КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА XI
§ 256. Тригонометрическая форма комплексных чисел
Пусть комплексному числу а + bi соответствует вектор OA > с координатами (а, b ) (см. рис. 332).
Обозначим длину этого вектора через r , а угол, который он образует с осью х , через φ . По определению синуса и косинуса:
a / r = cos φ , b / r = sin φ .
Поэтому а = r cos φ , b = r sin φ . Но в таком случае комплексное число а + bi можно записать в виде:
а + bi = r cos φ + ir sin φ = r (cos φ + i sin φ ).
Как известно, квадрат длины любого вектора равен сумме квадратов его координат. Поэтому r 2 = a 2 + b 2 , откуда r = √a 2 + b 2
Итак, любое комплексное число а + bi можно представить в виде :
а + bi = r (cos φ + i sin φ ), (1)
где r = √a 2 + b 2 , а угол φ определяется из условия:
Такая форма записи комплексных чисел называется тригонометрической .
Число r в формуле (1) называется модулем , а угол φ - аргументом , комплексного числа а + bi .
Если комплексное число а + bi не равно нулю, то модуль его положителен; если же а + bi = 0, то а = b = 0 и тогда r = 0.
Модуль любого комплексного числа определен однозначно.
Если комплексное число а + bi не равно нулю, то аргумент его определяется формулами (2) однозначно с точностью до угла, кратного 2π . Если же а + bi = 0, то а = b = 0. В этом случае r = 0. Из формулы (1) легко понять, что в качестве аргумента φ в данном случае можно выбрать любой угол: ведь при любом φ
0 (cos φ + i sin φ ) = 0.
Поэтому аргумент нуля не определен.
Модуль комплексного числа r иногда обозначают | z |, а аргумент arg z . Рассмотрим несколько примеров на представление комплексных чисел в тригонометрической форме.
Пример. 1 . 1 + i .
Найдем модуль r и аргумент φ этого числа.
r = √ 1 2 + 1 2 = √ 2 .
Следовательно, sin φ = 1 / √ 2 , cos φ = 1 / √ 2 , откуда φ = π / 4 + 2n π .
Таким образом,
1 + i = √ 2 ,
где п - любое целое число. Обычно из бесконечного множества значений аргумента комплексного числа выбирают то, которое заключено между 0 и 2π . В данном случае таким значением является π / 4 . Поэтому
1 + i = √ 2 (cos π / 4 + i sin π / 4)
Пример 2. Записать в тригонометрической форме комплексное число √ 3 - i . Имеем:
r = √ 3+1 = 2, cos φ = √ 3 / 2 , sin φ = - 1 / 2
Поэтому с точностью до угла, кратного 2π , φ = 11 / 6 π ; следовательно,
√ 3 - i = 2(cos 11 / 6 π + i sin 11 / 6 π ).
Пример 3 Записать в тригонометрической форме комплексное число i .
Комплексному числу i соответствует вектор OA > , оканчивающийся в точке А оси у с ординатой 1 (рис. 333). Длина такого вектора равна 1, а угол, который он образует с осью абсцисс, равен π / 2 . Поэтому
i = cos π / 2 + i sin π / 2 .
Пример 4. Записать в тригонометрической форме комплексное число 3.
Комплексному числу 3 соответствует вектор OA > х абсциссой 3 (рис. 334).
Длина такого вектора равна 3, а угол, который он образует с осью абсцисс, равен 0. Поэтому
3 = 3 (cos 0 + i sin 0),
Пример 5. Записать в тригонометрической форме комплексное число -5.
Комплексному, числу -5 соответствует вектор OA > , оканчивающийся в точке оси х с абсциссой -5 (рис. 335). Длина такого вектора равна 5, а угол, который он образует с осью абсцисс, равен π . Поэтому
5 = 5(cos π + i sin π ).
Упражнения
2047. Данные комплексные числа записать в тригонометрической форме, определив их модули и аргументы:
1) 2 + 2√3 i , 4) 12i - 5; 7).3i ;
2) √3 + i ; 5) 25; 8) -2i ;
3) 6 - 6i ; 6) - 4; 9) 3i - 4.
2048. Указать на плоскости множества точек, изображающих комплексные числа, модули г и аргументы ф которых удовлетворяют условиям:
1) r = 1, φ = π / 4 ; 4) r < 3; 7) 0 < φ < π / 6 ;
2) r =2; 5) 2 < r <3; 8) 0 < φ < я;
3) r < 3; 6) φ = π / 3 ; 9) 1 < r < 2,
10) 0 < φ < π / 2 .
2049. Могут ли модулем комплексного числа одновременно быть числа r и - r ?
2050. Могут ли аргументом комплексного числа одновременно быть углы φ и - φ ?
Данные комплексные числа представить в тригонометрической форме, определив их модули и аргументы:
2051*. 1 + cos α + i sin α . 2054*. 2(cos 20° - i sin 20°).
2052*. sin φ + i cos φ . 2055*. 3(- cos 15° - i sin 15°).
Для определения положения точки на плоскости можно пользоваться полярными координатами [г, (р) , где г - расстояние точки от начала координат, а (р - угол, который составляет радиус - вектор этой точки с положительным направлением оси Ох. Положительным направлением изменения угла (р считается направление против часовой стрелки. Воспользовавшись связью декартовых и полярных координат: х = г cos ср,у = г sin (р ,
получим тригонометрическую форму записи комплексного числа
z - r{sin (p + i sin
где г
Xі + у2 , (р - аргумент комплексного числа, который находят из
л X . у у
формул cos (р - -, sin^9 = - или в силу того, что tg(p - -, (p-arctg
Заметим, что при выборе значений ср из последнего уравнения необходимо учитывать знаки х и у.
Пример 47. Записать в тригонометрической форме комплексное число 2 = -1 + л/З / .
Решение. Найдем модуль и аргумент комплексного числа:
= yj 1 + 3 = 2 . Угол ср найдем из соотношений cos (р = -, sin(p = - . Тогда
получим cos(p = -,suup
у/з г~
- - -. Очевидно, точка z = -1 + V3-/ находится
- 2 к 3
во второй четверти: (р = 120°
Подставляя
2 к. . cos--h; sin
в формулу (1) найденные 27Г Л
Замечание. Аргумент комплексного числа определен не однозначно, а с точностью до слагаемого, кратного 2п. Тогда через сп^ г обозначают
значение аргумента, заключенное в пределах (р 0 %2 Тогда
А)^г = + 2кк .
Используя известную формулу Эйлера е, получаем показательную форму записи комплексного числа.
Имеем г = г{со^(р + і?,п(р)=ге,
Действия над комплексными числами
- 1. Сумма двух комплексных чисел г, = Х] + у х / и г 2 - х 2 +у 2 / определяется согласно формуле г! +2 2 = (х, +^2) + (^1 + ^2)‘ г
- 2. Операция вычитания комплексных чисел определяется как операция, обратная сложению. Комплексное число г = г х - г 2 , если г 2 +г = г х,
является разностью комплексных чисел 2, и г 2 . Тогда г = (х, - х 2 ) + (у, - у 2) /.
- 3. Произведение двух комплексных чисел г х = х, +у, -г и 2 2 = х 2 + У2 ‘ г определяется ПО формуле
- *1*2 =(* +У "0(Х 2 + Т 2 -0= Х 1 Х 2 У 1 2 -1 +х У2 " * + У 1 У 2 " ^ =
= {хх 2 ~УУ 2)+{ Х У2 + Х 2У)-"-
В частности, г-г = (х + у-г)(х-у /)= х 2 +у 2 .
Можно получить формулы умножения комплексных чисел в показательной и тригонометрической формах. Имеем:
- 1^ 2 - Г х е 1 = }Г 2 е > = Г]Г 2 cOs{(P + ср 2) + isin
- 4. Деление комплексных чисел определяется как операция, обратная
умножению, т.е. число г-- называется частным от деления г! на г 2 ,
если г х - 1 2 ? 2 . Тогда
Х + Ті _ (*і + ІУ 2 ~ 1 У2) х 2 + ІУ2 ( 2 + ^У 2){ 2 ~ 1 У 2 )
х,х 2 + /у,х 2 - іх х у 2 - і 2 у х у 2 (х х х 2 + у х у 2 )+ /(- х,у 2 + Х 2 У])
2 2 х 2 +У 2
1 е
і(р г
- - 1У е "(1 Фг) - И.сОї{(Р -ср 1)+ І - (р -,)] >2 >2
- 5. Возведение в целую положительную степень комплексного числа лучше производить, если число записано в показательной или тригонометрической формах.
Действительно, если г = ге 1 то
={ге,) = г п е т = г" (со8 пср+іьт гкр).
Формула г" =г п (cosn(p+is n(p) называется формулой Муавра.
6. Извлечение корня п- й степени из комплексного числа определяется как операция, обратная возведению в степень п, п- 1,2,3,... т.е. комплексное число = у[г называется корнем п- й степени из комплексного числа
г, если г = г х . Из этого определения следует, что г - г" , а г х = л/г. (р-пср х, а ср^-ср/п , что следует из формулы Муавра, записанной для числа = г/*+ іьіпп(р).
Как было отмечено выше, аргумент комплексного числа определен не однозначно, а с точностью до слагаемого, кратного 2ж. Поэтому = (р + 2пк , а аргумент числа г, зависящий от к, обозначим (р к и бу
дем вычислять по формуле (р к = - + . Ясно, что существует п ком-
плексных чисел, п -я степень которых равна числу 2. Эти числа имеют один
и тот же модуль, равный у[г, а аргументы этих чисел получаются при к = 0, 1, п - 1. Таким образом, в тригонометрической форме корень и-й степени вычисляют по формуле:
(р + 2кп . . ср + 2кп
, к = 0, 1, 77-1,
.(р+2ктг
а в показательной форме - по формуле л[г - у[ге п
Пример 48. Выполнить действия над комплексными числами в алгебраической форме:
а) (1-/Ч/2) 3 (3 + /)
- (1 - /л/2) 3 (з + /) = (1 - Зл/2/ + 6/ 2 - 2 л/2 / ? 3)(3 + /) =
- (1 - Зл/2/ - 6 + 2л/2/ДЗ + /)=(- 5 - л/2/ДЗ + /) =
15-Зл/2/-5/-л/2/ 2 = -15 - Зл/2/-5/+ л/2 = (-15 +л/2)-(5 +Зл/2)/;
Пример 49. Возвести число г = Уз - / в пятую степень.
Решение. Получим тригонометрическую форму записи числа г.
Г = л/3 + 1 =2, С08 (р - -, 5ІІ7 (р =
- (1 - 2/Х2 + /)
- (з-,)
О - 2.-Х2 + о
- 12+ 4/-9/
- 2 +і - 4/ - 2/ 2 2 - 3/ + 2 4 - 3/ 3 + і
- (з-О " (з-О
З/ 2 12-51 + 3 15 - 5/
- (3-і) ’з+/
- 9 + 1 з_±.
- 5 2 1 "
Отсюда о- -, а г = 2
Муавра получим: і -2
/ ^ _ 7Г, . ?Г
- -СШ--ІБІП -
- --Ь / -
= -(л/З +г)= -2 .
Пример 50. Найти все значения
Решение, г = 2, а ср найдем из уравнении соь(р = -,зт--.
Эта точка 1 - /д/з находится в четвертой четверти, т.е. ф = --. Тогда
- 1 - 2
- ( ( УГ Л
Значения корня находим из выраже
V1 - /л/з = л/2
- --+ 2А:/г ---ь 2 кк
- 3 . . 3
С08--1- і 81П-
При к - 0 имеем 2 0 = л/2
Можно найти значения корня из числа 2, представив число в показа
-* К/ 3 + 2 кл
При к = 1 имеем еще одно значение корня:
- 7Г. 7Г _
- ---ь27г ---ь2;г
- 3 . . з
7Г . . 7Г Л -С05- + 181П - 6 6
- --Н -
со? - 7Г + /5Ш - Я"
л/3__т_
тельной форме. Так как г= 2, а ср = , то г = 2е 3 , а у[г = у/2е 2
3.1. Полярные координаты
На плоскости часто применяется полярная система координат . Она определена, если задана точка O, называемая полюсом , и исходящий из полюса луч (для нас это ось Ox) – полярная ось. Положение точки M фиксируется двумя числами: радиусом (или радиус-вектором) и углом φ между полярной осью и вектором . Угол φ называется полярным углом; измеряется в радианах и отсчитывается от полярной оси против часовой стрелки.
Положение точки в полярной системе координат задается упорядоченной парой чисел (r; φ). У полюса r = 0, а φ не определено. Для всех остальных точек r > 0, а φ определено с точностью до слагаемого кратного 2π. При этом парам чисел (r; φ) и (r 1 ; φ 1) сопоставляется одна и та же точка, если .
Для прямоугольной системы координат xOy декартовы координаты точки легко выражаются через ее полярные координаты следующим образом:
3.2. Геометрическая интерпретация комплексного числа
Рассмотрим на плоскости декартову прямоугольную систему координат xOy .
Любому комплексному числу z=(a, b) ставится в соответствие точка плоскости с координатами (x, y ), где координата x = a, т.е. действительной части комплексного числа, а координата y = bi – мнимой части.
Плоскость, точками которой являются комплексные числа – комплексная плоскость.
На рисунке комплексному числу z = (a, b) соответствует точка M(x, y) .
Задание. Изобразите на координатной плоскости комплексные числа:
3.3. Тригонометрическая форма комплексного числа
Комплексное число на плоскости имеет координаты точки M (x; y) . При этом:
Запись комплексного числа - тригонометрическая форма комплексного числа.
Число r называется модулем комплексного числа z и обозначается . Модуль – неотрицательное вещественное число. Для .
Модуль равен нулю тогда и только тогда, когда z = 0, т.е. a = b = 0 .
Число φ называется аргументом z и обозначается . Аргумент z определен неоднозначно, как и полярный угол в полярной системе координат, а именно с точностью до слагаемого кратного 2π.
Тогда принимаем: , где φ – наименьшее значение аргумента. Очевидно, что
.
При более глубоком изучении темы вводится вспомогательный аргумент φ*, такой, что
Пример 1 . Найти тригонометрическую форму комплексного числа .
Решение. 1) считаем модуль: ;
2) ищем φ: ;
3) тригонометрическая форма:
Пример 2. Найти алгебраическую форму комплексного числа .
Здесь достаточно подставить значения тригонометрических функций и преобразовать выражение:
Пример 3. Найти модуль и аргумент комплексного числа ;
1) ;
2) ; φ – в 4 четверти:
3.4. Действия с комплексными числами в тригонометрической форме
· Сложение и вычитание удобнее выполнять с комплексными числами в алгебраической форме:
· Умножение – при помощи несложных тригонометрических преобразований можно показать, что при умножении модули чисел перемножаются, а аргументы складываются: ;
Действия над комплексными числами, записанными в алгебраической форме
Алгебраической формой комплексного числа z = (a , b ).называется алгебраическое выражение вида
z = a + bi .
Арифметические операции над комплексными числами z 1 = a 1 + b 1 i и z 2 = a 2 + b 2 i , записанными в алгебраической форме, осуществляются следующим образом.
1. Сумма (разность) комплексных чисел
z 1 ± z 2 = (a 1 ± a 2) + (b 1 ±b 2)∙i ,
т.е. сложение (вычитание) осуществляются по правилу сложения многочленов с приведением подобных членов.
2. Произведение комплексных чисел
z 1 ∙z 2 = (a 1 ∙a 2 - b 1 ∙b 2) + (a 1 ∙b 2 + a 2 ∙b 1)∙i ,
т.е. умножение производится по обычному правилу умножения многочленов, с учетом того, что i 2 = 1.
3. Деление двух комплексных чисел осуществляется по следующему правилу:
, (z 2 ≠ 0),
т.е. деление осуществляется умножением делимого и делителя на число, сопряженное делителю.
Возведение в степень комплексных чисел определяется следующим образом:
Легко показать, что
Примеры .
1. Найти сумму комплексных чисел z 1 = 2 – i и z 2 = – 4 + 3i.
z 1 + z 2 = (2 + (–1)∙i )+ (–4 + 3i ) = (2 + (–4)) + ((–1) + 3) i = –2+2i.
2. Найти произведение комплексных чисел z 1 = 2 – 3i и z 2 = –4 + 5i.
= (2 – 3i ) ∙ (–4 + 5i ) = 2 ∙(–4) + (-4) ∙(–3i )+ 2∙5i – 3i∙ 5i = 7+22i.
3. Найти частное z от деления z 1 = 3 – 2на z 2 = 3 – i.
z = .
4. Решить уравнение: , x и y Î R .
(2x + y ) + (x + y )i = 2 + 3i.
В силу равенства комплексных чисел имеем:
откуда x = –1 , y = 4.
5. Вычислить: i 2 , i 3 , i 4 , i 5 , i 6 , i -1 , i -2 .
6. Вычислить , если .
.
7. Вычислить число обратное числу z =3-i .
Комплексные числа в тригонометрической форме
Комплексной плоскостью называется плоскость с декартовыми координатами (x, y ), если каждой точке с координатами (a, b ) поставлено в соответствие комплексное число z = a + bi . При этом ось абсцисс называется действительной осью , а ось ординат – мнимой . Тогда каждое комплексное число a + bi геометрически изображается на плоскости как точка A (a, b ) или вектор .
Следовательно, положение точки А (и, значит, комплексного числа z ) можно задать длиной вектора | | = r и углом j , образованным вектором | | с положительным направлением действительной оси. Длина вектора называется модулем комплексного числа и обозначается | z |=r , а угол j называется аргументом комплексного числа и обозначается j = arg z .
Ясно, что | z | ³ 0 и | z | = 0 Û z = 0.
Из рис. 2 видно, что .
Аргумент комплексного числа определяется неоднозначно, а с точностью до 2pk, k Î Z .
Из рис. 2 видно также, что если z=a+bi и j=arg z, то
cosj = , sinj = , tgj = .
Если zÎ R и z > 0,то arg z = 0 +2pk ;
если z Î R и z < 0,то arg z = p + 2pk ;
если z = 0, arg z не определен.
Главное значение аргумента определяется на отрезке 0 £ arg z £ 2p,
либо -p £ arg z £ p .
Примеры:
1. Найти модуль комплексных чисел z 1 = 4 – 3i и z 2 = –2–2i.
2. Определить на комплексной плоскости области, задаваемые условиями:
1) | z | = 5; 2) | z | £ 6; 3) | z – (2+i ) | £ 3; 4) 6 £ | z – i | £ 7.
Решения и ответы:
1) | z | = 5 Û Û - уравнение окружности радиусом 5 и с центром в начале координат.
2) Круг радиусом 6 с центром в начале координат.
3) Круг радиусом 3 с центром в точке z 0 = 2 + i .
4) Кольцо, ограниченное окружностями с радиусами 6 и 7 с центром в точке z 0 = i .
3. Найти модуль и аргумент чисел: 1) ; 2) .
1) ; а = 1, b = Þ ,
Þ j 1 = .
2) z 2 = –2 – 2i ; a = –2, b = -2 Þ ,
.
Указание: при определении главного аргумента воспользуйтесь комплексной плоскостью.
Таким образом: z 1 = .
2) , r 2 = 1, j 2 = , .
3) , r 3 = 1, j 3 = , .
4) , r 4 = 1, j 4 = , .