Слайд 2

«Геометрия владеет двумя сокровищами: одно из них – это теорема Пифагора». Иоганн Кеплер

Слайд 3

Закончите предложение:

Прямоугольным треугольником называется треугольник, у которого один из углов равен ____ 90°

Слайд 4

Стороны треугольника, образующие прямой угол, называются _________ катетами

Слайд 5

Сторона треугольника, лежащая против прямого угла, называется ____________ Закончите предложение: гипотенузой

Слайд 6

В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен ____________ Закончите предложение: сумме квадратов катетов

Слайд 7

Сформулированное выше предложение носит название ____________ Теорема Пифагора c² = a² + b²

Слайд 8

Если в треугольнике квадрат одной стороны равен сумме квадратов двух других сторон, то такой треугольник – ____________ Закончите предложение: прямоугольный

Слайд 9

S=½d1 d2 S=a² S=ab S=½ah S=ah Проведите линии так, чтобы соответствие между фигурой и формулой вычисления её площади было верным S=½ (a +b)h S=½ ab

Слайд 10

Долина устных задач Остров Незнаек Полянка Здоровья Город Мастеров Крепость Формул Историческая тропинка

Слайд 11

Долина устных задач

Слайд 12

Н S Р 12 см 9 см 15 см? Найдите: SP

Слайд 13

К? 12 см 13 cм N М Найдите: КN 5 cм

Слайд 14

В? 8 см 17 см А D С Найдите: АD 15 cм

Слайд 15

Остров Незнаек

Слайд 16

Задача индийского математика XII века Бхаскары "На берегу реки рос тополь одинокий.Вдруг ветра порыв его ствол надломал.Бедный тополь упал. И угол прямойС теченьем реки его ствол составлял.Запомни теперь, что в этом месте рекаВ четыре лишь фута была широкаВерхушка склонилась у края реки.Осталось три фута всего от ствола,Прошу тебя, скоро теперь мне скажи:У тополя как велика высота?"

Слайд 17

Из одной точки на земле отправились в путь автомобиль и самолет. Автомобиль преодолел расстояние 8 км, когда самолет оказался на высоте 6 км. Какой путь пролетел самолёт в воздухе с момента взлёта? Задача

Слайд 18

8 км 6 км? км

Слайд 19

Решаем по учебнику задачу № 494(стр. 133)

Слайд 20

Полянка Здоровья

Слайд 21

(580 - 500 г. до н.э.) Пифагор

Слайд 22

Дабы познать науки, Пифагор много путешествовал, в одной из греческих колоний Южной Италии в городе Кротоне он организовал кружок молодежи из представителей аристократии, куда принимались с большими церемониями после долгих испытаний. Каждый вступающий отрекался от своего имущества и давал клятву хранить в тайне учения основателя. Так возникла знаменитая «Пифагорейская школа».

Слайд 23

Пифагорейцы занимались математикой, философией, естественными науками. Ими было сделано много важных открытий в арифметике и геометрии. Однако, в школе существовал Декрет, по которому авторство всех математических работ приписывалось Пифагору.

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение

«Красниковская основная общеобразовательная школа»

Знаменского района Орловской области

Конспект урока по теме:

«Решение задач по теме: «Терема Пифагора»

Учитель математики –

Филина Марина Александровна

2015 – 2016 учебный год

Решение задач по теме: «Терема Пифагора»

Цель урока:

• Закрепить умение применять теорему Пифагора при решении задач
• Развивать логическое мышление
• Учить использовать полученные знания на практике и в повседневной жизни

Тип урока: урок обобщения и закрепления изученного материала.

Формы работы на уроке: фронтальная, индивидуальная, самостоятельная.

Оборудование: компьютер; мультимедийный проектор; презентация к уроку.

Ход урока

1. Организационный момент

Приветствие, проверка готовности к уроку (рабочих тетрадей, учебников, письменных принадлежностей).

Математический диктант

1. Какой треугольник называется прямоугольным?
2. Чему равна сумма углов прямоугольного треугольника?
3. Чему равна сумма острых углов в прямоугольном треугольнике?
4. Сформулируйте свойство катета, лежащего против угла в 30 градусов.
5. Сформулируйте теорему Пифагора.
6. Как называется сторона противолежащая прямому углу?
7. Как называется сторона прилежащая к прямому углу?

Проверка математического диктанта

1. Если есть прямой угол.

1. 180°
2. 3. 90°

4. Катет прямоугольного треугольника, лежащий против угла

В 30° равен половине гипотенузы.

5. В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы

Равен сумме квадратов катетов.

6. Гипотенуза.

7. Катет.

Решение задач

№ 2. На какое расстояние следует отодвинуть от стены дома нижний конец лестницы,

Длина которой 13 м, чтобы верхний ее конец оказался на высоте 12 м?

№3. Дано:

∆АВС равнобедренный

АВ = 13 см,

ВД – высота, ВД=12 см

Найти: АС

№ 4.

Дано: ABCD – ромб,

АС, ВД – диагонали,

АС = 12 см, BD = 16 см.

Найти: P ABCD

Физкультпауза

Тест

1. Теорему какого учёного мы применяли сегодня на уроке?
а) Демокрита; б) Магницкого; в) Пифагора; г) Ломоносова.
2. Что открыл этот математик
а) теорему; б) рукопись; в) древний храм; г) задачу.
3. Как называется большая сторона в прямоугольном треугольнике?
а) медиана; б) катет; в) биссектриса; г) гипотенуза.
4. Почему теорему назвали «теоремой невесты»
а)потому, что она была написана для невесты;
б) потому, что она была написана невестой;
в) потому, что чертеж похож на «бабочку», а «бабочка» переводится как «нимфа» или» невеста»;
г) потому, что это загадочная теорема.

5. Почему теорему назвали «мостиком ослов»
а) она применялась для дрессировки осликов;
б) только умный и упрямый мог преодолеть этот мостик и доказать эту теорему;
в) написали ее «ослики»;
г) очень сложное доказательство теоремы.
6. В теореме Пифагора квадрат гипотенузы равен
а) сумме длин сторон треугольника;
б) сумме квадратов катетов;
в) площади треугольника;
г) площади квадрата.
7. Чему равны стороны египетского треугольника?
а) 1, 2, 3; б) 3,4,5; в)2,3,4; г) 6,7,8.

Итог урока, выставление оценок .

Домашнее задание - № 9, № 12

Р е ф л е к с и я

«Я повторил…» «Я узнал…»

«Я закрепил…» «Я научился решать…»

«Мне понравилось…»

(вариант 1)

В прямоугольник ABCD смежные стороны относятся как 12:5, а его диагональ равна 26 см. Чему равна меньшая сторона прямоугольника?

В параллелограмме ABCD BD = 2√41 см, AC = 26 см, AD = 16 см. Через точку пересечения диагоналей параллелограмма О проведена прямая, перпендикулярная стороне BC . Найдите отрезки, на которые эта прямая разделила сторону AD.

Задачи на тему «Теорема Пифагора»

Один из внешних углов прямоугольного треугольника равен 135º, а его гипотенуза - 4√2 см. Чему равны катеты данного треугольника?

Диагонали ромба равны 24 см и 18 см. Чему равна сторона ромба?

Большая диагональ прямоугольной трапеции равна 25 см, а большее основание – 24 см. Найдите площадь трапеции, если её меньшее основание равно 8 см.

Основания равнобедренной трапеции равны 10 см и 26 см, а боковая сторона равна 17 см. Найдите площадь трапеции.

Задачи на тему «Теорема Пифагора»

В прямоугольник ABCD смежные стороны относятся как 12:5, а его диагональ равна 26 см. Чему равна меньшая сторона прямоугольника?

Один из внешних углов прямоугольного треугольника равен 135º, а его гипотенуза - 4√2 см. Чему равны катеты данного треугольника?

Диагонали ромба равны 24 см и 18 см. Чему равна сторона ромба?

Большая диагональ прямоугольной трапеции равна 25 см, а большее основание – 24 см. Найдите площадь трапеции, если её меньшее основание равно 8 см.

Основания равнобедренной трапеции равны 10 см и 26 см, а боковая сторона равна 17 см. Найдите площадь трапеции.

В параллелограмме ABCD BD = 2√41 см, AC = 26 см, AD = 16 см. Через точку пересечения диагоналей параллелограмма О проведена прямая, перпендикулярная стороне BC. Найдите отрезки, на которые эта прямая разделила сторону AD.

Задачи на тему «Теорема Пифагора»

(вариант 2)

6*. Две окружности радиусов 13 см и 15 см пересекаются. Расстояние между их центрами О 1 и О 2 равно 14 см. Общая хорда этих окружностей АВ пересекает отрезок О 1 О 2 в точке К. Найдите О 1 К и КО 2 (О 1 – центр окружности радиуса 13 см).

Задачи на тему «Теорема Пифагора»

В прямоугольнике ABCD смежные стороны относятся как 3:4, а его диагональ равна 20 см. Чему равна большая сторона прямоугольника?

Один из внешних углов прямоугольного треугольника равен 135º, а его гипотенуза - 5√2 см. Чему равны катеты данного треугольника?

Диагонали ромба равны 12 см и 16 см. Чему равна сторона ромба?

Большая диагональ прямоугольной трапеции равна 17 см, а большее основание – 15см. Найдите площадь трапеции, если её меньшее основание равно 9 см.

5. Основания равнобедренной трапеции равны 10 см и 24 см, а боковая сторона равна 25 см. Найдите площадь трапеции.

Задачи на тему «Теорема Пифагора»

В прямоугольнике ABCD смежные стороны относятся как 3:4, а его диагональ равна 20 см. Чему равна большая сторона прямоугольника?

Один из внешних углов прямоугольного треугольника равен 135º, а его гипотенуза - 5√2 см. Чему равны катеты данного треугольника?

Диагонали ромба равны 12 см и 16 см. Чему равна сторона ромба?

Большая диагональ прямоугольной трапеции равна 17 см, а большее основание – 15см. Найдите площадь трапеции, если её меньшее основание равно 9 см.

5. Основания равнобедренной трапеции равны 10 см и 24 см, а боковая сторона равна 25 см. Найдите площадь трапеции.

6. Две окружности радиусов 13 см и 15 см пересекаются. Расстояние между их центрами О 1 и О 2 равно 14 см. Общая хорда этих окружностей АВ пересекает отрезок О 1 О 2 в точке К. Найдите О 1 К и КО 2 (О 1 – центр окружности радиуса 13 см).

Тема урока

Теорема Пифагора

Цели урока

Познакомиться школьников с теоремой Пифагора;
Сформулировать и доказать теорему Пифагора;
Познакомить школьников с разными методами применения этой теоремы при решении задач;
Формировать навыки использования полученных знаний на практике;
Развивать внимание учащихся, самостоятельность и интерес к геометрии;
Воспитывать культуру математической речи.

Задачи урока

Научиться использовать свойства фигур при выполнении заданий.
Уметь применять теорему Пифагора во время решения задач.

План урока

Краткие биографические сведения.
Теорема и ее доказательство.
Интересные факты.
Решение задач.
Домашнее задание.

Краткие биографические сведения о Пифагоре

На жаль, Пифагор не оставил никаких сочинений о своей биографии, поэтому все сведения об этом великом философе и знаменитом математике мы можем узнать только благодаря воспоминаниям его последователей, да и то не всегда справедливых. Поэтому об этом человеке ходит много легенд. Но правда заключается в том, что Пифагор был великим эллинским мудрецом, философом и талантливым математиком.

По недостоверным сведениям, великий мудрец и гениальный ученый Пифагор родился в далеко не бедной семье, на острове Самосее, приблизительно в 570 году до н.э.

Появление на свет гениального ребенка предрекла Пафия. Поэтому будущий светила получил свое имя Пифагор, которое обозначает, что это именно тот, о ком объявила Пафия. Она предсказала, что рожденный младенец в будущем принесет немало пользы и добра людям.

Новорожденный был безумно красив, а современем порадовал окружающих своими выдающимися способностями. А так как юное дарование коротало свои дни среди мудрых старцев, то в будущем это принесло свои плоды. Вот так благодаря Гермодаманту Пифагор полюбил музыку, а Ферекид направил ум ребенка к логосу. После жизни в Самосее Пифагор отпправился в Милеет, где произошло знакомство еще с одним ученым - Фалесом.

Пифагор познакомился со знаниями всех известных по тем временам мудрецов, так как был допущен к обучению и познанию всех таинств, которые были другим запрещены. Он старался докопаться до истины и впитать все накопленные человечеством знания.

После двадцати двух лет пребывания в Египте, Пифагор перебрался в Вавилон, где продолжил свое общение с различными мудрецами и магами. Вернувшись в конце своей жизни в Самиос, он был признан одним из мудрейших людей того времени.

Теорема Пифагора

Даже человек, которому пока не довелось изучать эту теорему, наверняка слышал высказывание о «пифагоровых штанах». Особенность этой теоремы в том, что она стала одной из ключевых теорем евклидовой геометрии. Она позволяет легко найти и установить соответствие между сторонами прямоугольного треугольника.

Теорема Пифагора запомнилась каждому школьнику не только высказыванием: «пифагоровы штаны на все стороны равны», а своей простотой и значимостью. И на первый взгляд эта теорема хотя и кажется простой, но имеет большое значение, так как в геометрии она применяется фактически на каждом шагу.

Теорема Пифагора насчитывает большое количество разных доказательств и, наверное, является единственной теоремой, которая имеет такое огромное число доказательств. Такое разнообразие подчеркивает безграничную значимость этой теоремы

В теореме Пифагора присутствуют геометрические, алгебраические, механические и другие доказательства.

Об открытии теоремы Пифагором сложено много разных легенд. Но, несмотря на все это, имя Пифагора навеки вошло в историю геометрии и прочно слилось с теоремой Пифагора. Ведь этот гениальный математик первым представит доказательство теоремы, которая носит его имя.

Формулировки теоремы

Существуют несколько формулировок теоремы Пифагора.

Евклидова теорема говорит нам, что квадрат стороны прямоугольного треугольника, проведенный над его прямым углом, равняется квадратам на сторонах, заключающих прямой угол.

Задание: Найдите различные формулировки теоремы Пифагора. Находите ли вы в них какое-то различие?

Упрощенное доказательство Евклида

Независимо от того, мы берем метод разложения или доказательство Евклида, можно использовать любое расположение квадратов. В некоторых случаях при этом можно достичь небольших упрощений.

Возьмем квадрат, который построен на одном из катетов и имеет тоже расположение, что и треугольник. Мы видим, что продолжение стороны, противоположной катету этого квадрата проходит через вершину квадрата, который построен на гипотенузе.

Доказательство теоремы выглядит довольно просто, так как будет достаточно просто сравнить площади фигур с площадью треугольника. И мы видим, что S треугольника равна ½ площади квадрата, а также ½ S прямоугольника.

Самое простое доказательство

Алгебраическое доказательство

К алгебраическому доказательству теоремы Пифагора относятся элементарные методы, которые присутствуют в алгебре. Это способы решения уравнений в сочетании со способом замены переменных.

Давайте рассмотрим это доказательство более детально. И так, у нас есть прямоугольник АВС, у которого прямой угол – С.

Проведите с этого угла высоту CD.

Согласно определения косинуса угла мы получим:

соsА=AD/AC=AC/AB. Отсюда AB*AD=AC2.

И соответственно:

соsВ = BD/BC=BC/AB.

Отсюда AB*BD=ВС2.

Теперь сложим эти равенства почленно и увидим, что: AD+DB=AB,

АС2+ВС2=АВ(AD + DB)=АВ2.

Вот и все, теорема доказана.

Теорему Пифагора ученые «доказали» с помощью мультиков. Группа единомышленников из института им. Стеклова получила премию за оригинальный математический проект, который они разработали для школьников и учителей. Они создали мини уроки по математике, которые этот скучный предмет превратили в очень интересный и познавательный. Свои необычные этюды молодые ученые выпустили на дисках и выложили в Интернете на всеобщее обозрение.

Вопросы

1. Кто такой Пифагор?
2. О чем гласит теорема Пифагора?
3. Какие существуют формулировки теоремы Пифагора?
4. При решении, каких задач применяется теорема Пифагора?
5. Где теорема Пифагора нашла практическое применение?
6. Какие вы знаете способы использования теоремы Пифагора?

Задачи с применением теоремы Пифагора

Используя знания теоремы Пифагора, попробуйте решить следующие задачи:

Из туристической базы, одновременно, вышли две группы туристов. Первая группа пошла на юг и прошла семь километров, а вторая свернула на запад и прошла девять километров. Используя знания теоремы, найдите расстояние между группами туристов.

Если в прямоугольном треугольнике его катет равен 15 см, а гипотенуза равняется 16 см, то чему будет равен второй катет?

Чему будет равна площадь трапеции, когда ее большое основание равно 24 см, меньшее – 16, а большая диагональ прямоугольной трапеции равна 26 см?

Домашнее задание

Оформите в виде небольшого доклада несколько доказательств теоремы Пифагора, которые вам понятны и решите задачи.

1. Найдите диагональ прямоугольного треугольника, при условии, что стороны его равны 8 см и 32 см.

2. Найдите медиану треугольника, которая проведена к основанию, если в равнобедренном треугольнике периметр равен 38 см, а его боковая сторона равняется 15 см.

3. У треугольника стороны равны 10см, 6 см и 9 см. Попробуйте определить, является ли этот треугольник прямоугольным?

Предмети > Математика > Математика 8 класс

Когда вы только начинали изучать квадратные корни и способы решения иррациональных уравнений (равенств, содержащих неизвестную под знаком корня), вы, вероятно, получили первое представление об их практическом использовании. Умение извлекать квадратный корень из чисел также необходимо для решения задач на применение теоремы Пифагора. Эта теорема связывает длины сторон любого прямоугольного треугольника.

Пусть длины катетов прямоугольного треугольника (тех двух сторон, которые сходятся под прямым углом) будут обозначены буквами и , а длина гипотенузы (самой длинной стороны треугольника, расположенной напротив прямого угла) будет обозначена буквой . Тогда соответствующие длины связаны следующим соотношением:

Данное уравнение позволяет найти длину стороны прямоугольного треугольника в том случае, когда известна длина двух других его сторон. Кроме того, оно позволяет определить, является ли рассматриваемый треугольник прямоугольным, при условии, что длины всех трёх сторон заранее известны.

Решение задач с использованием теоремы Пифагора

Для закрепления материала решим следующие задачи на применение теоремы Пифагора.

Итак, дано:

1. Длина одного из катетов равняется 48, гипотенузы – 80.
2. Длина катета равняется 84, гипотенузы – 91.

Приступим к решению:

a) Подстановка данных в приведённое выше уравнение даёт следующие результаты:

48 2 + b 2 = 80 2

2304 + b 2 = 6400

b 2 = 4096

b = 64 или b = -64

Поскольку длина стороны треугольника не может быть выражена отрицательным числом, второй вариант автоматически отбрасывается.

Ответ к первому рисунку: b = 64.

b) Длина катета второго треугольника находится тем же способом:

84 2 + b 2 = 91 2

7056 + b 2 = 8281

b 2 = 1225

b = 35 или b = -35

Как и в предыдущем случае, отрицательное решение отбрасывается.

Ответ ко второму рисунку: b = 35

Нам дано:

1. Длины меньших сторон треугольника равны 45 и 55 соответственно, большей – 75.
2. Длины меньших сторон треугольника равны 28 и 45 соответственно, большей – 53.

Решаем задачу:

a) Необходимо проверить, равна ли сумма квадратов длин меньших сторон данного треугольника квадрату длины большей:

45 2 + 55 2 = 2025 + 3025 = 5050

Следовательно, первый треугольник не является прямоугольным.

b) Выполняется та же самая операция:

28 2 + 45 2 = 784 + 2025 = 2809

Следовательно, второй треугольник является прямоугольным.

Сперва найдем длину наибольшего отрезка, образованного точками с координатами (-2, -3) и (5, -2). Для этого используем известную формулу для нахождения расстояния между точками в прямоугольной системе координат:

Аналогично находим длину отрезка, заключенного между точками с координатами (-2, -3) и (2, 1):

Наконец, определяем длину отрезка между точками с координатами (2, 1) и (5, -2):

Поскольку имеет место равенство:

то соответствующий треугольник является прямоугольным.

Таким образом, можно сформулировать ответ к задаче: поскольку сумма квадратов сторон с наименьшей длиной равняется квадрату стороны с наибольшей длиной, точки являются вершинами прямоугольного треугольника.

Основание (расположенное строго горизонтально), косяк (расположенный строго вертикально) и трос (протянутый по диагонали) формируют прямоугольный треугольник, соответственно, для нахождения длины троса может использоваться теорема Пифагора:

Таким образом, длина троса будет составлять приблизительно 3,6 метра.

Дано: расстояние от точки R до точки P (катет треугольника) равняется 24, от точки R до точки Q (гипотенуза) – 26.

Итак, помогаем Вите решить задачу. Поскольку стороны треугольника, изображённого на рисунке, предположительно образуют прямоугольный треугольник, для нахождения длины третьей стороны можно использовать теорему Пифагора:

Итак, ширина пруда составляет 10 метров.

Сергей Валерьевич