Построение

Преобразование 1-тетраэдра в 2-тетраэдр

Преобразование 2-тетраэдра в 3-тетраэдр

Как известно, через любые N точек можно провести (N–1)–плоскость и существуют множества из N+1 точек, через которые (N–1)–плоскость провести нельзя. Таким образом, N+1 – минимальное число точек в N–пространстве, которое не лежит в одной (N–1)–плоскости, и может служить вершинами N–многогранника.

Простейший N–многогранник с количеством вершин N+1 называется N–тетраэдром по названию трёхмерного члена этого семейства. В литературе принято также название «симплекс». В пространствах низшей размерности этому определению соответствуют 4 фигуры:

• 0-тетраэдр (точка) – 1 вершина;
• 1–тетраэдр (отрезок) – 2 вершины;
• 2–тетраэдр (треугольник) – 3 вершины;
• 3–тетраэдр (собственно тетраэдр) – 4 вершины.

Все эти фигуры обладают тремя общими свойствами:

1. В соответствии с определением, число вершин у каждой фигуры на единицу больше размерности пространства;

2. Существует общее правило преобразования фигур низшей размерности в фигуры высшей размерности. Оно заключается в том, что из геометрического центра фигуры строится перпендикуляр в следующее измерение, на этом перпендикуляре строится новая вершина и соединяется рёбрами со всеми вершинами исходного тетраэдра;

3. Как следует из описанной в п. 2 процедуры, любая вершина тетраэдра соединена рёбрами со всеми остальными вершинами.

Описанная сфера

Вокруг любого N-тетраэдра можно описать N-сферу.

Для 1-тетраэдра это утверждение очевидно. Описанная 1-сфера будет представлять собой отрезок, совпадающий с самим 1-тетраэдром, и её радиус будет составлять R = a/2. Добавим к 1-тетраэдру ещё одну точку и попробуем описать вокруг них 2-сферу.

Построим 2-сферу s 0 радиусом a/2 таким образом, чтобы отрезок AB был её диаметром. Если точка С находится за пределами окружности s 0 , то увеличивая радиус окружности и смещая её в сторону точки С можно добиться того, что все три точки окажутся на окружности. Если же точка С лежит внутри окружности s 0 , то подогнать окружность под эту точку можно увеличивая её радиус и смещая в сторону, противоположную точке С. Как видно из рисунка, сделать это можно в любом случае, когда точка С не лежит на одной прямой с точками АВ. Не является помехой и несимметричное расположение точки С относительно АВ.

Рассматривая общий случай, предположим, что существует (N–1)-сфера S N-1 радиуса r, описанная вокруг некоторой (N–1)-мерной фигуры. Поместим центр сферы в начало координат. Уравнение сферы будет иметь вид

Построим N-сферу с центром в точке (0, 0, 0, ... 0, h S) и радиусом R, причём

Уравнение этой сферы

Подставив в уравнение (1) x N = 0, получим уравнение (2). Таким образом, при любом h S сфера S N-1 является подмножеством сферы S N , а именно – её сечением плоскостью x N = 0.

Предположим, что точка С имеет координаты (X 1 , X 2 , X 3 , ..., X N). Преобразуем уравнение (2) к виду

и подставим в него координаты точки С:

Выражение в левой части представляет собой квадрат расстояния R C от начала координат до точки C, что позволяет привести последнее уравнение к виду

откуда можно выразить параметр h S:

Очевидно, что h S существует при любых R C , X N и r, кроме X N = 0. Это значит, что если точка С не лежит в плоскости сферы S N–1 , всегда можно найти такой параметр h S , что на сфере S N c центром (0, 0, 0, ..., h S) будет лежать и сфера S N–1 , и точка С. Таким образом, вокруг любых N+1 точек можно описать N–сферу, если N из этих точек лежат на одной (N–1)–сфере, и последняя точка не лежит с ними в одной (N–1)–плоскости.

Применяя последнее по индукции, можно утверждать, что N–сферу можно описать вокруг любых N+1 точек, если они не лежат в одной (N–1)–плоскости.

Число граней N-тетраэдра

Тетраэдр имеет N+1 вершин, каждая из которых соединена рёбрами со всеми остальными вершинами.

Поскольку все вершины тетраэдра соединены между собой, то тем же свойством обладает и любое подмножество его вершин. Это значит, что любое подмножество из L+1 вершин тетраэдра определяют его L–мерную грань, и эта грань сама является L–тетраэдром. Тогда для тетраэдра число L-мерных граней равно числу способов выбрать L+1 вершину из полного набора N+1 вершин.

Обозначим символом К(L,N) число L–мерных граней в N–многограннике, тогда для N-тетраэдра

где – число сочетаний из n по m.

В частности, число граней старшей размерности равно числу вершин и равно N+1:

Формулы для правильного N-тетраэдра

Число L-мерных граней
Высота
Объём
Радиус описанной сферы
Радиус вписанной сферы
Двугранный угол

Несколько полезных соотношений

Wikimedia Foundation . 2010 .

Разговоры о возможности пространства большего, чем три числа измерений ведутся постоянно. Подобные мнения навеяны понятием абстрактных многомерных пространств в математике и физике. В физике это понятие используется в качестве удобного способа описания, когда к трем пространственным координатам добавляется время и ряд других параметров. Если число таких параметров вместе с пространственно-временными характеристиками - n, то считается, что они образуют n-мерное пространство. При достаточно большом количестве свойств и взаимосвязанных переменных можно прийти к понятию многомерного и даже бесконечного пространства, но это понятие будет носить довольно условный характер, так как оно будет применяться для характеристик совершенно других свойств.

Если взять, например, стопку листов бумаги (все, что находится в плоскости листа, есть пространство двух измерений) и проколоть эту стопку вилкой, то в каждом листе (пространстве двух измерений) останется след от вилки в виде четырех отверстий. Те, кто «живет» в пространстве двух измерений, никогда не сможет связать эти четыре отверстия в одно целое, т.е. представить, что они являются «следом» вилки, взаимодействия с ней. Таким образом, с позиций двухмерного пространства и его «обитателей», вилка недоступна представлению.

Другой пример. Если представить горизонтальную плоскость, пересекающую вершину дерева параллельно земле, то на этой плоскости разрезы ветвей покажутся отдельными и совершенно не связанными друг с другом. А в нашем пространстве - это разрез ветвей одного дерева, составляющих вместе одну вершину, питающихся от одного корня, имеющих одну тень. Так, может быть, трехмерные тела нашего пространства есть изображения в нашей сфере непостижимых для нас четырехмерных тел? Или, может, всевозможные аномальные явления - это «следы», оставленные в нашем трехмерном пространстве обитателями четырехмерного?

Мы ведь уже привыкли к понятию «четвертое измерение», или просто «иное измерение», откуда в наш скромный трехмерный мир иногда «вылезают» всякие «нечисти», включая «пришельцев» всех мастей, с одной стороны, а с другой исчезают, чаще всего безвозвратно, люди, корабли, самолеты.

История поиска «иных» измерений полна драматизма, имеет своих пророков и своих злых гениев. Пути науки странны и непредсказуемы, и то, что было отвергнуто в начале века как научное направление, вдруг вызвало пристальный интерес в конце века. Историю любого научного направления следует начинать с его корней. Первые намеки на существование «иных» пространств можно найти еще в работах Джордано Бруно. Но лишь в середине XIX в. физики и математики впервые робко поставили вопрос о возможности существования иных, более высоких измерений. Наиболее просто эта задача решалась математически, и первым вынес ее на обсуждение один из создателей новых неевклидовых геометрий Б. Риман в своей работе «О гипотезах, лежащих в

основе геометрий», посвященной, в частности, п-кратно протяженным величинам. Почти в то же время эта проблема стала задевать и физиков, и одним из первых ее коснулся Э. Мах: «Находясь еще под влиянием атомистической теории, я попытался однажды объяснить спектральные линии газов... Затруднения, с которыми я столкнулся при этом, навели меня в 1863 г. на мысль, что нечувствительные вещи не должны быть обязательно представляемы в нашем чувствительном пространстве трех измерений».

Теория относительности Эйнштейна, появившаяся в начале XX в., тогда дала громадный простор для развития физических идей, даже самых экстравагантных. Эйнштейн был одним из первых, кто покусился на незыблемые до сих пор понятия пространства и времени, показал их зависимость в СТО от системы отсчета, скорости движения, а затем в ОТО - и от напряженности гравитационного поля.

Позднее многие ученые стали задумываться над вопросом, почему у нашего пространства именно три измерения или, другими словами, какие особенности отличают геометрию и физику в трехмерном пространстве от геометрии и физики в многомерных пространствах?

В 1917 г. на основе ОТО Эйнштейн создал стационарную замкнутую сферическую модель Вселенной. Характерной чертой этой модели была конечность пространства, хотя, с точки зрения внутренней геометрии, пространство представляется тогда неограниченным. Никакого противоречия в этом нет. Например, поверхность надувного шарика, с нашей точки зрения, является конечной, а с точки зрения мухи, ползающей по ее внутренней поверхности, она будет неограниченной.

Однако при решении стандартных уравнений возникли определенные трудности. Для получения статистических решений Эйнштейн вынужден был ввести некий коэффициент, так называемый космологический член Я. Уравнения, выведенные Эйнштейном, интересны тем, что дают три варианта решения и соответственно три модели как Вселенной, так и пространства. Пространственно-временной мир Эйнштейна полностью статичен. Его можно представить как цилиндрический 4-мерный мир с неограниченной осью времени, т.е. по этой модели вре-

менное сечение пространственно-временного континуума в отличие от пространственного сечения является бесконечным.

В переводе на общедоступный язык мир Эйнштейна - это 3-мерное физическое пространство, искривленное и замкнутое само на себя благодаря присутствию в нем материи, т.е. 4-мерная сфера (гиперсфера), не имеющая ни начала, ни конца во времени. Искривить же трехмерный мир можно только в пространстве 4- и более высокого порядка измерений. Однозначно подразумевается полная равноправность этого четвертого измерения по отношению к трем существующим.

В годы жизни Эйнштейна и после многие ученые выдвигали идеи и представляли теории, связанные с n-мерностью пространства. То, что не удалось когда-то Эйнштейну, довольно успешно решается плеядой современных теоретиков, многие из которых уже стали лауреатами Нобелевских премий. Это А. Салаш, С. Вайнберг, Ш. Глэшоу. В пределах современных теорий Великого объединения им удалось собрать в рамках одной концепции три очень разных вида взаимодействий (гравитационные пока остались «за бортом»), которые могут быть описаны с помощью так называемых калибровочных полей. Основное свойство калибровочных полей состоит в существовании абстрактных симметрий, благодаря которым этот подход приобретает элегантность и открывает широкие перспективы. В возвращенной к жизни теории Калуцы - Клейна симметрии калибровочных полей приобретают конкретность геометрические симметрии, связанные с дополнительными измерениями пространства.

Как и в первоначальном варианте взаимодействия в теории вводятся путем присоединения к пространству-времени дополнительные пространственные измерения. Однако, так как теперь надо дать пристанище взаимодействиям трех типов, приходится вводить не одно, а несколько дополнительных измерений. Простой расчет количества операций, входящих в теорию Великого объединения, требует дополнительно еще 7 пространственных измерений; если же учесть время, то все пространство-время насчитывает 11 измерений. Таким образом, современный вариант теории Калуцы - Клейна постулирует 11-мерную Вселенную, 7 пространственных ко-

ординат которой свернуты и потому принципиально не наблюдаются.

Науке известны четыре фундаментальных взаимодействия в природе:

■ электромагнитное и гравитационное в масштабах мак
ромира;

■ слабое и сильное в масштабах микромира.
Однако в последние годы в научных трудах обсуж
дается возможность существования еще одного дистан
ционного взаимодействия в макромире - спинового, или
торсионного, фиксирующего и передающего информа
цию посредством торсионного поля. Физическая при
рода этого пятого взаимодействия, по-видимому, совер
шенно иная, чем у остальных четырех взаимодействий,
так как передача информации здесь осуществляется вроде
бы без затрат энергии.

Современные работы Дж. Уиллера, А. Пероуза, К. Прибрама, П. Дэвиса позволяют наличие этого пятого фундаментального взаимодействия в природе - спинторсион-ного взаимодействия. Связанные с ним поля (поля кручения) обладают способностью почти безэнергетически передавать информацию в любую часть Вселенной, а также обеспечивают «голографичность» информационных связей во Вселенной.

Соответственно изложенной парадигме вполне объяснимым становятся практически все явления, связанные с сенсорным восприятием феноменов и биоэнергетическим (точнее биоинформационным) воздействием целителей. Поэтому есть все основания считать, что торсионные поля ответственны за парапсихические феномены.

В наше время эта область деятельности перестала быть экзотической. Сейчас в нее вовлечены многие организации, предприятия, научно-исследовательские институты. Организовано производство синтетических противотор-сионных экранов из пленок для продажи населению, которые можно использовать в качестве защиты от геопатогенных излучений, излучений ЭВМ, компьютеров, телевизионных приемников и других радиоэлектронных приборов. Создаются новые конструкционные материалы с уникальными свойствами. Например, учеными России и Украины создана сталь в два раза прочнее и в

шесть раз пластичнее, чем обычная. Разрабатываются самые различные типы датчиков, реагирующих на торсионные поля.

Перспективы использования торсионных полей грандиозны. Достаточно упомянуть новые поколения компьютеров с элементной базой на микроуровне с поистине невероятными вычислительными способностями. Открытие пятого фундаментального взаимодействия перевернет наши представления о природе. Если наш век прошел под знаком электромагнетизма, то следующий будет веком торсионной энергии.

• Перевод

Привет, Хабр. Помните офигенную статью «Вы и ваша работа» (+219, 2222 в закладки, 350k прочтений)?

Так вот у Хэмминга (да, да, самоконтролирующиеся и самокорректирующиеся коды Хэмминга) есть целая книга , написанная по мотивам его лекций. Мы ее тут переводим, ведь мужик дело говорит.

Это книга не просто про ИТ, это книга про стиль мышления невероятно крутых людей. «Это не просто заряд положительного мышления; в ней описаны условия, которые увеличивают шансы сделать великую работу.»

Мы уже перевели 6 (из 30) глав.

Глава 9. N-мерное пространство

Когда я стал профессором после 30 лет активных исследований в Bell Telephone Laboratories главным образом в отделе математических исследований, я вспомнил, что профессора должны осмыслять и резюмировать прошлый опыт. Я положил ноги на стол и стал обдумывать свое прошлое. В ранние годы я занимался в основном вычислениями, то есть я был вовлечен во многие большие проекты, требующие вычислений. Думая о том, как были разработаны несколько больших инженерных систем, в которые я был частично вовлечен, я начал, находясь теперь на некотором расстоянии от них, видеть, что у них было много общих элементов. Со временем я начал понимать, что задачи проектирования находятся в n-мерном пространстве, где n - число независимых параметров. Да, мы создаем 3-мерные объекты, но их проектирование находится в многомерном пространстве, 1 измерение для каждого проектируемого параметра.

Многомерные пространства понадобятся для того, чтобы дальнейшие доказательства стали интуитивно понятны без строгой детализации. Поэтому мы будем сейчас рассматривать n-мерное пространство.

Вы думаете, что живете в трехмерном пространстве, но во многих случаях вы живете в двумерном пространстве. Например, в случайном ходе жизни, если вы встретите кого-то, то имеете разумный шанс встретить этого человека снова. Но в мире 3-х измерений этого шанса нет! Рассмотрим рыб в океане, которые потенциально живут в трех измерениях. Они двигаются по поверхности или по дну, ограничивая вещи до двух измерений, или они формируют косяки, или собираются в одном месте в одно и то же время, например таком как устье реки, пляж, Саргассово море и т.д. Они не могут ожидать встретить приятеля, если они будут странствовать в открытом океане в трех измерениях. Или, к примеру, если вы хотите, чтобы самолеты столкнулись вы должны собрать их рядом с аэропортом, поместить их в двумерные уровни полетов, или послать их группой; действительно случайные полеты имели бы меньше аварий, чем это происходит сейчас!

N-мерное пространство является математической конструкцией, которую мы должны исследовать, чтобы понять что случается с нами, когда мы бродим там при решении задач проектирования. В двух измерениях у нас есть теорема Пифагора, для прямоугольного треугольника квадрат гипотенузы равен сумме квадратов других сторон. В трех измерениях нас интересует длина диагонали параллелепипеда, Рис. 9.1. Чтобы найти ее мы сначала проводим диагональ одной грани, применяем теорему Пифагора, затем берем ее как одну из сторон с другой стороной третьего измерения, которая перпендикулярна ей, и снова из теоремы Пифагора получаем, что квадрат диагонали ест сумма квадратов трех перпендикулярных сторон. Очевидно следует из этого доказательства и необходимой симметрии формулы, что если вы поднимаетесь к более высоким измерениям у вас все также квадрат диагонали будет равен сумме квадратов попарно взаимно перпендикулярных сторон,

Где x i длины сторон прямоугольного блока в n-мерном пространстве.

Рис. 9.I

Продолжая геометрический подход, плоскости в пространстве будут просто линейными комбинациями x i , а сфера вокруг точки будет всеми точками, находящимися на одном фиксированном расстоянии от заданной.

Нам понадобится объем n-мерной сферы, чтобы понять идею размера куска ограниченного пространства. Но сначала нам надо приближение Стирлинга для n!, которую я выведу, чтобы вы поняли большинство деталей и были уверены в правильности того, что последует, а не верили на слово.

С произведением типа n! трудно обращаться, поэтому мы возьмем log n!, который становится

Где, конечно, ln логарифм по основанию e. Суммы напоминают нам, что они связаны с интегралами, поэтому мы начнем с такого интеграла

Мы применяем интегрирование по частям (так как знаем, что ln x происходит из интегрирования алгебраической функции и, следовательно может быть исключен на следующем шаге). Пусть U=ln x, dV=dx, тогда

С другой стороны, если мы применим формулу трапеции к интегралу ln x мы получим, см. Рис. 9.II,

Так как ln 1 = 0, прибавляя (1/2) * ln n к обоим частям равенства мы в итоге получаем

Избавимся от логарифмов, возводя e в степень обеих частей.

Где С некая константа (близкая к e), не зависящая от n, так как мы аппроксимировали интеграл флрмулой трапеции, погрешность растет все медленнее и медленнее при увеличении n

Рис. 9.II

Все больше и больше, C имеет предел. Это первая форма формулы Стирлинга. Мы не будем тратить время на вычисление предела константы С при стремлении к бесконечности, который оказывается √(2*π)=2.5066… (e=2.71828...). Таким образом окончательно получаем формулу Стирлинга для факториала

Следующая таблица показывает погрешность приближения Стирлинга для n!

Обратите внимание, что при увеличении чисел коэффициент приближается к единице, но разница становится все больше и больше!

Если вы рассмотрите 2 функции

То предел отношения f(n)/g(n) при n, стремящемся к бесконечности, равен 1, но как и в таблице разница

Становится все больше и больше при возрастании n.

Нам надо расширить понятие факториала на множество всех положительных действительных чисел, для этого мы введем гамма функцию в форме интеграла

Который существует для всех n>0. Для n>1 мы снова интегрируем по частям, в этот раз используем dV=e^(-x)dx и U = x^(n-1). Для двух пределов интегрируемая часть равна 0 и мы имеем следующую приведенную формулу

Таким образом, гамма функция принимает значения (n-1)! для всех положительных целых n и естественным образом расширяет понятие факториала на все положительные числа, так как интеграл существует для всех n > 0.

Нам понадобится

Обозначим x=t^2, тогда dx=2t*dt, и получаем (используя симметрию на последнем шаге)

Теперь используем стандартный подход, чтобы вычислить этот интеграл. Мы получаем произведение двух интегралов, один по переменной x и один по переменной y.

X^2 + y^2 подразумевают полярные координаты, поэтому преобразуем к виду

Криволинейное интегрирование (angle integration) просто. Экспонентное интегрирование теперь тоже просто, и мы в итоге получаем.

Таким образом,

Теперь вернемся к объему n мерной сферы (или гиперсферы, если хотите). Ясно, что объем n-мерного куба со стороной x равен x^n. Немного подумав, вы поймете, что формула для объема n-мерной сферы должна иметь вид

Где C n соответствующая константа. Для случая n = 2, константа равна π, для случая n=1 равна 2 (если подумать). В трехмерном случае мы имеем C 3 = 4*π/3.

Мы начнем с того же трюка, который использовали для гамма функции от 1/2 за исключением того, что в этот раз мы возьмем произведение n интегралов, каждый со своей переменной x i . Объем сферы можно представить как сумму объемов поверхностей, каждое слагаемое этой суммы соответствует площади поверхности, умноженной на толщину dr. Для сферы значение площади поверхности можно получить дифференцированием объема сферы по отношению к радиусу r,

И следовательно слагаемые объема равны

Приравнивая r^2=t, имеем

Откуда получаем.

Легко видеть, что

И мы можем вычислить следующую таблицу.

Таким образом, мы видим, что коэффициент C n возрастает до n=5, а затем уменьшается до 0. Для сфер единичного радиуса это означает, что объем сферы стремится к нулю при увеличении размерности. Если радиус равен r, то для объема, обозначив n=2k для удобства (так как реальные числа изменяются гладко при увеличении n и сферы нечетных размерностей сложнее вычислять),

Рис. 9.III

Не важно насколько велик радиус r, увеличение количества измерений n рождает сферу сколь угодно маленького объема.

Теперь рассмотрим относительное количество объема, расположенное близко к поверхности n-мерной сферы. Пусть r - радиус сферы, а внутренний радиус поверхности r(1-ε), тогда относительный объем поверхности составляет

Для больших n независимо от того насколько тонка (по отношению к радиусу) поверхность внутри нее почти ничего нет. Как мы говорим объем почти весь на поверхности. Даже в 3 мерном пространстве единичная сфера имеет 7/8 объема внутри поверхности толщиной 1/2 радиуса. В n-мерном пространстве 1-(1/2)^n внутри половины радиуса от поверхности.

Это важно в проектировании; оказывается после вычислений и преобразований данных выше, что почти наверное оптимальное проектирование будет на поверхности, а не глубоко внутри как вы могли думать. Вычислительные методы обычно не годятся для поиска оптимума в многомерных пространствах. Это вовсе не странно; вообще говоря лучший дизайн - это привести один или более параметров к своему экстремуму - очевидно, что вы окажетесь на поверхности видимой области дизайна!

Следующим мы рассмотрим диагональ n-мерного куба, другими словами вектор из начала координат в точку с координатами (1,1,...,1). Косинус угла между этой линией и любой осью дается по определению как отношение значения координаты длины проекции на данную ось, которая очевидно равна 1 к длине вектора, которая равна √n. Следовательно

Отсюда следует, что при больших n диагональ почти перпендикулярна к каждой координатной оси!

Если мы рассмотрим точки с коодинатами (±1, ±1,..., ±1) тогда будет 2n таких диагоналей, которые все почти перепендикулярны к каждой оси координат. Для n=10, например, их количество составляет 1024 таких почти перпендикулярных линий.

Мне нужен угол между двумя векторами, и хотя вы может быть помните, что это скалярное произведение векторов, я предлагаю вывести это снова, чтобы лучше понимать то, что происходит. [Ремарка; Я обнаружил, что очень полезно в важных ситуациях пересматривать все базовые участвующие выведения, чтобы прочувствовать то, что происходит.] Возьмем две точки x и y, с соответствующими координатами x i и y i . Рис. 9.III. Применяя теорему косинусов в плоскости 3 точек x, y и начала координат, мы имеем

Где X и Y длины отрезков до точек x и y. Но C можно получить используя разницы координат по каждой оси

Приравнивая два выражения мы видим

Применим теперь эту формулу для двух отрезков, проведенных из начала координат к случайной точке из набора координат

(±1, ±1,..., ±1)

Скалярное произведение двух таких множителей, взятых случайно, снова равно ±1 и это должно быть просуммированно n раз, при этом длина каждого отрезка равна √n, следовательно (заметьте n в знаменателе)

И по слабому закону больших чисел это стремится к 0 с возрастанием n почти наверное. Но существует 2^n случайных векторов и для данного вектора все остальные из 2^n случайных векторов почти наверное почти перпендикулярны данному! n-мерность действительно обширна!

В линейной алгебре и других дисциплинах вы научились находить множество перпендикулярных осей и затем представлять все остальное в этой системе координат, но вы видите, что в n-мерном пространстве после того, как вы нашли n взаимно перпендикулярных координатных осей, существуют 2^n других направлений почти перпендикулярных тем, которые вы нашли! Теория и практика линейной алгебры совершенно разные!

Наконец, для дальнейшего доказательства, что ваша интуиция о n-мерном пространстве не очень хороша, я произведу еще один парадокс, который мне понадобится в следующих главах. Начнем с квадрата 4x4, поделенного на 4 единичных квадрата, в каждом из которых мы начертим единичную окружность, Рис. 9.IV. Далее мы начертим окружность с центром в центре квадрата, касающуюся остальных с внутренней стороны. Ее радиус должен быть из Рис. 9.IV,

В 3-хмерном пространстве мы имеем 4x4x4 куб и 8 сфер единичного радиуса. Внутренняя сфера касающаяся остальных в точке, лежащей на отрезках соединяющих центры, имеет радиус

Подумайте, почему ее радиус больше, чем для 2 измерений.

Двигаясь к n измерениям, имеем 4x4x...x4 куб и 2^n сфер, по одной в каждом углу, каждая касается остальных n соседних. Внутренняя сфера, касающаяся изнутри всех остальных, будет иметь радиус

Проверьте это внимательно! Вы уверенны? Если нет, почему нет? Где ошибка в рассуждениях?
Убедившись, что это правда, применим для случая n=10 измерений. Для внутренней сферы имеем радиус

Рис. 9.IV

И в 10 мерном пространстве внутренняя сфера вышла за пределы куба. Да, сфера выпуклая, да, она касается остальных 1024 изнутри, и при этом она выходит за пределы куба!

Это слишком для вашей чувствительной интуиции об n-мерном пространстве, но помните, что n-мерное пространство это то место, где обычно происходит проектирование сложных объектов. Вы должны стараться лучше почувствовать n-мерное пространство, размышляя о только что описанных вещах, пока вы не начнете видеть как они могут быть истинными, вернее почему они должны быть истинными. Иначе у вас будут проблемы, когда вы будете решать сложную задачу проектирования. Возможно вам стоит заново вычислить радиусы разных размерностей, а также вернуться к углам между диагоналями и осями координат и посмотреть как это получается.

Сейчас необходимо строго отметить, что я сделал все это в классическом Евклидовом пространстве, используя Пифагорово расстояние, где сумма квадратов разностей соответствующих координат равна квадрату расстояния между точками. Математики называют это расстояние L 2 .

Пространство L 1 использует не сумму квадратов разностей координат, а скорее сумму расстояний, как если вы путешествуете по городу с прямоугольно решеткой улиц. Это сумма разниц, между двумя пунктами, которая говорит вам, как далеко надо будет идти. В сфере вычислений это часто называют «расстояние Хэмминга» по причинам, которые станут понятны в последующих главах. В этом пространстве окружность в двух измерениях выглядит как квадрат, стоящий на вершине, рис. 9.V. В трехмерном пространстве это как куб, стоящий на вершине и т.д. Теперь вы можете лучше видеть как может парадоксальная внутренняя сфера из вышеприведенного примера выходить за пределы куба.

Существует третья, часто используемая, метрика (все они метрики = функции расстояния), называемая L ∞ , или расстояние Чебышева. Здесь за расстояние берется максимум разниц координат независимо от остальных разниц, рис. 9.VI. В этом пространстве окружность есть квадрат, 3-хмерная сфера есть куб, и вы видите, что в этом случае внутренняя сфера из парадокса имеет нулевой радиус во всех направлениях.

Это были примеры метрик, мер расстояния. Условия определения метрики D(x,y) между двумя точками x и у следующие:

1. D(x,y) ≥ 0 (неотрицательная)
2. D(x,y) = 0 тогда и только тогда, когда x=y (тождественность)
3. D(x,y) = D(y,x) (симметричность)
4. D(x,y) + D(y,z) ≥ D(x,z) (неравенство треугольника).

Рис. 9.V

Рис. 9.VI

Оставляю вам проверить, что три метрики L ∞ , L 2 и L 1 (Чебышева, Пифагора и Хэмминга) все удовлетворяют этим условиям.

Правда в том, что в сложном проектировании для различных координат мы можем использовать любую из этих метрик, перемешанных вместе, так что пространство проектирование это не целостная картинка, а смесь кусочков и частей. L 2 метрика очевидно связана с наименьшими квадратами, а остальные две L ∞ и L 1 более похожи на сравнения. При сравнениях в реальной жизни вы обычно используете либо максимальную разность L ∞ в какой-то одной характеристике как достаточное условие для различения двух предметов, или иногда, как в строках бит, это количество несовпадений, которое существенно, а сумма квадратов не подходит, значит, что используется L 1 метрика. Это в большей степени истинно для идентификации шаблонов в ИИ.

К сожалению, хотя все описанное выше истинно, оно редко открывается вам. Никто никогда не говорил мне об этом! Мне понадобится многое из результатов в последующих главах, но вообще говоря после этой демонстрации вы должны быть лучше подготовлены чем были до этого для сложного проектирования и для тщательного анализа пространства, в котором проектирование проводится, как я попытался сделать. Беспорядок, в основном то место где появляется проектирование, и вы должны найти приемлемое решение.

Так как L 1 и L ∞ не общеизвестны, позвольте несколько замечаний о трех метриках. L 2 естественная функция расстояния для использования в физических и геометрических случаях, включая извлечение данных из физических измерений. Поэтому в физике вы повсюду найдете L 2 . Но когда предмет касается интеллектуальных суждений, остальные 2 метрики более подходят, хотя это медленно воспринимается, поэтому мы часто видим частое использование оценки хи-квадрат, которая очевидно является мерой L 2 , там где должны использоваться другие более подходящие оценки.

Продолжение следует...

Кто хочет помочь с переводом - пишите в личку или на почту [email protected]