Участие в олимпиадах по математике — это отличная возможность проверить свои знания и способности, проявить и отточить навыки нестандартного мышления, которые очень пригодится подростку во взрослой жизни. И хотя главный девиз любых олимпийских игр состоит в том, что главное не победа, а участие, каждый атлет хочет стать победителем. Именно поэтому подготовка к олимпиадам по математике – это очень важно. Причём, как для спортсменов, готовящихся к олимпийским играм, очень важная поддержка личного тренера, так и для школьников при подготовке к олимпиадам по математике очень важна помощь .

Главной задачей проведения олимпиад является проверка уровня знаний лучших учеников школы, а также выявление среди них самого умного и одаренного ребенка. Помимо этого олимпиады стимулируют учеников более углубленно изучать материал и искать дополнительные источники знаний по предмету.

Организация и проведение олимпиад по математике среди школьников преследует следующие цели:

• выявление самых умных, сообразительных и одаренных учеников;
• развитие творческих способностей и нестандартного мышления;
• повышение интереса к углубленному изучению предмета;
• создание условий поддержки и поощрения одаренных детей;
• популяризация математики среди учеников школ.

Участие в олимпиадах по математике готовит учеников к жизни в современном обществе. Это своеобразный трамплин в прекрасное будущее. Победа в олимпиаде по математике предоставляет льготные условия поступления в ведущие вузы страны на бесплатное обучение. Плюс к тому это дополнительное преимущество даже при поступлении на общих основаниях.

Как добиться победы в олимпиаде по математике?

Для того, чтобы ученик смог добиться победы в олимпиаде по математике, требуется сочетание следующих важнейших факторов:

• Знание материала школьной программы. Это самая первая и базовая ступенька. Если у ученика есть даже незначительные пробелы со знанием школьной программы, то ни о какой победе на олимпиаде и речи быть не может. Эти пробелы нужно заполнить необходимыми знаниями в самый короткий срок.
• Знание материала, который выходит за пределы школьной программы. Для победы в олимпиаде не достаточно только тех знаний, которые дает учитель на уроке. Нужно более углубленное изучение тем. В таком случае не обойтись без подготовки к олимпиадам по математике с репетитором. Только он, занимаясь с учеником дополнительно и индивидуально, сможет дать ему полный объем необходимой информации. Это не обязательно должен быть посторонний человек, вполне вероятно школьный учитель с радостью справится с такой задачей. К тому же он знает уровень подготовки ребенка и возможные пробелы.
• Смекалка. Не все задачи, особенно олимпиадные, решаются по определенной проработанной схеме. Довольно часто, для того чтоб решить задачу с высоким уровнем сложности, нужно проявить еще и смекалку. Именно гибкость ума помогает учениками находить нестандартный выход в тех ситуациях, в которых остальные просто теряются.
• Практика. Только при наличии постоянной практики в решении задач разных форм, видов, тем, ученик сможет полноценно подготовиться к олимпиаде. Благо сейчас есть большое количество сборников олимпиадных задач, примеры заданий за прошлые года. Также стоит активно использовать сеть интернет, которая постоянно пополняется новыми задачами.

Задача репетитора состоит в том, чтобы сформировать образовательную среду и обеспечить развитие одновременно всех этих способностей. Только в таком случае подготовка к олимпиадам по математике пройдет на самом высоком уровне.

Особенности подготовки к олимпиадам по математике

Сложность олимпиады для учеников заключается в первую очередь в том, что в течение весьма ограниченного промежутка времени ученик должен решить несколько достаточно сложных и нестандартных задач. Это возможно только в том случае, если ребёнок хорошо подготовлен. Среди задач, которые встречаются в олимпиадах по математике, часто встречаются следующие.

Задачи на составление примера решения

Например, такая олимпиадная задача: «Существует такая фигура, которую нельзя разделить на прямоугольники из двух клеток (доминошки), но если к ней добавить доминошку - уже можно. Нарисуйте эту фигуру на клеточной бумаге (это должна быть одна фигура, не состоящая из отдельных частей), добавьте к ней одну доминошку и расскажите, как разделить полученную фигуру на доминошки.»

Подготовленный участник без труда сможет найти решение. Оно может выглядеть, например, вот так:

Логические задачи

Задачи на логическое мышление. Интересно, что часто такие задачи легко решаются с помощью стандартных подходов, которые изучаются в школе, но, к сожалению, в более старших классах. В результате ученику приходится придумывать нетривиальное решение, что требует от него нестандартного мышления. Например, такая задача: «У Маши есть монеты достоинством 2 рубля и 5 рублей. На все монеты достоинством 2 рубля Маша не может купить 4 пирожка, потому что ей не хватает 60 рублей. На все монеты достоинством 5 рублей она не может купить 5 пирожков, потому что ей также не хватает 60 рублей. На все свои деньги она не может купить 6 пирожков, так как ей опять не хватает 60 рублей. Сколько стоит один пирожок?»

Маше не хватает 60 рублей, чтобы купить четыре пирожка, если она возьмёт все свои монеты достоинством 2 рубля. Также Маше не хватает 60 рублей, чтобы купить пять пирожков, если она возьмёт все свои монеты достоинством 5 рублей. Значит, если она возьмёт все свои деньги и ещё 120 рублей, то сможет купить 9 пирожков. С другой стороны, в условии сказано, что на все свои деньги Маша могла бы купить шесть пирожков, если бы добавила к ним 60 рублей. Из последних двух утверждений следует, что три пирожка стоят 60 рублей. То есть один пирожок стоит 20 рублей.

Для того чтобы решить такие задачи, ученик должен проявить смекалку и до чего-нибудь догадаться. Эта догадка появляется не на пустом месте, а в результате размышления над задачей, но решение начинается именно с догадки, которая затем приводит к выстраиванию логической цепочки, которая приводит к результату. Например, разберём следующую задачу: «В команде 38 борцов. Каждый более слабый борец всегда проигрывает более сильному, а бой двух борцов одинаковой силы всегда оканчивается ничьей. Всегда ли борцов удастся разбить на пары так, что все победители в полученных парах окажутся не слабее, чем все те, кто свёл поединок вничью или проиграл, а все те, кто свёл поединок вничью окажется не слабее всех тех, кто проиграл?»

Если приписать всем борцам число, соответствующее уровню их силы, то получится множество из 38 элементов. Догадка состоит в том, чтобы элементы этого множества записать в порядке неубывания. После этого формируем следующие пары: первый с последним, второй с предпоследним и т. д. В каждой паре в порядке формирования находим победителя или сделавшего ничью. Полученная последовательность будет невозрастающей, причём последний её элемент будет не меньше 19-го в исходной последовательности. То есть получается, что требуемое условие выполняется.

Задачи, для решения которых не достаточно знания только школьной программы

Для решения таких задач ученик должен знать больше, чем преподают на уроках в школе. Необходимые знания ученик может получить на основе самообразования или с помощью грамотного репетитора. Например, для решения следующей задачи требуется знание того, что биссектриса треугольника делит его сторону на отрезки, которые пропорциональны прилежащим сторонами: «В треугольнике ABC биссектрисы AA 1 и BB 1 пересекаются в точке O . Известно, что 2AO = 7OA 1 и BO = 2BO 1 . Найдите отношение высоты, опущенной из точки A , к радиусу вписанной в треугольник ABC окружности.»

Используя свойство биссектрисы, находим, что . То есть . Аналогично находим, что . То есть длины сторон треугольника выглядят следующим образом:

Тогда вновь по свойству биссектрисы получаем, что:

Итак, получаем , , . Тогда полупериметр данного треугольника равен . Тогда с одной стороны площадь треугольника ABC равна , где — радиус вписанной окружности. С другой стороны он равен , где — высота, проведенная к стороне BC. Отсюда получаем, что .

Задачи по темам, которым в школе уделяется совсем мало внимания

Например, задачи по теории чисел: «Дана последовательность из 2014 натуральных числа. Если взять из этой последовательности любые 100 чисел, то среди них обязательно будет хотя бы одно чётное число. Если взять из этой последовательности любые 1916 чисел, то среди них обязательно будет хотя бы одно нечётное число. Может ли сумма всех этих чисел равняться 2014⋅2015? Обоснуйте свой ответ.»

Подготовленный ученик решит эту задачу без особого труда. Поскольку в любой выборке из 100 чисел оказывается хотя бы одно чётное число, то нечётных чисел в наборе не больше 99. Аналогично, поскольку в любой выборке из 1916 чисел оказывается хотя бы одно нечётное число, то чётных чисел в наборе не больше 1915. А поскольку всего в наборе 2014 чисел, то в наборе 99 нечётных чисел и 1915 чётных чисел. Их сумма является нечётным числом. А произведение 2014⋅2015 оканчивается на 0, следовательно, является чётным числом. То есть сумма не может быть равна этому произведению.

В заключении отметим, что для успешной подготовки к олимпиадам по математике придётся усердно потрудиться. Постарайтесь максимально подключить к этому процессу учителей, ведь они заинтересованы в победе своих учеников. Тратьте больше времени на чтение дополнительной литературы по предмету. Ведь знания, которые вы получите, могут пригодиться в самый ответственный момент. Ну и не забывайте, что готовиться к олимпиаде по математике можно с репетитором. Опыт показывает, что это самый хороший вариант, если вы серьёзно настроены на успех. Удачи вам!

Сергей Валерьевич

Описание: материал представляет собой задания для олимпиады по математике с 1 по 4 классы. После заданий по параллелям даны ответы и баллы за них. Данные задания можно так же использовать на уроках математики с целью развития логического мышления.

Олимпиадные задания по математике 1 класс

1.У трёх братьев по две сестры. Сколько всего детей в семье? Обведи правильный ответ:

2. Что тяжелее: 1 килограмм ваты или 1 килограмм железа? Обведи правильный ответ:

вата железо поровну

3. В пакет можно положить 2 килограмма продуктов. Сколько пакетов должно быть у мамы, если она хочет купить 4 килограмма картошки и дыню массой 1 килограмм?

Напиши ответ._________________________

4. Из-под ворот видно 8 кошачьих лап. Сколько кошек во дворе?

Напиши ответ. __________________

5. Поставь знаки + или - ,чтобы получилось верное равенство:

7 * 4 * 2 * 5 = 10

10 * 4 * 3 * 8 = 1

6. Лестница состоит из 7 ступенек. Какая ступенька находится на середине?

7. Бревно распилили на 3 части. Сколько распилов сделали? Обведи правильный ответ:

8.У животного 2 правые ноги, 2 левые ноги, 2 ноги сзади,2 ноги спереди. Сколько всего ног у животного?

Напиши ответ:_________________________________

9. Три девочки готовили елочные игрушки к Новому году. Втроем они работали 3 часа. Сколько часов работала каждая из них?

Напиши ответ:_________________________

10. Сумма трёх чётных чисел равна 12. Напиши эти числа, если известно, что слагаемые не равны между собой.

Олимпиадные задания по математике 2 класс

Ф. И., класс _____________________________________________

1. Индюк весит 12 кг. Сколько он будет весить, если встанет на одну ногу? (1 балл) Ответ:________________

2. Клетка у кроликов была закрыта, но в нижнее отверстие видно было 24 ноги, в верхнее - 12 кроличьих ушей. Так сколько же было в клетке кроликов? (3 балла) Ответ:___________________

3. Аня, Женя и Нина за контрольную работу получили разные оценки, но двоек у них не было. Отгадайте, какую оценку получила каждая из девочек, если у Ани не “3”, у Нины не “3” и не “5” (3 балла).

Ответ: у Ани___, у Нины ____, у Жени_____.

4. Из чисел 21, 19, 30, 25, 12, 7, 15, 6, 27 подберите такие три числа, сумма которых будет равна 50 (2 балла). Ответ:___________________________.

5. У Буратино меньше 20 золотых монет. Эти монеты он может разложить в стопки по две, по три и по четыре монеты. Сколько монет у Буратино? (3 балла) Ответ:__________.

6.Запиши все двузначные числа, в которых число единиц на четыре больше числа десятков? (1 случай - 1 балл)_________________________.

7. Катя, Галя и Оля, играя, спрятали по игрушке. Они играли с медвежонком, зайчиком и слоником. Известно, что Катя не прятала зайчика, а Оля не прятала ни зайчика, ни медвежонка. У кого какая игрушка? (3 балла)

Ответ: у Кати____________________, у Гали____________________, у Оли_____________________.

8. Три девочки на вопрос, по сколько им лет ответили так: Маша: “Мне вместе с Наташей 21 год”, Наташа: “Я моложе Тамары на 4 года”, Тамара: “Нам троим вместе 34 года”. Сколько лет каждой из девочек? (5 баллов)

Ответ: Маше_________, Наташе____________, Тамаре___________.

9. Вставь пропущенные знаки математических действий. (1 пример - 2 балла)

1 2 3 4 5 = 5 1 2 3 4 5 = 7

10. Продолжи ряд чисел (2 балла)

20, 18, 19, 17, 18, 16, 17, ...., ...., ....

1, 2, 4, 7, 11, 16, 22, 29, ...., ....

Олимпиадные задания по математике 3 класс

Ф. И., класс _____________________________________________

1.Одно яйцо варится 4 минуты. Сколько минут варится 5 яиц?

(1 балл)________________.

2. На руках 10 пальцев. Сколько пальцев на 10 руках? (1 балл) _________.

3. Врач дал больной девочке 3 таблетки и велел принимать их через каждые полчаса. Она строго выполнила указание врача. На сколько времени хватило прописанных врачом таблеток? (1 балл)_____________.

4. Из куска проволоки согнули квадрат со стороной 6см. Затем разогнули проволоку, и согнули из неё треугольник с равными сторонами. Какова длина стороны треугольника? (1 балл)____________________.

5. Коля, Вася и Боря играли в шашки. Каждый из них сыграл всего 2 партии. Сколько всего партий было сыграно? (2 балла)________________.

6. Сколько всего двузначных чисел можно составить из цифр 1,2,3 при условии, что цифры в записи числа повторяться не будут? Перечисли все эти числа. (2 балла)___________________________________________.

7. Было 9 листов бумаги. Некоторые из них разрезали на три части. Всего стало 15 листов. Сколько листов бумаги разрезали? (3 балла)__________.

8. В пятиэтажном доме Вера живёт выше Пети, но ниже Славы, а Коля живёт ниже Пети. На каком этаже живёт Вера, если Коля живёт на втором этаже? (3 балла)__________________________________________.

9. 1 резинка, 2 карандаша и 3 блокнота стоят 38 руб. 3 резинки, 2 карандаша и 1 блокнот стоят 22 руб. Сколько стоит комплект из резинки, карандаша и блокнота? (4 балла)__________________________________

10. Нильс летел в стае на спине гуся Мартина. Он обратил внимание, что построение стаи напоминает треугольник: впереди вожак, затем 2 гуся, в третьем ряду 3 гуся и т.д. Стая остановилась на ночлег на льдине. Нильс увидел, что расположение гусей на этот раз, напоминает квадрат, состоящий из рядов, в каждом ряду одинаковое количество гусей, причём число гусей в каждом ряду равно числу рядов. Гусей в стае меньше 50. Сколько гусей в стае? (6 баллов)_______________________________

Олимпиадные задания по математике 4 класс

Ф. И., класс _____________________________________________

1.Сидя у окна вагона поезда мальчик стал считать телеграфные столбы. Он насчитал 10 столбов. Какое расстояние прошёл за это время поезд, если расстояние между столбами 50 м? (1 балл)__________________________.

2. Одни часы отстают на 25 минут, показывая 1 ч 50 мин. Какое время показывают другие часы, если они забегают на 15 мин? (2 балла)_________________________.

3.Чему равны стороны прямоугольника, площадь которого равна 12 см, а периметр равен 26 см? (1 балл)__________________________________.

4. Сколько получится, если сложить наибольшее нечетное двузначное число и наименьшее четное трехзначное число? (1 балл)_______________________.

5. В каждой цепочке чисел найди закономерность и вставь пропущенные числа

(1 цепочка - 1 балл):

1) 3, 6, __, 12, 15, 18.

2) 1, 8, 11, 18, ___, 28, 31.

3) 2, 2, 4, 4, ___, 6, 8, 8.

4) 24, 21, ___, 15, 12.

5) 65, 60, 55, ____, 45, 40, 35.

6. Напишите наименьшее четырехзначное число, в котором все цифры различные. (1 балл)____________________________.

7. Три подружки - Вера, Оля и Таня пошли в лес по ягоды. Для сбора ягод у них были корзина, лукошко и ведерко. Известно, что Оля была не с корзиной и не с лукошком, Вера - не с лукошком. Что с собой взяла каждая девочка для сбора ягод? (3 балла) Вера - ______________, Таня - ______________, Оля - _______________.

8. Мотоциклист за три дня проехал 980 км. За первые два дня он проехал 725 км, при этом он во второй день проехал на 123 км больше, чем в третий день. Сколько километров он проехал в каждый из этих трех дней? (4 балла)

I день _______, II день _______, III день ________.

9. Напишите цифрами число, состоящее из 22 миллионов 22 тысяч 22 сотен и 22 единиц. (2 балла)________________________________.

10. В туристический лагерь прибыло 240 учеников из г. Москвы и Орла. Мальчиков среди прибывших было 125 человек, из которых 65 - москвичи. В числе учеников, прибывших из Орла, девочек было 53. Сколько всего учеников прибыло из Москвы? (4 балла)_____________.

Ответы:

1 класс

1) 5 (1 балл)

2) Поровну (1 балл)

3) 3 пакета (2 балла)

4) 2 кошки (1 балл)

5) 1 пример - 1 балл

6) четвёртая(1 балл)

7) 2 (1 балл)

8) 4 ноги (2 балла)

9) 3 часа (2 балла)

10) 2+4+6=12 (2 балла)

2 класс

1) 12 кг (1 балл)

2) 6 кроликов (3 балла)

3) У Ани 5, у Нины 4, у Жени 3 (3 балла)

4) 19+6+25=50 (2 балла)

5) 12 монет (3 балла)

6) 15, 26, 37, 48, 59 (1 случай - 1 балл)

7) У Оли - слоник, у Кати - медвежонок, у Гали - зайчик (3 балла)

8) Маше 12 лет, Наташе 9 лет, Тамаре 13 лет (5 баллов)

9) 9.1+2+3+4-5= 5 1+2+3+-4+5=7 (1 пример - 2 балла)

10) …10. 15, 16, 14 (2 балла)

3 класс

1) 4 минуты (1 балл)

2) 50 (1 балл)

3) на 1 час (1 балл)

4) 8см (1 балл)

5) 3 партии. (К-В, К-Б, В-Б) 2 балла

6) 12,13, 21,23, 31,32 (2 балла)

7) 3 листа (3 балла)

8) 4 этаж - Вера (3 балла)

9) 15 руб., т.к. 4 резинки, 4 карандаша и 4 блокнота 38+22=60(руб.) Один комплект стоит 60: 4=15(руб.) (4 балла)

10) 36 гусей (6 баллов)

4 класс:

1. 50 х 9=450 (м) (1 балл)

2. 1 час 50 мин+25 мин= 2 часа15 мин (2 балла)

2 часа 15 мин+15 мин=2 часа 30мин

3. Стороны прямоугольника 12 см и 1 см. (1 балл)

4.199 (1 балл)

5. 1) 9; 2)21; 3)6; 4)18; 5) 50; (1 цепочка - 1 балл)

6. 1023 (1 балл)

7. Вера была с корзинкой, Оля - с ведерком, Таня -с лукошком. (3 балла)

8. (4 балла)

1) 980 - 725 = 255 (км) - проехал в третий день;

2) 255 + 123 = 378 (км) - проехал во второй день;

3) 725 - 378 = 347 (км) - проехал в первый день.

Ответ: в первый день мотоциклист проехал 347 км, во второй - 378, в третий - 255 км.

Часто бывает так, что серьёзное увлечение математикой начинается с решения какой-либо понравившейся нестандартной задачи. Такая задача может встретиться на уроке в школе, на занятии математического кружка, в журнале или книге. Богатым источником таких задач служат различные олимпиады – от школьных, районных и городских до международных.

Решение олимпиадных задач обычно не требует знаний, выходящих за рамки школьной программы. Такие задачи, как правило сформулированы так, что они не принадлежат ни к одному из стандартных типов задач школьного математического курса. Поэтому решение каждой такой задачи требует особого подхода, наличие способности к интенсивному творческому труду. Умение решать нестандартные задачи свидетельствует о глубоком владение математическим аппаратом и развитой культуре математического мышления, а владение предметом гораздо важнее, чем просто «чистые знания», которые всегда можно пополнить с помощью хороших справочников.

Ниже приведены ссылки на страницы сайта с задачами олимпиадного уровня. Задачи распределены по тематикам, но деление это условно – часто одна и та же задача может быть отнесена к различным рубрикам, поэтому имеет смысл не ограничиваться просмотром только одной. Каждая страница начинается с небольшого теоретического материала. Иногда это несколько предложений, иногда – неплохой справочник, на который стоит обратить внимание. По каждой теме предложено 10 задач с достаточно подробными решениями, иногда несколькими способами, и 5 задач без решений для самостоятельного разбора.

Олимпиадные задачи по темам

Логические задачи

Цифры и десятичная система счисления

Делимость целых чисел и остатки

Простые и составные числа

Суммы и произведения

Уравнения в целых числах

Рациональные и иррациональные числа

Метод математической индукции

Квадратный трёхчлен

Алгебра многочленов

Доказательство неравенств

Принцип Дирихле

Графы, отображения

Чётность. Раскраска. Задачи на решётках

Инварианты и операции

Оценки для наборов чисел и таблиц. Принцип крайнего

Расстановки цифр и целых чисел, их преобразования

Комбинаторная геометрия

Игры, преследования, стратегии и алгоритмы

Элементы теории вероятностей

Принципы решения нестандартных задач

При решении нестандартных задач могут помочь следующие общие принципы:

• преобразовать задачу к виду, удобному для решения;
• решить задачу для частного, наиболее простого случая, а затем обобщить идею решения;
• предположить, что утверждение задачи – ложное; если из этого предположения получим противоречие, то утверждение задачи верно – доказательство от противного;
• разбить задачу на несколько простых подзадач;
• обобщить задачу; часто исследования более общей проблемы требует меньших усилий, чем исследование её частного случая – «парадокс изобретателя».

• Внимательно прочитайте условия задач и определите порядок, в котором будете их решать (лучше начинать с легких задач, которые, как правило, размещены в начале).
• Если условие задачи можно понять по разному, то не выбирайте удобную для себя трактовку, а обратитесь за консультацией к членам жюри.
• Если неясно, верно ли некоторое утверждение, попробуйте его доказать или опровергнуть.
• Не зацикливайтесь на одной задаче. Если нет идеи решения, то задачу лучше (хотя бы на время) отложить.
• Решив задачу, сразу оформляйте решение. Это поможет проверить его правильность и освободит внимание для других задач.
• Каждый, даже очевидный, шаг решения нужно записывать. Громоздкие решения лучше записывать в виде нескольких утверждений (лем).
• Перед тем, как сдать работу, перечитайте её «глазами членов жюри» – смогут ли они в ней разобраться?

Критерии оценивания олимпиадных работ

Цель математической олимпиады – выявить учащихся, способных нестандартно (и при этом правильно) думать и применять полученные в школе знания к решению «нешкольных» задач. Поэтому часто при проверке работ описки и мелкие ошибки прощаются. В последние годы традиционной является такая система оценок:

• 7 баллов – задача решена правильно;
• 6 баллов – задача решена, но есть мелкие замечания к решению (например, не рассмотрены некоторые простые частные случаи);
• 5 баллов – задача решена в целом, недостатки решения легко устраняются;
• 3-4 балла – задача решена «наполовину», т.е. ход решения правильный, есть значительный прогресс в решении, но полное решение требует дополнительных существенных идей;
• 1-2 балла – задача не решена, но подход к решению правильный или задача решена для простых частных случаев;
• 0 баллов – решение задачи неправильное и не содержит идей с помощью которых задача может быть решена, или задача не решалась.

Как правило, жюри олимпиады разрабатывает критерии оценки решений и начисления баллов по каждой задачей отдельно. Эти критерии могут отличаться от приведенных выше. При этом часто за решение простых (по мнению жюри) задач начисляются только такие оценки: 7 баллов, 6 баллов, 1 балл и 0 баллов.

Удачи!

Итак, вы решили заняться олимпиадной математикой. Выберите из предложенного выше списка тематику. Затем задачу, которая покажется вам наиболее интересной по формулировке и, стараясь не заглядывать в решения, начинайте размышлять над ней. Не бойтесь потратить на это многие и многие часы. Советский математик – Б.Н. Делоне говорил, что, большое научное открытие отличается от хорошей олимпиадной задачи только тем, что для решения олимпиадной задачи требуется 5 часов, а получение крупного научного результата требует затраты 5000 часов. И хотя 5000 часов можно воспринять как некоторое преувеличение, зато не только 5 часов, 5 дней (!) – далеко не предел потраченному времени на нестандартную задачу.

Решение олимпиадных задач – одна из основ подготовки к будущей научной деятельности, а для профессионального математика, который работает над трудной проблемой, является типичной способность напряженного размышления над ней целыми днями, неделями, а порой (возможно, в это трудно поверить) годами.

Если вы уже достигли, каких-либо успехов на олимпиадах, – этому естественно радоваться и даже гордиться этим. Неудачи же не должны чрезмерно огорчать и приводить к разочарованию в своих математических способностях. Для успеха на олимпиаде необходимы некоторые специальные типы одарённости, которые присущи далеко не всем и не обязательны для успешного математика. Уже само наличие назначенного очень ограниченного промежутка времени для решения задач многих делает совершенно беспомощными. Так выдающийся советский математик П.С. Александров (1896–1982) говорил, что если бы во времена его юности были математические олимпиады, то, возможно, он вообще не сделался бы математиком: его главные достижения в математике явились не плодом быстро работающей изобретательности, а итогом длительного и углубленного созерцания.

И ещё, – не откладывайте занятия математикой на потом, прислушайтесь к словам знаменитого американского математика и философа, основоположника кибернетики и теории искусственного интеллекта Норберта Винера (1894–1964): "Математика – наука молодых. Иначе и не может быть. Занятия математикой – это такая гимнастика ума, для которой нужны вся гибкость и вся выносливость молодости."