На данном уроке будет рассмотрена тема «Равнобедренный треугольник и его свойства». Вы узнаете, как выглядят и чем характеризуются равнобедренный и равносторонний треугольники. Докажете теорему о равенстве углов при основании равнобедренного треугольника. Рассмотрите также теорему о биссектрисе (медиане и высоте), проведенной к основанию равнобедренного треугольника. В конце урока вы разберете две задачи с использованием определения и свойств равнобедренного треугольника.
Определение: Равнобедренным называется треугольник, у которого равны две стороны.
Рис. 1. Равнобедренный треугольник
АВ = АС - боковые стороны. ВС - основание.
Площадь равнобедренного треугольника равна половине произведения его основания на высоту.
Определение: Равносторонним называется треугольник, у которого все три стороны равны.
Рис. 2. Равносторонний треугольник
АВ = ВС = СА.
Теорема 1: В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.
Дано: АВ = АС.
Доказать: ∠В =∠С.
Рис. 3. Чертеж к теореме
Доказательство: треугольник АВС = треугольнику АСВ по первому признаку (по двум равным сторонам и углу между ними). Из равенства треугольников следует равенство всех соответствующих элементов. Значит, ∠В = ∠С, что и требовалось доказать.
Теорема 2: В равнобедренном треугольнике биссектриса , проведенная к основанию, является медианой и высотой .
Дано: АВ = АС, ∠1 = ∠2.
Доказать: ВD = DC, AD перпендикулярно BC.
Рис. 4. Чертеж к теореме 2
Доказательство: треугольник ADB = треугольнику ADC по первому признаку (AD - общая, АВ = АС по условию, ∠BAD = ∠DAC). Из равенства треугольников следует равенство всех соответствующих элементов. BD = DC, так как они лежат против равных углов. Значит, AD является медианой. Также ∠3 = ∠4, поскольку они лежат против равных сторон. Но, к тому же, они в сумме равняются . Следовательно, ∠3 = ∠4 = . Значит, AD является высотой треугольника, что и требовалось доказать.
В единственном случае a = b = . В этом случае прямые АС и ВD называются перпендикулярными.
Поскольку биссектрисой, высотой и медианой является один и тот же отрезок, то справедливы и следующие утверждения:
Высота равнобедренного треугольника, проведенная к основанию, является медианой и биссектрисой.
Медиана равнобедренного треугольника, проведенная к основанию, является высотой и биссектрисой.
Пример 1: В равнобедренном треугольнике основание в два раза меньше боковой стороны, а периметр равен 50 см. Найдите стороны треугольника.
Дано: АВ = АС, ВС = AC. Р = 50 см.
Найти: ВС, АС, АВ.
Решение:
Рис. 5. Чертеж к примеру 1
Обозначим основание ВС как а, тогда АВ = АС = 2а.
2а + 2а + а = 50.
5а = 50, а = 10.
Ответ: ВС = 10 см, АС = АВ = 20 см.
Пример 2: Докажите, что в равностороннем треугольнике все углы равны.
Дано: АВ = ВС = СА.
Доказать: ∠А = ∠В = ∠С.
Доказательство:
Рис. 6. Чертеж к примеру
∠В = ∠С, так как АВ=АС, а ∠А = ∠В, так как АС = ВС.
Следовательно, ∠А = ∠В = ∠С, что и требовалось доказать.
Ответ: Доказано.
На сегодняшнем уроке мы рассмотрели равнобедренный треугольник, изучили его основные свойства. На следующем уроке мы порешаем задачи по теме равнобедренного треугольника, на вычисление площадт равнобедренного и равностороннего треугольника.
- Александров А.Д., Вернер А.Л., Рыжик В.И. и др. Геометрия 7. - М.: Просвещение.
- Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др. Геометрия 7. 5-е изд. - М.: Просвещение.
- Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Прасолова В.В. Геометрия 7 / В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев, В.В. Прасолова, под ред. Садовничего В.А. - М.: Просвещение, 2010.
- Словари и энциклопедии на «Академике» ().
- Фестиваль педагогической идеи «Открытый урок» ().
- Кaknauchit.ru ().
1. № 29. Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Прасолова В.В. Геометрия 7 / В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев, В.В. Прасолова, под ред. Садовничего В.А. - М.: Просвещение, 2010.
2. Периметр равнобедренного треугольника равен 35 см, а основа втрое меньше боковой стороны. Найдите стороны треугольника.
3. Дано: АВ = ВС. Докажите, что ∠1 = ∠2.
4. Периметр равнобедренного треугольника равен 20 см, одна из его сторон в два раза больше другой. Найдите стороны треугольника. Сколько решений имеет задача?
Свойства равнобедренного треугольника выражают следующие теоремы.
Теорема 1. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.
Теорема 2. В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведенная к основанию, является медианой и высотой.
Теорема 3. В равнобедренном треугольнике медиана, проведенная к основанию, является биссектрисой и высотой.
Теорема 4. В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, является биссектрисой и медианой.
Докажем одну из них, например теорему 2.5.
Доказательство. Рассмотрим равнобедренный треугольник ABC с основанием ВС и докажем, что ∠ В = ∠ С. Пусть AD - биссектриса треугольника ABC (рис.1). Треугольники ABD и ACD равны по первому признаку равенства треугольников (АВ = АС по условию, AD - общая сторона, ∠ 1 = ∠ 2, так как AD - биссектриса). Из равенства этих треугольников следует, что ∠ В = ∠ С. Теорема доказана.
С использованием теоремы 1 устанавливается следующая теорема.
Теорема 5. Третий признак равенства треугольников. Если три стороны одного треугольника соответственно равны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны (рис. 2).
Замечание. Предложения, установленные в примерах 1 и 2, выражают свойства серединного перпендикуляра к отрезку. Из этих предложений следует, что серединные перпендикуляры к сторонам треугольника пересекаются в одной точке .
Пример 1. Доказать, что точка плоскости, равноудаленная от концов отрезка, лежит на серединном перпендикуляре к этому отрезку.
Решение. Пусть точка М равноудалена от концов отрезка АВ (рис. 3), т. е. AM = ВМ.
Тогда Δ АМВ равнобедренный. Проведем через точку М и середину О отрезка АВ прямую р. Отрезок МО по построению есть медиана равнобедренного треугольника АМВ, а следовательно (теорема 3), и высота, т. е. прямая МО, есть серединный перпендикуляр к отрезку АВ.
Пример 2. Доказать, что каждая точка серединного перпендикуляра к отрезку равноудалена от его концов.
Решение. Пусть р - серединный перпендикуляр к отрезку АВ и точка О - середина отрезка АВ (см. рис. 3).
Рассмотрим произвольную точку М, лежащую на прямой р. Проведем отрезки AM и ВМ. Треугольники АОМ и ВОМ равны, так как у них углы при вершине О прямые, катет ОМ общий, а катет ОА равен катету ОВ по условию. Из равенства треугольников АОМ и ВОМ следует, что AM = ВМ.
Пример 3. В треугольнике ABC (см. рис. 4) АВ = 10 см, ВС = 9 см, АС = 7 см; в треугольнике DEF DE = 7 см, EF = 10 см, FD = 9 см.
Сравнить треугольники ABC и DEF. Найти соответственно равные углы.
Решение. Данные треугольники равны по третьему признаку. Соответственно равные углы: А и Е (лежат против равных сторон ВС и FD), В и F (лежат против равных сторон АС и DE), С и D (лежат против равных сторон АВ и EF).
Пример 4. На рисунке 5 АВ = DC, ВС = AD, ∠B = 100°.
Найти угол D.
Решение. Рассмотрим треугольники ABC и ADC. Они равны по третьему признаку (АВ = DC, ВС = AD по условию и сторона АС - общая). Из равенства этих треугольников следует, что ∠ В = ∠ D, но угол В равен 100°, значит, и угол D равен 100°.
Пример 5. В равнобедренном треугольнике ABC с основанием AC внешний угол при вершине C равен 123°. Найдите величину угла ABC . Ответ дайте в градусах.
Видео-решение.
На данном уроке будет рассмотрена тема «Равнобедренный треугольник и его свойства». Вы узнаете, как выглядят и чем характеризуются равнобедренный и равносторонний треугольники. Докажете теорему о равенстве углов при основании равнобедренного треугольника. Рассмотрите также теорему о биссектрисе (медиане и высоте), проведенной к основанию равнобедренного треугольника. В конце урока вы разберете две задачи с использованием определения и свойств равнобедренного треугольника.
Определение: Равнобедренным называется треугольник, у которого равны две стороны.
Рис. 1. Равнобедренный треугольник
АВ = АС - боковые стороны. ВС - основание.
Площадь равнобедренного треугольника равна половине произведения его основания на высоту.
Определение: Равносторонним называется треугольник, у которого все три стороны равны.
Рис. 2. Равносторонний треугольник
АВ = ВС = СА.
Теорема 1: В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.
Дано: АВ = АС.
Доказать: ∠В =∠С.
Рис. 3. Чертеж к теореме
Доказательство: треугольник АВС = треугольнику АСВ по первому признаку (по двум равным сторонам и углу между ними). Из равенства треугольников следует равенство всех соответствующих элементов. Значит, ∠В = ∠С, что и требовалось доказать.
Теорема 2: В равнобедренном треугольнике биссектриса , проведенная к основанию, является медианой и высотой .
Дано: АВ = АС, ∠1 = ∠2.
Доказать: ВD = DC, AD перпендикулярно BC.
Рис. 4. Чертеж к теореме 2
Доказательство: треугольник ADB = треугольнику ADC по первому признаку (AD - общая, АВ = АС по условию, ∠BAD = ∠DAC). Из равенства треугольников следует равенство всех соответствующих элементов. BD = DC, так как они лежат против равных углов. Значит, AD является медианой. Также ∠3 = ∠4, поскольку они лежат против равных сторон. Но, к тому же, они в сумме равняются . Следовательно, ∠3 = ∠4 = . Значит, AD является высотой треугольника, что и требовалось доказать.
В единственном случае a = b = . В этом случае прямые АС и ВD называются перпендикулярными.
Поскольку биссектрисой, высотой и медианой является один и тот же отрезок, то справедливы и следующие утверждения:
Высота равнобедренного треугольника, проведенная к основанию, является медианой и биссектрисой.
Медиана равнобедренного треугольника, проведенная к основанию, является высотой и биссектрисой.
Пример 1: В равнобедренном треугольнике основание в два раза меньше боковой стороны, а периметр равен 50 см. Найдите стороны треугольника.
Дано: АВ = АС, ВС = AC. Р = 50 см.
Найти: ВС, АС, АВ.
Решение:
Рис. 5. Чертеж к примеру 1
Обозначим основание ВС как а, тогда АВ = АС = 2а.
2а + 2а + а = 50.
5а = 50, а = 10.
Ответ: ВС = 10 см, АС = АВ = 20 см.
Пример 2: Докажите, что в равностороннем треугольнике все углы равны.
Дано: АВ = ВС = СА.
Доказать: ∠А = ∠В = ∠С.
Доказательство:
Рис. 6. Чертеж к примеру
∠В = ∠С, так как АВ=АС, а ∠А = ∠В, так как АС = ВС.
Следовательно, ∠А = ∠В = ∠С, что и требовалось доказать.
Ответ: Доказано.
На сегодняшнем уроке мы рассмотрели равнобедренный треугольник, изучили его основные свойства. На следующем уроке мы порешаем задачи по теме равнобедренного треугольника, на вычисление площадт равнобедренного и равностороннего треугольника.
- Александров А.Д., Вернер А.Л., Рыжик В.И. и др. Геометрия 7. - М.: Просвещение.
- Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др. Геометрия 7. 5-е изд. - М.: Просвещение.
- Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Прасолова В.В. Геометрия 7 / В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев, В.В. Прасолова, под ред. Садовничего В.А. - М.: Просвещение, 2010.
- Словари и энциклопедии на «Академике» ().
- Фестиваль педагогической идеи «Открытый урок» ().
- Кaknauchit.ru ().
1. № 29. Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Прасолова В.В. Геометрия 7 / В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев, В.В. Прасолова, под ред. Садовничего В.А. - М.: Просвещение, 2010.
2. Периметр равнобедренного треугольника равен 35 см, а основа втрое меньше боковой стороны. Найдите стороны треугольника.
3. Дано: АВ = ВС. Докажите, что ∠1 = ∠2.
4. Периметр равнобедренного треугольника равен 20 см, одна из его сторон в два раза больше другой. Найдите стороны треугольника. Сколько решений имеет задача?
Среди всех треугольников есть два особенных вида: прямоугольные треугольники и равнобедренные треугольники. Чем же эти виды треугольников такие уж особенные? Ну, во-первых, такие треугольники чрезвычайно часто оказываются главными действующими «лицами» задач ЕГЭ первой части. А во-вторых, задачи про прямоугольные и равнобедренные треугольники решаются гораздо легче, чем другие задачи по геометрии. Нужно всего лишь знать несколько правил и свойств. Все самое интересное о прямоугольных треугольниках обсуждается в , а сейчас рассмотрим равнобедренные треугольники. И прежде всего, что же такое - равнобедренный треугольник. Или, как говорят математики, каково определение равнобедренного треугольника?
Посмотри, как это выглядит:
Как и у прямоугольного треугольника, у равнобедренного треугольника есть специальные названия для сторон. Две равные стороны называются боковыми сторонами , а третья сторона - основанием .
И снова внимание на картинку:
Может быть, конечно, и так:
Так что будь внимательным: боковая сторона - одна из двух равных сторон в равнобедренном треугольнике, а основание - третья сторона.
Чем же так уж хорош равнобедренный треугольник? Чтобы это понять, давай проведём высоту к основанию. Ты помнишь, что такое высота?
Что же получилось? Из одного равнобедренного треугольника получилось два прямоугольных.
Это уже хорошо, но так получится в любом, самом «кособедренном» треугольнике.
Чем же отличается картинка для равнобедренного треугольника? Смотри ещё раз:
Ну, во-первых, конечно, этим странным математикам мало просто видеть - нужно непременно доказывать. А то вдруг эти треугольники чуть-чуть разные, а мы будем считать их одинаковыми.
Но не переживай: в данном случае доказывать почти так же просто, как и видеть.
Начнём? Посмотри внимательно, у нас есть:
И, значит, ! Почему? Да мы просто найдём и, и из теоремы Пифагора (помня ещё при этом, что)
Удостоверились? Ну вот, теперь у нас
А уж по трём сторонам - самый легкий (третий) признак равенства треугольников.
Ну вот, наш равнобедренный треугольник разделился на два одинаковых прямоугольных.
Видишь, как интересно? Получилось, что:
Как же об этом принято говорить у математиков? Давай по порядку:
(Вспоминаем тут, что медиана - линия, проведённая из вершины, которая делит сторону пополам, а биссектриса - угол.)
Ну вот, здесь мы обсудили, что хорошего можно увидеть, если дан равнобедренный треугольник. Мы вывели, что у равнобедренного треугольника углы при основании равны, а высота, биссектриса и медиана, проведенные к основанию, совпадают.
И теперь возникает другой вопрос: а как узнать равнобедренный треугольник? То есть, как говорят математики, каковы признаки равнобедренного треугольника?
И оказывается, что нужно просто «перевернуть» все высказывания наоборот. Так, конечно, не всегда бывает, но равнобедренный треугольник всё-таки отличная штука! Что же получится после «переворачивания»?
Ну вот смотри:
Если совпадают высота и медиана, то:
Если совпадают высота и биссектриса, то:
Если совпадают биссектриса и медиана, то:
Ну вот, не забывай и пользуйся:
- Если дан равнобедренный треугольный треугольник, смело проводи высоту, получай два прямоугольных треугольника и решай задачу уже про прямоугольный треугольник.
- Если дано, что два угла равны , то треугольник точно равнобедренный и можно проводить высоту и ….(Дом, который построил Джек…).
- Если оказалось, что высота разделена сторону пополам, то треугольник - равнобедренный со всеми вытекающими бонусами.
- Если оказалось, что высота разделила угол полам - тоже равнобедренный!
- Если биссектриса разделила сторону пополам или медиана - угол, то это тоже бывает только в равнобедренном треугольнике
Давай посмотрим, как выглядит в задачах.
Задача 1 (самая простая)
В треугольнике стороны и равны, а. Найти.
Решаем:
Сначала рисунок.
Что здесь - основание? Конечно, .
Вспоминаем, что если, то и.
Обновлённый рисунок:
Обозначим за. Чему там равна сумма углов треугольника? ?
Пользуемся:
Вот и ответ: .
Несложно, правда? Даже высоту проводить не пришлось.
Задача 2 (Тоже не очень хитрая, но нужно повторить тему )
В треугольнике, . Найти.
Решаем:
Треугольник-то - равнобедренный! Проводим высоту (это и есть фокус, с помощью которого сейчас все решится).
Теперь «вычёркиваем из жизни» , рассмотрим только.
Итак, в имеем:
Вспоминаем табличное значения косинусов (ну, или глядим в шпаргалку…)
Осталось найти: .
Ответ: .
Заметим, что нам тут очень потребовались знания, касающиеся прямоугольного треугольника и «табличных» синусов и косинусов. Очень часто так и бывает: темы , «Равнобедренный треугольник» и в задачках ходят в связках, а с другими темами не слишком дружат.
Равнобедренный треугольник. Средний уровень.
Эти две равные стороны называются боковыми сторонами , а третья сторона - основание равнобедренного треугольника.
Посмотри на рисунок: и - боковые стороны, - основание равнобедренного треугольника.
Давай на одном рисунке поймём, почему так выходит. Проведем из точки высоту.
Значит, у них равны все соответствующие элементы.
Всё! Одним махом (высотой) доказали сразу все утверждения.
И ты запомни : чтобы решить задачу про равнобедренный треугольник часто бывает очень полезно опустить высоту на основание равнобедренного треугольника и разделить его на два равных прямоугольных треугольника.
Признаки равнобедренного треугольника
Верны и обратные утверждения:
Почти все из этих утверждений снова можно доказать «одним махом».
1. Итак, пусть в оказались равны и.
Проведём высоту. Тогда
2. a) Теперь пусть в каком-то треугольнике совпадают высота и биссектриса .
2. б) А если совпадают высота и медиана ? Все почти так же, ничуть не сложнее!
- по двум катетам |
2. в) А вот если нет высоты , которая опущена на основание равнобедренного треугольника, то нет и никаких изначально прямоугольных треугольников. Плохо!
Но выход есть - читай его в следующем уровне теории, поскольку тут доказательство посложнее, а пока просто запомни, что если медиана и биссектриса совпали, то треугольник тоже окажется равнобедренным, и высота всё-таки тоже совпадёт с этими биссектрисой и медианой.
Подытожим:
- Если треугольник равнобедренный, то углы при основании равны, и высота, биссектриса и медиана, проведенные к основанию, совпадают.
- Если в каком-то треугольнике найдутся два равных угла, или какие-то две из трех линий (биссектриса, медиана, высота) совпадут, то такой треугольник - равнобедренный.
Равнобедренный треугольник. Краткое описание и основные формулы
Равнобедренный треугольник - треугольник, у которого есть две равные стороны.
Признаки равнобедренного треугольника:
- Если в некотором треугольнике два угла равны , то он - равнобедренный.
- Если в некотором треугольнике совпадают
:
а) высота и биссектриса или
б) высота и медиана или
в) медиана и биссектриса ,
проведённые к одной стороне, то такой треугольник - равнобедренный.
Проверка домашнего задания
№ 111.
Дано: CD = BD , 1 = 2
Доказать: А B С - равнобедренный
№ 107.
сторона A С в 2 раза меньше АВ
Р = 50 см,
Р = 50 см
х + 2х + 2х = 50
х = 10
2 х
2 х
АС = 10 см,
АВ = ВС = 20 см
Какие из треугольников являются равнобедренными? Для равнобедренных треугольников назовите основание и боковые стороны.
Дано: AD - биссектриса ∆ BAC , BAC = 74 0 . Найти: BA D. (Рис.1)
Дано: КL - высота ∆ KMN. Найти: KLN . (Рис.2)
Дано: QS - медиана ∆ PQR , PS = 5,3см. Найти: PR. (Рис.3)
- Дано: ∆ АВС равнобедренный с основанием АС, ВК биссектриса, АС = 46см. Найти: АК. (Рис.4)
- Дано: ∆ АВС равнобедренный с основанием АС, ВК высота, АВС=46 0 . Найти: АВК. (Рис.5)
- Дано: ∆ С BD равнобедренный с основанием B С, DA медиана, ВDС=120 0 . Найти: ADB . (Рис.6)
7 класс
Свойства равнобедренного треугольника
Три пути ведут к знанию:
Путь размышления – это путь самый благородный,
Путь подражания – это путь самый легкий,
И путь опыта – это путь самый горький.
Конфуций.
В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.
Дано: АВС равнобедренный
Доказать:
Доказательство:
1. Проведем биссектрису BD угла В.
2. Рассмотрим ∆ АВ D и ∆ CBD:
AB = BC (по условию),
В D – общая сторона,
∠ А BD = ∠ С BD
∆ АВD = ∆CBD (по 1 признаку равенства треугольников)
3. В равных треугольниках соответственные углы равны ∠ А= ∠ С.
В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведенная к основанию, является медианой и высотой.
Дано: АВС равнобедренный,
А D – биссектриса .
Доказать: А D – высота,
А D – медиана.
Доказательство:
1) Рассмотрим и:
∆ BAD = ∆CAD (по 1 признаку равенства треугольников).
2) В равных треугольниках соответственные стороны и углы равны
1 = 2 = 90° (смежные углы).
Поэтому AD – медиана и высота ∆ АВС.
Решение задач.
Саврасова С.М., Ястребинецкий Г.А. «Упражнения по планиметрии на готовых чертежах»
110
70
70
Решение задач.
Дано: АВ = В C , 1=130 0 .
Л. С. Атанасян. «Геометрия 7-9» № 112.
Решение задач.
Найти: АВ D .
Треугольник
АВС - равнобедренный
В D – медиана
Значит, В D – биссектриса
40 0
40 0
С.М. Саврасова, Г.А. Ястребинецкий «Упражнения на готовых чертежах»
Домашнее задание:
- п. 19 (стр. 35 – 36), № 109, 112, 118.