Целью регрессионного анализа является измерение связи меж­ду зависимой переменной и одной (парный регрессионный анализ) или не­сколькими (множественный) независимыми переменными. Независимые переменные называют также факторными, объясняющими, опреде­ляющими, регрессорами и предикторами.

Зависимую переменную иногда называют определяемой, объясняемой, «откликом». Чрезвы­чайно широкое распространение регрессионного анализа в эмпири­ческих исследованиях связано не только с тем, что это удобный ин­струмент тестирования гипотез. Регрессия, особенно множественная, является эффективным методом моделирования и прогнозирования.

Объяснение принципов работы с регрессионным анализом начнем с более простого - парного метода.

Парный регрессионный анализ

Первые действия при использовании регрессионного анализа будут практически идентичны предпринятым нами в рамках вычисления коэффициента корреляции. Три основных условия эффективности корреляционного анализа по методу Пирсона - нормальное распре­деление переменных, интервальное измерение переменных, линейная связь между переменными - актуальны и для множественной регрес­сии. Соответственно, на первом этапе строятся диаграммы рассеяния, проводится статистически-описательный анализ переменных и вы­числяется линия регрессии. Как и в рамках корреляционного анализа, линии регрессии строятся методом наименьших квадратов.

Чтобы более наглядно проиллюстрировать различия между двумя методами анализа данных, обратимся к уже рассмотренному приме­ру с переменными «поддержка СПС» и «доля сельского населения». Исходные данные идентичны. Отличие в диаграммах рассеяния бу­дет заключаться в том, что в регрессионном анализе корректно от­кладывать зависимую переменную - в нашем случае «поддержка СПС» по оси Y, тогда как в корреляционном анализе это не имеет значения. После чистки выбросов диаграмма рассеяния имеет вид:

Принципиальная идея регрессионного анализа состоит в том, что, имея общую тенденцию для переменных - в виде линии регрессии, - можно предсказать значение зависимой переменной, имея значения независимой.

Представим обычную математическую линейную функцию. Лю­бую прямую в евклидовом пространстве можно описать формулой:

где а - константа, задающая смещение по оси ординат; b - коэффи­циент, определяющий угол наклона линии.

Зная угловой коэффициент и константу, можно рассчитать (пред­сказать) значение у для любого х.

Эта простейшая функция и легла в основу модели регрессионного анализа с той оговоркой, что значение у мы предскажем не точно, а в рамках определенного доверительного интервала, т.е. приблизительно.

Константой является точка пересечения линии регрессии и оси ординат (F-пересечение, в статистических пакетах, как правило, обозначаемое «interceptor»). В нашем примере с голосованием за СПС ее округленное значение составит 10,55. Угловой коэффициент Ъ бу­дет равен примерно -0,1 (как и в корреляционном анализе, знак по­казывает тип связи - прямая или обратная). Таким образом, получен­ная модель будет иметь вид СП С = -0,1 х Сел. нас. + 10,55.

СПС = -0,10 х 47 + 10,55 = 5,63.

Разность между исходным и предсказанным значениями называет­ся остатком (с этим термином - принципиальным для статистики - мы уже сталкивались при анализе таблиц сопряженности). Так, для случая «Республика Адыгея» остаток будет равен 3,92 - 5,63 = -1,71. Чем больше модульное значение остатка, тем менее удачно предсказа­но значение.

Рассчитываем предсказанные значения и остатки для всех случаев: Случай Сел. нас. СПС (исходное) СПС (предсказанное) Остатки Республика Адыгея 47 3,92 5,63 -1,71 - Республика Алтай 76 5,4 2,59 2,81 Республика Башкортостан 36 6,04 6,78 -0,74 Республика Бурятия 41 8,36 6,25 2,11 Республика Дагестан 59 1,22 4,37 -3,15 Республика Ингушетия 59 0,38 4,37 3,99 И т.д.

Анализ соотношения исходных и предсказанных значений служит для оценки качества полученной модели, ее прогностической способности. Одним из главных показателей регрессионной статистики является множественный коэффициент корреляции R - коэффициент корреляции между исходными и предсказанными значениями зави­симой переменной. В парном регрессионном анализе он равен обыч­ному коэффициенту корреляции Пирсона между зависимой и неза­висимой переменной, в нашем случае - 0,63. Чтобы содержательно интерпретировать множественный R, его необходимо преобразовать в коэффициент детерминации. Это делается так же, как и в корреля­ционном анализе - возведением в квадрат. Коэффициент детерминации R -квадрат (R 2) показывает долю вариации зависимой пере­менной, объясняемую независимой (независимыми) переменными.

В нашем случае R 2 = 0,39 (0,63 2); это означает, что переменная «доля сельского населения» объясняет примерно 40% вариации переменной «поддержка СПС». Чем больше величина коэффициента детер­минации, тем выше качество модели.

Другим показателем качества модели является стандартная ошиб­ка оценки (standard error of estimate). Это показатель того, насколько сильно точки «разбросаны» вокруг линии регрессии. Мерой разброса для интервальных переменных является стандартное отклонение. Со­ответственно, стандартная ошибка оценки - это стандартное откло­нение распределения остатков. Чем выше ее значение, тем сильнее разброс и тем хуже модель. В нашем случае стандартная ошибка со­ставляет 2,18. Именно на эту величину наша модель будет «ошибаться в среднем» при прогнозировании значения переменной «поддерж­ка СПС».

Регрессионная статистика включает в себя также дисперсионный анализ. С его помощью мы выясняем: 1) какая доля вариации (дисперсии) зависимой переменной объясняется независимой перемен­ной; 2) какая доля дисперсии зависимой переменной приходится на остатки (необъясненная часть); 3) каково отношение этих двух вели­чин (/"-отношение). Дисперсионная статистика особенно важна для выборочных исследований - она показывает, насколько вероятно наличие связи между независимой и зависимой переменными в генеральной совокупности. Однако и для сплошных исследований (как в нашем примере) изучение результатов дисперсионного анализа небесполезно. В этом случае проверяют, не вызвана ли выявленная ста­тистическая закономерность стечением случайных обстоятельств, насколько она характерна для того комплекса условий, в которых на­ходится обследуемая совокупность, т.е. устанавливается не истинность полученного результата для какой-то более обширной гене­ральной совокупности, а степень его закономерности, свободы от случайных воздействий.

В нашем случае статистика дисперсионного анализа такова:

	SS	df	MS	F	значение
Регрес.	258,77	1,00	258,77	54,29	0.000000001
Остат.	395,59	83,00	Л,11
Всего	654,36

F-отношение 54,29 значимо на уровне 0,0000000001. Соответ­ственно, мы можем с уверенностью отвергнуть нулевую гипотезу (что обнаруженная нами связь носит случайный характер).

Аналогичную функцию выполняет критерий t, но уже в отношении регрессионных коэффициентов (углового и F-пересечения). С помо­щью критерия / проверяем гипотезу о том, что в генеральной совокуп­ности регрессионные коэффициенты равны нулю. В нашем случае мы вновь можем уверенно отбросить нулевую гипотезу.

Множественный регрессионный анализ

Модель множественной регрессии практически идентична модели парной регрессии; разница лишь в том, что в линейную функцию последовательно включаются несколько независимых переменных:

Y = b1X1 + b2X2 + …+ bpXp + а.

Если независимых переменных больше двух, мы не имеем возмож­ности получить визуальное представление об их связи, в этом плане множественная регрессия менее «наглядна», нежели парная. При на­личии двух независимых переменных данные бывает полезно отобразить на трехмерной диаграмме рассеяния. В профессиональных ста­тистических пакетах программ (например, Statisticа) существует опция вращения трехмерной диаграммы, позволяющая хорошо визуально представить структуру данных.

При работе с множественной регрессией, в отличие от парной, не­обходимо определять алгоритм анализа. Стандартный алгоритм включает в итоговую регрессионную модель все имеющиеся предикторы. Пошаговый алгоритм предполагает последовательное включе­ние (исключение) независимых переменных, исходя из их объяснительного «веса». Пошаговый метод хорош, когда имеется много независимых переменных; он «очищает» модель от откровенно слабых предикторов, делая ее более компактной и лаконичной.

Дополнительным условием корректности множественной регрес­сии (наряду с интервальностью, нормальностью и линейностью) является отсутствие мультиколлинеарности - наличия сильных корреляционных связей между независимыми переменными.

Интерпретация статистики множественной регрессии включает в себя все злементы, рассмотренные нами для случая парной регрессии. Кроме того, в статистике множественного регрессионного анализа есть и другие важные составляющие.

Работу с множественной регрессией мы проиллюстрируем на при­мере тестирования гипотез, объясняющих различия в уровне электоральной активности по регионам России. В ходе конкретных эмпири­ческих исследований были высказаны предположения, что на уровень явки избирателей влияют:

Национальный фактор (переменная «русское население»; операционализирована как доля русского населения в субъектах РФ). Предполагается, что увеличение доли русского населения ведет к сни­жению активности избирателей;

Фактор урбанизации (переменная «городское население»; операционализирована как доля городского населения в субъектах РФ, с этим фактором мы уже работали в рамках корреляционного анализа). Предполагается, что увеличение доли городского населения также ве­дет к снижению активности избирателей.

Зависимая переменная - «интенсивность избирательной активно­сти» («актив») операционализирована через усредненные данные яв­ки по регионам на федеральных выборах с 1995 по 2003 г. Исходная таблица данных для двух независимых и одной зависимой перемен­ной будет иметь следующий вид:

Случай	Переменные
	Актив.	Гор. нас.	Рус. нас.
Республика Адыгея	64,92	53	68
Республика Алтай	68,60	24	60
Республика Бурятия	60,75	59	70
Республика Дагестан	79,92	41	9
Республика Ингушетия	75,05	41	23
Республика Калмыкия	68,52	39	37
Карачаево-Черкесская Республика	66,68	44	42
Республика Карелия	61,70	73	73
Республика Коми	59,60	74	57
Республика Марий Эл	65,19	62	47

И т.д. (после чистки выбросов остается 83 случая из 88)

Статистика, описывающая качество модели:

1. Множественный R = 0,62; Л-квадрат = 0,38. Следовательно, национальный фактор и фактор урбанизации вместе объясняют около 38% вариации переменной «электоральная активность».

2. Средняя ошибка составляет 3,38. Именно настолько «в среднем ошибается» построенная модель при прогнозировании уровня явки.

3. /л-отношение объясненной и необъясненной вариации состав­ляет 25,2 на уровне 0,000000003. Нулевая гипотеза о случайности выявленных связей отвергается.

4. Критерий /для константы и регрессионных коэффициентов пе­ременных «городское население» и «русское население» значим на уровне 0,0000001; 0,00005 и 0,007 соответственно. Нулевая гипотеза о случайности коэффициентов отвергается.

Дополнительная полезная статистика в анализе соотношения ис­ходных и предсказанных значений зависимой переменной - расстояние Махаланобиса и расстояние Кука. Первое - мера уникальности слу­чая (показывает, насколько сочетание значений всех независимых переменных для данного случая отклоняется от среднего значения по всем независимым переменным одновременно). Второе - мера влия­тельности случая. Разные наблюдения по-разному влияют на наклон линии регрессии, и с помощью расстояния Кука можно сопоставлять их по этому показателю. Это бывает полезно при чистке выбросов (вы­брос можно представить как чрезмерно влиятельный случай).

В нашем примере к уникальным и влиятельным случаям, в частно­сти, относится Дагестан.

Случай	Исходные значения	Предска­ значения	Остатки	Расстояние Махаланобиса	Расстояние
Адыгея	64,92	66,33	-1,40	0,69	0,00
Республика Алтай	68,60	69.91	-1,31	6,80	0,01
Республика Бурятия	60,75	65,56	-4,81	0,23	0,01
Республика Дагестан	79,92	71,01	8,91	10,57	0,44
Республика Ингушетия	75,05	70,21	4,84	6,73	0,08
Республика Калмыкия	68,52	69,59	-1,07	4,20	0,00

Собственно регрессионная модель обладает следующими парамет­рами: У-пересечение (константа) = 75,99; Ь (Гор. нас.) = -0,1; Ъ (Рус. нас.) = -0,06. Итоговая формула.

В своих работах, датированных ещё 1908 годом. Он описал его на примере работы агента, осуществляющего продажу недвижимости. В своих записях специалист по торговле домами вёл учёт широкого спектра исходных данных каждого конкретного строения. По результатам торгов определялось, какой фактор имел наибольшее влияние на цену сделки.

Анализ большого количества сделок дал интересные результаты. На конечную стоимость оказывали влияние множество факторов, иногда приводя к парадоксальным выводам и даже к явным «выбросам», когда дом с высоким изначальным потенциалом продавался по заниженному ценовому показателю.

Вторым примером применения подобного анализа приведена работа которому было доверено определение вознаграждения сотрудникам. Сложность задачи заключалась в том, что требовалась не раздача фиксированной суммы каждому, а строгое соответствие её величины конкретно выполненной работе. Появление множества задач, имеющих практически сходный вариант решения, потребовало более детального их изучения на математическом уровне.

В существенное место было отведено под раздел «регрессионный анализ», в нём объединились практические методы, используемые для исследования зависимостей, подпадающих под понятие регрессионных. Эти взаимосвязи наблюдаются между данными, полученными в ходе статистических исследований.

Среди множества решаемых задач основными ставит перед собой три цели: определение для уравнения регрессии общего вида; построение оценок параметров, являющихся неизвестными, которые входят в состав уравнения регрессии; проверка статистических регрессионных гипотез. В ходе изучения связи, возникающей между парой величин, полученных в результате экспериментальных наблюдений и составляющих ряд (множество) типа (x1, y1), ..., (xn, yn), опираются на положения теории регрессии и предполагают, что для одной величины Y наблюдается определённое вероятностное распределение, при том, что другое X остаётся фиксированным.

Результат Y зависит от значения переменной X, зависимость эта может определяться различными закономерностями, при этом на точность полученных результатов оказывает влияние характер наблюдений и цель анализа. Экспериментальная модель основывается на определённых допущениях, которые являются упрощёнными, но правдоподобными. Основным условием является то, что параметр X является величиной контролируемой. Его значения задаются до начала эксперимента.

Если в ходе эксперимента используется пара неконтролируемых величин XY, то регрессионный анализ осуществляется одним и тем же способом, но для интерпретации результатов, в ходе которой изучается связь исследуемых случайных величин, применяются методы Методы математической статистики не являются отвлеченной темой. Они находят себе применение в жизни в самых различных сферах деятельности человека.

В научной литературе для определения выше указанного метода нашёл широкое использование термин линейный регрессионный анализ. Для переменной X применяют термин регрессор или предиктор, а зависимые Y-переменные ещё называют критериальными. В данной терминологии отражается лишь математическая зависимость переменных, но никак не следственно-причинные отношения.

Регрессионный анализ служит наиболее распространённым методом, который используется в ходе обработки результатов самых различных наблюдений. Физические и биологические зависимости изучаются по средствам данного метода, он реализован и в экономике, и в технике. Масса других областей используют модели регрессионного анализа. Дисперсионный анализ, статистический анализ многомерный тесно сотрудничают с данным способом изучения.

Регрессионный и корреляционный анализ – статистические методы исследования. Это наиболее распространенные способы показать зависимость какого-либо параметра от одной или нескольких независимых переменных.

Ниже на конкретных практических примерах рассмотрим эти два очень популярные в среде экономистов анализа. А также приведем пример получения результатов при их объединении.

Регрессионный анализ в Excel

Показывает влияние одних значений (самостоятельных, независимых) на зависимую переменную. К примеру, как зависит количество экономически активного населения от числа предприятий, величины заработной платы и др. параметров. Или: как влияют иностранные инвестиции, цены на энергоресурсы и др. на уровень ВВП.

Результат анализа позволяет выделять приоритеты. И основываясь на главных факторах, прогнозировать, планировать развитие приоритетных направлений, принимать управленческие решения.

Регрессия бывает:

• линейной (у = а + bx);
• параболической (y = a + bx + cx 2);
• экспоненциальной (y = a * exp(bx));
• степенной (y = a*x^b);
• гиперболической (y = b/x + a);
• логарифмической (y = b * 1n(x) + a);
• показательной (y = a * b^x).

Рассмотрим на примере построение регрессионной модели в Excel и интерпретацию результатов. Возьмем линейный тип регрессии.

Задача. На 6 предприятиях была проанализирована среднемесячная заработная плата и количество уволившихся сотрудников. Необходимо определить зависимость числа уволившихся сотрудников от средней зарплаты.

Модель линейной регрессии имеет следующий вид:

У = а 0 + а 1 х 1 +…+а к х к.

Где а – коэффициенты регрессии, х – влияющие переменные, к – число факторов.

В нашем примере в качестве У выступает показатель уволившихся работников. Влияющий фактор – заработная плата (х).

В Excel существуют встроенные функции, с помощью которых можно рассчитать параметры модели линейной регрессии. Но быстрее это сделает надстройка «Пакет анализа».

Активируем мощный аналитический инструмент:

После активации надстройка будет доступна на вкладке «Данные».

Теперь займемся непосредственно регрессионным анализом.

В первую очередь обращаем внимание на R-квадрат и коэффициенты.

R-квадрат – коэффициент детерминации. В нашем примере – 0,755, или 75,5%. Это означает, что расчетные параметры модели на 75,5% объясняют зависимость между изучаемыми параметрами. Чем выше коэффициент детерминации, тем качественнее модель. Хорошо – выше 0,8. Плохо – меньше 0,5 (такой анализ вряд ли можно считать резонным). В нашем примере – «неплохо».

Коэффициент 64,1428 показывает, каким будет Y, если все переменные в рассматриваемой модели будут равны 0. То есть на значение анализируемого параметра влияют и другие факторы, не описанные в модели.

Коэффициент -0,16285 показывает весомость переменной Х на Y. То есть среднемесячная заработная плата в пределах данной модели влияет на количество уволившихся с весом -0,16285 (это небольшая степень влияния). Знак «-» указывает на отрицательное влияние: чем больше зарплата, тем меньше уволившихся. Что справедливо.



Корреляционный анализ в Excel

Корреляционный анализ помогает установить, есть ли между показателями в одной или двух выборках связь. Например, между временем работы станка и стоимостью ремонта, ценой техники и продолжительностью эксплуатации, ростом и весом детей и т.д.

Если связь имеется, то влечет ли увеличение одного параметра повышение (положительная корреляция) либо уменьшение (отрицательная) другого. Корреляционный анализ помогает аналитику определиться, можно ли по величине одного показателя предсказать возможное значение другого.

Коэффициент корреляции обозначается r. Варьируется в пределах от +1 до -1. Классификация корреляционных связей для разных сфер будет отличаться. При значении коэффициента 0 линейной зависимости между выборками не существует.

Рассмотрим, как с помощью средств Excel найти коэффициент корреляции.

Для нахождения парных коэффициентов применяется функция КОРРЕЛ.

Задача: Определить, есть ли взаимосвязь между временем работы токарного станка и стоимостью его обслуживания.

Ставим курсор в любую ячейку и нажимаем кнопку fx.

1. В категории «Статистические» выбираем функцию КОРРЕЛ.
2. Аргумент «Массив 1» - первый диапазон значений – время работы станка: А2:А14.
3. Аргумент «Массив 2» - второй диапазон значений – стоимость ремонта: В2:В14. Жмем ОК.

Чтобы определить тип связи, нужно посмотреть абсолютное число коэффициента (для каждой сферы деятельности есть своя шкала).

Для корреляционного анализа нескольких параметров (более 2) удобнее применять «Анализ данных» (надстройка «Пакет анализа»). В списке нужно выбрать корреляцию и обозначить массив. Все.

Полученные коэффициенты отобразятся в корреляционной матрице. Наподобие такой:

Корреляционно-регрессионный анализ

На практике эти две методики часто применяются вместе.

Пример:

Теперь стали видны и данные регрессионного анализа.

Лекция 3.

Регрессионный анализ.

1) Числовые характеристики регрессии

2) Линейная регрессия

3) Нелинейная регрессия

4) Множественная регрессия

5) Использование MS EXCEL для выполнения регрессионного анализа

Контрольно-оценочное средство - тестовые задания

1. Числовые характеристики регрессии

Регрессионный анализ — статистический метод исследования влияния одной или нескольких независимых переменных на зависимую переменную. Независимые переменные иначе называют регрессорами или предикторами, а зависимые переменные — критериальными. Терминология зависимых и независимых переменных отражает лишь математическую зависимость переменных, а не причинно-следственные отношения.

Цели регрессионного анализа

• Определение степени детерминированности вариации критериальной (зависимой) переменной предикторами (независимыми переменными).
• Предсказание значения зависимой переменной с помощью независимой(-ых).
• Определение вклада отдельных независимых переменных в вариацию зависимой.

Регрессионный анализ нельзя использовать для определения наличия связи между переменными, поскольку наличие такой связи и есть предпосылка для применения анализа.

Для проведения регрессионного анализа первоначально необходимо познакомиться с базовыми понятиями статистики и теории вероятности.

Основные числовые характеристики дискретных и непрерывных случайных величин: математическое ожидание, дисперсия и среднее квадратическое отклонение.

Случайные величине делят на две разновидности:

• · дискретные, которые могут принимать только конкретные, заранее оговоренные значения (например, - значения чисел на верхней грани брошенной игральной кости или порядковые значения текущего месяца);
• · непрерывные (чаще всего - значения некоторых физических величин: веса, расстояния, температуры и т.п.), которые по законам природы могут принимать любые значения, хотя бы и в некотором интервале.

Закон распределения случайной величины - это соответствие между возможными значениями дискретной случайной величины и ее вероятностями, обычно записывается в таблицу:

Статистическое определение вероятности выражается через относительную частоту случайного события, то есть находится как отношение количества случайных величин к общему числу случайных величин.

Математическим ожиданием дискретной случайной величины X называется сумма произведений значений величины X на вероятности этих значений. Математическое ожидание обозначают или M (X ) .

n

= M (X ) = x 1 p 1 + x 2 p 2 +… + x n p n = S x i p i

i =1

Рассеяние случайной величины относительно её математического ожидания определяется с помощью числовой характеристики, называемой дисперсией. Проще говоря, дисперсия - это разброс случайной величины относительно среднего значения. Для понятия сущности дисперсии рассмотрим пример. Средняя заработная плата по стране составляет около 25 тысяч рублей. Откуда берется эта цифра? Скорее всего, складываются все зарплаты и делятся на количество работников. В данном случае очень большая дисперсия (минимальная зарплата около 4 тыс. руб., а максимальная - около 100 тыс. руб.). Если бы зарплата у всех была одинаковой, то дисперсия была бы равна нулю, и разброса бы не было.

Дисперсией дискретной случайной величины X называют математическое ожидание квадрата разности случайной величины и её математического ожидания:

D = M [ ((X - M (X)) 2 ]

Используя определение математического ожидания для вычисления дисперсии, получаем формулу:

D = S (x i - M (X)) 2 · p i

Дисперсия имеет размерность квадрата случайной величины. В тех случаях, когда нужно иметь числовую характеристику рассеяния возможных значений в той же размерности, что и сама случайная величина, используют среднее квадратичное отклонение.

Средним квадратичным отклонением случайной величины называют корень квадратный из её дисперсии.

Среднее квадратичное отклонение есть мера рассеяния значений случайной величины около ее математического ожидания.

Пример.

Закон распределения случайной величины Х задан следующей таблицей:

Найти её математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратичное отклонение.

Используем приведенные выше формулы:

М (Х) = 1 · 0,1 + 2 · 0,4 + 4 · 0,4 + 5 · 0,1 = 3

D = (1-3) 2 · 0,1 + (2 - 3) 2 · 0,4 + (4 - 3) 2 · 0,4 + (5 - 3) 2 · 0,1 = 1,6

Пример.

В денежной лотерее разыгрывается 1 выигрыш в 1000 рублей, 10 выигрышей по 100 рублей и 100 выигрышей по 1 рублю при общем числе билетов 10000. Составьте закон распределения случайного выигрыша Х для владельца одного лотерейного билета и определите математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратичное отклонение случайной величины.

X 1 = 1000, Х 2 = 100, Х 3 = 1, Х 4 = 0,

Р 1 = 1/10000 = 0,0001, Р 2 = 10/10000 = 0,001, Р 3 = 100/10000 = 0,01, Р 4 = 1 - (Р 1 + Р 2 + Р 3) = 0,9889.

Результаты поместим в таблицу:

Математическое ожидание - сумма парных произведений значения случайной величины на их вероятность. Для данной задачи его целесообразно вычислить по формуле

1000 · 0,0001 + 100 · 0,001 + 1 · 0,01 + 0 · 0,9889 = 0,21 рубля.

Получили настоящую «справедливую» цену билета.

D = S (x i - M (X)) 2 · p i = (1000 - 0,21) 2 0,0001 + (100 - 0,21) 2 0,001 +

+ (1 - 0,21) 2 0,01 + (0 - 0,21) 2 0,9889 ≈ 109,97

Функция распределения непрерывных случайных величин

Величину, которая в результате испытания примет одно возможное значение (при этом заранее неизвестно какое), называется случайной величиной. Как говорилось выше, случайные величины бывают дискретные (прерывные) и непрерывные.

Дискретной называют случайную величину, принимающую отдельные друг от друга возможные значения с определенными вероятностями, которые можно пронумеровать.

Непрерывной называют случайную величину, которая может принимать все значения из некоторого конечного или бесконечного интервала.

До этого момента мы ограничивались только одной “разновидностью” случайных величин - дискретных, т.е. принимающих конечные значения.

Но теория и практика статистики требуют использовать понятие непрерывной случайной величины - допускающей любые числовые значения, из какого - либо интервала.

Закон распределения непрерывной случайной величины удобно задавать с помощью так называемой функции плотности вероятности. f (х). Вероятность Р (a < X < b) того, что значение, принятое случайной величиной Х, попадет в промежуток (a; b), определяется равенством

Р (a < X < b) = ∫ f (x ) dx

График функции f (х) называется кривой распределения. Геометрически вероятность попадания случайной величины в промежуток (a; b), равна площади соответствующей криволинейной трапеции, ограниченной кривой распределения, осью Ох и прямыми х = а, х = b.

P(a£X

Если от сложного события вычесть конечное либо счетное множество, вероятность наступления нового события останется неизменной.

Функция f(x) - числовая скалярная функция действительного аргумента x называется плотностью вероятности, и существует в точке x, если в этой точке существует предел:

Свойства плотности вероятности:

1. Плотность вероятности является неотрицательной функцией, т. е. f(x) ≥ 0

(если все значения случайной величины Х заключены в промежутке (a;b), то последнее

равенство можно записать в виде ∫ f (x) dx = 1).

Рассмотрим теперь функцию F(х) = Р (Х < х). Эта функция называется функцией распределения вероятности случайной величины Х. Функция F(х) существует как для дискретных, так и для непрерывных случайных величин. Если f (x) - функция плотности распределения вероятности

непрерывной случайной величины Х, то F (х) = ∫ f(x) dx = 1).

Из последнего равенства следует, что f (x) = F" (x)

Иногда функцию f(x) называют дифференциальной функцией распределения вероятности, а функцию F(x) - интегральной функцией распределения вероятности.

Отметим важнейшие свойства функции распределения вероятности:

1. F (х) - неубывающая функция.
2. F (- ∞) = 0.
3. F (+ ∞) = 1.

Понятие функции распределения является центральным в теории вероятностей. Используя это понятие, можно дать другое определение непрерывной случайной величины. Случайная величина называется непрерывной, если ее интегральная функция распределения F(х) непрерывна.

Числовые характеристики непрерывных случайных величин

Математическое ожидание, дисперсия и другие параметры любых случайных величин практически всегда вычисляются по формулам, вытекающим из закона распределения.

Для непрерывной случайной величины математическое ожидание вычисляется по формуле:

М (Х) = ∫ x · f(x ) dx

Дисперсия:

D (X) = ∫ (x - М (Х)) 2 f (x ) dx или D (X) = ∫ x 2 f(x ) dx - (М (Х)) 2

2. Линейная регрессия

Пусть составляющие Х и Y двумерной случайной величины (Х, Y) зависимы. Будем считать, что одну из них можно приближенно представить как линейную функцию другой, например

Y ≈ g(Х) = α + βХ, и определим параметры α и β с помощью метода наименьших квадратов.

Определение. Функция g(Х) = α + βХ называется наилучшим приближением Y в смысле метода наименьших квадратов, если математическое ожидание М(Y - g(Х)) 2 принимает наименьшее возможное значение; функцию g(Х) называют среднеквадратической регрессией Y на Х.

Теорема Линейная средняя квадратическая регрессия Y на Х имеет вид:

где - коэффициент корреляции Х иY.

Коэффициенты уравнения.

Можно проверить, что при этих значениях функция функция F(α, β)

F (α, β ) = M (Y - α - βX )² имеет минимум, что доказывает утверждение теоремы.

Определение. Коэффициент называется коэффициентом регрессии Y на Х , а прямая - - прямой среднеквадратической регрессии Y на Х .

Подставив координаты стационарной точки в равенство, можно найти минимальное значение функции F(α, β), равное Эта величина называется остаточной дисперсией Y относительно Х и характеризует величину ошибки, допускаемой при замене Y на

g(Х) = α+βХ. При остаточная дисперсия равна 0, то есть равенство является не приближенным, а точным. Следовательно, при Y и Х связаны линейной функциональной зависимостью. Аналогично можно получить прямую среднеквадратической регрессии Х на Y:

и остаточную дисперсию Х относительно Y. При обе прямые регрессии совпадают. Сопоставив уравнения регрессии У на Х и Х на У и решив систему из уравнений, можно найти точку пересечения прямых регрессии - точку с координатами (т х, т у), называемую центром совместного распределения величин Х и Y.

Алгоритм составления уравнений регрессии рассмотрим из учебника В. Е. Гмурмана «Теория вероятности и математическая статистика» стр. 256.

1) Составить расчетную таблицу, в которой будут записаны номера элементов выборки, варианты выборки, их квадраты и произведение.

2) Вычислить сумму по всем столбцам, кроме номера.

3) Вычислить средние значения для каждой величины, дисперсии и средне квадратические отклонения.

5) Проверить гипотезу о существовании связи между Х и У.

6) Составить уравнения обеих линий регрессии и изобразить графики этих уравнений.

Угловой коэффициент прямой линии регрессии У на Х - это выборочный коэффициент регрессии

Коэффициент b=

Получим искомое уравнение линии регрессии У на Х:

У = 0,202 Х + 1,024

Аналогично уравнение регрессии Х на У:

Угловой коэффициент прямой линии регрессии У на Х - это выборочный коэффициент регрессии pxy:

Коэффициент b=

Х = 4,119У - 3,714

3. Нелинейная регрессия

Если между экономическими явлениями существуют нелинейные соотношения, то они выражаются с помощью соответствующих нелинейных функций.

Различают два класса нелинейных регрессий:

1. Регрессии, нелинейные относительно включенных в анализ объясняющих переменных, но линейные по оцениваемым параметрам, например:

Полиномы разных степеней

Равносторонняя гипербола - ;

Полулогарифмическая функция - .

2. Регрессии, нелинейные по оцениваемым параметрам, например:

Степенная - ;

Показательная - ;

Экспоненциальная - .

Регрессии нелинейные по включенным переменным приводятся к линейному виду простой заменой переменных, а дальнейшая оценка параметров производится с помощью метода наименьших квадратов. Рассмотрим некоторые функции.

Парабола второй степени приводится к линейному виду с помощью замены: . В результате приходим к двухфакторному уравнению, оценка параметров которого при помощи Метода наименьших квадратов приводит к системе уравнений:

Парабола второй степени обычно применяется в случаях, когда для определенного интервала значений фактора меняется характер связи рассматриваемых признаков: прямая связь меняется на обратную или обратная на прямую.

Равносторонняя гипербола может быть использована для характеристики связи удельных расходов сырья, материалов, топлива от объема выпускаемой продукции, времени обращения товаров от величины товарооборота. Классическим ее примером является кривая Филлипса, характеризующая нелинейное соотношение между нормой безработицы x и процентом прироста заработной платы y .

Гипербола приводится к линейному уравнению простой заменой: . Также можно использовать Метод наименьших квадратов для составления системы линейных уравнений.

Аналогичным образом приводятся к линейному виду зависимости: , и другие.

Равносторонняя гипербола и полулогарифмическая кривая используют для описания кривой Энгеля (математическое описание взаимосвязи доли расходов на товары длительного пользования и общих сумм расходов (или доходов)). Уравнения, в которых входят, применяются в исследованиях урожайности, трудоемкости сельскохозяйственного производства.

4. Множественная регрессия

Множественная регрессия - уравнение связи с несколькими независимыми переменными:

где - зависимая переменная (результативный признак);

Независимые переменные (факторы).

Для построения уравнения множественной регрессии чаще используются следующие функции:

линейная -

степенная -

экспонента -

гипербола - .

Можно использовать и другие функции, приводимые к линейному виду.

Для оценки параметров уравнения множественной регрессии применяют метод наименьших квадратов (МНК). Для линейных уравнений и нелинейных уравнений, приводимых к линейным, строится следующая система нормальных уравнений, решение которой позволяет получить оценки параметров регрессии:

Для ее решения может быть применен метод определителей:

где - определитель системы;

Частные определители; которые получаются путем замены соответствующего столбца матрицы определителя системы данными левой части системы.

Другой вид уравнения множественной регрессии - уравнение регрессии в стандартизированном масштабе, к уравнению множественной регрессии в стандартизированном масштабе применим МНК.

5. Использование MS EXCEL для выполнения регрессионного анализа

Регрессионный анализ устанавливает формы зависимости между случайной величиной Y (зависимой) и значениями одной или нескольких переменных величин (независимых), причем значения последних считаются точно заданными. Такая зависимость обычно определяется некоторой математической моделью (уравнением регрессии), содержащей несколько неизвестных параметров. В ходе регрессионного анализа на основании выборочных данных находят оценки этих параметров, определяются статистические ошибки оценок или границы доверительных интервалов и проверяется соответствие (адекватность) принятой математической модели экспериментальным данным.

В линейном регрессионном анализе связь между случайными величинами предполагается линейной. В самом простом случае в парной линейной регрессионной модели имеются две переменные Х и Y. И требуется по n парам наблюдений (X1, Y1), (X2, Y2), ..., (Xn, Yn) построить (подобрать) прямую линию, называемую линией регрессии, которая «наилучшим образом» приближает наблюдаемые значения. Уравнение этой линии y=аx+b является регрессионным уравнением. С помощью регрессионного уравнения можно предсказать ожидаемое значение зависимой величины y, соответствующее заданному значению независимой переменной x. В случае, когда рассматривается зависимость между одной зависимой переменной Y и несколькими независимыми X1, X2, ..., Xm, говорят о множественной линейной регрессии.

В этом случае регрессионное уравнение имеет вид

y = a 0 +a 1 x 1 +a 2 x 2 +…+a m x m ,

где a0, a1, a2, …, am - требующие определения коэффициенты регрессии.

Коэффициенты уравнения регрессии определяются при помощи метода наименьших квадратов, добиваясь минимально возможной суммы квадратов расхождений реальных значений переменной Y и вычисленных по регрессионному уравнению. Таким образом, например, уравнение линейной регрессии может быть построено даже в том случае, когда линейная корреляционная связь отсутствует.

Мерой эффективности регрессионной модели является коэффициент детерминации R2 (R-квадрат). Коэффициент детерминации может принимать значения между 0 и 1 определяет, с какой степенью точности полученное регрессионное уравнение описывает (аппроксимирует) исходные данные. Исследуется также значимость регрессионной модели с помощью F-критерия (Фишера) и достоверность отличия коэффициентов a0, a1, a2, …, am от нуля проверяется с помощью критерия Стьюдента.

В Excel экспериментальные данные аппроксимируются линейным уравнением до 16 порядка:

y = a0+a1x1+a2x2+…+a16x16

Для получения коэффициентов линейной регрессии может быть использована процедура «Регрессия» из пакета анализа. Также полную информацию об уравнении линейной регрессии дает функция ЛИНЕЙН. Кроме того, могут быть использованы функции НАКЛОН и ОТРЕЗОК для получения параметров регрессионного уравнения и функция ТЕНДЕНЦИЯ и ПРЕДСКАЗ для получения предсказанных значений Y в требуемых точках (для парной регрессии).

Рассмотрим подробно применение функции ЛИНЕЙН (известные_y, [известные_x], [константа], [статистика]): известные_у - диапазон известных значений зависимого параметра Y. В парном регрессионном анализе может иметь любую форму; в множественном должен быть строкой либо столбцом; известные_х - диапазон известных значений одного или нескольких независимых параметров. Должен иметь ту же форму, что и диапазон Y (для нескольких параметров - соответственно несколько столбцов или строк); константа - логический аргумент. Если исходя из практического смысла задачи регрессионного анализа необходимо, чтобы линия регрессии проходила через начало координат, то есть свободный коэффициент был равен 0, значение этого аргумента следует положить равным 0 (или «ложь»). Если значение положено 1 (или «истина») или опущено, то свободный коэффициент вычисляется обычным образом; статистика - логический аргумент. Если значение положено 1 (или «истина»), то дополнительно возвращается регрессионная статистика (см таблицу), используемая для оценки эффективности и значимости модели. В общем случае для парной регрессии y=аx+b результат применения функции ЛИНЕЙН имеет вид:

Таблица. Выводной диапазон функции ЛИНЕЙН для парного регрессионного анализа

В случае множественного регрессионного анализа для уравнения y=a0+a1x1+a2x2+…+amxm в первой строке выводятся коэффициенты am,…,a1,а0, во второй - стандартные ошибки для этих коэффициентов. В 3-5 строках за исключением первых двух столбцов, заполненных регрессионной статистикой, будет получено значение #Н/Д.

Вводить функцию ЛИНЕЙН следует как формулу массива, выделив вначале массив нужного размера для результата (m+1 столбец и 5 строк, если требуется регрессионная статистика) и завершив ввод формулы нажатием CTRL+SHIFT+ENTER.

Результат для нашего примера:

Кроме этого в программе имеется встроенная функция - Анализ данных на вкладке Данные.

С помощью нее можно также выполнять регрессионный анализ:

На слайде - результат регрессионного анализа, выполненного с помощью Анализа данных.

ВЫВОД ИТОГОВ
Регрессионная статистика
Множественный R
R-квадрат
Нормированный R-квадрат
Стандартная ошибка
Наблюдения
Дисперсионный анализ
					Значимость F
Регрессия
	Коэффициенты	Стандартная ошибка	t-статистика	P-Значение	Нижние 95%	Верхние 95%	Нижние 95,0%	Верхние 95,0%
Y-пересечение
Переменная X 1

Уравнения регрессии, которые мы смотрели ранее также построены в MS Excel. Для их выполнения сначала строится Точечная диаграмма, затем через контекстное меню выбираем - Добавить линию тренда. В новом окне ставим галочки - Показывать уравнение на диаграмме и поместить на диаграмму величину достоверности апроксимации (R^2).

Литература:

1. Теория вероятностей и математическая статистика. Гмурман В. Е. Учебное пособие для вузов. - Изд. 10-е, стер. - М.: Высш. шк., 2010. - 479с.
2. Высшая математика в упражнениях и задачах. Учебное пособие для вузов / Данко П. Е., Попов А. Г., Кожевникова Т. Я., Данко С. П. В 2 ч. - Изд. 6-е, стер. - М.: ООО «Издательство Оникс»: ООО «Издательство «Мир и образование» , 2007. - 416 с.
   1. 3. http://www.machinelearning.ru/wiki/index.php?title=%D0%A0%D0%B5%D0%B3%D1%80%D0%B5%D1%81%D1%81%D0%B8%D1%8F - некоторые сведения о регрессионном анализе

Основная цель регрессионного анализа состоит в определении аналитической формы связи, в которой изменение результативного признака обусловлено влиянием одного или нескольких факторных признаков, а множество всех прочих факторов, также оказывающих влияние на результативный признак, принимается за постоянные и средние значения.
Задачи регрессионного анализа :
а) Установление формы зависимости. Относительно характера и формы зависимости между явлениями, различают положительную линейную и нелинейную и отрицательную линейную и нелинейную регрессию.
б) Определение функции регрессии в виде математического уравнения того или иного типа и установление влияния объясняющих переменных на зависимую переменную.
в) Оценка неизвестных значений зависимой переменной. С помощью функции регрессии можно воспроизвести значения зависимой переменной внутри интервала заданных значений объясняющих переменных (т. е. решить задачу интерполяции) или оценить течение процесса вне заданного интервала (т. е. решить задачу экстраполяции). Результат представляет собой оценку значения зависимой переменной.

Парная регрессия - уравнение связи двух переменных у и х: , где y - зависимая переменная (результативный признак); x - независимая, объясняющая переменная (признак-фактор).

Различают линейные и нелинейные регрессии.
Линейная регрессия: y = a + bx + ε
Нелинейные регрессии делятся на два класса: регрессии, нелинейные относительно включенных в анализ объясняющих переменных, но линейные по оцениваемым параметрам, и регрессии, нелинейные по оцениваемым параметрам.
Регрессии, нелинейные по объясняющим переменным:

Регрессии, нелинейные по оцениваемым параметрам: Построение уравнения регрессии сводится к оценке ее параметров. Для оценки параметров регрессий, линейных по параметрам, Используют метод наименьших квадратов (МНК). МНК позволяет получить такие оценки параметров, при которых сумма квадратов отклонений фактических значений результативного признака у от теоретических минимальна, т.е.
.
Для линейных и нелинейных уравнений, приводимых к линейным, решается следующая система относительно a и b:

Можно воспользоваться готовыми формулами, которые вытекают из этой системы:

Тесноту связи изучаемых явлений оценивает линейный коэффициент парной корреляции для линейной регрессии :

и индекс корреляции - для нелинейной регрессии:

Оценку качества построенной модели даст коэффициент (индекс) детерминации, а также средняя ошибка аппроксимации .
Средняя ошибка аппроксимации - среднее отклонение расчетных значений от фактических:
.
Допустимый предел значений - не более 8-10%.
Средний коэффициент эластичности показывает, на сколько процентов в среднем по совокупности изменится результат у от своей средней величины при изменении фактора x на 1% от своего среднего значения:
.

Задача дисперсионного анализа состоит в анализе дисперсии зависимой переменной:
,
где - общая сумма квадратов отклонений;
- сумма квадратов отклонений, обусловленная регрессией («объясненная» или «факторная»);
- остаточная сумма квадратов отклонений.
Долю дисперсии, объясняемую регрессией, в общей дисперсии результативного признака у характеризует коэффициент (индекс) детерминации R 2:

Коэффициент детерминации - квадрат коэффициента или индекса корреляции.

F-тест - оценивание качества уравнения регрессии - состоит в проверке гипотезы Но о статистической незначимости уравнения регрессии и показателя тесноты связи. Для этого выполняется сравнение фактического F факт и критического (табличного) F табл значений F-критерия Фишера. F факт определяется из соотношения значений факторной и остаточной дисперсий, рассчитанных на одну степень свободы:
,
где n - число единиц совокупности; m - число параметров при переменных х.
F табл - это максимально возможное значение критерия под влиянием случайных факторов при данных степенях свободы и уровне значимости a. Уровень значимости a - вероятность отвергнуть правильную гипотезу при условии, что она верна. Обычно a принимается равной 0,05 или 0,01.
Если F табл < F факт, то Н о - гипотеза о случайной природе оцениваемых характеристик отклоняется и признается их статистическая значимость и надежность. Если F табл > F факт, то гипотеза Н о не отклоняется и признается статистическая незначимость, ненадежность уравнения регрессии.
Для оценки статистической значимости коэффициентов регрессии и корреляции рассчитываются t-критерий Стьюдента и доверительные интервалы каждого из показателей. Выдвигается гипотеза Н о о случайной природе показателей, т.е. о незначимом их отличии от нуля. Оценка значимости коэффициентов регрессии и корреляции с помощью t-критерия Стьюдента проводится путем сопоставления их значений с величиной случайной ошибки:
; ; .
Случайные ошибки параметров линейной регрессии и коэффициента корреляции определяются по формулам:



Сравнивая фактическое и критическое (табличное) значения t-статистики - t табл и t факт - принимаем или отвергаем гипотезу Н о.
Связь между F-критерием Фишера и t-статистикой Стьюдента выражается равенством

Если t табл < t факт то H o отклоняется, т.е. a, b и не случайно отличаются от нуля и сформировались под влиянием систематически действующего фактора х. Если t табл > t факт то гипотеза Н о не отклоняется и признается случайная природа формирования а, b или .
Для расчета доверительного интервала определяем предельную ошибку D для каждого показателя:
, .
Формулы для расчета доверительных интервалов имеют следующий вид:
; ;
; ;
Если в границы доверительного интервала попадает ноль, т.е. нижняя граница отрицательна, а верхняя положительна, то оцениваемый параметр принимается нулевым, так как он не может одновременно принимать и положительное, и отрицательное значения.
Прогнозное значение определяется путем подстановки в уравнение регрессии соответствующего (прогнозного) значения . Вычисляется средняя стандартная ошибка прогноза :
,
где
и строится доверительный интервал прогноза:
; ;
где .

Пример решения

Задача №1 . По семи территориям Уральского района За 199Х г. известны значения двух признаков.
Таблица 1.
Требуется: 1. Для характеристики зависимости у от х рассчитать параметры следующих функций:
а) линейной;
б) степенной (предварительно нужно произвести процедуру линеаризации переменных, путем логарифмирования обеих частей);
в) показательной;
г) равносторонней гиперболы (так же нужно придумать как предварительно линеаризовать данную модель).
2. Оценить каждую модель через среднюю ошибку аппроксимации и F-критерий Фишера.

Решение (Вариант №1)

Для расчета параметров a и b линейной регрессии (расчет можно проводить с помощью калькулятора).
решаем систему нормальных уравнений относительно а и b:
По исходным данным рассчитываем :

	y	x	yx	x 2	y 2			A i
l	68,8	45,1	3102,88	2034,01	4733,44	61,3	7,5	10,9
2	61,2	59,0	3610,80	3481,00	3745,44	56,5	4,7	7,7
3	59,9	57,2	3426,28	3271,84	3588,01	57,1	2,8	4,7
4	56,7	61,8	3504,06	3819,24	3214,89	55,5	1,2	2,1
5	55,0	58,8	3234,00	3457,44	3025,00	56,5	-1,5	2,7
6	54,3	47,2	2562,96	2227,84	2948,49	60,5	-6,2	11,4
7	49,3	55,2	2721,36	3047,04	2430,49	57,8	-8,5	17,2
Итого	405,2	384,3	22162,34	21338,41	23685,76	405,2	0,0	56,7
Ср. знач. (Итого/n)	57,89	54,90	3166,05	3048,34	3383,68	X	X	8,1
s	5,74	5,86	X	X	X	X	X	X
s 2	32,92	34,34	X	X	X	X	X	X

Уравнение регрессии: у = 76,88 - 0,35х. С увеличением среднедневной заработной платы на 1 руб. доля расходов на покупку продовольственных товаров снижается в среднем на 0,35 %-ных пункта.
Рассчитаем линейный коэффициент парной корреляции:

Связь умеренная, обратная.
Определим коэффициент детерминации:

Вариация результата на 12,7% объясняется вариацией фактора х. Подставляя в уравнение регрессии фактические значения х, определим теоретические (расчетные) значения . Найдем величину средней ошибки аппроксимации :

В среднем расчетные значения отклоняются от фактических на 8,1%.
Рассчитаем F-критерий:

поскольку 1< F < ¥ , следует рассмотреть F -1 .
Полученное значение указывает на необходимость принять гипотезу Но о случайной природе выявленной зависимости и статистической незначимости параметров уравнения и показателя тесноты связи.
1б. Построению степенной модели предшествует процедура линеаризации переменных. В примере линеаризация производится путем логарифмирования обеих частей уравнения:


где Y=lg(y), X=lg(x), C=lg(a).

Для расчетов используем данные табл. 1.3.

Таблица 1.3

	Y	X	YX	Y 2	X 2				A i
1	1,8376	1,6542	3,0398	3,3768	2,7364	61,0	7,8	60,8	11,3
2	1,7868	1,7709	3,1642	3,1927	3,1361	56,3	4,9	24,0	8,0
3	1,7774	1,7574	3,1236	3,1592	3,0885	56,8	3,1	9,6	5,2
4	1,7536	1,7910	3,1407	3,0751	3,2077	55,5	1,2	1,4	2,1
5	1,7404	1,7694	3,0795	3,0290	3,1308	56,3	-1,3	1,7	2,4
6	1,7348	1,6739	2,9039	3,0095	2,8019	60,2	-5,9	34,8	10,9
7	1,6928	1,7419	2,9487	2,8656	3,0342	57,4	-8,1	65,6	16,4
Итого	12,3234	12,1587	21,4003	21,7078	21,1355	403,5	1,7	197,9	56,3
Среднее значение	1,7605	1,7370	3,0572	3,1011	3,0194	X	X	28,27	8,0
σ	0,0425	0,0484	X	X	X	X	X	X	X
σ 2	0,0018	0,0023	X	X	X	X	X	X	X

Рассчитаем С иb:


Получим линейное уравнение:.
Выполнив его потенцирование, получим:

Подставляя в данное уравнение фактические значения х, получаем теоретические значения результата. По ним рассчитаем показатели: тесноты связи - индекс корреляции и среднюю ошибку аппроксимации

Характеристики степенной модели указывают, что она несколько лучше линейной функции описывает взаимосвязь.

1в . Построению уравнения показательной кривой

предшествует процедура линеаризации переменных при логарифмировании обеих частей уравнения:

Для расчетов используем данные таблицы.

	Y	x	Yx	Y 2	x 2				A i
1	1,8376	45,1	82,8758	3,3768	2034,01	60,7	8,1	65,61	11,8
2	1,7868	59,0	105,4212	3,1927	3481,00	56,4	4,8	23,04	7,8
3	1,7774	57,2	101,6673	3,1592	3271,84	56,9	3,0	9,00	5,0
4	1,7536	61,8	108,3725	3,0751	3819,24	55,5	1,2	1,44	2,1
5	1,7404	58,8	102,3355	3,0290	3457,44	56,4	-1,4	1,96	2,5
6	1,7348	47,2	81,8826	3,0095	2227,84	60,0	-5,7	32,49	10,5
7	1,6928	55,2	93,4426	2,8656	3047,04	57,5	-8,2	67,24	16,6
Итого	12,3234	384,3	675,9974	21,7078	21338,41	403,4	-1,8	200,78	56,3
Ср. зн.	1,7605	54,9	96,5711	3,1011	3048,34	X	X	28,68	8,0
σ	0,0425	5,86	X	X	X	X	X	X	X
σ 2	0,0018	34,339	X	X	X	X	X	X	X

Значения параметров регрессии A и В составили:


Получено линейное уравнение: . Произведем потенцирование полученного уравнения и запишем его в обычной форме:

Тесноту связи оценим через индекс корреляции :