,
т.е.
для всехn
, что
невозможно, так как
и, значит, начиная с некоторого номера,
.
Теорема доказана.
Отметим, что здесь существенно то, что
рассматриваются замкнутые промежутки,
т.е. отрезки. Если рассмотреть систему
стягивающихся интервалов, то принцип,
вообще говоря, неверен. Например,
интервалы
,
очевидно, стягиваются в точку
,
однако точка
не принадлежит ни одному интервалу этой
системы.
Рассмотрим теперь примеры сходящихся монотонных последовательностей.
1) Число е .
Рассмотрим теперь последовательность
.
Как она себя ведет? Основание
степени
,
поэтому
?
С другой стороны,
,
а
,
поэтому
?
Или предел не существует?
Чтобы ответить на эти вопросы, рассмотрим
вспомогательную последовательность
.
Докажем, что она убывает и ограничена
снизу. При этом нам будет нужна
Лемма
. Если
,
то для всех натуральных значенийn
имеем
(неравенство Бернулли).
Доказательство . Воспользуемся методом математической индукции.
Если
,
то
,
т.е. неравенство верно.
Предположим, что оно верно для
и докажем его справедливость для
+1.
Верно
.
Умножим это неравенство на
:
Таким образом, . Значит, согласно принципу математической индукции, неравенство Бернулли верно для всех натуральных значенийn . Лемма доказана.
Покажем, что последовательность
убывает. Имеем
׀неравенство
Бернулли׀
,а это и означает, что
последовательность
убывает.
Ограниченность снизу следует из
неравенства
׀неравенство
Бернулли׀
для всех натуральных значенийn
.
По теореме 1 существует
,
который обозначают буквойе
. Поэтому
.
Число е иррационально и трансцендентно,е = 2,718281828… . Оно является, как известно, основанием натуральных логарифмов.
Замечания
. 1) Неравенство Бернулли
можно использовать для доказательства
того, что
при
.
Действительно, если
,
то
.
Тогда, по неравенству Бернулли,при
.
Отсюда при
имеем
,
то есть
при
.
2) В рассмотренном выше примере основание
степени
стремится к 1, а показатель степениn
– к,
то есть имеет место неопределенность
вида.
Неопределенность такого вида, как мы
показали, раскрывается с помощью
замечательного предела
.
2)
(*)
Докажем, что эта последовательность
сходится. Для этого покажем, что она
ограничена снизу и не возрастает. При
этом воспользуемся неравенством
для всех
,
которое является следствием неравенства
.
Имеем
см.
неравенство выше
,
т.е. последовательность ограничена
снизу числом
.
Далее,
так
как
,
т.е. последовательность не возрастает.
По теореме 1 существует
,
который обозначимх
. Переходя в
равенстве (*) к пределу при
,
получим
,
т.е.
,
откуда
(берем знак «плюс», так как все члены
последовательности положительны).
Последовательность (*) применяется при
вычислении
приближенно. Заберут любое положительное число.
Например, найдем
.
Пусть
.
Тогда
,.
Таким образом,
.
3)
.
Имеем
.
Поскольку
при
,
существует номерN
,
такой, что для всех
выполняется неравенство
.
Таким образом, последовательность
,
начиная с некоторого номераN
,
убывает и ограничена снизу, так как
для всех значенийn
.
Значит, по теореме 1 существует
.
Поскольку
,
имеем
.
Итак,
.
4)
,
справа –n
корней.
Методом математической индукции покажем,
что
для всех значенийn
.
Имеем
.
Пусть
.
Тогда,
отсюда получаем утверждение по принципу
математической индукции. Используя
этот факт, находим,
т.е. последовательность
возрастает и ограничена сверху. Поэтому
существует,
так как
.
Таким образом,
.