ЛЕКЦИЯ 1. ФУНКЦИОНАЛЬНАЯ ЗАВИСИМОСТЬ.

1. Понятие функции

Понятие функции, наряду с понятием числа и переменной величины, является одним из главнейших понятий современной математики. В естествознании и технике мы часто встречаемся с зависимостями одних величин от других с так называемыми функциональными зависимостями.

Функциональная зависимость одной величины (y) от другой (x) означает, что каждому значению x соответствует единственное значение y . Величина x при этом называется независимой переменной, а y зависимой переменной, или функцией этой переменной. Также говорят, что x аргумент функции y .

Термин ¾функция¿ впервые был введен в 1692 г. Готфридом Вильгельмом Лейбницем.

1. Площадь S квадрата является функцией длины a его стороны: S = a2 . 2. Объем V шара можно выразить через радиус R шара:

V = 4 3 πR3 .

3. Объем конуса V с данной высотой h зависит от радиуса r его основания:

V = 1 3 πr2 h.

4. Пусть путь z , пройденный свободно падающим телом, зависит от времени t ,

протекшего с момента, когда началось падение. Эта зависимость выражается формулой z = gt 2 2 (g ускорение свободного падения).

Определение 1. Если каждому значению, которое может принять переменная x , по некоторому правилу или закону ставится в соответствие одно определенное значение переменной y , то говорят, что y есть однозначная функция от x , и обозначают y = f (x) .

Множество всех значений аргумента x , для которых функция y = f (x) определена, называется областью определения этой функции (О.О.Ф.).

Множество всех значений, принимаемых переменной y , называют областью значений функции (О.З.Ф.) функции y = f (x) .

Функция называется четной, если для любого x из области определения выполняется равенство f (−x) = f (x).

Функция называется нечетной, если для любого x из области определения выполняется равенство f (−x) = −f (x).

Функция называется периодической с периодом T > 0, если при любом x из области

Решение. Область определения арксинуса – множество точек из отрезка [−1, 1]. Следовательно, задача сводится к решению неравенства

Итак, f (−x) = −f (x), т. е. функция нечетная.

f (x + 2π) = tg(x + 2π) sin(3x + 2π) + ctg(2x + 2π) =

Tg x sin 3x + ctg 2x = f (x).

Итак, f (x + 2π) = f (x), т. е. функция периодическая с периодом 2π.

2. Способы задания функции

Аналитический способ это задание функции с помощью формул или уравнений.

Например: y = sin x, y = x2 , y2 + x2 = 1 и т. д.

Если уравнение, при помощи которого задается функция, не разрешено относительно y , то функция называется неявной. Когда такое решение возможно, неявная функция может быть приведена к явной форме, т. е. к виду y = f (x) .

Например, уравнение 2x + 3y − 5 = 0 можно рассматривать как функцию, заданную неявно. Решив его относительно y , мы получим ту же функцию, но уже в явном виде:

y = 5 − 2x.

Отметим, что при аналитическом способе задания функции встречаются случаи, когда функция задана не одной, а несколькими формулами, например:

Табличный способ это способ задания функции при помощи таблицы. Примерами такого задания являются таблицы тригонометрических функций, логарифмов и т. д. Табличный способ задания функции широко используется в различного рода экспериментах и наблюдениях. Таблицы просты в обращении, но недостатком этого способа является то, что функция задается не для всех значений аргумента.

Графический способ. Графиком функции y = f (x) называется множество точек (x, y) плоскости XOY , координаты которых связаны соотношением y = f (x) .

Преимуществом графического способа задания функции является его наглядность. Графический способ задания функции используется при работе различных самопишущих приборов. В медицине, например, работа сердца анализируется с помощью кардиографа.

Функции cтепенная, показательная, логарифмическая, тригонометрическая, обратные тригонометрические, постоянная (константа) называются основными элементарными функциями.

Графики основных элементарных функций

3. Многозначные функции

Иногда приходится рассматривать ситуацию, когда каждому значению независимой переменной x ставится в соответствие несколько значений y. В этом случае говорят, что

для √ x > 0: каждому положительному соответствуют два действительных числа,

отличающихся между собой знаками, квадраты которых равны x . Что же касается функции Arcsinx , то она приводит в соответствие каждому значению x из отрезка [−1, 1] бесконечное множество значений y , которые могут быть записаны по формуле

y = (−1)k arcsin x + πk, (k = 0, 2, . . .).

Если приходится рассматривать функцию как многозначную, то это необходимо оговаривать особо.

4. Обратная функция

Если уравнение y = f (x) может быть однозначно разрешено относительно x , то говорят, что функция x = g(y) обратная по отношению к y = f (x) . Обозначается x = f −1 (y) . Причем y ≡ f (f−1 (y)).

Иногда придерживаются стандартных обозначений: под x понимают независимую переменную, а под y функцию, т. е. зависимую переменную. В таком случае обратную функцию следует писать в виде y = g(x) .

Например, можно говорить, что функции y = 2x и y = log2 x являются взаимно обратными. Чтобы из графика данной функции y = f (x) получить график обратной ей функции y = g(x) , достаточно первый график симметрично отобразить относительно биссектрисы 1-го и 3-го координатных углов.

Пример 5. Дана функция y = 1 − 2−x . Найти обратную функцию.

2−x = 1 − y, x =− lg(1 − y) .lg 2

Область определения функции (О.О.Ф.) −∞ < y < 1 .

5. Сложная функция

Пусть переменная y зависит от переменной u , которая в свою очередь зависит от переменной x: y = f (u), u = ϕ(x) . Тогда при изменении x будет меняться u , а потому будет меняться и y . Значит, y является функцией x: y = f (ϕ(x)). Эта функция называется сложной функцией (или функцией от функции), переменная u – промежуточной. Указанную сложную функцию называют также суперпозицией функций f и ϕ .

Пример 6. Дана функция f (x) = arccos(lg(x)) . Найти а) f (10 1 ); б) f (1); в) f (10).

а) f (10 1 ) = arccos(lg(10 1 )) = arccos(−1) = π.

б), в) вычислить самостоятельно.

Всякая функция, которая получается из основных элементарных функций путем конечного числа суперпозиций и четырех арифметических действий, называется элементарной функцией. Например, многочлен степени n элементарная функция.

6. Параметрический способ задания функции

Говорят, что функция задана параметрически, если зависимость y от x задана с помощью параметра t: где t пробегает некоторые числовые значения.

Если построить эти точки на плоскости XOY, можно увидеть, что при непрерывном изменении t мы получим окружность радиуса единица с центром в начале координат. Или можно поступить по другому, исключить параметр t, тогда x2 + y2 = cos2 t + sin2 t = 1.

7. Построение графиков функций

Рассмотрим простейшие преобразования графиков функции.

1. График функции y = f (x + a) получается из графика функции y = f (x) параллельным сдвигом его вдоль оси Ox на |a| единиц масштаба в направлении, противоположном знаку a.

2. График функции y = f (kx) (k >

”сжатием” его к оси Oy в k раз при k > 1 и ”растяжением” от оси Oy в 1/k раз при

k < 1.

3. График функции y = kf (x) (k > 0) получается из графика функции y = f (x)

”растяжением” его от оси Ox в k раз при k > 1 и ”сжатием” к оси Ox в 1/k раз при

k < 1.

4. График функции y = f (x) + b получается из графика функции y = f (x) параллельным сдвигом его вдоль оси Oy на |b| единиц масштаба в направлении, совпадающим со знаком b.

5. График функции y = −f (x) симметричен графику функции y = f (x) относительно оси Ox.

Рассмотрим построение графика функции y = kf (mx + b) + a путем преобразования графика функции y = f (x). Предварительно выполним тождественное преобразование

Теперь последовательно применяя преобразования 1 – 5, строим искомый график функции.

Пример 8. Построить график функции y = 3 sin(2x + 4) преобразованием графика функции y = sin x.

Решение. Выполним тождественное преобразование

y = 3 sin(2x + 4) = 3 sin 2(x + 2).

Будем строить график функции в следующем порядке. 1. Строим график функции y = sin x на сегменте .

2. График функции y = 2 sin x получится сжатием графика функции y = sin x в два раза вдоль оси абцисс.

3. Для построения графика функции y = sin 2(x + 2) надо график функции y = sin 2x перенести влево вдоль оси абцисс на две единицы.

4. График функции y = 3 sin 2(x + 2) получим из графика функции y = sin 2(x + 2) растяжением его вдоль оси ординат в три раза.

I. y = sin x. II. y = sin 2x.

III. y = sin 2(x + 2). IV. y = 3 sin 2(x + 2).

Определение : Числовой функцией называется соответствие, которое каждому числу х из некоторого заданного множества сопоставляет единственное число y.

Обозначение:

где x – независимая переменная (аргумент), y – зависимая переменная (функция). Множество значений x называется областью определения функции (обозначается D(f)). Множество значений y называется областью значений функции (обозначается E(f)). Графиком функции называется множество точек плоскости с координатами (x, f(x))

Способы задания функции.

1. аналитический способ (с помощью математической формулы);
2. табличный способ (с помощью таблицы);
3. описательный способ (с помощью словесного описания);
4. графический способ (с помощью графика).

Основные свойства функции.

1. Четность и нечетность

Функция называется четной, если
– область определения функции симметрична относительно нуля
f(-x) = f(x)

График четной функции симметричен относительно оси 0y

Функция называется нечетной, если
– область определения функции симметрична относительно нуля
– для любого х из области определения f(-x) = –f(x)

График нечетной функции симметричен относительно начала координат.

2.Периодичность

Функция f(x) называется периодической с периодом , если для любого х из области определения f(x) = f(x+Т) = f(x-Т) .

График периодической функции состоит из неограниченно повторяющихся одинаковых фрагментов.

3. Монотонность (возрастание, убывание)

Функция f(x) возрастает на множестве Р, если для любых x 1 и x 2 из этого множества, таких, что x 1

Функция f(x) убывает на множестве Р, если для любых x 1 и x 2 из этого множества, таких, что x 1 f(x 2) .

4. Экстремумы

Точка Х max называется точкой максимума функции f(x) , если для всех х из некоторой окрестности Х max , выполнено неравенство f(х) f(X max).

Значение Y max =f(X max) называется максимумом этой функции.

Х max – точка максимума
У max – максимум

Точка Х min называется точкой минимума функции f(x) , если для всех х из некоторой окрестности Х min , выполнено неравенство f(х) f(X min).

Значение Y min =f(X min) называется минимумом этой функции.

X min – точка минимума
Y min – минимум

X min , Х max – точки экстремума
Y min , У max – экстремумы.

5. Нули функции

Нулем функции y = f(x) называется такое значение аргумента х, при котором функция обращается в нуль: f(x) = 0.

Х 1 ,Х 2 ,Х 3 – нули функции y = f(x).

Задачи и тесты по теме "Основные свойства функции"

• Свойства функций - Числовые функции 9 класс

  Уроков: 2 Заданий: 11 Тестов: 1

• Свойства логарифмов - Показательная и логарифмическая функции 11 класс

  Уроков: 2 Заданий: 14 Тестов: 1

• Функция квадратного корня, его свойства и график - Функция квадратного корня. Свойства квадратного корня 8 класс

  Уроков: 1 Заданий: 9 Тестов: 1

• Степенные функции, их свойства и графики - Степени и корни. Степенные функции 11 класс

  Уроков: 4 Заданий: 14 Тестов: 1

• Функции - Важные темы для повторения ЕГЭ по математике

  Заданий: 24

Изучив эту тему, Вы должны уметь находить область определения различных функций, определять с помощью графиков промежутки монотонности функции, исследовать функции на четность и нечетность. Рассмотрим решение подобных задач на следующих примерах.

Примеры.

1. Найти область определения функции.

Решение: область определения функции находится из условия

Соблюдение Вашей конфиденциальности важно для нас. По этой причине, мы разработали Политику Конфиденциальности, которая описывает, как мы используем и храним Вашу информацию. Пожалуйста, ознакомьтесь с нашими правилами соблюдения конфиденциальности и сообщите нам, если у вас возникнут какие-либо вопросы.

Сбор и использование персональной информации

Под персональной информацией понимаются данные, которые могут быть использованы для идентификации определенного лица либо связи с ним.

От вас может быть запрошено предоставление вашей персональной информации в любой момент, когда вы связываетесь с нами.

Ниже приведены некоторые примеры типов персональной информации, которую мы можем собирать, и как мы можем использовать такую информацию.

Какую персональную информацию мы собираем:

• Когда вы оставляете заявку на сайте, мы можем собирать различную информацию, включая ваши имя, номер телефона, адрес электронной почты и т.д.

Как мы используем вашу персональную информацию:

• Собираемая нами персональная информация позволяет нам связываться с вами и сообщать об уникальных предложениях, акциях и других мероприятиях и ближайших событиях.
• Время от времени, мы можем использовать вашу персональную информацию для отправки важных уведомлений и сообщений.
• Мы также можем использовать персональную информацию для внутренних целей, таких как проведения аудита, анализа данных и различных исследований в целях улучшения услуг предоставляемых нами и предоставления Вам рекомендаций относительно наших услуг.
• Если вы принимаете участие в розыгрыше призов, конкурсе или сходном стимулирующем мероприятии, мы можем использовать предоставляемую вами информацию для управления такими программами.

Раскрытие информации третьим лицам

Мы не раскрываем полученную от Вас информацию третьим лицам.

Исключения:

• В случае если необходимо - в соответствии с законом, судебным порядком, в судебном разбирательстве, и/или на основании публичных запросов или запросов от государственных органов на территории РФ - раскрыть вашу персональную информацию. Мы также можем раскрывать информацию о вас если мы определим, что такое раскрытие необходимо или уместно в целях безопасности, поддержания правопорядка, или иных общественно важных случаях.
• В случае реорганизации, слияния или продажи мы можем передать собираемую нами персональную информацию соответствующему третьему лицу – правопреемнику.

Защита персональной информации

Мы предпринимаем меры предосторожности - включая административные, технические и физические - для защиты вашей персональной информации от утраты, кражи, и недобросовестного использования, а также от несанкционированного доступа, раскрытия, изменения и уничтожения.

Соблюдение вашей конфиденциальности на уровне компании

Для того чтобы убедиться, что ваша персональная информация находится в безопасности, мы доводим нормы соблюдения конфиденциальности и безопасности до наших сотрудников, и строго следим за исполнением мер соблюдения конфиденциальности.