Пусть балка имеет два состояния:

Где ∆ 12 – перемещение в точке 1 от действия силы, приложенной в точке 2.

∆ 21 – перемещение в точке 2 от силы, приложенной в точке 1.

Для вывода теоремы сначала балку загружаем силой F 1 , а затем силой F 2

Совершенная работа равна: W=W 11 +W 22 +W 12 = + + F 1 ∙∆ 12

W=W 22 +W 11 +W 21 = + + F 2 ∙∆ 21

Т.к. силы одинаковы, то и работа одинакова, из этого следует: F 1 ∙∆ 12 = F 2 ∙∆ 21 – теорема о взаимности работ (теорема Бетти): Работа сил первого состояния на перемещение второго состояния равна работе сил второго состояния на перемещение первого состояния.

Если принять F 1 =F 2 =1 (безразмерная величина), то получим теорему о взаимности перемещений (теорема Максвелла): δ 12 =δ 21 - перемещение от единичной силы. Th: перемещение в точке приложения первой единичной силы по её направлению, вызванной второй единичной силой равно перемещению в точке приложения второй единичной силы по её направлению, вызванной первой единичной силой.

10.Графоаналитеческий способ решения интеграла Мора (способ Верещагина)

Если загружен. сис-мы имеют ряд участков с различными изгиб. моментами, то вычисления интеграла несколько затруднительно. Поэтому применяют способ Верещагина.

Пусть груз. эпюра моментов имеет криволинейное очертание, а единич. эпюра изгиб. моментов имеет линейное(рисунок).В этом случае интеграл Мора .(ВЫВОД)

; dw =S y - статический момент площади груз. Эпюры моментов относительно оси У.

Статический момент любой фигуры равен произведению площади на расстояние от оси до центра тяжести фигуры где w- площадь грузовой эпюры М F ; Z c - растояние до центра тяжести.

; Однако имея значение момента от единичной нагрузки под центром тяжести груз. Эпюры .Поскольку к балке может быть приложена несколько нагрузок, то перемещение определяют для каждого участка балки – формула Верещагина, т.е перемещение равно площади криволинейной эпюры на ординату прямолинейной расположенной под центром тяжести криволинейной эпюры. В практических расчётах площадь груз. эпюры разбивают на простейшие эпюры (рисунки).

Статически неопределимые системы.Метод расчета. Основная и эквивалентная система.

Статически неопределимыми балками(рамами) наз. балки(рамы) у которых все неизвестные реакции опор невозможно определить используя только уравнения статики, тк они имеют линии связи(реакции). Степень статич неопред-ти опред-ся разностью между числами неизвестных реакций и уравнений статики.

Балки имеют 4 опорные связи,т.е 4 опорные р-ции. А ур-й статики для плоской сист. Можно составить 3, следовательно балка явл. 1 раз статич. Неопределимой. Для раскрытия статической неопред-ти необход. к ур-ю статики составить доп. Ур-е исходя из перемещения сист. Их кол-во опред. степень статич неопределимости. Если линейных неизвестных несколько то доп. ур-я сост-ся исходя из деформационных условий(прогибов) на опору балки используя метод начальных параметров.

Сост. Ур-я статики и доп. Ур-я для заданной балки: Z=0; Y=0; M(B)=0.

Доп. Ур-е запишем из условия, что прогиб на опоре B=0 . EIY(B)=0. У некоторых сист. степень статич. неопред. высокая(неразрезные балки). Доп. ур-е составляеться исходя из деформационных условий(углов поворота сечения) на промежуточных опорах балкииспользуя метод сил. Из совместного решения ур-й статики и доп-х ур-й находим все неизвестные реакции

Установив степень статической неопределимости составляеться основная система. Под основной системой понимаеться такая статически определимая система, которая получается из статически неопределимой путем отбрасывания линейных связей.

Связей 6, уравнений статики 3. 6-3=3 - 3 раза статич неопред сист

Основных систем можно выбрать множество. При выборе основной системы необходимо что бы она была геометрически и мгновенно неизменяемой.

«геометрич измененная», «мгновенно измененная»

К мгновенно измененным сист относиться системы у которых реакции опор пересекаются в одной точке. Если к основной сист. приложить отброшенные связи и нагрузку, то получим эквивалентную систему.

рассмотрим 1-ю осн ситему. Рисунок

рассмотрим 2-ю основную систему. Рисунок

Основы метода сил.

расчет по методу сил осуществляеться в след. порядке:

1) Устанавливаем степень статической неопределимости

2) Выбираем основную и эквивалентную системы. отбрасывая линии связи и заменяя их неизвестными силами Х1,Х2,Х3.

3) Записывают условия эквивалентности заданой и эквиваленнтной систем по перемещению

заданая система эквив.сист

Если у заданной сист перемещение по направлению неизвестных сил Х1,х2,Х3 отсутствует.то условия эквивалентности будут иметь вид: =0, , =0.

Выразим эти перемещения от каждой неизвестной силы и от внешней нагрузки

Перемещения:

Что касается неизвестных Х1,Х2,Х3, то их влияние на перемещение можно представить ввиде:

Х1; = Х2; = Х3 т.е определение перемещений от единич. сил приложенных в направл. связей умножают их на соответствующие неизвестные силы X. после этого ур-е перемещений по направлению 3-х неизвестных связей примут вид.

Рассмотрим два различных состояния (в порядке загружения) одной и той же упругой системы:состояния 1 при действии группы сил и состояние 2 при действий группы сил на примере балки на рис.33, а . Определим и сопоставим работу внешних сил в следующих предположениях. Сначала система постепенно загружается силами состояния 1, а затем, когда силы достигнут окончательного значения, система будет постепенно нагружаться силами состояния 2.Во втором варианте последовательность приложения сил изменяется. Сначала система нагружается силами состояния 2, а затем -силами состояния 1.Допустим, что сперва на систему начала постепенно действовать нагрузка первого состояния, а потом- второго. Суммарная работа внешних сил будет выражаться алгебраической суммой .

Рассмотрим теперь приложение нагрузки в обратной последовательности, когда сначала прикладывается нагрузка второго, а затем – первого состояния. В этом случае суммарная работа внешних сил выразится следующей алгебраической суммой: , где -работа внешних сил второго состояния на перемещениях, вызванных действием сил первого состояния.

Согласно выражению (63), суммарная работа W внешних сил равна по абсолютной величине работе А внутренних сил, взятой с обратным знаком, или потенциальной энергии деформации U .

Известно, что в линейно деформируемой системе потенциальная энергия деформации не зависит от последовательности приложения внешних сил, а зависит только от исходного и конечного состояний системы. Поскольку исходное и конечное состояния системы в обоих случаях загружения одинаковы, то и суммарные работы внешних сил будут равны, т.е. или , откуда

Полученная аналитическая зависимость выражает собой теорему о взаимности работы и формируется так: в линейно деформируемом теле возможная работа внешних или внутренних сил первого состояния на перемещениях точек их приложения, вызванных действием сил второго состояния, равна возможной работе внешних или внутренних сил второго состояния перемещениях, вызванных действием сил первого состояния. Это так называемая теорема Бетти-Рэлея.

Теорема о взаимности перемещений может быть представлена как частный случай теоремы о взаимности работ. Пусть на балку в первом состоянии действует только одна единичная сила , а во втором состоянии – тоже одна единичная сила (рис.34,а, б ). Сила приложена в точке 1, а сила – в точке 2. На основании теоремы о взаимности работ приравняем возможную работу внешних сил первого состояния на перемещениях второго состояния работе сил второго состояния на перемещениях первого состояния:

Это аналитическое выражение для теоремы взаимности перемещений, которая формулируется так: перемещение точки приложения первой единичной силы по направлению, вызванное действием второй единичной силы, равно перемещению по направлению второй единичной силы, вызванному действием первой единичной силы, это так называемая теорема Максвелла, имеющая фундаментальное значение в строительной механике.

Рисунок 34 – Определение взаимности перемещений

Литература:

Основная: 6[разр.3: с 29-31; разр.5:с 36-47].

Контрольные вопросы:

1 Для чего нужно уменьшит размеры панелей и с какой целью вводятся дополнительные двухопорные фермочки-шпренгели, а также сколько и какие категории различают в шпренгельных фермах, и как определяются усилия в элементах основной и дополнительных ферм?

2 Какими функциями выражаются деформации (перемещения)в упругих системах и как аналитически это может быть записано, а также при каких допущениях, назовите их, перемещения, и деформации рассматриваемых упругих систем подчиняются закону независимости действия сил?

3 Для чего анализируют работу внешних и внутренних сил упругого тела и какими понятиями при этом пользуются в строительной механике, а также по какой зависимости определяется работа деформации элементов сооружения при статическом приложении внешних сил, дайте определение теореме Клайперона?

4 По какой зависимости определяется работа всех внешних сил действующих на балку и через какие силы может быть выражена работа внутренних сил упругой стержневой системы?

5 По какой зависимости определяется полная работа внутренних сил и почему работа внешних и внутренних сил называется возможной?

6 Какая аналитическая зависимость выражает теорему о взаимности работы и как формулируется (теорема Бетти-Релея)?

5 Единичное состояние о.С.

Горизонтальное перемещение т. В, вызванное действием сил , равно нулю.

По теореме Максвелла о взаимности перемещений: , т.е. взаимное перемещение по вертикали сечений С 1 и С 2 , вызванное действием силы , равно нулю.

Чтобы определить перемещение ∆ 3 F , необходимо построить и перемножить эпюры от сил и.

1 1 P

D

3 Единичное состояние о.С.

Грузовое состояние О.С.

Решая систему канонических уравнений, находят лишние неизвестные x i . Окончательную эпюру изгибающих моментов строят, используя принцип суперпозиции.

Для проверки правильности эпюры М используют статическую и кинематическую проверки. Статическая заключается в проверке равновесия всех узлов рамы, выделенных из конструкции и находящихся под действием изгибающих моментов в сходящихся стержнях и внешних моментов, приложенных в узлах. Например, для эпюры M F получаем для узла D :

D - узелD в равновесии.

Кинематическая проверка заключается в отсутствии суммарных перемещений в заданной системе по направлению отбрасываемых связей:

т.е. необходимо перемножить каждую из единичных эпюр на окончательную эпюруМ . Если ноль не получается, то допущена как минимум одна ошибка в расчетах (при первом расчете таких ошибок несколько). Для того, чтобы избежать неопределенности в нахождении ошибки, разработана система пошаговых промежуточных проверок.

Эпюра поперечных сил Q для простых рам строится методом сечений. Для сходных рам эпюру Q строят путем вырезания отдельных стержней рамы с последующим рассмотрением их равновесия под действием внешних нагрузок и внутренних усилий по концам стержней. Так как нагрузки известны, изгибающие моменты можно принять с окончательной эпюры М, а продольные силы в составлении уравнений равновесия не участвуют, то можно вычислить поперечные силы по концам стержней.

Рассмотрим стержень ij :

y P q M

M ij i j M ij

N ij

N ij

Q ij Q ij

Эпюру продольных сил N для простой рамы можно построить методом сечений. Для схожей рамы эпюру N строят путем рассмотрения равновесия вырезанных узлов, находящихся под действием активных нагрузок поперечных сил, взятых с эпюры Q, и продольных сил. Необходимо последовательно рассматривать узлы, в которых неизвестными являются не более двух продольных сил. Например, для узла k получаем:

P 1 N kj j

P 2 K Q kj

Q ki

N ki

Для статической проверки всей рамы в целом необходимо приложить все опорные реакции и составить три уравнения равновесия, которые должны тождественно выполняться ():

Метод перемещений

Рассмотрим альтернативный по отношению к методу сил метод раскрытия статической неопределимости стержневых систем, названный методом перемещений. В методе сил за неизвестные принимают реакции и (или) внутренние усилия в лишних связях, которые находят из равенства нулю перемещений по направлению отброшенных связей. В методе перемещений за неизвестные принимают перемещения подвижных узлов конструкции, которые находят из равенства нулю реакций в воображаемых опорных связях, препятствующих перемещениям узлов: в методе сил часть связей отбрасывается, а в методе перемещений, наоборот, вводится некоторое число новых связей. На первый взгляд, кажется, что мы усложняем задачу, вводя дополнительные связи, но благодаря оригинальному подходу это не так. Дело в том, что вводя в реальную конструкцию ряд виртуальных связей, мы получаем набор базовых случаев нагружения балок, используемых при расчете большого многообразия стержневых систем. Такой подход легко поддается программированию на ЭМВ.

Рассмотрим простую П-образную раму и представим возможную схему ее деформации при воздействии внешних нагрузок с учетом следующих упрощающих предпосылок:

Стержни при изгибе искривляются, но своей длины не изменяют;

Жесткие узлы поворачиваются так, что углы между примыкающими стержнями не изменяются.

Жесткие узлы D, E, F, G повернутся на некоторые углы θ 1 -θ 4 и переместятся по горизонтали на величину ∆ 1 и ∆ 2 . Т.к. стержни не растяжимы, то DD 1 =EE 1 =∆ 1 и FF 1 =GG 1 =∆ 2. Таким образом общее число неизвестных равно степени кинематической неопределимости n k =n y +n л =4+2=6.

Число угловых неизвестных n y равно числу жестких узлов рамы. Число линейных неизвестных n л равно числу степеней свободы шарнирной модели. n л =W ш.м. =3D-2U ш -С=3*6-2*8-0=2.

Выбираем основную систему метода перемещений, вводя в жестких узлах виртуальные (воображаемые) заделки, препятствующие повороту, и линейные связи в узлах E, G, препятствующие горизонтальному перемещению.

Если теперь повернуть виртуальные заделки на углы θ 1 -θ 4 и сместить линейные связи на величину ∆ 1 и ∆ 2 , и кроме того приложить внешние нагрузки , то мы получимэквивалентную систему , полностью адекватную заданной системе как в кинематическом смысле (равны соответствующие перемещения), так и в статическом (равны соответствующие реакции в реальных и виртуальных связях). Обозначим неизвестные буквами Z i .

Эквивалентная система

D D 1 P 1 E E 1 Z 1 P 1 Z 5 Z 2

Заданная система

Шарнирная модель

Основная система

Вычислим реакции в виртуальных связях, вызванные угловыми и линейными перемещениями Z i , а также внешними заданными нагрузками , используя принцип суперпозиции. Для связи i получаем в эквивалентной системе:

где – реакция в связиi , вызванная действием единичного перемещения j связи ,- реакция всвязиi от действия внешней нагрузки .

Так как в заданной системе виртуальные связи отсутствуют, то для нее .

На основе адекватности эквивалентной и заданной систем получаем , т.е..

Раскрывая по всем i , получаем систему канонических уравнений метода перемещений:

Реакции в основной системе от различных воздействий могут быть найдены методом сил. Встречаются два основных случая опирания балок:

Глухие заделки с двух сторон;

Одна глухая заделка и одно шарнирное опирание.

В качестве примера рассмотрим определенные реакций, возникающих при повороте заделки А на угол .

Балка 2 раза статически неопределима n=R-U=4-2=2.

х 1

э.с. х 2

1 Е.С. , 1 Е. Эп.

2 Е.С. , 2 Е. Эп

1 l *1

Выбираем основную систему метода сил, отбрасываем связи в опоре В, и показываем эквивалентную систему. Записываем систему канонических уравнений:

Рассматриваем 1 и 2 единичные и грузовое состояние основной системы. В роли внешней нашрузки выступает угол поворота левой опоры. Вычислим податливостии перемещения∆ iF .

Подставляем в систему:

или

Из уравнений равновесия находим:

По полученным данным строится эпюра изгибающий моментов в заданной балке от единичного угла поворота.

Эпюра построена на растянутых волокнах.

Рассмотрим действие на балку силы Р.

Заданная система

Основная система

Эквивалентная система

Pl /4

Мы получили два элемента библиотеки базовых случаев нагружения. Аналогично найдены решения для других случаев, которые как «кирпичики» используются при расчете рам.

Рассмотрим I единичное и грузовое состояния основной системы.

P 2

P 1

M F

r 11

Для показанной выше рамы, например, можно записать:

где h и l – длины стоек и ригелей, сходящихся в узле D; Y c и Y p – моменты инерции стоек и ригелей. Аналогично находим:

После нахождения «единичных» r ij и грузовых R iF реакций решается система уравнений относительно перемещений узлов Z i . Затем строится окончательная эпюра изгибающих моментов.

где – эпюра изгибающих моментов в основной системе метода перемещений от единичного перемещения- то же от внешней нагрузки.

Аналогично методу сил, в методе перемещений имеется целый ряд промежуточных и окончательных проверок правильности решения задачи.

На основании теоремы о взаимности работ (9) имеем F 1 δ 12 =F 2 δ 21 , но если принять, чтоF 1 =F 2 = 1, тогда получаемδ 12 =δ 21 , или в общем виде

δ ij = δ ji . (10)

«Перемещение точки приложения первой единичной силы по ее направлению, вызванное второй единичной силой, равно перемещению точки приложения второй единичной силы по ее направлению, вызванному первой единичной силой».

Л е к ц и я 9

Определение перемещений. Интеграл мора

Рассмотрим два состояния (рис. 1). Составим выражение работы W 21 , то есть работы силыF 2 = 1 на перемещении Δ 21:

W 21 = F 2 Δ 21 = Δ 21 . (1)

Согласно формулы (7) лекции 8 получаем

W 12 = W – W 11 – W 22 , (2)

(3)

M , N , Q – это моменты, нормальные и поперечные силы от суммарного действия силF 1 иF 2 (рис. 7 лекции 8), т.е.

M = M 1 + M 2 , N = N 1 + N 2 , Q = Q 1 + Q 2 . (4)

Значения (4) подставляем в формулу (3), а результат и выражения для W 11 иW 22 – в формулу (2). В итоге получим

а с учетом равенства (1) имеем

где черточки показывают, что эти значения возникают от единичных сил.

Формулу (6) можно записать в общем виде:

Выражение (7) – это формула для определения перемещений в конкретном сечении конструкции или интеграл Мора (формула Мора ).

При расчете балок и рам учитывают влияние только изгибающих моментов M , а влияниемN иQ пренебрегают.

Правило Верещагина

«Интеграл произвед ения двух функций, из которых одна линейная, а другая – произвольная, равен площади произвольной функции, умноженной на ординату из прямоугольной функции, лежащей под центром тяжести площади произвольной функции».

Например, имеем две эпюры моментов М F и
(рис. 2), тогда по формуле (7) получаем при использовании правила Верещагина:

(8)

Запишем еще три положения, вытекающие из правила Верещагина:

1. Ордината у С должна быть взята из прямолинейной эпюры. Если обе эпюры – прямолинейные, то ординатуу С можно брать из любой.

2. Перемножаемые эпюры не должны иметь изломов. При их наличии эпюры необходимо перемножать по участкам.

3. Для перемножения двух прямолинейных эпюр (рис. 3) можно использовать формулу:

Пример. Пусть дана балка, загруженная равномерно распределенной нагрузкойq (рис. 4). Вычислим прогиб балки в точкеС при ее изгибной жесткостиEI =const. При расчете учитываем только влияние изгибающих моментов, поэтому принимаем интеграл Мора в виде (8):

(9)

где

Вычисляем перемещение Δ С при помощи интеграла Мора (9):

Вычисляем перемещение Δ С при помощи интеграла Мора (9), но с использованием правила перемножения эпюр Верещагина:

Л е к ц и я 10

Определение перемещения сечения стержня плоской статически определимой стержневой системы при действии внешней нагрузки

Данную тему рассмотрим на конкретных примерах.

Пример 1 . Определим прогиб конца консоли (рис. 1). Построим грузовую эпюру моментов и эпюру изгибающих моментов от единичной силы, приложенной на конце консоли (рис. 1). Используя правило Верещагина, имеем:

Пример 2. Определим горизонтальное смещение точкиС рамы, изображенной на рис. 2.

A MF

Построим эпюры изгибающих моментов от внешней нагрузки (М F ) и от силыР = 1, приложенной в точкеС по направлению искомого горизонтального смещения (
), тогда

Знак (–) в ответе означает, что горизонтальное смещение точки С и направление единичной силыР = 1 не совпадают.

Пример 3. Определим горизонтальное перемещение точкиВ от действия сосредоточенной силыF (рис. 3).

Для криволинейного бруса изгибающий момент в произвольной точке С можно записать в виде:

Если приложить единичную силу в точке В по направлению действия внешней сосредоточенной силыF (в направлении искомого перемещения), то

и тогда горизонтальное перемещение точки В при учете только изгибающего момента будет

Найдем горизонтальное перемещение точки В при учете только нормальных силN F , в этом случае

Учтем влияние поперечной силы Q F на величину горизонтального смещения этой же точкиВ :

Горизонтальное перемещение точки В при учете изгибающего момента, нормальных и поперечных внутренних сил будет

Если учесть, что для прямоугольного поперечного сечения I z =bh 3 /12,А = bh , а также, чтоG = 0,5Е /(1 +ν ), то

Таким образом, если (R / h ) > 1, то при определении горизонтального перемещения влиянием нормальных и поперечных сил можно пренебречь.