Центром масс (или центром инерции) системы материальных точек называется воображаемая точка С, положение которой характеризует распре­деление массы этой системы. Ее радиус-вектор равен

Где m i и r i - соответственно масса и радиус-вектор i-й материальной точки; n - число материальных точек в системе;

M- масса системы.

Скорость центра масс

Учитывая, что p i =m i v i , а есть импульс р системы, можно написать p = mv c , (9.2)

т. е. импульс системы равен произведе­нию массы системы на скорость ее цент­ра масс.

Подставив выражение (9.2) в уравне­ние (9.1), получим

mdv c /dt=F 1 + F 2 +...+ F n , (9.3)

т. е. центр масс системы движется как материальная точка, в которой сосредото­чена масса всей системы и на которую действует сила, равная геометрической сумме всех внешних сил, действующих на систему. Выражение (9.3) представляет собой закон движения центра масс.

В соответствии с (9.2) из закона со­хранения импульса вытекает, что центр масс замкнутой системы либо движется прямолинейно и равномерно, либо остает­ся неподвижным.

Тело переменной массы. Формула Циолковского.

Уравнение движения тела переменной массы

Выведем уравнение движения тела пе­ременной массы на примере движения ра­кеты. Если в момент времени t масса раке­ты т, а ее скорость v, то по истечении времени dt ее масса уменьшится на dm

и станет равной т- dm, а скорость станет равной v +dv . Изменение импульса систе­мы за отрезок времени dt

dp = [(m-dm) (v +dv )+dm (v + u )]- m v ,

где и - скорость истечения газов относи­тельно ракеты. Тогда

dp = mdv + u dm

(учли, что dm dv - малый высшего порядка малости по сравнению с осталь­ными).

Если на систему действуют внешние силы, то dp = F dt, поэтому

F dt = m dv + u dm,

mdv /dt=F -u dm/dt. (10.1)

Член -u dm/dt называют реактивной силой

F p . Если u противоположен v , то ракета ускоряется, а если совпадает с v, то тормо­зится.

Таким образом, мы получили уравне­ние движения тела переменной массы

ma =F + F p , (10.2)

Применим уравнение (10.1) к движе­нию ракеты, на которую не действуют ни­какие внешние силы. Полагая F = 0 и счи­тая, что скорость выбрасываемых газов относительно ракеты постоянна (ракета движется прямолинейно), получим

dv dm т dv/dt=-udm/dt. Откуда

Значение постоянной интегрирования С определим из начальных условий. Если в начальный момент времени скорость ра­кеты равна нулю, а ее стартовая масса то, то С = uln m 0 . Следовательно,

v = uln(m 0 /m). (10.3)

Это соотношение называется формулой Циолковского . Она показывает, что: 1) чем больше конечная масса ракеты т, тем больше должна быть стартовая масса ракеты то; 2) чем больше скорость истече­ния и газов, тем больше может быть ко­нечная масса при данной стартовой массе ракеты.

Работа силы. Мощность.

Чтобы количественно характеризовать процесс обмена энергией между взаимодействую­щими телами, в механике вводится по­нятие работы силы.

Если тело движется прямолинейно и на него действует постоянная сила F , которая составляет некоторый угол а с на­правлением перемещения, то работа этой силы равна произведению проекции силы F s на направление перемещения (F s = Fcosa), умноженной на перемещение точки приложения силы:

A = F s s = F s cosa. (11.1)

В общем случае сила может изменять­ся как по модулю, так и по направлению, поэтому формулой (11.1) пользоваться не­льзя. Если, однако, рассмотреть элемен­тарное перемещение dr, то силу F можно считать постоянной, а движение точки ее приложения - прямолинейным. Элемен­тарной работой силы F на перемещении dr называется скалярная величина

dА =F dr = F cosa ds=F s ds,

где а - угол между векторами F и dr ; ds = |dr | - элементарный путь; F s - про­екция вектора F на вектор dr (рис. 13).

Работа силы на участке траектории от точки 1 до точки 2 равна алгебраической сумме элементарных работ на отдельных бесконечно малых участках пути. Эта сум­ма приводится к интегралу

Для вычисления этого интеграла надо знать зависимость силы F s от пути s вдоль траектории 1 -2. Пусть эта зависимость представлена графически (рис. 14), тогда искомая работа А определяется на графи­ке площадью закрашенной фигуры. Если, например, тело движется прямолинейно, сила F=const и a=const, то получим

где s - пройденный телом путь (см. также формулу (11.1)).

Единица работы - джоуль (Дж): 1 Дж - работа, совершаемая силой в 1 Н на пути в 1 м (1 Дж = 1 Н м).

Чтобы охарактеризовать скорость со­вершения работы, вводят понятие мощ­ности: N=da/dt. (11.3)

За время dt сила F совершает работу F dr , и мощность, развиваемая этой силой, в данный момент времени N= F dr /dt= Fv

т. е. равна скалярному произведению век­тора силы на вектор скорости, с которой движется точка приложения этой силы; N - величина скалярная. Единица мощности - ватт (Вт): 1 Вт - мощность, при которой за время 1 с совершается работа в 1 Дж (1 Вт = 1 Дж/с).

10. Преобразования Галилея. Механический принцип относительности.

Преобразова́ния Галиле́я - в классической механике преобразования координат и времени при переходе от одной инерциальной системы отсчета к другой. Пусть система к – инерциальная система отсчета и к’. к’ движется равномерно и прямолинейно со скоростью u . Тогда

Динамика – это раздел механики, в котором изучают движение тел под действием приложенных к ним сил .

В биомеханике также рассматривают взаимодействие между телом человека и внешним окружением, между звеньями тела, между двумя людьми (например, в единоборствах). В результате возникают силы, которые и являются количественной мерой этих взаимодействий.

При изучении величин, которые характеризуются не только величиной, но и направлением (например, скорость, ускорение , сила и т. п.) применяют их векторное изображение.

Вектор – направленный прямолинейный отрезок (стрелка) рис. 1.

Два вектора считаются равными лишь в том случае, если у них одинаковы и длины и направления (то есть они параллельны и ориентированы в одну сторону). С изменением ориентации меняется знак вектора (на рис.1 b = а; с = - а).

Правила векторной алгебры отражают физические свойства векторных величин. Так в соответствии с тем, что равнодействующая двух сил находится по правилу параллелограмма, суммой двух векторов (a и b), определяется новый вектор (с = а + b), изображаемый диагональю параллелограмма, стороны которого – векторы-слагаемые, рис. 2.

Вычитание определяется как действие, обратное сложению. Кроме вектора в биомеханике используется ещё и термин, носящий название «скаляр» (скалярные величины).

Скаляр – величина, каждое значение которой (в отличие от вектора) может быть выражено одним числом, вследствие чего совокупность значений можно изобразить на линейной шкале (скале – отсюда и название). Скалярными величинами являются: длина, площадь, температура и т. д.

Скалярным произведением (а۰b) двух векторов (а и b) называется число (скаляр), равное произведению длин этих векторов, на косинус угла, образованных их направлениями, то есть |а| ۰ |b| ۰ cos φ, см. рис. 3.

Прямая, вдоль которой направлена сила, называется линия действия силы. Сила полностью определена, если заданы её величина, направление и точка приложения. Если на элементы биомеханической системы тела человека действует несколько сил (F1, F2, ...Fn), то их можно заменить одной силой, равной их векторной сумме: FR = Σ Fi. Такая сила называется равнодействующей.

Например, на прыгуна в длину действует сила тяжести (mg) и сила сопротивления воздуха (Fс), рис. 4. Ускорение (отрицательное) создаёт их равнодействующая сила (Fр).

Движения биомеханической системы тела человека подчиняются механике Ньютона. Следовательно, три основных закона этой механики определяют характер движения, так как несмотря на биологическую природу энергообеспечения движения, тело является механической системой и подчиняется всем закономерностям, которые связаны с движением материальных объектов на Земле.

Первый закон Ньютона (закон инерции). Любое материальное тело сохраняет состояние покоя или равномерного прямолинейного движения до тех пор, пока внешнее воздействие не изменит это состояние.

Прямолинейное равномерное движение материального тела называется инерциональным (или движением по инерции). Инерция – это свойство материального тела оказывать сопротивление изменению скорости его движения (как по величине, так и по направлению). Инертность – неотъемлемое свойство материи . Такое сопротивление возможно только потому, что тела обладают определённой массой, которую считают количественной мерой инертности.

Масса – количественная мера инертности тела . Единица измерения массы в СИ называется килограмм (кг).

Первый закон Ньютона – достаточно идеализированное представление о движении, поскольку тело может двигаться прямолинейно и равномерно только в отсутствии любых сил. В реальности на двигающееся тело всегда оказывают влияние различные силы (силы сопротивления воздуха, силы трения и др.), чьё воздействие приводит к тому, что движущееся тело в конце концов останавливается. Это не означает, что первый закон Ньютона неверен: просто движение, если действие сил не исключить, приводит к изменению состояния тела и, в частности, к его переходу в состояние покоя.

Векторная величина, равная произведению массы тела на ускорение и направленная в сторону, противоположную ускорению по величине или направлению данного тела под воздействием внешних сил, называется силой инерции: Fи = - m aс.

Изменение скорости тела обусловлено воздействием на него других тел. Воздействие тем интенсивнее, чем больше созданное им ускорение. С другой стороны, у тела с большей массой ускорение меньше (то есть, его скорость изменить труднее). Поэтому измерять воздействие на тело со стороны всех других тел принято произведением массы тела на сообщённое ему ускорение. Эту меру воздействия называют силой.

Если формулу F = m a преобразовать:

то получим второй закон Ньютона.

Ускорение, с которым движется тело, прямо пропорционально действующей на него силе, обратно пропорционально массе тела и по направлению совпадает с направлением действия силы

Соотношение между равнодействующей всех внешних сил и ускорением, которое она сообщает ему, можно преобразовать к виду, который оказывается полезным при решении многих задач в биомеханике:

Третий закон Ньютона. Силы, с которыми материальные тела действуют друг на друга, равны по величине, противоположны по направлению и направлены по прямой, проходящей через эти тела.

Этот закон показывает, что взаимодействие – это действие одного тела на второе и равное ему действие второго тела на первое. Следовательно, источником силы для первого тела является второе, и поскольку силы действия и противодействия приложены к разным телам, их нельзя складывать, а действующие силы – заменять равнодействующей.

Человек, совершая двигательные действия, участвует в сложном движении, которое состоит из более простых – поступательного и вращательного. Для каждого из них существуют отличающиеся друг от друга характеристики.

Закон движения дается векторным уравнением

Л Е К Ц И Я № 1. К И Н Е М А Т И К А

Кинематика – это раздел механики, в котором изучается движение тел без рассмотрения причин, вызывающих движение.

Движением тела называют изменение его положения относительно другого тела в пространстве с течением времени.

Тела, относительно которых рассматривается изучаемое движение, называются телами отсчета (например, стены лаборатории, Земля...).

Обычно с этими телами связывают систему координат. Мы будем пользоваться правой прямоугольной системой координат X, Y, Z.

Системой отсчета называется система координат, снабженная часами и жестко связанная с абсолютно твердым телом.

Абсолютно твердым телом называется тело, расстояние между любыми двумя точками которого всегда остается неизменным.

Кинематика материальной точки. Путь, перемещение, скорость и ускорение

Рис. 1

Изучение законов движения естественно начать с изучениядвижения тела, размерами которого можно пренебречь. Такое тело называют материальной точкой. Движение материальной точки по отношению к системе отсчета может быть задано векторным или координатным способами.

При векторном способе положение точки А, рис. 1, в момент времени t определяется ее радиусом вектором , проведенным из начала координат до движущейся точки.

Закон движения дается векторным уравнением

При координатном способе положение точки А определяется координатами x, y, z , а закон движения задается тремя уравнениями:

при этом , (3)

где – единичные по модулю и взаимно перпендикулярные векторы-орты системы координат.

Путь – это длина траектории, пройденная точкой . За малый промежуток времени точка пройдет путь .

Перемещение точки за промежуток времени – вектор , соединяющий положении точки в моменты t и t + . Из рис. 2 видно, что вектор перемещения

Скорость

Мгновенная скорость материальной точки определяется соотношением

, (5)

т.е. мгновенная скорость есть производная радиуса-вектора по времени. Она направлена по касательной к траектории движущейся точки.

В физике принято производные по времени обозначать не штрихом, а (×) над буквой.

Из рис. 2 видно, что при , поэтому модуль скорости

Можно описать движение через параметры траектории. Для этого некоторую точку на траектории примем за начальную, тогда любая другая точка характеризуется расстоянием S(t) от нее. Радиус вектор становится сложной функцией вида , поэтому из (5) следует:

– единичный вектор, касательный к траектории; – модуль скорости.

В СИ скорость измеряется в метрах в секунду (м/с).

С учетом формулы (3) из (5) получаем

– компоненты скорости, они равны производным соответствующих координат по времени.

На рис. 2, обозначает единичный касательный вектор, он совпадает с направлением скорости , поэтому

1.1.2. Ускорение

Для характеристики быстроты изменения скорости вводится векторная физическая величина, называемая ускорением . Она определяется аналогично скорости:

С учетом формул (7) и (8) из (10) находим

(11)

– компоненты ускорения, они равны вторым производным соответствующих координат по времени.

С учетом формулы (9) из (10) получаем

Можно показать, что

, (14)

где R – радиус кривизны в данной точке траектории, а – единичный вектор нормали к траектории в точке, в которой было тело в момент времени t . При этом и взаимноперпендикулярны (см. рис. 3).

Каждой точке кривой можно сопоставить окружность, которая сливается с траекторией на бесконечно малом ее участке. Радиус этой окружности R., (см. рис. 3), характеризует кривизну линии в рассматриваемой точке и называется радиусом кривизны.

Законами движения называют три закона открытые Ньютоном, которые служат основой классической теории движения. Применяя данные законы можно решить любую задачу классической механики.

Первый закон Ньютона

Тело находится в состоянии равномерного и прямолинейного движения или покоится, если на него не оказывают действия другие тела или их действия взаимно компенсируются. Данный закон также называют законом инерции. При этом следует учитывать, что механическое движение всегда является относительным. Это значит, что в одной системе отсчета тело может покоиться, в другой двигаться с ускорением. В математическом виде закон Ньютона можно записать как:

где — равнодействующая всех сил, которые приложены к телу; — ускорение тела; — скорость движения тела.

Второй закон Ньютона

Равнодействующая всех сил, приложенных к телу равна произведению массы рассматриваемого тела на его ускорение:

Данный закон можно формулировать и относительно ускорения. Тогда его формулировка будет следующей:

Ускорение, которое приобретает тело под воздействием силы прямо пропорционально данной силе и обратнопропорционально массе тела:

Если тело покоится, на него начинает действовать сила, которая обладает постоянным направлением, то направление вектора силы будет совпадать с направлением вектора скорости тела, и тело будет перемещаться прямолинейно. Тогда выражения (2) и (3) могут быть записаны в скалярном виде, например:

Из выражения (4) можно сделать вывод о том, что если модуль силы, которая действует на тело постоянной массы, не изменяется, то данное тело движется с постоянным ускорением.

При скоростях близких к скорости света закон Ньютона выполняться не будет.

Третий закон Ньютона

Данный закон можно коротко сформулировать следующим образом: Действие равно противодействию. Что обозначает следующее: В том случае, если на одно тело оказывает воздействие другое тело с некоторой силой, то второе тело действует на первое с силой равной по модулю и противоположной по направлению (рис.1). В математической формулировке третий закон Ньютона запишется как:

Примеры решения задач

ПРИМЕР 1

Задание	Материальная точка массы движется по окружности радиуса R. Зависимость пути от времен задано уравнением: Каким будет модуль силы, действующей на точку когда линейная скорость тела равна ?
Решение	Если материальная точка под воздействием некоторой силы движется по окружности, то в соответствии со вторым законом Ньютона: где , значит, модуль силы можно найти как: При этом модуль нормального ускорения можно найти как: а модуль тангенциального ускорения с учетом заданной функции равно: Скорость по определению равна: Из выражения (1.5) найдем момент времени, в который нам следует вычислить модуль силы: Подставим полученные результаты в формулу (1.2):
Ответ	=

ПРИМЕР 2

Задание

Тело находится на наклонной плоскости (угол к горизонту ) рис.2. Каков коэффициент трения () тела о плоскость, если тело начинает скользить?

Эйген фон Бем-Баверк (1851–1914) – профессор Венского университета, один из основоположников австрийской школы экономики. Среди его трудов – «Основы теории ценности хозяйственных благ» (1886 г.); «Капитал и процент» (1884–1889 гг.); «Теория Карла Маркса и ее критика» (1896 г.), в которых он развивал концепции «предельной полезности», исследовал периоды обращения капитала, процент.

В «Основах теории ценности хозяйственных благ» им поставлена главная задача – обосновать «закон величины ценности вещи», для решения которой обозначена «простейшая формула» в следующей трактовке: ценность вещи измеряется величиной предельной пользы этой вещи. В соответствии с этой формулой можно, по его мнению, полагать, что величина ценности материального блага определяется важностью конкретной (или частичной) потребности, занимающей последнее место в ряду потребностей, удовлетворяемых имеющимся запасом материальных благ данного рода. Поэтому основой ценности служит наименьшая польза, позволяющая в конкретных хозяйственных условиях употреблять эту вещь рациональным образом.

Первая часть произведения Бем-Баверка «Капитал и процент» содержала подробный исторический обзор и критику предшествующих теорий капитала и процента. Он ясно представлял себе место, которое среди социальных проблем занимают капитал и процент.

Капиталом Бем-Баверк считал одни лишь материальные блага и не включал в состав этого понятия права и невещественные ценности. Он пытался про-«вести различие между капиталом как средствами производства и капиталом как чистым доходом.

В теории Бем-Баверка процент играл более важную роль, чем капитал. Он разработал формальную модель, в которой предполагалось, что средства производства всегда полностью используются, всегда воспроизводятся и непрерывно накапливаются. Установление процента Бем-Баверк рассматривал как вопрос вменения стоимости в процессе ценообразования. Он подразделял различные теории процента на несколько категорий: «производительности», «использования», «воздержания», «трудовую» и «эксплуатацию».

Капитал может быть производительным, однако то, что он создает, не является процентом. Что действительно создает капитал – так это определенные формы и очертания материалов.

Процент, будучи стоимостной категорией, может возникнуть только в процессе обращения.

В теории процента Бем-Баверка имеются ссылки на то, что он называл обменом, или ажио. Его теория в основном базировалась на утверждении, что текущие блага ценятся несколько выше, чем будущие блага, и поэтому отказ от текущих благ требует определенного вознаграждения. Сам процент просто служит мерой различия между настоящим и будущим.

Бем-Баверк считал процент излишком в том смысле, что стоимость продукции превышает затраты на ее производство.

Центральная идея Э. Бем-Баверка – «теория ожидания» – возникновение прибыли (процента) на капитал. Главный его вклад в мировую науку – идея о том, что постоянно существующая разность между ценностью продукта и определяемых ее величиной полных издержек производства (т. е. прибыль) зависит от продолжительности производственного периода.