§ 5. Частные производные сложных функций. дифференциалы сложных функций

1. Частные производные сложной функции.

Пусть – функция двух переменных, аргументы которой и , сами являются функциями двух или большего числа переменных. Например, пусть
,
.

Тогда будет сложной функцией независимых переменных и , переменные и будут для нее промежуточными переменными. Как в этом случае найти частные производные функции по и ?

Можно, конечно, выразить непосредственно через и :

и искать частные производные от получившейся функции. Но выражение может оказаться очень сложным, и нахождение частных производных , потребует тогда больших усилий.

Если функции
,
,
дифференцируемы, то найти и можно не прибегая к непосредственному выражению через и . В этом случае будут справедливы формулы

(5.1)

Действительно, дадим аргументу приращение
, – const. Тогда функции
и получат приращения

а функция получит приращение

где , – бесконечно малые при
,
. Разделим все члены последнего равенства на . Получим:

Так как по условию функции и дифференцируемы, то они непрерывны. Следовательно, если
, то и . А значит, переходя в последнем равенстве к пределу при получим:

(так как , – бесконечно малые при , ).

Аналогично доказывается и второе равенство из (5.1).

ПРИМЕР. Пусть
, где
,
. Тогда является сложной функцией независимых переменных и . Для нахождения ее частных производных воспользуемся формулой (5.1). Имеем

Подставляя в (5.1), получаем

,

Формулы (5.1) естественным образом обобщаются на случай функции большего числа независимых и промежуточных аргументов. А именно, если ,

………………………

и все рассматриваемые функции дифференцируемы, то для любого
имеет место равенство

Возможен также случай, когда аргументы функции являются функциями только одной переменной, т.е.

,
.

Тогда будет являться сложной функцией только одной переменной и можно ставить вопрос о нахождении производной . Если функции ,
,
дифференцируемы, то она может быть найдена по формуле
(5.2)

ПРИМЕР. Пусть
, где
,
. Здесь является сложной функцией одной независимой переменной . Пользуясь формулой (5.2) получим

.

И, наконец, возможен случай, когда роль независимой переменной играет , т.е. ,

где
.

Из формулы (5.2) тогда получаем

(5.3)

(так как
). Производная , стоящая в формуле (5.3) справа – это частная производная функции по . Она вычисляется при закрепленном значении . Производная в левой части формулы (5.3) называется полной производной функции . При ее вычислении учтено, что зависит от двояким образом: непосредственно и через второй аргумент .

ПРИМЕР. Найти и для функции
, где
.

Имеем
.

Для нахождения воспользуемся формулой (5.3). Получим

.

И в заключение этого пункта заметим, что формулы (5.2) и (5.3) легко обобщить на случай функций с большим числом промежуточных аргументов.

2. Дифференциал сложной функции.

Напомним, что если

– дифференцируемая функция двух независимых переменных, то по определению

, (5.4)

или в другом виде
. (5.5)

Преимущество формулы (5.5) в том, что она остается верна и в том случае, когда – сложная функция.

Действительно, пусть , где , . Предположим, что функции , , дифференцируемы. Тогда сложная функция тоже будет дифференцируема и ее полный дифференциал по формуле (5.5) будет равен

.

Применяя формулу (5.1) для вычисления частных производных сложной функции, получаем

Так как в скобках стоят полные дифференциалы функций и , то окончательно имеем

Итак, мы убедились, что и в том случае, когда и – независимые переменные, и в том случае, когда и – зависимые переменные, дифференциал функции можно записать в виде (5.5). В связи с этим, данная форма записи полного дифференциала называется инвариантной . Предложенная в (5.4) форма записи дифференциала не будет инвариантной, она может использоваться только в том случае, когда и – независимые переменные. Не будет инвариантной и форма записи дифференциала -го порядка. Напомним, что ранее мы показали, что дифференциал порядка функции двух переменных может быть найден по формуле

. (4.12)

Но если и не являются независимыми переменными, то формула (4.12) при
перестает быть верной.

Очевидно, что все рассуждения, проведенные в этом пункте для функции двух переменных, можно повторить и в случае функции большего числа аргументов. Следовательно, для функции дифференциал тоже может быть записан в двух видах:

причем вторая форма записи будет инвариантной, т.е. справедливой и в том случае, когда
являются не независимыми переменными, а промежуточными аргументами.

§ 6. Дифференцирование неявных функций

Говоря о способах задания функции одной и нескольких переменных, мы отмечали, что аналитическое задание функции может быть явным или неявным. В первом случае значение функции находится по известным значениям аргументов; во втором – значение функции и ее аргументов связаны некоторым уравнением. При этом мы не уточняли, когда уравнения

и

определяют неявно заданные функции и соответственно. Удобные для применения достаточные условия существования неявной функции переменных (
) содержатся в следующей теореме.

ТЕОРЕМА 6.1 . (существования неявной функции) Пусть функция
и ее частные производные
определены и непрерывны в некоторой окрестности точки . Если
и
, то существует такая окрестность точки , в которой уравнение

определяет непрерывную функцию причем

1) Рассмотрим уравнение
. Условия теоремы выполняются, например, в любой окрестности точки
. Следовательно, в некоторой окрестности точки
это уравнение определяет как неявную функцию двух переменных и . Явное выражение этой функции легко получить, разрешив уравнение относительно :

2) Рассмотрим уравнение
. Оно определяет две функции двух переменных и . Действительно, условия теоремы выполняются, например, в любой окрестности точки

, в которой заданное уравнение определяет непрерывную функцию, принимающую в точке значение
.

С другой стороны, условия теоремы выполняются в любой окрестности точки
. Следовательно, в некоторой окрестности точки уравнение определяет непрерывную функцию, принимающую в точке значение
.

Так как функция не может принимать в одной точке два значения, значит здесь идет речь о двух различных функциях
и соответственно. Найдем их явные выражения. Для этого разрешим исходное уравнение относительно . Получим

3) Рассмотрим уравнение
. Очевидно, что условия теоремы выполняются в любой окрестности точки
. Следовательно, найдется такая окрестность точки
, в которой уравнение определяет как неявную функцию переменной . Получить явное выражение для этой функции невозможно, так как уравнение нельзя разрешить относительно .

4) Уравнение
не определяет никакой неявной функции, так как нет таких пар действительных чисел и , которые ему удовлетворяют.

Функция
, заданная уравнением
, согласно теореме 6.1, имеет в окрестности точки непрерывные частные производные по всем аргументам. Выясним, как можно их найти, не имея явного задания функции.

Пусть функция
удовлетворяет условиям теоремы 6.1. Тогда уравнение
непрерывную функцию
. Рассмотрим сложную функцию
, где . Функция является сложной функцией одной переменной , причем если
, то

(6.1)

С другой стороны, по формуле (5.3) для вычисления полной производной
(6.2)

Из (6.1) и (6.2) получаем, что если , то

(6.3)

Замечание. Делить на можно, так как согласно теореме 6.1
в любой точке окрестности .

ПРИМЕР. Найти производную неявной функции , заданной уравнением и вычислить ее значение при
.

,
.

Подставив частные производные в формулу (6.3), получим

.

Далее, подставляя в исходное уравнение , найдем два значения :
и
.

Следовательно, в окрестности точки уравнение определяет две функции:
и
, где
,
. Их производные при будут равны

и
.

Пусть теперь уравнение
определяет в некоторой окрестности точки
функцию . Найдем . Напомним, что фактически это обыкновенная производная функции , рассматриваемой как функция переменной при постоянном значении . Поэтому мы можем применить для нахождения формулу (6.3), считая функцией, – аргументом, – константой. Получим

. (6.4)

Аналогично, считая функцией, – аргументом, – константой по формуле (6.3) находим

. (6.5)

ПРИМЕР. Найти частные производные функции , заданной уравнением
.

,
,
.

Пользуясь формулами (6.4) и (6.5), получим

,
.

И, наконец, рассмотрим общий случай, когда уравнение

определяет в некоторой окрестности точки функцию переменных . Повторяя рассуждения, проведенные для неявно заданной функции двух переменных, получим

,
, …,
.

§ 7. Производная по направлению

1. Производная по направлению.

Пусть функция двух переменных определена в некоторой области
плоскости
, – точка области , –вектор любого направления. Перейдем из точки
в точку в направлении вектора . Функция получит при этом приращение

Разделим приращение функции
на длину отрезка смещения
. Полученное отношение
дает среднюю скорость изменения функции на участке
. Тогда предел этого отношения при
(если он существует и конечен) будет являться скоростью изменения функции в точке
в направлении вектора . Его называют производной функции в точке по направлению вектора и обозначают
или
.

Помимо величины скорости изменения функции, позволяет определить и характер изменения функции в точке в направлении вектора (возрастание или убывание):

Доказываются эти утверждения также, как и подобные для функции одной переменной.

Заметим, что частные производные функции являются частным случаем производной по направлению. А именно,
это производная функции по направлению вектора (направлению оси
), – производная функции по направлению вектора (направлению оси
).

Предположим, что функция дифференцируема в точке . Тогда

где – бесконечно малая при
.

Очень часто при решении практических задач (например, в высшей геодезии или аналитической фотограмметрии) появляются сложные функции нескольких переменных, т. е. аргументы x, y, z одной функцииf (x,y,z) ) сами являются функциями от новых переменныхU, V, W ).

Так, например, бывает при переходе от неподвижной системы координат Oxyz в подвижную системуO 0 UVW и обратно. При этом важно знать все частные производные по "неподвижным" - "старым" и "подвижным" - "новым" переменным, так как эти частные производные обычно характеризуют положение объекта в этих системах координат, и, в частности, влияют на соответствие аэрофотоснимков реальному объекту. В таких случаях применяются следующие формулы:

То есть задана сложная функцияT трех "новых" переменныхU, V, W посредством трёх "старых" переменныхx, y, z, тогда:

Замечание. Возможны вариации в количестве переменных. Например: если

В частности, еслиz = f(xy), y = y(x) , то получаем так называемую формулу "полной производной":

Эта же формула "полной производной" в случае:

примет вид:

Возможны и иные вариации формул (1.27) - (1.32).

Замечание: формула "полной производной" используется в курсе физики, раздел "Гидродинамика" при выводе основополагающей системы уравнений движения жидкости.

Пример 1.10. Дано:

Согласно (1.31):

§7 Частные производные неявно заданной функции нескольких переменных

Как известно, неявно заданная функция одной переменной определяется так: функция у независимой переменной x называется неявной, если она задана уравнением, не разрешенным относительноy :

Пример 1.11.

Уравнение

неявно задаёт две функции:

А уравнение

не задаёт никакой функции.

Теорема 1.2 (существования неявной функции).

Пусть функция z =f(х,у) и ее частные производныеf" x иf" y определены и непрерывны в некоторой окрестностиU M0 точкиM 0 (x 0 y 0 ) . Кроме того,f(x 0 ,y 0 )=0 иf"(x 0 ,y 0 )≠0 , тогда уравнение (1.33) определяет в окрестностиU M0 неявную функциюy= y(x) , непрерывную и дифференцируемую в некотором интервалеD с центром в точке x 0 , причемy(x 0 )=y 0 .

Без доказательства.

Из теоремы 1.2 следует, что на этом интервале D :

то- есть имеет место тождество по

где "полная" производная находится согласно (1.31)

То есть (1.35) дает формулу нахождения производной неявно заданной функции одной переменной x .

Аналогично определяется и неявная функция двух и более переменных.

Например, если в некоторой области V пространстваOxyz выполняется уравнение:

то при некоторых условиях на функцию F оно неявно задаёт функцию

При этом по аналогии с (1.35) ее частные производные находятся так:

Пример 1.12. Считая, что уравнение

неявно задаёт функцию

найти z" x , z" y .

поэтому согласно (1.37) получаем ответ.

§8 Частные производные второго и более высоких порядков

Определение 1.9 Частные производные второго порядка функции z=z(x,y) определяются так:

Их оказалось четыре. Причем, при некоторых условиях на функции z(x,y) выполняется равенство:

Замечание. Частные производные второго порядка могут обозначаться и так:

Определение 1.10 Частных производных третьего порядка - восемь (2 3).

Частные производные применяются в заданиях с функциями нескольких переменных. Правила нахождения точно такие же как и для функций одной переменной, с разницей лишь в том, что одну из переменных нужно считать в момент дифференцирования константой (постоянным числом).

Формула

Частные производные для функции двух переменных $ z(x,y) $ записываются в следующем виде $ z"_x, z"_y $ и находятся по формулам:

Частные производные первого порядка

$$ z"_x = \frac{\partial z}{\partial x} $$

$$ z"_y = \frac{\partial z}{\partial y} $$

Частные производные второго порядка

$$ z""_{xx} = \frac{\partial^2 z}{\partial x \partial x} $$

$$ z""_{yy} = \frac{\partial^2 z}{\partial y \partial y} $$

Смешанная производная

$$ z""_{xy} = \frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y} $$

$$ z""_{yx} = \frac{\partial^2 z}{\partial y \partial x} $$

Частная производная сложной функции

а) Пусть $ z (t) = f(x(t), y(t)) $, тогда производная сложной функции определяется по формуле:

$$ \frac{dz}{dt} = \frac{\partial z}{\partial x} \cdot \frac{dx}{dt} + \frac{\partial z}{\partial y} \cdot \frac{dy}{dt} $$

б) Пусть $ z (u,v) = z(x(u,v),y(u,v)) $, тогда частные производные функции находится по формуле:

$$ \frac{\partial z}{\partial u} = \frac{\partial z}{\partial x} \cdot \frac{\partial x}{\partial u} + \frac{\partial z}{\partial y} \cdot \frac{\partial y}{\partial u} $$

$$ \frac{\partial z}{\partial v} = \frac{\partial z}{\partial x} \cdot \frac{\partial x}{\partial v} + \frac{\partial z}{\partial y} \cdot \frac{\partial y}{\partial v} $$

Частные производные неявно заданной функции

а) Пусть $ F(x,y(x)) = 0 $, тогда $$ \frac{dy}{dx} = -\frac{f"_x}{f"_y} $$

б) Пусть $ F(x,y,z)=0 $, тогда $$ z"_x = - \frac{F"_x}{F"_z}; z"_y = - \frac{F"_y}{F"_z} $$

Примеры решений

1°. Случай одной независимой переменной . Если z=f(x,y) есть дифференцируемая функция аргументов х и у, которые в свою очередь являются дифференцируемыми функциями независимой переменной t : , то производная сложной функции может быть вычислена по формуле

Пример. Найти , если , где .

Решение. По формуле (1) имеем:

Пример . Найти частную производную и полную производную , если .

Решение. .

На основании формулы (2) получаем .

2°. Случай нескольких независимых переменных.

Пусть z = f (x ; y ) - функция двух переменных х и у, каждая из которых является функцией независимой переменной t : х = x (t ), у = y (t ). В этом случае функция z = f (x (t ); y (t )) является сложной функцией одной независимой переменной t; переменные х и у - промежуточные переменные.

Теорема . Если z == f (x ; у) - дифференцируемая в точке М(х;у) D функция и х = x (t ) и у =y (t ) - дифференцируемые функции независимой переменной t, то производная сложной функции z (t ) == f (x (t ); y (t )) вычисляется по формуле

Частный случай: z = f (x ; у), где у = у(х), т.е. z = f (x ; y (x )) - сложная функция одной независимой переменной х. Этот случай сводится к предыдущему, причем роль переменной t играет х. Согласно формуле (3) имеем:

.

Последняя формула носит название формулы полной производной.

Общий случай: z = f (x ; y ), где х = x (u ; v ), y = y (u ; v ). Тогда z = f { x (u ; v ); y (u ; v )) - сложная функция независимых переменных и и v . Ее частные производные и можно найти, используя формулу (3) следующим образом. Зафиксировав v, заменяем в ней , соответствующими частными производными

Таким образом, производная сложной функции (z ) по каждой независимой переменной (и и v) равна сумме произведений частных производных этой функции (z) по ее промежуточным переменным (x и у) на их производные по соответствующей независимой переменной (u и v).

Во всех рассмотренных случаях справедлива формула

(свойство инвариантности полного дифференциала).

Пример. Найти и , если z =f (x ,y ), где x =uv , .

Решение. Применяя формулы (4) и (5), получим:

Пример. Показать, что функция удовлетворяет уравнению .

Решение. Функция зависит от х и у через промежуточный аргумент , поэтому

Подставив частные производные в левую часть уравнения, будем иметь:

Т. е. функция z удовлетворяет данному уравнению.

Производная в данном направлении и градиент функции

1°. Производная функции в данном направлении . Производной функции z=f (x,y) в данном направлении называется , где и - значения функции в точках и . Если функция z дифференцируема, то справедлива формула

где - углы между направлением l и соответствующими координатными осями. Производная в данном направлении характеризует скорость изменения функции в этом направлении.

Пример. Найти производную функции z = 2х 2 - Зу 2 в точке P (1; 0) в направлении, составляющем с осью ОХ угол в 120°.

Решение. Найдем частные производные данной функции и их значения в точке P .

Теорема. Пусть u = f (х, у) задана в области D и пусть х = х(t) и у = у(t) определены в области , причём, когда , то х и у принадлежат области D . Пусть функция u дифференцируема в точке M 0 (x 0 , y 0 , z 0), а функции х (t) и у (t) дифференцируемы в соответствующей точке t 0 , то сложная функция u = f [x (t ), y (t )]=F (t ) дифференцируема в точке t 0 и имеет место равенство:

.

Доказательство. Так как u дифференцируема по условию в точке (x 0 , y 0), то её полное приращение представляется в виде

Разделив это соотношение на , получим:

Перейдём к пределу при и получим формулу

.

Замечание 1. Если u = u (x, y ) и x = x , y = y (x ), то полная производная функции u по переменной х

или .

Последнее равенство можно использовать для доказательства правила дифференцирования функции одной переменной, заданной неявно в виде F (x , y ) = 0, где y = y (x ) (см. тему № 3 и пример 14).

Имеем: . Отсюда . (6.1)

Вернёмся к примеру 14 темы № 3:

;

.

Как видим, ответы совпали.

Замечание 2. Пусть u = f (х, у ), где х = х (t , v ), у = у (t , v ). Тогда u есть в конечном счёте сложная функция двух переменных t и v . Если теперь функция u дифференцируема в точке M 0 (x 0 , y 0), а функции х и у дифференцируемы в соответствующей точке (t 0 , v 0), то можно говорить о частных производных по t и v от сложной функции в точке (t 0 , v 0). Но если мы говорим о частной производной по t в указанной точке, то вторая переменная v считается постоянной и равной v 0 . Следовательно, речь идёт о производной только от сложной функции по t и, следовательно, мы можем воспользоваться выведенной формулой. Таким образом, получим:

и .

Пример 13. Найти полную производную функции u = x y , где x = sin t , y = cos t .

41. Экстремумы функции нескольких переменных.

Экстремум функции нескольких переменных. Необходимые и достаточные условия существования экстремума

Определение 7. Точка называется точкой минимума (максимума) функции, если существует такая окрестность точки, что для всех точек из этой окрестности выполняется неравенство, ().

Точки минимума и максимума функции называются точками экстремума, а значения функции в этих точках - экстремумами функции (минимумом и максимумом соответственно).

Заметим, что минимум и максимум функции имеют локальный характер, так как значение функции в точке сравнивается с ее значениями в точках, достаточно близких к.

Теорема 1 (необходимые условия экстремума). Если - точка экстремума дифференцируемой функции, то ее частные производные и в этой точке равны нулю: .

Точки, в которых частные производные первого порядка равны нулю, называются критическими или стационарными. В критических точках функция может иметь экстремум, а может и не иметь.

Теорема 2 (достаточное условие экстремума). Пусть функция: а) определена в некоторой окрестности критической точки, в которой и; б) имеет непрерывные частные производные второго порядка. Тогда, если, то функция в точке имеет экстремум: максимум, если А<0; минимум, если А>0; если, то функция в точке экстремума не имеет. В случае вопрос о наличии экстремума остается открытым.

При исследовании функции двух переменных на экстремум рекомендуется использовать следующую схему:

1. Найти частные производные первого порядка: и.

2. Решить систему уравнений и найти критические точки функции.

3. Найти частные производные второго порядка: , .

4. Вычислить значения частных производных второго порядка в каждой критической точке и, используя достаточные условия, сделать вывод о наличии экстремума.

5. Найти экстремумы функции.

Пример 6. Найти экстремумы функции.

Решение. 1. Находим частные производные и:

2. Для определения критических точек решаем систему уравнений

Из первого уравнения системы находим: . Подставляя найденное значение y во второе уравнение, получим

Находим значения y, соответствующие значениям. Подставляя значения в уравнение, получим: .

Таким образом, имеем две критические точки: и.

3. Находим частные производные второго порядка:

4. Вычисляем значения частных производных второго порядка в каждой критической точке. Для точки имеем:

то в точке экстремума нет.

и, следовательно,

Значит, в силу достаточного условия экстремума, в точке функция имеет минимум, так как в этой точке и.