Для построения общей теории систем линейных уравнений мы будем использовать новое понятие - многомерного векторного пространства.
Определение. Упорядоченная система n чисел a=(a 1 ,a 2 ,...,a n) называется n-мерным вектором, a j ÎR - координаты вектора.
Определение. Два вектора a и b=(b 1 ,b 2 ,...,b n ) будут считаться равными, если a i =b i "i =1,2,...,n
Примеры : 1) множество векторов плоскости, пространства;
2) коэффициенты линейного уравнения с n неизвестными составляют n-мерный вектор;
3) любое решение системы линейных уравнений с n неизвестными будет n-мерным вектором;
4) в матрице размера n´n любая строка и любой столбец являются n- мерными векторами.
Определение. Суммой векторов a и b называется вектор
a+b=(a 1 +b 1 ,a 2 +b 2 ,...,a n +b n ).
Роль нуля играет вектор 0=(0,0,...,0).
Определение . Вектор -a=(-a 1 ,-a 2 ,...,-a n) называется противоположным вектору a.
Определение. Произведением вектора a на число k называется вектор ka=ak=(ka 1 ,ka 2 ,...,ka n).
Свойства умножения вектора на число
Свойство 1 . "a,b "kÎR (k(a±b)=ka±kb)
Свойство 2. "a "k,l ÎR ((k ±l )a=k a±l a
Свойство 3. "a "k,l ÎR (k(l a)=(kl) a)
Свойство 4 . "a (1×a=a)
Доказать самостоятельно.
Следствие 1. "a (0×a=0)
Следствие 2 . " kÎR (k×0=0)
Следствие 3 . "a ((-1)×a=-a)
Доказать самостоятельно.
Определение. Множество всех n-мерных векторов с действительными координатами с операциями сложения и умножения вектора на число называется n-мерным векторным пространством .
Определение . Вектор b из n-мерного пространства называется пропорциональным вектору a, если существует такое число k, что b= ka.
(Нулевой вектор пропорционален любому вектору.)
Обобщением понятия пропорциональности векторов является понятие линейной комбинации векторов.
Определение. Вектор b из n-мерного пространства называется линейной комбинацией векторов a 1 ,a 2 ,...,a s , если существуют такие числа t 1 ,t 2 ,...,t s , что b= t 1 a 1 + t 2 a 2 +...+t s a s . (1)
Определение. Система векторов a 1 ,a 2 ,...,a r (r³2) называется линейно зависимой , если хотя бы один из этих векторов является линейной комбинацией остальных, и линейно независимой в противном случае.
Можно определить иначе. Система векторов a 1 ,a 2 ,...,a r (r³2) называется линейно зависимой , если существуют такие числа t 1 ,t 2 ,...,t r , хотя бы одно из которых отлично от 0, что имеет место равенство t 1 a 1 + t 2 a 2 +...+t r a r =0
Система векторов a 1 ,a 2 ,...,a r называется линейно независимой , если такое равенство возможно лишь при всех t i равных 0.
Свойство . Если некоторая подсистема системы векторов a 1 ,a 2 ,...,a s линейно зависима, то и вся система линейно зависима.
Доказательство
Пусть дана система векторов а i1 .a i2 ,...,а s ,
и подсистема этой системы векторов а i1 .a i2 ,...,а ir
, где r
Следствие 1. Система векторов, содержащая два равных вектора, линейно зависима.
Следствие 2. Система векторов, содержащая два противоположных вектора, линейно зависима.
Следствие 3. Система векторов, содержащая нулевой вектор, линейно зависима.
Следствие 4. Если система векторов линейно независима, то и всякая ее подсистема линейно независима.
Определение . Линейно независимую систему n-мерных векторов a 1 ,a 2 ,...,a s назовем максимальной линейно независимой системой, если добавление к этой системе любого n-мерного вектора b делает эту систему линейно зависимой.
Возникает вопрос: какое максимальное число векторов может составлять линейно независимую систему. Рассмотрим векторы
е 1 =(1,0,0,...,0),
………………(2)
е n =(0,0,0,...,1).
Эти векторы называются единичными векторами n-мерного пространства.
Предложение . Система единичных векторов (2) линейно независима.
Доказательство . Рассмотрим равенство
k 1 e 1 +k 2 e 2 +...+k n e n =0,
k 1 (1,0,0,...,0)+ k 2 (0,1,0,...,0)+ k n (0,0,0,...,1)=1,
(k 1 , 0,..., 0)+(0, k 2 ,0, ..., 0)+...+(0, 0, 0, ... , k n)=0,
(k 1 , k 2 , ... , k n)=0, то есть k i =0 " i =1, ... , n.
Таким образом, мы получили, что система единичных векторов (2) линейно независима.
Предложение . Любой вектор n-мерного пространства можно представить как линейную комбинацию векторов системы (2).
Доказательство - самостоятельно .
Определение . Будем говорить, что вектор b линейно выражается через систему векторов а 1 , а 2 , ... , а r , если b является линейной комбинацией векторов, входящих в систему а 1 , а 2 , ... , а r .
Определение . Система векторов b 1 , b 2 , ... , b s линейно выражается через систему векторов а 1 , а 2 , ... , а r , если всякий вектор b i является линейной комбинацией векторов системы a ("i =1,2,...,s).
Лемма . Если система векторов a линейно выражается через систему векторов b, а система векторов b линейно выражается через систему векторов g, то система векторов a линейно выражается через систему векторов g.
Доказательство
Пусть даны системы векторов
а 1 , а 2 , ... , а r ; b 1 , b 2 , ... , b s ; g 1 , g 2 ,..., g t .
По условию, система векторов a линейно выражается через систему векторов b, а система векторов b линейно выражается через систему векторов g, то есть
,
то есть любой вектор системы a линейно выражается через систему векторов g.
Теорема . Если в n-мерном векторном пространстве даны две системы векторов а 1 , а 2 , ... , а r иb 1 , b 2 , ... , b s и все векторы системы a линейно выражаются через векторы системы b, тогда если r>s, то система векторов a линейно зависима.
Доказательство
Докажем методом математической индукции по числу s.
1. s=1, тогда а 1 =с 1 b 1 , а 2 =с 2 b 1 , ... , а r =с r b 1 .
Если с 1 =0, то система векторов a линейно зависима, так как содержит нулевой вектор а 1 .
Если с 1 ¹0, то имеем линейную зависимость (-с 2)а 1 + с 1 а 2 +0 а 3 +...+0 а r =0, следовательно, система a линейно зависима.
2. Предположим, что утверждение верно для s-1 вектора, и докажем для s. Пусть
a 1 =с 11 b 1 +с 12 b 2 +...+c 1s b s
a 2 =c 21 b 1 +c 22 b 2 +...+c 2s b s
Теорема доказана.
Определение . Две системы векторов называются эквивалентными, если каждая из них линейно выражается через другую.
Следствие 1 . Всякие две эквивалентные линейно независимые системы векторов содержат равное число векторов.
Следствие 2 . Всякие s векторов n-мерного пространства составляют при s>n линейно зависимую систему.
Доказательство . Рассмотрим систему s векторов n-мерного пространства (s>n) a 1 =(a 11 , a 12 , ..., a 1n) ,
a 2 =(a 21 , a 22 , ..., a 2 n),
............................ (3)
a s =(a s 1 , a s 2 , ..., a sn).
По утверждению, эта система линейно выражается через систему (2), следовательно, по доказанной теореме она линейно зависима.
Следствие 3 . Всякая максимальная линейно независимая система векторов n-мерного пространства состоит из n векторов.
Следствие 4 . Если в данной линейно зависимой системе векторов взяты две в ней максимально линейно независимые подсистемы, то эти подсистемы содержат равное число векторов.
6 ответов
Размеры - это то, что вы хотите от них сделать. Например, глубина и время имеют смысл только тогда, когда вы имеете дело с этими концепциями.
Это не должно быть о пространстве и времени. Фактически, стандарт С++ называет их экстентами.
Скажем, у вас есть десять разных сыров, и вы хотите оценить вероятность того, что кто-то предпочтет их в определенном порядке. Вы можете сохранить это в своем int t; , имея в виду значение экстента: любимый сыр, второй любимый сыр, третий любимый сыр, четвертый любимый сыр, пятый любимый сыр и наименее любимый сыр. Вероятность того, что кто-то предпочитает сыры в порядке 5-4-6-3-2-1, будет выражаться как t .
Дело в том, что язык не прикрепляет семантику домена к экстентам. Это для вас, чтобы сделать это.
N-мерные массивы - это не просто С++. Он появляется повсюду в математике, физике, различных других науках и т.д.
Вот пример: скажем, вы хотите индексировать данные по положению (x, y, z), времени и "какой пользователь создал данные". Для точки данных, собранной в x1, y1, z1, time1 и сгенерированной пользователем1, вы сохраните ее в dataArray = myNewData .
В программировании не думайте о многомерных массивах в терминах традиционной геометрии, если вы не пытаетесь напрямую представлять мир. Лучше думать о каждом последующем "измерении" как о другом массиве, содержащем массивы. Существует несколько случаев использования, где это может появиться. Однако, если вы используете более трех измерений, я бы больше не рассматривал его как массивы или даже "массивы массивов", я предпочитаю, чтобы деревья были ближе к тому, как вы программируете то, что требует более трех уровней.
Одним из примеров является дерево, где у вас есть root node, который имеет узлы, которые также имеют узлы. Если вы хотите что-то сорвать, то дерево - прекрасный инструмент. Скажем, вы хотели отсортировать кучу чисел, которые приходили в случайном порядке. Вы бы сделали первый номер, который появился в корне. Если первое число равно 5, а следующее число равно 7, то вы должны поместить 7 в "правый" корень node 5. И если у вас есть 3, то 4, вы должны вставить 3 к "левому" из 5, а затем к 4 к "правильному" из 3. Если вы пересекаете это дерево в порядке (всегда идя влево вниз по дереву, возвращаемся только тогда, когда нет новых узлов, а затем вправо), вы получите отсортированный список: 3, 4, 5, 7.
5 / \ 3 7 \ 4
Здесь вы можете увидеть древовидную структуру. Если вы делали это на C, вы использовали бы структуры, которые выглядели бы так (я использую псевдокод):
Struct Node{ int val; Node left; Node right; }
Есть много материалов о бинарных деревьях (что я объясняю), но в первую очередь я хотел, чтобы вы отошли от концепции массивов, "как размеры в пространстве", и многое другое только из структуры данных, которая может хранить элементы. Иногда двоичное дерево или другая структура данных слишком сложна, и 5 или более размерный массив может быть более удобным для хранения данных. Я не могу сейчас придумать пример, но они были использованы раньше.
В качестве физических трехмерных существ мы не можем "визуализировать" то, что представляют 4, 5, 6 (или выше) физические размеры.
4-е измерение увеличило бы наше восприятие до 4-го направления , которое было бы ортогональным по направлениям высоты, ширины и глубины, которые мы естественно воспринимаем. Да - геометрия прошла странно!!
Чтобы дать нам ощущение этой идеи, в этом видео Карл Саган
воображает, что бы он чувствовал как идеально ровное 2-метровое существо (маленький квадрат), живущий в 2-м мире, чтобы встретить таинственное трехмерное существо.
Это трехмерное существо (подозрительно похожее на яблоко) существует в основном в этом загадочном третьем измерении, которое маленький квадрат не может "видеть". Он воспринимает только точки яблока, которые пересекаются со своим 2d плоским миром, т.е. Его проекция ...
Видео выглядит старомодным по сегодняшним меркам, но с точки зрения физики/геометрии все еще лучшее объяснение, которое я видел там.
Разговоры о возможности пространства большего, чем три числа измерений ведутся постоянно. Подобные мнения навеяны понятием абстрактных многомерных пространств в математике и физике. В физике это понятие используется в качестве удобного способа описания, когда к трем пространственным координатам добавляется время и ряд других параметров. Если число таких параметров вместе с пространственно-временными характеристиками - n, то считается, что они образуют n-мерное пространство. При достаточно большом количестве свойств и взаимосвязанных переменных можно прийти к понятию многомерного и даже бесконечного пространства, но это понятие будет носить довольно условный характер, так как оно будет применяться для характеристик совершенно других свойств.
Если взять, например, стопку листов бумаги (все, что находится в плоскости листа, есть пространство двух измерений) и проколоть эту стопку вилкой, то в каждом листе (пространстве двух измерений) останется след от вилки в виде четырех отверстий. Те, кто «живет» в пространстве двух измерений, никогда не сможет связать эти четыре отверстия в одно целое, т.е. представить, что они являются «следом» вилки, взаимодействия с ней. Таким образом, с позиций двухмерного пространства и его «обитателей», вилка недоступна представлению.
Другой пример. Если представить горизонтальную плоскость, пересекающую вершину дерева параллельно земле, то на этой плоскости разрезы ветвей покажутся отдельными и совершенно не связанными друг с другом. А в нашем пространстве - это разрез ветвей одного дерева, составляющих вместе одну вершину, питающихся от одного корня, имеющих одну тень. Так, может быть, трехмерные тела нашего пространства есть изображения в нашей сфере непостижимых для нас четырехмерных тел? Или, может, всевозможные аномальные явления - это «следы», оставленные в нашем трехмерном пространстве обитателями четырехмерного?
Мы ведь уже привыкли к понятию «четвертое измерение», или просто «иное измерение», откуда в наш скромный трехмерный мир иногда «вылезают» всякие «нечисти», включая «пришельцев» всех мастей, с одной стороны, а с другой исчезают, чаще всего безвозвратно, люди, корабли, самолеты.
История поиска «иных» измерений полна драматизма, имеет своих пророков и своих злых гениев. Пути науки странны и непредсказуемы, и то, что было отвергнуто в начале века как научное направление, вдруг вызвало пристальный интерес в конце века. Историю любого научного направления следует начинать с его корней. Первые намеки на существование «иных» пространств можно найти еще в работах Джордано Бруно. Но лишь в середине XIX в. физики и математики впервые робко поставили вопрос о возможности существования иных, более высоких измерений. Наиболее просто эта задача решалась математически, и первым вынес ее на обсуждение один из создателей новых неевклидовых геометрий Б. Риман в своей работе «О гипотезах, лежащих в
основе геометрий», посвященной, в частности, п-кратно протяженным величинам. Почти в то же время эта проблема стала задевать и физиков, и одним из первых ее коснулся Э. Мах: «Находясь еще под влиянием атомистической теории, я попытался однажды объяснить спектральные линии газов... Затруднения, с которыми я столкнулся при этом, навели меня в 1863 г. на мысль, что нечувствительные вещи не должны быть обязательно представляемы в нашем чувствительном пространстве трех измерений».
Теория относительности Эйнштейна, появившаяся в начале XX в., тогда дала громадный простор для развития физических идей, даже самых экстравагантных. Эйнштейн был одним из первых, кто покусился на незыблемые до сих пор понятия пространства и времени, показал их зависимость в СТО от системы отсчета, скорости движения, а затем в ОТО - и от напряженности гравитационного поля.
Позднее многие ученые стали задумываться над вопросом, почему у нашего пространства именно три измерения или, другими словами, какие особенности отличают геометрию и физику в трехмерном пространстве от геометрии и физики в многомерных пространствах?
В 1917 г. на основе ОТО Эйнштейн создал стационарную замкнутую сферическую модель Вселенной. Характерной чертой этой модели была конечность пространства, хотя, с точки зрения внутренней геометрии, пространство представляется тогда неограниченным. Никакого противоречия в этом нет. Например, поверхность надувного шарика, с нашей точки зрения, является конечной, а с точки зрения мухи, ползающей по ее внутренней поверхности, она будет неограниченной.
Однако при решении стандартных уравнений возникли определенные трудности. Для получения статистических решений Эйнштейн вынужден был ввести некий коэффициент, так называемый космологический член Я. Уравнения, выведенные Эйнштейном, интересны тем, что дают три варианта решения и соответственно три модели как Вселенной, так и пространства. Пространственно-временной мир Эйнштейна полностью статичен. Его можно представить как цилиндрический 4-мерный мир с неограниченной осью времени, т.е. по этой модели вре-
менное сечение пространственно-временного континуума в отличие от пространственного сечения является бесконечным.
В переводе на общедоступный язык мир Эйнштейна - это 3-мерное физическое пространство, искривленное и замкнутое само на себя благодаря присутствию в нем материи, т.е. 4-мерная сфера (гиперсфера), не имеющая ни начала, ни конца во времени. Искривить же трехмерный мир можно только в пространстве 4- и более высокого порядка измерений. Однозначно подразумевается полная равноправность этого четвертого измерения по отношению к трем существующим.
В годы жизни Эйнштейна и после многие ученые выдвигали идеи и представляли теории, связанные с n-мерностью пространства. То, что не удалось когда-то Эйнштейну, довольно успешно решается плеядой современных теоретиков, многие из которых уже стали лауреатами Нобелевских премий. Это А. Салаш, С. Вайнберг, Ш. Глэшоу. В пределах современных теорий Великого объединения им удалось собрать в рамках одной концепции три очень разных вида взаимодействий (гравитационные пока остались «за бортом»), которые могут быть описаны с помощью так называемых калибровочных полей. Основное свойство калибровочных полей состоит в существовании абстрактных симметрий, благодаря которым этот подход приобретает элегантность и открывает широкие перспективы. В возвращенной к жизни теории Калуцы - Клейна симметрии калибровочных полей приобретают конкретность геометрические симметрии, связанные с дополнительными измерениями пространства.
Как и в первоначальном варианте взаимодействия в теории вводятся путем присоединения к пространству-времени дополнительные пространственные измерения. Однако, так как теперь надо дать пристанище взаимодействиям трех типов, приходится вводить не одно, а несколько дополнительных измерений. Простой расчет количества операций, входящих в теорию Великого объединения, требует дополнительно еще 7 пространственных измерений; если же учесть время, то все пространство-время насчитывает 11 измерений. Таким образом, современный вариант теории Калуцы - Клейна постулирует 11-мерную Вселенную, 7 пространственных ко-
ординат которой свернуты и потому принципиально не наблюдаются.
Науке известны четыре фундаментальных взаимодействия в природе:
■ электромагнитное и гравитационное в масштабах мак
ромира;
■ слабое и сильное в масштабах микромира.
Однако в последние годы в научных трудах обсуж
дается возможность существования еще одного дистан
ционного взаимодействия в макромире - спинового,
или
торсионного,
фиксирующего и передающего информа
цию посредством торсионного поля. Физическая при
рода этого пятого взаимодействия, по-видимому, совер
шенно иная, чем у остальных четырех взаимодействий,
так как передача информации здесь осуществляется вроде
бы без затрат энергии.
Современные работы Дж. Уиллера, А. Пероуза, К. Прибрама, П. Дэвиса позволяют наличие этого пятого фундаментального взаимодействия в природе - спинторсион-ного взаимодействия. Связанные с ним поля (поля кручения) обладают способностью почти безэнергетически передавать информацию в любую часть Вселенной, а также обеспечивают «голографичность» информационных связей во Вселенной.
Соответственно изложенной парадигме вполне объяснимым становятся практически все явления, связанные с сенсорным восприятием феноменов и биоэнергетическим (точнее биоинформационным) воздействием целителей. Поэтому есть все основания считать, что торсионные поля ответственны за парапсихические феномены.
В наше время эта область деятельности перестала быть экзотической. Сейчас в нее вовлечены многие организации, предприятия, научно-исследовательские институты. Организовано производство синтетических противотор-сионных экранов из пленок для продажи населению, которые можно использовать в качестве защиты от геопатогенных излучений, излучений ЭВМ, компьютеров, телевизионных приемников и других радиоэлектронных приборов. Создаются новые конструкционные материалы с уникальными свойствами. Например, учеными России и Украины создана сталь в два раза прочнее и в
шесть раз пластичнее, чем обычная. Разрабатываются самые различные типы датчиков, реагирующих на торсионные поля.
Перспективы использования торсионных полей грандиозны. Достаточно упомянуть новые поколения компьютеров с элементной базой на микроуровне с поистине невероятными вычислительными способностями. Открытие пятого фундаментального взаимодействия перевернет наши представления о природе. Если наш век прошел под знаком электромагнетизма, то следующий будет веком торсионной энергии.
Построение
Преобразование 1-тетраэдра в 2-тетраэдр
Преобразование 2-тетраэдра в 3-тетраэдр
Как известно, через любые N точек можно провести (N–1)–плоскость и существуют множества из N+1 точек, через которые (N–1)–плоскость провести нельзя. Таким образом, N+1 – минимальное число точек в N–пространстве, которое не лежит в одной (N–1)–плоскости, и может служить вершинами N–многогранника.
Простейший N–многогранник с количеством вершин N+1 называется N–тетраэдром по названию трёхмерного члена этого семейства. В литературе принято также название «симплекс». В пространствах низшей размерности этому определению соответствуют 4 фигуры:
- 0-тетраэдр (точка) – 1 вершина;
- 1–тетраэдр (отрезок) – 2 вершины;
- 2–тетраэдр (треугольник) – 3 вершины;
- 3–тетраэдр (собственно тетраэдр) – 4 вершины.
Все эти фигуры обладают тремя общими свойствами:
1. В соответствии с определением, число вершин у каждой фигуры на единицу больше размерности пространства;
2. Существует общее правило преобразования фигур низшей размерности в фигуры высшей размерности. Оно заключается в том, что из геометрического центра фигуры строится перпендикуляр в следующее измерение, на этом перпендикуляре строится новая вершина и соединяется рёбрами со всеми вершинами исходного тетраэдра;
3. Как следует из описанной в п. 2 процедуры, любая вершина тетраэдра соединена рёбрами со всеми остальными вершинами.
Описанная сфера
Вокруг любого N-тетраэдра можно описать N-сферу.
Для 1-тетраэдра это утверждение очевидно. Описанная 1-сфера будет представлять собой отрезок, совпадающий с самим 1-тетраэдром, и её радиус будет составлять R = a/2. Добавим к 1-тетраэдру ещё одну точку и попробуем описать вокруг них 2-сферу.
Построим 2-сферу s 0 радиусом a/2 таким образом, чтобы отрезок AB был её диаметром. Если точка С находится за пределами окружности s 0 , то увеличивая радиус окружности и смещая её в сторону точки С можно добиться того, что все три точки окажутся на окружности. Если же точка С лежит внутри окружности s 0 , то подогнать окружность под эту точку можно увеличивая её радиус и смещая в сторону, противоположную точке С. Как видно из рисунка, сделать это можно в любом случае, когда точка С не лежит на одной прямой с точками АВ. Не является помехой и несимметричное расположение точки С относительно АВ.
Рассматривая общий случай, предположим, что существует (N–1)-сфера S N-1 радиуса r, описанная вокруг некоторой (N–1)-мерной фигуры. Поместим центр сферы в начало координат. Уравнение сферы будет иметь вид
Построим N-сферу с центром в точке (0, 0, 0, ... 0, h S) и радиусом R, причём
Уравнение этой сферы
Подставив в уравнение (1) x N = 0, получим уравнение (2). Таким образом, при любом h S сфера S N-1 является подмножеством сферы S N , а именно – её сечением плоскостью x N = 0.
Предположим, что точка С имеет координаты (X 1 , X 2 , X 3 , ..., X N). Преобразуем уравнение (2) к виду
и подставим в него координаты точки С:
Выражение в левой части представляет собой квадрат расстояния R C от начала координат до точки C, что позволяет привести последнее уравнение к виду
откуда можно выразить параметр h S:
Очевидно, что h S существует при любых R C , X N и r, кроме X N = 0. Это значит, что если точка С не лежит в плоскости сферы S N–1 , всегда можно найти такой параметр h S , что на сфере S N c центром (0, 0, 0, ..., h S) будет лежать и сфера S N–1 , и точка С. Таким образом, вокруг любых N+1 точек можно описать N–сферу, если N из этих точек лежат на одной (N–1)–сфере, и последняя точка не лежит с ними в одной (N–1)–плоскости.
Применяя последнее по индукции, можно утверждать, что N–сферу можно описать вокруг любых N+1 точек, если они не лежат в одной (N–1)–плоскости.
Число граней N-тетраэдра
Тетраэдр имеет N+1 вершин, каждая из которых соединена рёбрами со всеми остальными вершинами.
Поскольку все вершины тетраэдра соединены между собой, то тем же свойством обладает и любое подмножество его вершин. Это значит, что любое подмножество из L+1 вершин тетраэдра определяют его L–мерную грань, и эта грань сама является L–тетраэдром. Тогда для тетраэдра число L-мерных граней равно числу способов выбрать L+1 вершину из полного набора N+1 вершин.
Обозначим символом К(L,N) число L–мерных граней в N–многограннике, тогда для N-тетраэдра
где – число сочетаний из n по m.
В частности, число граней старшей размерности равно числу вершин и равно N+1:
Формулы для правильного N-тетраэдра
| Число L-мерных граней |  |
||||
| Высота |  |
 |
 |
||
| Объём |  |
 |
|||
| Радиус описанной сферы |  |
 |
|||
| Радиус вписанной сферы |  |
||||
| Двугранный угол | |||||
Несколько полезных соотношений
Wikimedia Foundation . 2010 .
